S6 CHUYÊN đề 2 CHỦ đề 2 SO SÁNH lũy THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP

CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊNPHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP PHẦN I.. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc so sánh: + Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành các lũy thừa hoặc cùng cơ

ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP

PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Quy tắc so sánh:

+ Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành các lũy thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn

 1

a a a  m n

Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (nhỏ hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ nhỏ hơn

 1

a a a  m n

Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn

 0

a b n  a b

Khi cơ số bằng 1, thì hai lũy thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên

+ Để so sánh 2 lũy thừa A và B, ta tìm một lũy thừa M sao cho A M B hoặc A M B

Trong đó A và M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được

+ Để so sánh hai lũy thừa A và B , ta tìm hai lũy thừa X và Y sao cho: A X Y  B

Hoặc A X Y B

Trong đó các lũy thừa A và X ; X và Y ; Y và B có thể so sánh trực tiếp được.

PHẦN II CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Biến đổi về cùng cơ số hoặc số mũ

Bài 1: Hãy so sánh:

a 1619 và 825

b 2711 và 818

Lời giải:

a) Phân tích: Ta nhận thấy, ở câu a) thì 16 và 8 là các cơ số liên quan tới lũy thừa cơ số 2, ở câu b) thì 27

và 81 liên quan tới lũy thừa cơ số 3 Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các các lũy thừa có cùng

cơ số, rồi dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với nhau

b) Lời giải:

a) Ta có 1619 (2 )4 19 2 ;876 25 (2 )3 25 275

Vì 276 275 1619 825

b) Ta có

 

 

8

11









Bài 2: Hãy so sánh:

a 1287 và 4 24

b 536 và 1124

c 3260 và 8150

d 3500 và 7300

Lời giải:

a) Ta có :

a) Ta có :

7 7 7 49

128 (2 ) 2

24 2 24 48

4 (2 ) 2

Vì 249 248

Nên 1287 424

b) Ta có:

36 24

5 125

5 11

11 121





c) Ta có :

60 300 100

50 200 100





d) Ta có:

500 100

500 300





Bài 3: Hãy so sánh:

a) 1619 và 825

b) 6255 và 1257

Lời giải:

a) Ta có:1619 (2 )4 19 2 ;876 25 (2 )3 25275

Vì 276 275 1619 825

b) Ta có: 6255(5 )4 55 ;125 (5 )20  3 7521

Vì 520521 62551257

Bài 4: Hãy so sánh:

a) 3210 và 2350

b) 231 và 321

c) 430 và 3 24. 10.

Lời giải:

a) Ta có:

210 70

350 70

210 350





b) Ta có:

21 31

c) Ta có:

30 30 30 3 10 2 15 10 15 10 15

4 2 2 (2 ) (2 ) 8 4 8 3

3.24 3.(3.8) 8 3

Mà 8 310 15 8 310 11 nên 8 410 15 8 310 11 hay 430 3.2410

Bài 5: Chứng minh rằng 527263528

Lời giải:

Ta có:













Từ (1) và (2)  527263528

Bài 6: Hãy so sánh:

a) 32n và 2 3nn N *

b) 5300 và 3500

Lời giải:

a) Phân tích: Ta nhận thấy, ở câu a) thì các lũy thừa có chung số mũa n, ở câu c) thì các lũy thừa có chung số mũ 100 Do đó để soa sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số hoặc số mũ, rồi dựa vào so sánh cơ số để so sánh chúng với nhau

b) Lời giải:

a) Ta có:

 

 

n

n

mà 9 8

2 3

Vậy 32n 23n

b) Ta có:

 

 

100

100

300 500

Bài 7: Hãy so sánh:

a) 32n n 2 và  

2 1

9n

b) 256n và 16n5 (với n N )

Lời giải:

a) Ta có:

2

2 2

2

2

2 ( 2) ( 2) 2

( 1) ( 2)

( 1) 2 ( 2)

n N



b) Ta có 256n 162n, suy ra bài toán trở thành so sánh 2n và n 5

+) Nếu 2n n  5 n 5 256n 162n

+) Nếu 2n n  5 n 5 256n 162n

+) Nếu 2n n  5 n 5 256n 162n

Bài 8: Hãy so sánh 3.275 và 2435.

Lời giải:

Ta có:

 

 

5

5

3.27 3 3 3.3 3

Vì 316 325  3.275 2435

Dạng 2: Đưa về một tích trong đó có thừa số giống nhau

Bài 1: Hãy so sánh 202303 và 303202

Lời giải:

Ta có: 202303 (2.101)303 2 101303 303 2 101303 3.1018 101101 3.1018 101 101101 101 2.101

202 2.101 2.101 2.101 101 2.101

303 202

Bài 2: Hãy so sánh 21 và 15 27 495. 8.

Lời giải:

Ta có:

15 15 15

5 8 15 16

21 3 7

27 49 3 7





Mà 715  716

Vậy 2115  27 495 8

Bài 3: Hãy so sánh 20152015 20152014 và 20152016 20152015

Lời giải:

Ta có:

Mà 20152015 20152014

2016 2015 2015 2014

Bài 4: Hãy so sánh 201510 20159 và 201610

Lời giải:

Ta có:



Mà 2015 2016

Bài 5: Hãy so sánh A 7245 7244 và B 7244 7243

Lời giải:

Ta có: A 72 (72 1) 72 7144   44

72 (72 1) 72 71

Mà 44 43

A B

Bài 6: Hãy so sánh 3775 và 7150.

Lời giải:

Ta có: 7150 72508.9502 3150 100 1

 75  

Mà 2 3150 1502 3150 100 3

Từ (1)(2)(3) suy ra 3775 7150

Bài 7: Hãy so sánh:

a) 523 và 6 5. 22

b) 7 2. 13 và 216

c) 1512 và 81 1253. 5.

Lời giải:

a) Phân tích: Ta nhận thấy trong các số lũy thừa cần so sánh thì số mũ của chúng đề không có ước chung, hoặc cơ số của chúng không thể biểu diễn dưới dạng chung một cơ số Do đó việc đưa các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số (hoặc số mũ) để so sánh có vẻ không khả quan Tuy nhiên các cơ số trong các lũy thừa đều có ước chung, nên việc tách các lũy thừa thành tích, để xuất hiện thừa số chung rồi so sánh thừa

số riêng có vẻ khả quan Để làm được điều này ta cần dùng phương pháp sau: Biến đổi a n về dạng c.d , k biến đổi b m về dạng e.d k rồi so sánh hai số e và c Từ đó so sánh được hai số a n và b m

b) Lời giải:

a) Ta có: 523  5.522  6.522

22 23

6.5 5

b) Ta có: 7.213  8.213  2 23 13  216

2 7.2

c) Ta có: 81 1253 3      34 3 53 5  15 512 3

mà 15 512 3  1512

81 125 15

c) Nhận xét: Việc phân tích lũy thừa thành tích các lũy thừa sẽ giúp nhìn ra thừa số chung của các lũy thừa, từ đó việc so sánh hai lũy thừa chỉ còn dựa vào việc so sánh các thừa số riêng

Bài 8: Hãy so sánh 9920 và 999910

Lời giải:

Ta có:

10 10

.



Vì 99 99. 1099 101. 10

Nên 992 999910

Bài 9: Hãy so sánh:

a) 85 và 3 4. 7

b) 1010 và 48 50. 5

Lời giải:

a) Ta có: 85 2152 2. 14

3 4. 7 3 2. 14

Vì 2 3

Nên 2 2. 14 3 2. 14

Vậy 85 3 4. 7

b) Ta có: 1010 2 510. 10 2 2 5 .9 10

48 50.  3 2 . 2 5. 3 2 5 .

Vì 2 3

Nên 2 2 5 .9 10 3 2 5 .9 10

10 48 50.

Bài 10: Hãy so sánh 4 và 30 3 24. 10

Lời giải:

Ta có: 430  22 30 2 2. 30 2 230. 30    23 10. 22 15 8 410. 15

 10

24 3.  8 3 .3 8 3 3 8 3 .  .

Vì

11 15 10 11 10 15 30 10

3 4  8 3. 8 4.  4 3 24.

Bài 11: Hãy so sánh 19901019909 và 199110

Lời giải:

Ta có: 19901019909 1990 1990 19   1991 1990. 9

1991 1991 1991.

Vì

1990 1991  1990 1990 1991

Bài 12: Hãy so sánh 7812 7811 và 7811 7810

Lời giải:

Ta có: 7812 7811781178 1  78 7711.

 

78  78 78 78 1 78 77.

Vì

78 78  78 77 78 77.  .  78  78 78  78

Dạng 3: So sánh thông qua một lũy thừa trung gian

I Phương pháp giải: Để so sánh 2 lũy thừa A và B , ta tìm một lũy thừa M sao cho A M B hoặc

A M B

Trong đó A và M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được

II Bài toán

Bài 1: Hãy so sánh 230330430 và 3 24. 10

Lời giải:

Ta có: 430  22 302 2. 30 2 230. 30    23 10. 22 158 310. 158 3 310 .10 8 3. 10.3 24 3 10.

Vậy 230+330+430>3 2410

Bài 2: Hãy so sánh:

a) 2 và 225 3151

b) 19920 và 200315

c) 2 và 91 536.

Lời giải:

a) Ta có

225 3 75 75 75 2 75 150 151

          

225 151

b) Ta có:

199 200 (8.25) (2 5 )20 (2 5 ) 2 5 ;

2003 2000 (16.125) (2 5 ) (2 5 ) 2 5

c) Ta có:

91 90 5 18 18 18 36

      

      

91 36

Bài 3: Hãy so sánh:

b) 96142 và 100 23. 93

Lời giải:

a) Ta có 9920 [(99) ]2 10 980110(22 )3 10 2230

30 30 30 30 10 30

22 (2.11) 2 11 8 11

mà 8 1110 309 1110 30

Nên 99209 1110. 30

b) Ta có:

TÀI LI U NHÓM :CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang

42 42 126 124

100.10 100.(10 ) 100.(23 ) 100.23

961 100.23

Bài 4: Hãy so sánh:

a) 10750 và 7375

b) 3339 và 11 21

Lời giải:

a) Ta có

75 75 75 225 150

75 50

107 108 (4.27) 2 3

73 107

b) Ta có:

39 40 4 10 10

21 20 2 10 10

21 39

11 11 (11 ) 121

Bài 5: Chứng tỏ rằng: 527263 528

Lời giải:

Gợi ý: Hãy chứng tỏ 527263 và 263528

Ta có: 263  27 9 1289

 

 

9

63 27

Lại có: 263  27 9 1289

 

 

7

63 28

Từ (1)(2)  527 263 528

Bài 6: Hãy so sánh 3775 và 7150.

Lời giải:

a) Phân tích: Biến đổi a n về dạng k

cd , biến đổi b m về dạng e.d k rồi so sánh hai số e vàc Từ đó so

sánh được hai số a n và b m

b) Lời giải:

Ta có: 7150 72508 9. 50 2150.3100 1

 75  

37 36  4 9. 2 .3 2

Mà 2150.3150 2150.3100 3

Từ (1)(2)(3)  37757150

Bài 7: Hãy so sánh:

a) 5020 và 255010

b) 99910 và 9999995

Lời giải:

a) Ta có 5020 50210 250010 255010  5020 255010

b) Ta có 99910 9992599800159999995 99910 9999995

Bài 8:Hãy so sánh A 123456789 và B 567891234

Lời giải:

Ta có

56789 50000 150000

1234 2000 10000

A

B

Vì 1010000 10150000  567891234123456789

Bài 9: Hãy so sánh 111979 và 371320

Lời giải:

Ta có

TÀI LI U NHÓM :CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang

1979 3 660 660

11 (11 ) 1331

1320 2 660 660

37 (37 ) 1369

vì 13316601369660

Nên111979 371320

Dạng 4: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian

I Phương pháp giải: Để so sánh hai lũy thừa A và B , ta tìm hai lũy thừa X và Y sao cho:

A X Y B  

Hoặc A X Y B

Trong đó các lũy thừa A và X ; X và Y ; Y và B có thể so sánh trực tiếp được.

II Bài toán

Bài 1: Hãy so sánh

a) 1720 và 3115

b) 19920 và 10024

c) 3111 và 1714.

Lời giải:

a) Ta có:

 20 20 80 75 5 15 15  15

       

      

b) Ta có:

199 200 2 100 32.100 (1)

100 100.100 (2)



Từ (1) và (2)

5 4 6 4

20 24

199 100 (199 ) (100 )

199 100

c) Ta có:

11 11 55

14 4 4 14 56

11 14

31 17

Bài 2: Hãy so sánh

a) 111979 và 371321 b) 10750 và 5175 c) 3201 và 6119.

Lời giải:

a) Ta có:

1979 1980 3 660 660

1979 1321

1331 1369

b) Ta có: 10750  15050  (3.50)50  9 5025 50  50 5025 50  5075  5175

c) Ta có: 3201 3200  (3 )5 40  243 ;640 119  6120  (6 )3 40  21640  3201  6119

Bài 3:Chứng minh rằng 21995 5863

Lời giải:

a) Phân tích: Xét a n biến đổi được về dạng c d q k và b m biến đổi được về dạng e g p h

Nếu c q e p và d k g h thì c d q k e g p. h

b)Lời giải:

Ta có: 21995 2 2 ;51990 5 8635 5860 3

Nhận xét: 25 32 5 3 125 nên cần so sánh 21990 và 5860

Ta có: 210 1024;55 3025 2 3 510  5 2 31720 172 5860

Lại có 219902 2 ,1720 270 cần so sánh 2 21720 270 với số 2 31720 172 như sau:

3 2187;2 2048 3 2 ; 3172 37 24.34  2 211 4  2 211 6 2270

Do đó 2 21720 270 2 31720 172 5860 21990 5860

Mà 25 53  219955863

Bài 4:Chứng minh rằng 21999 7714

Lời giải:

Ta có:

TÀI LI U NHÓM :CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang

   

Mà:

238 3 235 3 5 3 8 5 376 381 238 381

2380 238 714





PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG

Bài 1 Không tính kết quả của biểu thức, hãy so sánh (Trích đề thi HSG Hoa Lư)

a) A 2019.2021 và B 20202

b)

2021

2022

 và

2022 2023

 .

Lời giải:

a) A 2019.2021 2019.(2020 1) 2019.2020 2019   

2

2020 2020.2020 2020.(2019 1) 2020.2019 2020

Vì 2019 2020

Nên A B

9

M  



2023

9

N  



Vì 2022 2023

10 1 10 1

Vậy M N

Bài 2: Chứng minh rằng 2 3 4 2021 2022

(Trích đề thi HSG thị xã Hoài Nhơn)

Lời giải:

2 3 2020 2021

B

B

2 3 2020 2021

B B B

A       

A        

2021

1

3 3

(2)

4

A A A

A

 

Từ (1) và (2)

3 4

4

B A

3

16

B

Bài 3: Cho 2 3 101

M     

Chứng tỏ M < 1

Lời giải:

M      

101

1

2

M  M M  

1 1

2

M  

<1 M 1

TÀI LI U NHÓM :CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang

Bài 4

: So sánh : A =

30

31



 với B =

31

32





Lời giải:

Ta có

31

A    

  (1)

32

B    

  (2)

Từ (1)và (2)suy ra 29A29B

Nên A B

Bài 5: Chứng minh rằng 2 2 2 2 2

S       

(Trích đề thi HSG Quảng Trạch)

Lời giải:

Ta có

2

2

2

50 49.50 49 50

S               

S        

Mà

1

50

Vậy 2 2 2 2 2

S       

A     

 Chứng minh 50A100

Lời giải:

A                

Có 99nhóm trong tổng của A

                

A     1 1 1 1 1 100 

A                  

Có 99nhóm trong tổng của A

100 100 100 100 100

A                  

100

so hang

A            

        

Bài 7: Chứng minh rằng:

2 4 8 16 32 64 3      .

Lời giải:

Hướng dẫn : Đưa về dạng tổng S   1 a a2a3 a n để tính tổng rồi so sánh.

TÀI LI U NHÓM :CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang

2 3 4 5

A

6

1

3

Bài 8: Cho B =

98 98



Chứng minh B < 100.

Lời giải:

B      

B

1 3( 98) ( 98) 1

98

TÀI LI U NHÓM :CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang