Tính chất chia hết của một tổng.. * Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.. Xét tính chia hết của một tổng hoặc một hiệu..
Trang 1BÀI 8: TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Tính chất chia hết của một tổng.
* Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết
cho số đó
a m M ; b m M ; c m M ⇒ + + ( a b c m ) M
* Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng chia hết cho cùng một số thì tổng không chia
hết cho số đó
a m M ; b m M ; c m M / ⇒ + + ( a b c m ) M /
* Ví dụ: Ta có 6 3 M; 9 3 M; 15 3 M ⇒ + + ( 6 9 15 3 ) M hay 30 3 M
Ta có 10 5 M; 15 3 M; 12 5 M ⇒ ( 10 15 12 3 + + ) M / hay 37 5 M /
2 Mở rộng.
* Tính chất 3: a m M ⇒ .ka m M
* Tính chất 4: a m M ; b m M ⇒ .ab m M
* Tính chất 5: a b M ⇒ a bmMm
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 Xét tính chia hết của một tổng hoặc một hiệu.
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2 về sự chia hết của một tổng hoặc một hiệu
Dạng 2 Tìm điều kiện của một số hạng để hoặc tổng hoặc hiệu chia hết cho số nào đó Phương pháp giải
Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2 để tìm điều kiện của số hạng chưa biết
Dạng 3 Xét sự chia hết của một tích.
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất: Nếu trong một tích các số tự nhiên có một số hạng chia hết cho một số nào
đó thì tích cũng chia hết cho số đó
Trang 2C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Nếu a không chia hết cho 2 và bchia hết cho 2 thì tổng a b +
A.chia hết cho 2
B. không chia hết cho 2
C.có tận cùng là 2
D.có tận cùng là 1; 3; 7; 9
Lời giải Chọn B
Theo tính chất 2: Nếu a không chia hết cho 2 và bchia hết cho 2 thì tổng a b + không chia hết cho 2
Câu 2. Nếu a chia hết cho 3 và bchia hết cho 3 thì tổng a b +
A. chia hết cho 3
B. không chia hết cho 3
C.có tận cùng là 3
D.có tận cùng là 0 hoặc 5
Lời giải Chọn A
Theo tính chất 1: Nếu a chia hết cho 3 và bchia hết cho 3 thì tổng a b + chia hết cho 3
Câu 3. Tổng nào sau đây chia hết cho 7
A.49 70 + B.14 51 + C.7 134 + D.10 16 +
Lời giải Chọn A
Ta có49 7 M;70 7 M ⇒ ( 49 70 7 + ) M (theo tính chất 1).
Câu 4. Tổng nào sau đây chia hết cho 11
A.44 54 + B.11 55 + C.1 22 + D.33 9 +
Lời giải
Trang 3Chọn B
Ta có 11 11 M ; 55 11 M ⇒ ( 11 55 11 + ) M (theo tính chất 1).
II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 5. Nếu x M 2 và y M 4thì tổng x y + chia hết cho
A.2 B.4 C.8 D. không xác định
Lời giải Chọn A
Ta có x M 2 và y M 4 ⇒ y M 2 ⇒ + ( x y ) M 2 (theo tính chất 1).
Câu 6. Nếu x M 12 và y M 8 thì hiệu x y − chia hết cho
Lời giải Chọn C
Ta có
12 4
8 4
y y
⇒
M M
Vì x M 4; y M 4 ⇒ + ( x y ) M 4 (theo tính chất 1).
Câu 7. Nếu x M 15 và y M 20 thì hiệu x y − chia hết cho
Lời giải Chọn D
Ta có
15 5
20 5
⇒
Vì x M 5; y M 5 ⇒ + ( x y ) M 5 (theo tính chất 1).
Câu 8: Chọn câu sai:
Trang 4D.18 54 12 + + không chia hết cho9.
Lời giải
Vì 49 7;105 7;399 7 M M M ⇒ + + 49 109 399 7 M( theo tính chất 1) nên A đúng
Chọn A
Vì 48 8;120 8 M M mà 84 8 M / nên 84+48+120 không chia hết cho 8 Câu B đúng
Vì 18 9;54 9 M Mmà 12M / 9 nên 18 54 12 + + không chia hết cho 9, câu D đúng, câu C sai
Đáp án là C
Câu 9:Cho tổng M = + 75 120 + x Với giá trị nào của x dưới đây thì MM 3?
Lời giải
Vì 75 3;120 3 M Mnên để MM 3thì xM 3nên ta chọn x = 12
Chọn D
Câu 10: Cho tổng M = + + 14 84 x Với giá trị nào của x dưới đây thì MM 7
Lời giải
Vì 14 7;84 7 M M nên để M = + + 14 84 x M 7 thì xM 7 nên ta chọn x = 21
Chọn C
Câu 11 Cho A = + 15 1003 + x với x N ∈ Tìm điều kiện của x để AM 5
A.xM 5
B.x chia cho 5 dư 1
C.x chia cho 5 dư 3
D.x chia cho 5 dư 2
Lời giải
Ta thấy 15 5;1003 5 M M / nên để A = + 15 1003 + x M 5 thì 1003 + x M 5
Mà 1003 chia 5 dư 3 nên x chia 5 dư 2
Chọn D
Trang 5Câu 12.Cho A = + 24 199 + x với x N ∈ Tìm điều kiện của x để AM 4
A.xM 4
B.x chia cho 4 dư 1
C.x chia cho 4 dư 3
D.x chia cho 4 dư 2
Lời giải
Ta thấy 24 4;199 4 M M / nên để ( 199 + x ) M 4 thì x chia cho 4 dư 1
Chọn B
Câu 13:Có bao nhiêu số tự nhiên nđể( ) n + 4 M n
Lời giải
Vì n n Mnên để ( ) n + 4 M nthì 4 n M suy ra n ∈ { } 1;2;4
Vậy có 3 giá trị của n thỏa mãn đầu bài
Chọn A
Câu 14:Có bao nhiêu số tự nhiên nđể( 2 5 n + ) M n
Lời giải
Vì 2 2 nMnên để ( 2 5 n + ) M nthì 5 n M suy ra n ∈ { } 1;5
Vậy có 2 giá trị của nthỏa mãn đề bài
Chọn C
Câu 15:ChoA = + + + ∈ 12 15 36 , x x N Tìm điều kiện của x để A/ M 9
A x chia hết cho 9
B. x không chia hết cho 9
C.xchia hết cho 4
D..xchia hết cho 3
Trang 6Lời giải
Ta có A = ( 12 15 36 + ) + + x Vì 12+15=27M 9 và 36 9 M ⇒ ( 12 15 36 + + ) ( = 27 36 9 + ) M nên để
A không chia hết cho 9 thì xkhông chia hết cho 9
Chọn B
Câu 16. Với a b , là các số tự nhiên, nếu 10a b + chia hết cho 13 thì a b + 4 chia hết cho số nào dưới đây:
A.3 B.5 C.26 D.13
Lời giải
Xét 10 ( a b + 4 ) = 10 40 a + b = ( 10 a b + + ) 39 b
Vì 10a b + M 13 và 39 13 bM nên 10 ( a b + 4 13 ) M
Do 10 13 M / nên ( a b + 4 13 ) M
Chọn D
Câu 17. Với a b , là các số tự nhiên, nếu 11 2 8 a b + Mthì a b + 6 chia hết cho số nào dưới đây:
A.8 B.12 C.15 D.10
Lời giải
Xét 11 ( a b + 6 ) = 11 66 a + b = ( 11 2 a b + ) + 64 b
Vì 11 2 8 a b + M và 64 8 bMnên 11 ( a b + 6 8 ) M
Do 11M / 8 nên
6 8
a b + M
Chọn A
Câu 18. Có bao nhiêu số tự nhiên nđể ( ) ( ) n + 7 M n + 2
A.3 B.2 C.1 D.0
Lời giải
( )
5 M n + 2
Trang 7Suy ra n + ∈ 2 1;5 { }
Vì ( ) n + ≥ 2 2nên n + = 2 5
Vậy n = 3
Chọn C
Câu 19. Có bao nhiêu số tự nhiênn để ( n + 9 ) ( M n + 5 ? )
Lời giải Chọn D
+) Vì ( n + 5 ) ( M n + 5 ) nên theo tính chất 1 để ( n + 9 ) ( M n + 5 ) thì ( n + − + 9 ) ( n 5 ) M ( 5) n + hay
4 M n + 5 .
Suy ra ( ) { } n + ∈ 5 1;2;4
Vì n + ≥ 5 5nên không có giá trị nào của nthỏa mãn
Câu 20. Chọn câu sai
A Tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
B Tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
C Tổng năm số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 10
D Tổng bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4
Lời giải Chọn D
+) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n n ; + 1; n + 2(n N) ∈ thì tổng ba số tự nhiên liên tiếp là
n n 1 n 2 3 3 + + + + = + n Vì 3 3 Mnên (3 n + 3) 3 M Suy ra A đúng
+) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n n ; 1; + n + 2; n + 3(n N) ∈ thì tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là
n n 1 n 2 + + + + + + = + n 3 4 6 n vì 4 4;7 4 M M / nên ( 4 7 n + ) không chia hết cho 4 Suy ra B đúng, D sai
+) Gọi 5 số tự nhiên liêp tiếp chẵn là 2 ;2 n n + 2;2 n + 4;2 n + 6;2 8( n + n N ∈ )thì tổng 5 số tự nhiên liên tiếp chẵn là 2 2 2 2 4 2 6 2 8 10 20 n n + + + + + + + + = n n n n + Vì 10 10 M ;20 10 M nên (10 n + 20) 10 M
Câu 21. Cho C = + + + + + 1 3 3 3 32 3 11 Khi đó C chia hết cho số nào dưới đây?
Trang 8Lời giải Chọn C
Ghép 3 số hạng liên tiếp thành 1 nhóm, ta được:
2 3 11
1 3 3 3 3
C = + + + + +
(1 3 3 ) (3 3 3 ) (3 3 3 )
(1 3 3 ) 3 (1 3 3 ) 3 (1 3 3 )
(1 3 3 )(1 3 3 )
13.(1 3 3 ) 13( 13 13)
Vậy C M 13
Câu 22. Cho (10 1) 19k− M với k > 1 Khi đó M = 102k− 1chia hết cho số nào dưới đây?
Lời giải Chọn D
Ta có
10 k 1 10 k 10 10 1k k
M = − = − + −
10 (10 1) (10 1)k k k
(10 1)(10 1) 19k k
Vậy M M 19
Câu 23. Khi chia số a cho 12 ta được số dư là 9 Khi đó
A a chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 3
B a chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4
C a chia hết cho 5
D a chia hết cho 9
Lời giải
Chọn B
Vì a chia cho 12 được số dư là 9 nên a = 12 k + 9( k N ∈ )
Vì 12 3;9 3 k M Mnên a = 12 9 3 k + M
Trang 9Vì 12 4 k M; 9 không chia hết cho 4 nên a = 12 k + 9( k N ∈ )không chia hết cho 4
Vậy a chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4