S6 CHUYÊN đề 6 CHỦ đề 1 số CHÍNH PHƯƠNG

ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên.. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với mũ chẵn, không chứa TSNT với mũ

ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 6 – SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG

PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I ĐỊNH NGHĨA:

Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên

Ví dụ : 4 và 6 là hai số chính phương vì 4 2 ; 2 16 4 2

II CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG:

1 Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4;5;6;9 , không thể có chữ số tận cùng là 2;3;7;8

 Để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2;3;7;8

2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với mũ chẵn, không chứa TSNT với mũ lẻ

Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:

a) Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4

b) Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9

c) Số chính phương chia hết cho 5 phải chia hết cho 25

d) Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16

e) Tích của các số chính phương là một số chính phương

f) Với Alà số chính phương và A a b , nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương

 Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ lẻ

3 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3 n  (1 a 2 0(mod 3), a 2 1(mod 3)), không có SCP nào có dạng 3n  2 n  

4 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4 n  (1 a 2 0(mod 4), a 2 1(mod 4))

không có SCP nào có dang 4n  hoặc 4 32 n  n  

5 Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là

số chính phương

6 Nếu A số một số chính phương, Achia hết cho p và p là một số nguyên tố thì Achia hết cho p 2

7 Nếu a chia hết cho 2 p và p là một số nguyên tố thì a chia hết cho p

8 Hai số chính phương a và 2 a 12 được gọi là hai số chính phương liên tiếp Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào

Nghĩa là: nếu n2 An12

thì A không là số chính phương.

9 Nếu tích a b là một số chính phương và ( , ) 1 a b  thì hai số a và b đều là các số chính phương

10 Số chính phương biểu diễn được thành tổng các số lẻ : 1 3 2 ;  2 1 3 5 3 ;   2 1 3 5 7 4     2 Chứng minh:

Giả sử: A   1 3 5 2k1 với k  

Ta cĩ từ 1 đến 2k  cĩ 1

(2 1) 1

1 2

k  



= k  số hạng1

2 1 1  1

2

k  k

(đpcm)

PHẦN II CÁC DẠNG BÀI

Bài 1: Cho các số

11; 101; 1001; 10001; 100 01

n

Hãy tìm các số chính phương n 2

Lời giải:

Ta cĩ: 112 121

2

2

2



2

k chữ số 0 k chữ số 0 k chữ số 0

100 01 100 0 2 00 01

Bài 2: Các biểu thức số sau cĩ phải số chính phương hay khơng?

a) A  3 3233 3 20

b) B  11 112113

c) C 10108

d) D 100! 7

e) E 10105

f) F 101001050 1

g) G 2004000

h) H 20012001

Lời giải

a) Ta cĩ: 3 9n với mọi n  nên 2 3233 3 20 9

Suy ra A  3 3233 3 20 chia cho 9 dư 3

Vì A chia hết cho 3 nhưng khơng chia hết cho 9 nên A khơng phải là số chính phương.

b) Ta có: B  11 112113

2

11(1 11 11 )

B    11.133

B 

3

B 

 B có chữ số tận cùng là 3 nên B không phải là số chính phương.

c) Ta có 10108 có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương

d) Ta có 100! 7 có chữ số tận cùng là 7 nên không phải là số chính phương

e) Ta có 10105 có cặp chữ số tận cùng là 05 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không phải là số chính phương

f) Ta có 101001050 có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên1 không phải là số chính phương

g) Ta có số 2004000 có tận cùng là 3 chữ số 0

 G không tận cùng là chẵn lần chữ số 0

 G không là số chính phương.

h) Ta có: H 200120012001 20012000 200110002.2001

2001

là số chính phương, ta xét số 2001:

Vì 2001 có tổng các chữ số là 3 nên số 2001 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9

 số 2001 không là số chính phương

Vậy H không là số chính phương

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) Một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.

b) Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.

c) Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4

d) Một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ có số dư là 1

Lời giải:

a) Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 3 :

+ Nếu n3k  n2 9k2 3

3 3

+ Nếu n3k 2

3



    

n

 chia 3 dư 1

Vậy một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1

b) Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 2:

+ Nếu n2k n2 4k24 n chia 4 dư 0

+ Nếu n2k1

4



  

n

 chia 4 dư 1

Vậy một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4

c) Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 5 :

+ Nếu n5k n2 25k25 n chia 5 dư 0

+ Nếu n5k1 n2 25k210k 1

2 5

25k 10k1



    

n

 chia 5 dư 1

+ Nếu n5k 2

5



    

n

 chia 5 dư 4 d) Ta có: n2k 1 n2 (2k1)2 4k24k 1 4 (k k1) 1

Vì (k k  là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên ( 1)1) k k  chia hết cho 2.

 4 (k k  chia hết cho 8 1)

 4 (k k   chia 8 dư 1) 1 1.

Vậy một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ có số dư là 1.

Bài 4: a) Cho A  22 2324  2 20 Chứng minh rằng A 4 không là số chính phương.

b) Cho B  3 3233 3 100 Chứng minh rằng 2B  không là số chính phương.3

Lời giải:

a) Ta có:A  22 2324 2 20 (1)

 2.A  23 2425 2 21 (2)

Lấy (2) trừ (1) ta được: 2.A A 221 22

 A 221 4

 A  4 221 4 4 2  21

 A  4 2 220  210 2.2

Mà trong tích  210 2.2

ta có số 2không là số chính phương

 A 4 không là số chính phương

b) Ta có: B  3 3233 3 100 (3)

 3.B  32 333 34  101 (4)

Lấy (4) trừ (3) ta được: 3.B B 3101 3

 2B 3101 3

 2B  3 3101 3 3

 2B  3 3101

2B  3 3 3 3 3

Ta có  350 2.3

không là số chính phương do 3 không là số chính phương

Vậy 2B  không là số chính phương.3

thừa số nguyên tố với số mũ lẻ )

Bài 5: Cho hai số chính phương có tổng là một số chia hết cho 3 Chứng minh rằng cả hai số chính

phương đó đều chia hết cho 9

Lời giải

Gọi hai số chính phương là: a b Theo đầu bài ta có: 2, 2 a2b2 3

Ta xét các trường hợp:

+ Giả sử a 2 3, b 32  a2b2chia 3 dư 2 (theo tính chất 3 )

 mâu thuẫn giả thiết a2b23

+ Giả sử hoặc a hoặc 2 2

b không chia hết cho 3, số còn lại chia hết cho 3  a2 b2 3 (mâu

thuẫn giả thiết)

2

2

3 3

b b







2

2

9

9

a

b



 





 (đpcm)

Bài 6: Cho A là số chính phương gồm bốn chữ số, nếu ta thêm vào mỗi chữ số của số A một đơn vị thì

ta được số chính phương B Tìm A và B.

Lời giải

Đặt A a B b a b 2;  2(  ;32  a b 100)

Vì thêm vào mỗi chữ số của số A một đơn vị thì ta được số B nên dễ thấy: B A 1111

Mà: 1111 1.1111 11.101  và 1 b a b a  200

2 2

1111 b a (b a b a)( )

11

101

b a

b a



 

 



45

56

a

b





 





2

2

2025

3136

A a

B b



 



Vậy hai số cần tìm là 2025;3136

Bài 7: Tìm số nguyên tố ab a b(  0), sao cho ab ba là số chính phương

Lời giải

Ta có: ab ba 10a b  (10b a ) 9 a 9b9(a b ) là số chính phương;

Mà ab ba là số chính phương

a b

1

4

a b

a b





+) Với a b  1  ab21,32, 43,54,65,76,87,98

+) Với a b  4 ab51,62,73,84,95

Vậy các số nguyên tố ab thỏa yêu cầu đề bài là: ab 43;73

Bài 8: Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống

nhau

Lời giải

Gọi số chính phương cần tìm là : aabb n 2 ( ,a b,1 a 9,0 b 9)

Ta có : aabb 1000 a100a10b b

2 1100 11

Lại có : aabb 11  100a b 11

(99a a b) 11

    mà 99a 11

11

a b

Mà : 1 a 9,0  1b 9    a b 18  a b 11

Thay a b  vào (1) , ta được : 11 n2 11(99a11) 11(9.11 a11) 11 (9 12 a1)

  phải là số chính phương (do 11 là số chính phương)12

Ta có bảng sau:

Ta có : 7744 11 8 2 2 882

Vậy số cần tìm là : 7744

Cách 2:

Gọi số chính phương cần tìm là : aabb n 2 ( ,a b N ,1 a 9,0 b 9)

Ta có: n 2 aabb 1000a100a10b b 1100a11b 11(100a b )=11 0a b

Do đó: a b0 11k2 (k  )

Ta có: 100 11 k2909

2

Ta có bảng:

Mà a b0 11k2  a b0 704

 chọn k 8

aabb 11.11 11.11.8 88 7744

Bài 9: Tìm số tự nhiên n để 282112n là số chính phương

Lời giải

Đặt 282112n a a2( 0,a N )  4822n a2 2n (a 48)(a48)

+) Với n  (0  a 48) (a48) 1  vô lí

+) Với n 0

48 2

48 2

x y

a

x y n x y a







 2 (2y   x y1) 2 3 5

leû

y

x y



 





7

12 5

x

n

y









Bài 10: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số A 1.2.3 1112.

Hỏi: số A có thể có 81 ước được không?

Lời giải

Giả sử A có 81 ước.

Vì số lượng các ước của A là 81 (là số lẻ) nên A là số chính phương (1)

Mặt khác, tổng của các chữ số của A là 1 2 3 12 51    

Vì 51 3 nên A chia hết cho 3 nhưng A không chia hết cho 9 , do đó A không là số chính phương mâu

thuẫn với (1)

Vậy A không thể có 81 ước

Bài 11: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 45 thì ta được một số chính phương

Lời giải

Gọi số phải tìm là n n, 10n99

Ta có: 45.n a 2 a   hay  3 5.n a2  2

Vì số chính phương chỉ có các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên n5.k2 k  *

+) Với k 1 n5.12  (không thỏa mãn)5

+) Với k 2 n5.22 20

+) Với k 3 n5.32 45

+) Với k 4 n5.42 80

+) Với k 5 n5.52125 (loại vì n có nhiều hơn hai chữ số)

Vậy số cần tìm là 20; 45;80

Bài 12: Chứng minh rằng: một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số 2 thì không phải số chính phương.

Lời giải

Gọi A là số tự nhiên được ghi bởi n chữ số 2 (n  )2

Ta có: A 222 222222 200 22  A4

 A là số tự nhiên chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4

 A không là số chính phương.

Bài 13: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2008 thì có thể là số chính phương được không? Vì sao?

Lời giải

Gọi n là số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2008 ( n  )

Ta có: 2018 672.3 2 

Vì tổng các chữ số của n chia 3 dư 2 nên số n khi chia cho 3 cũng có số dư là 2

 n có dạng n3k2 (k  )

Mà một số chính phương không có dạng 3k 2 nên số tự nhiên n không là số chính phương

Vậy một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2008 thì không là số chính phương

Bài 14: Cho A   1 2 2223 2 33 Hỏi A có là số chính phương không? Vì sao?

Lời giải

Ta có:

29

3 2.30 2 30

A    

A     

A      

 A có chữ số tận cùng là 3

 A không là số chính phương.

PHẦN III CÁC BÀI TRONG ĐỀ THI

Bài 1: Chứng minh rằng A 20124n 20134n20144n20154n không phải là số chính phương với mọi số

nguyên dương n

(Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 – 2016)

Lời giải

Ta có

4

4

n

n

n

n

 

 

2013 n  2013 n 1 1

chia cho 4 dư 1

chia cho 4 dư 1

Do đó A 20124n20134n20144n20154n chia cho 4 dư 2

Ta có A nhưng 2 A không chia hết cho 2 , mà 2 2là số nguyên tố nên A không là số chính phương.

Vậy A không là số chính phương

Bài 2: Chứng minh rằng n51999n2017n  không phải là số chính phương.

(Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi 2017 - 2018)

Lời giải

Ta có

5 1999 2017

A n n  n n n  n n n  n 

Ta thấy

( 1)( 1)( 2)( 2) 5

n n n n n 

5 (n n1)(n2) 5

2000.n 5

2015 5

Nên Achia 5 dư 2, mà không có số chính phương nào chia 5 dư 2

Vậy n51999n2017n  không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.

(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nguyễn Huy Tưởng năm học 2004-2005)

Lời giải

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là ,a a1,a2,a3(a *)

Ta xét S a (a1) ( a2) ( a3) 4 a 6

Vì 4 2a và 6 2 nên S 2

Mặt khác 4 4a và 6 không chia hết cho 4 nên S không chia hết cho 4.

Vậy S chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên S không là số chính phương.

Bài 4: Cho B1.2.3 2.3.4 3.4.5    n n( 1)(n 2) với n   Chứng minh rằng * B không là số

chính phương

(Trích đề thi HSG Bắc Ninh 2018-2019)

Lời giải

Ta có

      4 3 2

Ta có: n4 6n311n26n n 46n311n26n 1 n23n12

n  n  n  n n  n  n  n  n

Suy ra n23n2 n46n311n26nn23n12

Vậy B không là số chính phương.

Bài 5: Chứng tỏ tổng sau không là số chính phương S abc bca cab   không là số chính phương

(Trích đề thi Olympic lớp 6 THCS Cầu Giấy năm học 2011-2012)

Lời giải

Ta có: S abc bca cab   111a111b111c

111(a b c) 3.37.(a b c)

Để S là số chính phương thì a b c  3.37 (k k2  )

Điều này vô lí vì a b c  27 37

Vậy S không là số chính phương.

TÀI LI U NHÓM :CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang

Bài 6: Cho M  5 5253 5 80

a) Chứng minh M chia hết cho 6

b) Chứng minh M không là số chính phương

(Trích đề thi HSG lớp 6 Đa Phúc 2010-2011)

Lời giải

a) Ta có: M  5 5253 5 80

6

M

M

M

M

M

b) Ta có:

2

3

80

5 5

5 5

5 5

5 5

M









 Mặt khác:

5 không chia hết cho 25

2

3

80

5 25

5 25

5 25







M

Ta có M  nhưng 5 M không chia hết cho 5 nên 2 M không là số chính phương.

Bài 7: Cho E 125 1 6 6   2 6 2021

Chứng minh E 25 là một số chính phương.

(Trích đề thi Olympic lớp 6 Nghĩa Đô 2010-2011)

Lời giải

Ta có:

1 0

0 1 2

1

n

a





 Nên

2022

2 2021

2022

2022 2022 2 1011 1011

5

5

E





NênE 25 là số chính phương.

Bài 8: Cho A 1020121020111020101020098

a) Chứng minh A chia hết cho 24.

b) Chứng minh A không là số chính phương

(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Anh Sơn 2011-2012)

Lời giải

a) Ta có:

2012 2011 2010 2009

3 2009 2008 2007 2006

2009 2008 2007 2006

2009 2008 2007 2006

8

A

A

A

A

Ta lại có 102012,102011,102010,102009 có tổng các chữ số bằng 1 nên khi chia102012,102011,102010,102009 cho 3 đều dư 1

Ta có 8 chia 3 dư 2

Vậy Achia 3 có số dư là dư của phép chia (1 1 1 1 2)   

Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)

3

A

Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố nguyên cùng nhau, A , 83 A nên 24 A

b) Ta có 102012,102011,102010,102009 có chữ số tận cùng là 0 nên:

TÀI LI U NHÓM :CÁC D ÁN GIÁO D C ỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Ự ÁN GIÁO DỤC ỤC Trang

2012 2011 2010 2009

Vậy A không là số chính phương vì số chính phương có tận cùng là 1; 4; 5; 6; 9

Bài 9: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số: 3; 6; 6; 8

(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2011-2012)

Lời giải

Gọi số chính phương phải tìm là n2

- Vì số chính phương không có chữ số tận cùng là 3; 8 do đó phải có tận cùng là 6

- Số có tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương

 n có tận cùng là 36.2

Vậy số chính phương đó là 8836 (với 8836 94 2)

Bài 10: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta được một số chính phương?

(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2013-2014)

Lời giải

Gọi số phải tìm là n ( n, 10 n 99)

Ta có: 135.n a 2 (a   hay )  3 5.n a3  2

Vì số chính phương chỉ có các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên  n3.5.k2 (k  )

+) Với k 1 n3.5.12 15

+) Với k 2 n3.5.22 60

+) Với k 3 n3.5.32 135 (loại vì n có nhiều hơn hai chữ số)

Vậy số cần tìm là 15; 60

Bài 11: Cho tổng S     1 3 5 2009 2011 Chứng tỏ S là một số chính phương.

(Trích đề HSG toán 6 THCS Hồng Hà năm 2013 – 2014)

Lời giải

Ta có: S     1 3 5 2009 2011

2

2011 1 2011 1 2011 1 2011 1

Vậy S là một số chính phương.

Bài 12: Cho tổng M    1 3 5 (2 n1) (với n,n0)