Chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt AB. Do đó, * có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình 2 có đúng 1 nghiệm.[r]

• Ta gọi a là cơ số, n là số mũ của lũy thừa a n

• Với a0,n=0 hoặc n là một số nguyên âm thì lũy thừa bậc n của a là số a n xác định

= ; trong đó m ;n ,n2 Khi đó

m n

a a a

o Nếu n chẵn thì có các trường hợp sau:

▪ Với a 0 thì không tồn tại căn bậc n của a

▪ Với a =0 thì có một căn bậc n của a là số 0

▪ Với a 0 thì có hai căn bậc n là n

a



a b P

2 15

1 3

4 15

a

Câu 3: Cho a là số thực dương, khác 1 Khi đó

2 4 3

a bằng

A

8 3

3 8

3

P=x x với x 0

A P= x B

1 8

2 9

3

P=x x, với x là số thực dương

A

1 12

7 12

2 3

2 7

5 :6

y y y về dạng y n Tính m n−

A 11

85

2 x

P x= ?

A

4 7

3 10

17 10

13 2

x

Tính, rút gọn, so sánh các số liên quan đến lũy thừa

DẠNG 1

Câu 11: Cho a 0, b 0 và biểu thức ( ) ( )

1

2 21

3 1

8 3 8 1 8

+ − +

Câu 15: Cho biểu thức 58 2 23 2

m n

= , trong đó m

n là phân số tối giản Gọi P=m2+n2 Khẳng định

nào sau đây đúng?

A P (330; 340) B P (350; 360) C P (260; 370) D P (340; 350)

Câu 16: Rút gọn biểu thức

11

3 7 37

a a A

= với a 0 ta được kết quả

m n

Mũ và Logarit

A

1 2

7 12

5 8

7 24

A (2018; 2017) B (2019; 2018) C (2015; 2014) D (2016; 2015)

Câu 21: Cho 2 2

1 1 1 ( 1)( ) 5 x x

f x

+ + +

= Biết rằng: ( ) ( ) (1 2 2020) 5

m n

f f f = với m n, là các số nguyên dương

m y

9 34

1

y a

6 11

1

y a

Câu 23: Biểu thức C= x x x x x với x 0 được viết dưới dạng lũy thừa số mũ hữu tỉ là

A

3 16

7 8

15 16

31 32

x

Câu 24: Rút gọn biểu thức

7

3 5 37

a a A

= với a 0 ta được kết quả

m n

23

=  

1 18

23

=  

1 2

23

a b P

a b

= được kết quả là

A ab B a b2 2 C ab2 D a b2

Câu 29: Cho biểu thức

1 1 6 3

2 x

P=x x với x 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

11 6

7 6

5 6

P=x

Câu 30: Cho a là số thực dương Viết và rút gọn biểu thức

3 2018

Q= x + y , với x, y là các số thực khác 0 So sánh P và Q ta có

1 3

Câu 46: Cho U =2.20192020, V =20192020, W =2018.20192019, X =5.20192019 và Y =20192019 Số nào

trong các số dưới đây là số bé nhất?

BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.A 9.B 10 C 11.C 12.B 13.D 14.C 15.D 16.A 17.A 18.C 19.C 20.A 21.B 22.A 23 D 24.D 25.D 26.D 27.C 28.A 29.A 30.A 31.B 32.B 33.B 34.C 35.D 36.B 37.B 38.C 39.B 40.D 41.A 42.B 43.A 44.C 45.A 46.C 47.A 48.C 49.C 50.C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

 

 

x a

= x x

a b−

3 1

8 3 8 1 8

1

11

+ −

− +

11 15 34615

15

m m

n n

Suy ra: 2

2.3 63

a

a b b

1 1

a a A

=

5 7

3 3 2

4 7

a

a a

b b   b

Câu 35: Chọn D

20;

Do cơ số e (1; +) và 0  a b nên ta có lna lnb Đáp án A sai

Do cơ số 0,5 ( )0;1 và 0  a b nên ta có ( ) ( )0,5 a  0,5 b Đáp án B sai

Do cơ số a ( )0;1 và b 1 nên ta có loga blog 1a loga b0 Đáp án C đúng

Do cơ số 2 (1; +) và ab nên ta có 2a  2b Đáp án D sai

Mũ và Logarit

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

CHỦ ĐỀ 2: LOGARIT

LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

• Cho hai số dương a b, với a 1 Số  thỏa mãn đẳng thức a =b được gọi là logarit cơ số

a của b và được kí hiệu là loga b Ta viết như sau:  =loga ba =b

• Một số chú ý:

Không có logarit của số 0 và số âm vì a  0, a

Cơ số của logarit phải dương và khác 1 (a 1)

Một số công thức logarit theo định nghĩa:

• So sánh hai logarit cùng cơ số

Cho số dương a 1 và các số dương b c,

▪ Khi a 0 thì loga bloga c b c

▪ Khi 0 a 1 thì loga bloga c b c

▪ Ta có loga b=loga c =b c

• Logarit của một tích: loga( )b c = loga b+ loga c

• Logarit của một thương:

o loga b loga b loga c

c

b b

3 Logarit tự nhiên và logarit thập phân

• Logarit tự nhiên ( hay còn được gọi là logarit Nepe) là logarit cơ số e, được viết là:loge b=lnb

• Logarit thập phân là logarit cơ số 10, được viết là: log10b=logb=lgb

Câu 2: Cho a 1,a thỏa mãn log log 2( 4x)= log log 4( 2x)+a Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log2x =4a B log2x= +a 1 C log2x=2a+1 D log2x=4a+1

Câu 3: Cho loga bc=x,logb ca=y và 2

log

1

c

mx ny ab

+

2

y x

− +

2

y x

+

2

y x

Câu 8: Cho các số thực dương a b, khác 1 và số thực dương x thỏa mãn log loga( b x)= log logb( a x)

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

( ) log log

log

b a a

b

( ) log log

log

b a a

b

a x=a C

( ) log log

log

a a b

b

a x=b D

( ) log log

log

a a b

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Câu 11: Xét số nguyên dương a và số thực b 0 thỏa mãn log log2( 2a(log2b( )2 ) ) 0

ln 5

ln 3

Câu 15: Cho ba số thực dương a b c, , theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và a b c+ + = 64 Giá trị của

biểu thức P= 3log 2(ab bc ca+ + )− log 2( )abc bằng:

Câu 16: Cho 3 số 2017 log+ 2a; 2018 log+ 3a; 2019 log+ 4a;theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Công sai của cấp số cộng này bằng:

Câu 18: Cho x y, là hai số thực dương thỏa mãn ( 3)

logx+logy log x+2y Giá trị nhỏ nhất của:

Câu 21: Với mỗi số thực dương x, khi viết x dưới dạng thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu phẩy

của x là logx + 1 Cho biết log 2 = 0,30103 Hỏi số 2017

2 khi viết trong hệ thập phân ta được một số có bao nhiêu chữ số? (Kí hiệu  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x)

1log m

mn

− là?

− trong đó p q, là các số nguyên dương và p

q là phân số tối giản

Giá trị của biểu thức p q+ bằng?

f t

m

=+ với m là số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m sao cho ( ) ( ) 1

f x + f y = với mọi số thực x y, thỏa mãn x y ( )

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Câu 30: Cho a 0;b 0 thỏa mãn ( 2 2 ) ( )

xy z= − với a b, là các số nguyên dương và a

b tối giản Giá trị của biểu thức a b+ bằng

Câu 34: Gọi S là tập hợp tất cả các cặp số thực ( )x y; thỏa mãn 0 x 1,0 y 1 Chọn ngẫu nhiên

một phần tử ( )x y; thuộc S Xác suất để phần tử chọn ra thỏa mãn log2 1



10 2

+

Câu 36: Cho các số thực dương a b, thỏa mãn: 16a−(2sinb+ 1 2) 2a+1 + 4sinb+ = 5 0 Giá trị của biểu

2

+

Câu 37: Có hai cặp số thực ( )x y; thỏa mãn đồng thời log225x+log64y=4 và log 225 log 64 1x − y = là

(x y1; 1) và (x y2; 2) Giá trị biểu thức log30(x y x y1 1 2 2) bằng:

Câu 38: Cho cấp số nhân ( )u n có số hạng đầu u1 =a và công bội q=b Có bao nhiêu cặp số nguyên

dương ( )a b; sao cho log8u1 +log8u2+ + log8u12 =2006

logx + +y 4x+ 4y− + 6 m = 1 và x2+y2+2x−4y+ =1 0

A   5 B    7, 5, 1 C   5, 1 D   1

Câu 40: Giá trị của tham số thực m để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; )x y thỏa mãn đồng thời các

điều kiện log2019(x y+ ) 0 và x y+ + 2xy m+ 1 là

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

log

1log

xy b

t

y x

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

2log 2016; 2017

12184

z y x a

Do 3 số 2017 log+ 2a; 2018 log+ 3a; 2019 log+ 4a;theo thứ tự lập thành cấp số cộng Suy ra

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

x m

a a a

a

a

a a

x

x x

Lấy đạo hàm hai vế, ta được:

10log

x

x x

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Câu 31: Chọn A

2 2

5 7 log 2 5log log 7 log 2

1log 2k k 0,k

2

1000 2sinb 1

a 10log 1 0

22

a

a b a

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

3 5 1

1 5 1

y Y

1 5 2

y Y

− +

Phương trình ( )1 là phương trình đường tròn ( )C1 có tâm I −1( 1; 2), bán kính R =1 2

và phương trình ( )2 là phương trình đường tròn ( )C2 có tâm I2( )2; 2 và bán kính R2 = m

Cặp số thực ( )x y; tồn tại duy nhất khi và chỉ khi ( )C1 , ( )C2 tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong (R1=R2)

52

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT

• D = nếu  là số nguyên dương

• D = nếu  là số nguyên âm hoặc bằng 0

• D = nếu  không nguyên

3 Đạo hàm của hàm lũy thừa

• Hàm số y=x với  có đạo hàm với mọi x 0 và ( )x  =.x− 1

4 Tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa

• Đồ thị hàm số y=x với (a 0) nhận Ox làm tiệm cận ngang, nhận Oy làm tiệm cận đứng Khi a 0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận

• Đồ thị của hàm số lũy thừa y x luôn đi qua điểm I(1;1)

• Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

• Khi 0 a 1 thì hàm số y=a x nghịch biến, khi đó ta có f x( ) g x( ) ( ) ( )

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Lời giải Chọn A

Hàm số nghịch biến trên khoảng (− +; ) khi và chỉ khi 0m2−3m+ 1 1

2 2

32

02

Hàm số đã cho xác định trên khoảng (2;+)khi và chỉ khi:

 



  −    Nếu 2  3m−  1 m 1 ta có bảng biến thiên :

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Hàm số đã cho xác định trên khoảng (2;+  ) m 2

Để đồ thị hàm số trên có đúng một đường tiệm cận thì f ( )2 =  +0 a 2b=2

VÍ DỤ 4: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số mđể hàm số 2 1

x

=

− có đúng một đường tiệm cận, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức log( 1)

Đặt a+ =1 x,

2

b y

= ta suy ra x+4y=3 P=logx y, (do a 0 nên x 1)

x y

a b

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Câu 11: Đạo hàm của hàm số = 1 4

e5

x

A  = −4 4

e5

x

e20

x

e5

x

e20

x

Câu 12: Cho các số thực  và  Đồ thị các hàm số y=x, y=x trên khoảng (0 ; + ) như hình vẽ

bên, trong đó đường đậm hơn là đồ thị của hàm số y=x

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Hỏi hàm số g x( ) (= f 1 −x)+x.e −x đồng biến trên khoảng nào?

BẢNG ĐÁP ÁN

11.C 12.C 13.A 14.D 15.A 16.D 17.A 18.A 19.A 20.A 21.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Vậy có tất cả 7 giá trị m thỏa mãn điều kiện đề bài

x

Vậy  =4 4

e5

21

Kết luận: có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán

Câu 15: Chọn A

Với m 0 thì hàm số xác định trên Ta có ( )=

+

x x

Ta thấy với x − −( 2; 1) thì f −(1 x) 0 và 1− x 0 Suy ra g x( )   − − 0; x ( 2; 1)

Vậy hàm số g x( ) đồng biến trong khoảng ( 2; 1)− −

21

2

0,1

x

+2

2,1

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Từ bảng biến thiên ta suy ra m −1 thì hàm số đồng biến trên khoảng (− + ; )

Câu 20: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số =1 ( 2+ )− +

4

x

f x x

Xét hàm số =

+2( )

Từ bảng biến thiên ta suy ra:

0

4 -1

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

▪ Nếu b 0 thì phương trình a x =b vô nghiệm

2 Phương trình đưa về cùng cơ số

▪ Giải phương trình tìm nghiệm t và kiểm tra điều kiện t 0

▪ Sau đó thế vào phương trình = f x( )

• Hàm số f được gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi u v, ( )a b u v; ;   f u( ) ( ) f v

• Hàm số f được gọi là nghịch biến trên ( )a b; khi và chỉ khi u v, ( )a b u v; ;   f u( ) ( ) f v

❖ Định lí, tính chất

• Định lí Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên khoảng ( )a b;

Nếu f x( )0 (f x( )  0) x ( )a b; và f x( )= 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng

biến (nghịch biến) trên khoảng ( )a b;

▪ Tính chất 1 Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( )a b; thì phương trình f x( )= 0 có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng ( )a b;

Mũ và Logarit

▪ Tính chất 2 Nếu phương trình f x( )= 0 có một nghiệm trên khoảng ( )a b; thì phương trình ( )= 0

f x có nhiều nhất hai nghiệm trên khoảng ( )a b;

▪ Tính chất 3 Nếu hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( )a b; thì

( )

u v,  a b; ; f u( ) ( )= f v  =u v

▪ Tính chất 4 Nếu hàm số f liên tục, đồng biến trên khoảng ( )a b; và hàm số g liên tục,

nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên khoảng ( )a b; phương trình f x( ) ( )=g x có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng ( )a b;

• Quy tắc 1 Giải phương trình f x( ) ( )=g x

▪ Bước 1: Xác định x=x0 là một nghiệm của phương trình

▪ Bước 2: Chứng minh với mọi  

 



0 0

x x thì phương trình vô nghiệm

▪ Kết luận x=x0 là nghiệm duy nhất

• Quy tắc 2 Giải phương trình f x( ) ( )=g x

▪ Phương trình thỏa mãn khi f x( ) ( )=g x =m

▪ Áp dụng tương tự với bài toán bất phương trình f x( ) ( )g x

• Quy tắc 3 Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác

▪ Ta có: sinx − 1;1 ;cos  x − 1;1 

▪ Điều kiện để hàm số lượng giác acosx b+ sinx=c có nghiệm là 2+ 2  2

▪ Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt

• Quy tắc 4 Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của

phương trình bậc 2 …

73

t (t 0), khi đó phương trình 9x−5.3x+ =6 0 tương đương với

+

−

= 2

28 4

e) 2+ − − 2+ − + =

9x x 10.3x x 1 0

f) (7 4 3+ ) (x+ 2+ 3)x =6

1 2

x

x t

3 10log

2

x

x x

VÍ DỤ 3 Giải các phương trình sau:

3 x 3 x 3 x 3 x 10 c) 9sin 2x+9cos 2x =6

Mũ và Logarit

Lời giải a) 35x =53x  ( )5 = ( )3

x

Phương trình có hai nghiệm: x= 2 , x=log 7 22 −

Lời giải a) + =    +   =    +   − = ( )

 f x = 0 có tối đa một nghiệm trên tập số thực

VÍ DỤ 4 Giải các phương trình sau:

a) 5 = 3

3 2x x 1 c)

2x x 2x x 2x 4 Số phần tử của S là

c) Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình 6x+(3 −m).2x− =m 0 có nghiệm thuộc khoảng ( )0;1

Mà f( )2 =  0 phương trình ( )1 có nghiệm duy nhất x= 2

 Hàm số f x( ) đồng biến trên ( )0;1 Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi 2m4 Vậy m 2;4( )

Lời giải a) 3x+ 1 + 4x+ 1 = 3 2x+ 1 + 4 2x+ 1  3x+ 1 − 3 2x+ 1 = 4 2x+ 1 − 4x+ 1 1( )

Nhận xét x= 0 là nghiệm của phương trình ( )1

2x 2 x c) Cho a b, là các số thực thỏa mãn a 0 và a 1, biết phương trình x− 1 =2cos( )

Vậy x= 0 là nghiệm duy nhất

2cos 22

x x

x

bx a

1

x x

a

(Vô lí)

Do đó phương trình ( )1 và phương trình ( )2 không có nghiệm chung

Mặt khác theo giả thiết phương trình ( )1 và phương trình ( )2 đều có 7 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có 14 nghiệm phân biệt

9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

• Phương trình có dạngP(loga f x( ) )= với 0 0  a 1

P(loga f x( ) ) 0 ăt t loga f x( ) P( ) 0

t

4 Phương pháp đánh giá

• Quy tắc 1 Giải phương trình f x( ) ( )=g x

▪ Bước 1: Xác định x=x0 là một nghiệm của phương trình

▪ Bước 2: Chứng minh với mọi  

 



0 0

x x thì phương trình vô nghiệm

▪ Kết luận x=x0 là nghiệm duy nhất

• Quy tắc 2 Giải phương trình f x( ) ( )=g x

▪ Phương trình thỏa mãn khi f x( ) ( )=g x =m

▪ Áp dụng tương tự với bài toán bất phương trình f x( ) ( )g x

• Quy tắc 3 Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác

▪ Ta có: sinx − 1;1 ;cos  x − 1;1 

▪ Điều kiện để hàm số lượng giác acosx b+ sinx=c có nghiệm là 2+ 2  2

▪ Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt

• Quy tắc 4 Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của

phương trình bậc 2 …

❖ Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hàm số như dạng bài tập phương trình mũ Việc

sử dụng linh hoạt các phương pháp sẽ giúp các em tối ưu hơn trong việc giải toán

Lời giải a) Điều kiện: x 0 Đặt log3x=t t,(  )  =x 3t





 

 Đặt log2x=t t,  Phương trình 2 log2x +3log 2x = trở thành: 7 2

31

x

x x

VÍ DỤ 2 Giải các phương trình sau:

a) log23x−2 log3x− =7 0 b) 2 log2x +3log 2x = 7

log 4x −log 2x =5 d) Tìm tất cả các giá trị của tham m để phương trình 2( ) ( )

log 2x −2 logm x + − = có tích m 1 0hai nghiệm của phương trình bằng 16.