Chứng minh rằng có thể chọn một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho n.. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 5 hoặc tổng của một số số liên tiếp
Trang 1PHẦN I: NGUYÊN LÝ ĐIRICHLÊ TRONG SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ.
( Ở đây kí hiệu [α] : phần nguyên của số α là số nguyên lớn nhất không vượt quá a)
2 Các dấu hiệu chia hết và các tính chất chia hết trong Z.
a) Dấu hiệu chia hết cho 2; 3;4; 5; 8; 9; 11; 25; 125.
b) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích
- Nếu a M m và b M m => a ± b M m
- Nếu aMm và b M m => ( a ± b) Mm
- Nếu a M b và k bất kỳ ⇒ ka M b
c) Tính chất mở rộng:
- Hai số có cùng số dư trong phép chia cho m thì hiệu của chúng chia hết cho m.
- Tổng các số dư của các số trong phép chia cho m mà chia hết cho m thì tổng các số
Trang 2” và “ lồng ”, khái niệm “ nhốt thỏ vào lồng ” nhưng khi trình bày ta cố gắng trình bàytheo ngôn ngữ riêng của bài toán.
- Để sử dụng nguyên lý Đirichlê ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt “thỏ” vào
“chuồng” và thoả mãn các điều kiện :
+ Số ‘thỏ” phải nhiều hơn số chuồng
+ “Thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng” nhưng không bắt buộc chuồng nàocũng phải có thỏ
B.
CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG.
DẠNG 1: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHIA HẾT
1.1 Bài toán cơ bản:
VD1: Cho 7 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà
hiệu của chúng chia hết cho 6
*/ Phân tích:
Coi 7 số là 7 con thỏ Khi chia 1 số tự nhiên bất kì cho 6 thì số dư có thể là một trong 6
số : 0; 1; 2; 3; 4; 5 (coi 6 số dư là 6 chuồng)
Có 7 số tự nhiên chia cho 6 mà chỉ có 6 số dư nên theo nguyên lí Đirichlê thì tồn tại ítnhất 2 số chia cho 6 có cùng số dư Hiệu 2 số này chia hết cho 6
Giải:
Khi chia 1 số tự nhiên bất kì cho 6 thì số dư ∈ { 0; 2; 3; ; 5} ( 6 số dư)
Có 7 số tự nhiên chia cho 6 mà chỉ có 6 số dư nên theo nguyên lí Đirichlê thì tồn tại ítnhất + 1 = 2 số chia cho 6 có cùng số dư Hiệu 2 số này chia hết cho 6
=> đpcm
*/
B ài toán tổng quát : Trong n số tự nhiên bất kỳ, bao giờ cũng có thể chọn ra hai số
mà hiệu của chúng chia hết cho n – 1( n∈ N* ).
Trang 3VD2: Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, , a10.
Chứng minh rằng có thể chọn một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãytrên chia hết cho 10
*/ Phân tích:
Nếu đem 10 số tự nhiên bất kì chia cho 10 thì có số dư ∈{ 0; 1; 2; 3; ; 9}
( 10 số dư ) thì không vận dụng được nguyên lí Đirichlê ( vì số thỏ phải lớn hơn sốlồng) mà đề bài yêu cầu là có thể chọn một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhautrong dãy trên chia hết cho 10 nên phải tạo ra thỏ mới ( chính là một số hoặc tổng một
số các số liên tiếp nhau)
S10 = a1 + a2 + + a10
- Nếu tồn tại một tổng Si ( i= 1,2,3 10) nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứngminh
- Nếu không tồn tại tổng nào trong các tổng trên chia hết cho 10 ta làm như sau:
Ta đem 10 tổng trên chia cho 10 sẽ được số dư ∈ { 1; 2; 3; ; 9} ( 9 số dư) Như vậy
có 10 tổng chia cho 10 mà chỉ có 9 số dư nên theo nguyên lý Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất = 2 tổng có cùng số dư khi chia cho 10
Chẳng hạn , hai tổng đó là Sm và Sn , với m > n và m, n∈{ 1; 2; 3; ; 9}
Trang 4=> Sm - Sn 10 ( Hiệu 2 tổng này chính là tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đãcho chia hết cho 10)
⇒ ĐPCM
*/
B ài toán tổng quát : Cho n số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng có thể chọn một số
hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho n.
*/ Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho dãy số gồm 5 số tự nhiên bất kì a1, a2, a3, a4, a5 Chứng minh rằng tồn tại một
số chia hết cho 5 hoặc tổng của một số số liên tiếp trong dãy đã cho chia hết cho 5
(Đề thi chọn HSG lớp 6 huyện Sông Lô năm 2013 – 2014)
Bài 2: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc Chứng minh rằng khi ta gieo
súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một haynhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5
( Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6/ tr39) HD: Gọi các số trên 5 mặt là ; ; ; ;
=> Làm tương tự như VD và bài 1
Bài 3: Có một người ngày nào cũng chơi cờ, nhưng một tuần chơi không quá 13
ván Chứng minh rằng có một số ngày liên tục mà tổng số ván cờ người này chơi
đúng bằng 20 ( TLC toán THCS toán 7 – tập 1/ tr 178)
HD:
Xét số ván cờ của 3 tuần liên tiếp
Giả sử ngày thứ k số ván cờ đánh được là ( 1 k 21) Vì số ván cờ mỗi tuần khôngvượt quá 13 nên + + + 3 13 = 39
Trang 5Ta đem 21 tổng trên chia cho 20 sẽ được số dư ∈ { 1; 2; 3; ; 19} ( 19 số dư) Như vậy
có 21 tổng chia cho 20 mà chỉ có 19 số dư nên theo nguyên lý Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất
= 2 tổng có cùng số dư khi chia cho 20
=> Hiệu của chúng chia hết cho 20 mà các tổng đều khác nhau và không vượt quá 39nên hiệu này hai tổng này phải bằng 20
Bài 4: Với 39 số tự nhiên liên tiếp, hỏi rằng ta có thể tìm đkhược một số mà tổng
các chữ số của nó chia hết cho 11 hay không?
HD:
Lấy 20 số tự nhiên liên tiếp đầu của dãy, ta luôn tìm được một số có chữ số hàng đơn vị
là 0 và có chữ số hàng chục khác 9
Giả sử số đó là A và tổng các chữ số của A là b Khi đó 11 số A, A + 1, A + 2, , A + 9,
A + 19 sẽ nằm trong 39 số đã cho Vì A có tận cùng bằng 0 nên tổng các chữ số của A, A+ 1, A + 2, , A + 9 lần lượt bằng b, b+ 1, b +2, b +9
Vì A có tận cùng bằng 0 và có chữ số hàng chục khác 9 nên tổng các chữ số của A + 10bằng b + 1, tổng các chữ số của A + 19 bằng b + 10
Vậy 11 số của dãy A, A + 1, A + 2, , A + 9, A + 19 có tổng các chữ số lần lượt là b, b+ 1, b + 2, , b + 9, b + 10
Trong 11 số tự nhiên liên tiếp b, b + 1, b + 2, , b + 9, b + 10 luôn tìm được 1 số chiahết cho 11, chẳng hạn số đó là b + i, ( 0 i 10 ): Nếu 0 i 9 thì ta chọn được số A + i thỏamãn yêu cầu bài toán, nếu i = 10 thì ta chọn được số A + 19 thỏa mãn
*/ Nhận xét : Đối với bài toán này mấu chốt để giải là phải tìm được 11 số trong 39 số
đã cho có tổng các chữ số thứ tự là 11 số tự nhiên liên tiếp, đồng thời sử dụng nhận xét :
“ Trong n số tự nhiên liên tiếp luôn tìm được 1 số chia hết cho n ”
VD3: Chứng minh rằng tồn tại một bội của số 1993 chỉ chứa toàn số 1.
Giải:
Ta lập dãy số gồm 1994 số chứa toàn bộ số 1 là:
Trang 6= 1
= 11
= 111
…
Một số tự nhiên bất kì khi chia cho 1993 thì số dư ∈ {0; 1; 2; 3; ; 1992}
( 1993 số dư) Khi đem 1994 số trên chia cho 1993 mà chỉ có 1993 số dư nên theonguyên lý Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất + 1 = 2 số có cùng số dư khi chia cho 1993
- Nhận xét: Bài toán vẫn đúng nếu ta thay chữ số 1 bằng bất cứ số nào Khi giải HS cần
lập được dãy số, xác định được số thỏ đem nhốt
VD4: Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 20172017 201700 0 chia hết cho
Trang 7Một số tự nhiên bất kì khi chia cho 2016 thì có số dư ∈{ 0; 1; 2; 3; ; 2015}
Chứng minh tồn tại một số chia cho 19 dư 1
(Đề KSHSG lớp 6 huyện Sông Lô vòng 1 năm học 2013 – 2014) Giải:
Bài 1: CMR: Tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 6 và chia hết cho 2003.
Bài 2: CMR: Tồn tại số có dạng 20172017 201700 0 chia hết cho 2016
Bài 3: Có hay không 1 số có dạng 19931993 … 1993000 … 00 M 1994
Trang 8Bài 4: Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0
mà số đó chia hết cho 2015
( Đề thi chọn HSG lớp 6 huyện Sông Lô năm 2015 – 2016 )
Bài 5: CMR: Tồn tại một bội số của 2003 có dạng:
Bài 6: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Bài 7: Chứng minh rằng trong các số tự nhiên thế nào cũng có k số sao cho 1983k – 1chia hết cho 105
Bài 8: Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 202020202020 2020 chia hết cho
2019
( Đề thi chọn HSG lớp 7 huyện Sông Lô năm 2018 – 2019 )
Bài 9: Hỏi có thể tìm được một số tự nhiên là lũy thừa của 9 mà có tận cùng là 0001
Vậy có thể tìm được số tự nhiên là lũy thừa của 9 mà có tận cùng là 0001
Bài 10: Chứng minh rằng tồn tại lũy thừa của 29 mà các chữ số tận cùng của nó
là 00001
Bài 11: Chứng minh rằng trong hệ viết cơ số 10 có thể tìm được bội số của số 1995 mà
trong đó các chữ số của nó chỉ là 0 và 1
Bài 12: Một bà mẹ chiều con nên ngày nào cũng cho con ăn ít nhất một chiếc kẹo Để
hạn chế, mỗi tuần bà cho con không ăn quá 12 chiếc kẹo Chứng minh rằng trong một
số ngày liên tiếp nào đó bà mẹ đã cho con tổng số 20 chiếc kẹo
Trang 9Xét 21 ngày liên tiếp kể từ một ngày thứ hai nào đó Gọi S(n) là tổng số kẹo mà
bà mẹ đã cho con tính đến ngày thứ n (1 ≤ ≤n 21)
Bài 13: Chứng minh rằng từ 2015 số tự nhiên bất kỳ a a1, , ,2 a2015, đều có thể tạo ra mộtnhóm, gồm ít nhất một số, mà tổng của tất cả các số thuộc nhóm này chia hết cho 2015
+ Nếu tất cả các số hạng của dãy trên đều không chia hết cho 2015, thì khi đó chia tất cả
các số hạng của dãy cho 2015 sẽ được các số dư thuộc tập hợp {1;2; ;2014}
Tuy nhiênkhi chia tất cả các số hạng của dãy cho 2015 thì sẽ có 2015 số dư
Như vậy theo nguyên lý Diriclet sẽ tồn tại ít nhất hai số hạng có cùng một số dư khichia cho 2015
Không mất tính tổng quát giả sử hai số hạng đó là:
Trang 10VD6: Chứng minh rằng trong 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra hai số mà tổng
hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100
*/ Phân tích:
Ta nhận thấy nếu coi 52 số nguyên bất kỳ là 52 con thỏ mà trong phép chia cho 100 có
100 số dư, như vậy thì số thỏ sẽ ít hơn số chuồng rất nhiều Do đó ta phải thu hẹp sốchuồng lại bằng cách lập nhóm dư sao cho hiệu hoặc tổng của số dư trong nhóm nàyphải chia hết cho 100 Từ đó GV hướng dẫn HS chia 100 số dư trong phép chia cho 100thành 51 nhóm dư : {0}; {1; 99}; {2; 98}; …; {49; 51}; {50} rồi áp dụng nguyên lýĐirichlê
Cho 3 số lẻ Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8
( Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6/ tr39)
HD:
Một số lẻ khi chia cho 8 thì số dư ∈{ 1; 3; 5; 7} ( 4 số dư)
Chia 4 số dư này thành 2 nhóm dư {1; 7}; {3; 8}
Vì có 3 số lẻ ( 3 thỏ) mà chỉ có 2 nhóm dư ( 2 chuồng) nên theo nguyên lý
Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất 2 số thuộc cùng một nhóm dư
=> Hai số này có hiệu chia hết cho 8 ( nếu số dư của chúng bằng nhau) hoặc có tổngchia hết cho 8 ( nếu số dư của chúng khác nhau)
=> đpcm
*/ Bài tập tương tự:
Trang 11Bài 1: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu
chia hết cho 12
HD:
Một số số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì số dư ∈{ 1; 5; 7; 11} ( 4 số dư).Chia 4 số dư này thành 2 nhóm dư {1; 11}; {5; 7}
Coi 3 số nguyên tố lớn hơn 3 ( 3 thỏ) và 2 nhóm dư ( 2 chuồng )
Bài 2: Chứng minh rằng trong 5 số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tồn tại ít nhất 2 số có tổng
hoặc hiệu chia hết cho 18
Bài 3: Chứng minh rằng trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc
hiệu của chúng chia hết cho 50
Bài 4: Cho 4 số tự nhiên tùy ý Chứng minh rằng ta có thể chọn được hai số mà tổng
hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5
1.5 Bài toán khác:
VD8: CMR: Với 17 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết cho 5 Giải:
Xét dãy số gồm 17 số tự nhiên bất kỳ là a1, a2, …, a17
Chia 17 số trên cho 5 sẽ được số dư ∈ {0; 1; 2; 3; 4} ( 5 số dư)
- TH1: Nếu trong 17 số trên có 5 số khi chia cho 5 có cùng số dư thì tổng của chúng sẽchia hết cho 5
- TH2: Nếu trong 17 số trên không có 5 số nào có cùng số dư khi chia cho 5
⇒ tồn tại 5 số có số dư khác nhau trong phép chia cho 5
mà tổng các số dư là: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 M 5 => tổng của 5 số này chia hết cho 5
VD9: Chứng minh rằng trong 2019 số tự nhiên bất kì luôn tìm được một số chia
hết cho 2019 hoặc luôn tìm được hai số chia cho 2019 có cùng số dư
Giải:
- Nếu trong 2019 số đã cho có ít nhất một số chia hết cho 2019 thì ta chọn luôn số này
Trang 12- Nếu không có số nào trong 2019 số đã cho chia hết cho 2019 thì ta đem 2019 số nàychia cho 2019 sẽ có số dư ∈ {1; 2; 3; ; 2018} ( 2018 số dư) nên theo nguyên lýĐirichlê sẽ tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư.
=> đpcm
*/ Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng trong n số tự nhiên bất kì luôn tìm được một
số chia hết cho n hoặc luôn tìm được hai số chia cho n có cùng số dư
Bài 4: Viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành một hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp đó
cộng mỗi một số với chỉ số thứ tự của nó ta sẽ được 10 tổng Chứng minh rằng có ítnhất 2 tổng có chữ số tận cùng giống nhau
Vì (1) và (2) mâu thuẫn nhau nên phải tồn tại 2 tổng có chữ số tận cùng giống nhau
Bài 5: Cho các số tự nhiên từ 11 đến 21 được viết theo thứ tự tùy ý, sau đó đem cộng
mỗi số đó với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng Chứng minh rằng trong các tổngnhận được bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10
DẠNG 2: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BẢNG Ô VUÔNG.
VD1: Cho một bảng ô vuông kích thước 5 x 5 Người ta viết vào mỗi ô của bảng một
trong các số -1; 0; 1; sau đó tính tổng của các số theo từng cột, theo từng dòng và theotừng đường chéo Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giátrị bằng nhau
Trang 13Nhận xét: Ở đây, ta coi “ thỏ ” là tổng , coi “ lồng” là giá trị của tổng nên có 11 “ lồng”.
*/ Bài toán tổng quát: Cho một bảng ô vuông kích thước n n Người ta viết vào mỗi ô
của bảng một trong các số -1; 0; 1; sau đó tính tổng của các số theo từng cột, theo từng dòng và theo từng đường chéo Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.
VD2: Trên bảng ô vuông kích thước 8 x 8, ta viết các số tự nhiên từ 1 đến 64, mỗi số
viết vào một ô một cách tùy ý Chứng minh rằng luôn tồn tại hai ô vuông chung cạnh
mà hiệu
các số ghi trong chúng không nhỏ hơn 5
HD:
Ta xét hàng có ô ghi số 1 và cột có ô ghi số 64 Hiệu giữa 2 số này là 63
Số cặp ô kề nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 64 nhiều nhất là 14 ( gồm 7 cặp ô chungcạnh tính theo hàng và 7 cặp ô chung cạnh tính theo cột )
Ta có 64 = 16 4 + 7 nên theo nguyên lý Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất 2 ô kề nhau mà 2 sốghi trên đó có hiệu không nhỏ hơn 4 + 1 = 5
Nhận xét: Ở đây, ta coi “ thỏ ” là hiệu của 2 số trong 64 số ( từ 1 đến 64) nên có 63 “
thỏ ” , coi “ lồng” là số cặp ô vuông kề nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 64 nên có nhiềunhất là 14 “ lồng”
VD3: Trong bảng ô vuông kích thước 8×8 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu
13 ô bất kì Chứng minh rằng với mọi cách đánh dấu luôn có ít nhất 4 ô được đánh dấukhông có điểm chung (hai ô có điểm chung là 2 ô chung đỉnh hoặc chung cạnh)
( HSG8/ 15-16)
HD:
Chia 64 ô vuông của bảng 8x8 thành 4 loại như hình vẽ (Các ô cùng loại đượcđánh số giống nhau) Khi đó theo cách chia này rõ ràng các ô trong cùng loại sẽkhông có điểm chung
Trang 14Khi đánh dấu 13 điểm bất kì, thì 13 điểm này sẽ thuộc 4 loại ô vừa chia Vì13=4.3+1 nên theo nguyên lí Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất 4 ô thuộc cùng 1 loại,khi đó 4 ô này sẽ không có điểm chung Suy ra đpcm.
Trang 15*/ Bài tập tương tự:
Bài 1: Trên bảng 9 x 9 ô vuông, ta ghi các số tự nhiên từ 1 đến 81, mỗi số viết vào một
ô một cách tùy ý Chứng minh rằng luôn tồn tại hai ô vuông chung cạnh mà hiệu
các số ghi trong chúng không nhỏ hơn 5
HD:
Ta xét hàng có ô ghi số 1 và cột có ô ghi số 81 Hiệu giữa 2 số này là 80
Số cặp ô kề nhau liên tiếp từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 81 nhiều nhất là 16 ( gồm 8 cặp ôchung cạnh tính theo hàng và 8 cặp ô chung cạnh tính theo cột )
Ta có 80 = 16 5 nên theo nguyên lý Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất 2 ô kề nhau mà 2 số ghitrên đó có hiệu không nhỏ hơn 4 + 1 = 5
Bài 2: Trên bảng 10 x 12 ô vuông, ta ghi các số tự nhiên từ 1 đến 120, mỗi số viết vào
một ô một cách tùy ý Chứng minh rằng luôn tồn tại hai ô vuông chung cạnh mà hiệu các số ghi trong chúng không nhỏ hơn 6
HD:
Ta xét hàng có ô ghi số 1 và cột có ô ghi số 120 Hiệu giữa 2 số này là 119
Số cặp ô kề nhau liên tiếp từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 119 nhiều nhất là 20 ( gồm 9 cặp ôchung cạnh tính theo hàng và 11 cặp ô chung cạnh tính theo cột )
Ta có 119 = 20 5 + 19 nên theo nguyên lý Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất 2 ô kề nhau mà 2
số ghi trên đó có hiệu không nhỏ hơn 5 + 1 = 6
Bài 3: Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10 10×
(10 dòng, 10 cột) được ghi một
số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chungmột cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau Chứngminh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần
HD:
Trên mỗi hình vuông con, kích thước 2 2× chỉ có không quá 1 số chia hết cho 2, cũngvậy, có không quá 1 số chia hết cho 3
-Lát kín bảng bởi 25 hình vuông, kích thước 2 2× , có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2,
có nhiều nhất 25 số chia hết cho 3 Do đó, có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho
2, cũng không chia hết cho 3 Vì vậy, chúng phải là một trong các số 1,5,7
-Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet, có một số xuất hiện ít nhất 17 lần
DẠNG 3: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ SẮP XẾP.
Trang 16VD1: Ở vòng chung kết cờ vua có 8 bạn tham gia Hai bạn bất kỳ đều phải đấu với nhau
một trận và người nào cũng phải gặp đủ 7 đấu thủ của mình Chứng minh rằng trongmọi thời điểm của cuộc đấu, bao giờ cũng có hai đấu thủ đã đấu một số trận như nhau
VD2: Chứng minh rằng trong 2001 người bất kỳ, luôn có ít nhất hai người có số người
quen bằng nhau (số người quen chỉ tính trong nhóm)
VD3: Trong phòng có 100 người mỗi người quen ít nhất 66 người khác Hỏi có phải
mọi trường hợp luôn tồn tại 4 người đôi một quen nhau hay không?
HD:
Không phải lúc nào cũng tồn tại
Xét 100 người được chia thành 3 nhóm A, B, C mỗi nhóm A, B có 33 người,nhóm C có 34 người sao cho: mỗi người trong mỗi nhóm chỉ quen những người trongcác nhóm khác Theo nguyên tắc Dirichlet thì với 4 người bất kỳ luôn có hai ngườithuộc cùng một nhóm Hai người này không quen nhau
*/ Bài tập tương tự:
Bài 1:Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham dự Giả sử mỗi người đều
quen biết với ít nhất 67 người Chứng minh rằng có thể tìm được một nhóm 4 người màbất kỳ 2 người trong nhóm đó đều quen biết nhau