ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỚI ĐA BIẾN TỰ DO VÀ ĐA ẨN HÀM. TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN PHƯƠNG TRÌNH HÀM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHOA TOÁN Học viên : Nguyễn Hạ Thi Giang Lớp : Cao Học Toán K25 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỚI ĐA BIẾN TỰ DO VÀ ĐA ẨN HÀM TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN PHƯƠNG TRÌN

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

Học viên : Nguyễn Hạ Thi Giang Lớp : Cao Học Toán K25

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỚI ĐA BIẾN TỰ DO VÀ ĐA ẨN HÀM

TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp

Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Đà Nẵng - 2012

"Lý thuyết các Phương Trình Hàm" là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Giải Tích Toán Học Đây là một phân môn

trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở các kỳ thi cấp thành phố,quốc gia và quốc tế Đồng thời cũng là một học phần quan trọng của các lớp

"Cao học ngành phương pháp Toán sơ cấp"

Phương trình hàm bao gồm nhiều vấn đề rộng lớn như : Xác định các đặctrưng cơ bản của hàm số, ước lượng số nghiệm, xác định dạng nghiệm của

1 phương trình hàm, Tuy nhiên, cho đến nay tài liệu về "Phương Trình Hàm" bằng tiếng Việt vẫn còn thiếu, chỉ có một số ít sách của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu cùng các cộng sự biên soạn.

Về mặt phương pháp giải, Phương trình hàm rất đa dạng và phong phú

về thuật toán, kỹ thuật biến đổi mà nếu không được hướng dẫn kỹ càng, họcviên rất dễ mắc sai lầm cũng như lạc hướng trên con đường tìm ra kết quả củabài toán Được sự dạy bảo, hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Văn Mậu,

em đã cố gắng đúc kết cũng như tham khảo thêm những tài liệu khác để viếtnên "Tiểu luận" này

Tiểu luận gồm có 4 phần chính :

1 Chương 1 : Các phương pháp chuyển đổi cơ bản bao gồm : các bài

toán tổng quát đơn giản chuyển đổi các phép tính số học và các phươngpháp được học viên chuyển thành thuật toán để giải quyết những bàitoán liên quan, tương tự

2 Chương 2 : Ứng dụng : Các hàm số chuyển đổi với 3 biến tự do, n biến

tự do Rút ra các dạng nghiệm tổng quát

3 Chương 3 : Ứng dụng : Các hàm số chuyển đổi với 2 ẩn hàm.

4 Chương 4 : Ứng dụng : Các hàm số chuyển đổi với 3 ẩn hàm, n ẩn

hàm Các bộ nghiệm tổng quát

Dù vẫn còn nhiều hạn chế nhất định vì nhiều lý do nhưng em hi vọng Tiểuluận này sẽ mang đến những kết quả khả quan hơn để có thể phát triển thànhluận án thạc sĩ trong tương lai

Xin chân thành cảm ơn thầy đã có những buổi dạy nhiệt tình để em cóđược những kiến thức nhất định về môn học khá mới mẻ này !

Học viên K25Nguyễn Hạ Thi Giang

Chương 1

Những hàm số chuyển đổi các phép tính số học với 2 biến tự do

Trong mục này, chúng ta sẽ kiểm tra các hàm chuyển đổi các phép tính từ(+) sang (+), (+) sang (.), (.) sang (+) và (.) sang (.) với từng điều kiện cụthể của bài toán yêu cầu về sự liên tục, đồng biến, khả vi

1.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+)

1 Bài Toán.

Bài toán 1 : (Phương trình hàm Cauchy)

Xác định các hàm f(x) liên tục trênR thỏa mãn điều kiện :

Vậy theo nguyên lý quy nạp : f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R, n ∈ N

* Với m là số nguyên âm, ta có :

k →∞ x k = x

* Bước 3 : Sử dụng tính liên tục của f (x), ta được : f (x) = ax

1.2 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (.)

ii) Nếu f (x) < 0 thì logarithm −f(x) 2 vế.

* Đưa về phương trình hàm Cauchy

1.3 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (+)

g(u + v) = g(u) + g(v) ∀u, v ∈ R.

Đây là phương trình hàm Cauchy, nên theo Bài toán 1 :

g(u) = au, ∀u ∈ R, a tùy ý

Vậy :

f (x) = a ln x, ∀x ∈ R+, a tùy ý.

* Bước 3 : Sử dụng kết quả Bước 1 để suy ra kết quả.

1.4 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (.)

* Xét x, y ∈ R+.

Theo phương pháp Bài toán 3,

Đặt x = e u , y = e v , f (e t ) = g(t) ta có :

g(u + v) = g(u).g(v), ∀u, v ∈ R

Theo Bài toán 2 :

Chương 2

Các hàm số chuyển đổi các phép tính số học với đa biến tự do

2.1 Các hàm số chuyển đổi với 3 biến tự do

2.1.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+)

Bài toán 5 : (Phương trình hàm Cauchy)

Xác định các hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện :

Thật vậy, giả sử với k nguyên dương, ta có : f (kx) = kf (x), ∀x ∈ R

Khi đó,

f [(k + 1)x + 0] = f (kx + x + 0) = f (kx) + f (x) + f (0) = (k + 1)f (x)

Vậy theo nguyên lý quy nạp : f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R, n ∈ N

* Với m là số nguyên âm, ta có :

Chú ý rằng : Điều kiện Bài Toán này sẽ đưa đến kết quả : f (x) nhận giá trị

trên R, chứ không phải chỉ trên R+ như Bài Toán 2

- Đây là phương trình hàm Cauchy dạng 3 biến,

nên theo bài toán 1’, ta có nghiệm :

g(x) = ax ∀x ∈ R, a tùy ý

g(u + v + w) = g(u) + g(v) + g(w) ∀u, v, w ∈ R.

Đây là phương trình hàm Cauchy dạng 3 biến, nên theo Bài toán 1’ :

g(u) = au, ∀u ∈ R, a tùy ý

Vậy :

f (x) = a ln x, ∀x ∈ R+

, a tùy ý.

* Xét x = y = z = 1, ta có :

f (1) = 3.f (1) ⇔ f(1) = 0

* Xét z = 1, ta có :

f (xy) = f (x.y.1) = f (x) + f (y) + f (1) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \{0}

Đây là Bài Toán 3 dạng 2 biến tự do nên ta có :

g(u + v + w) = g(u).g(v).g(w), ∀u, v, w ∈ R

Theo Bài toán 2’ :

Vậy tất cả các nghiệm của phương trình này là :

f (xy) = f (xy.1) = f (x)f (y)f (1) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R

Theo bài toán 2 biến, ta có nghiệm :

* Nếu f (1) = −1 thì tương tự như trên f(x) ̸= 0, ∀x ∈ R, khi đó

f (xy) = f (xy.1) = f (x)f (y).f (1) = −f(x)f(y), ∀x, y ∈ R

⇔ −f(xy) = f(x)f(y) = [−f(x)].[−f(y)], ∀x, y ∈ R

2.2 Các hàm số chuyển đổi với đa biến tự do.

Bằng những công cụ trên, ta dễ dàng có được kết quả tương tự với phương

trình hàm n biến tự do.Ta xét đến 2 trường hợp n chẵn, n lẻ.

2.2.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+)

Bài toán 1n : Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện :

f (x1+ x2+ + x n ) = f (x1) + f (x2) + + f (x n) ∀x1, x2, , x n ∈ R (1)

Kết quả :

f (x) = ax ∀x ∈ R, a tùy ý

2.2.2 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (.)

Bài toán 2n : Xác định các hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện :

2.2.3 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (+)

Bài toán 3n : Xác định các hàm f(x) liên tục trên R \{0}

thỏa mãn điềukiện :

f (x1.x2 .x n ) = f (x1)+f (x2)+ .+f (x n) ∀x1, x2, , x n ∈ R\{0}

(1)

Kết quả :

f (x) = a ln |x|, ∀x ∈ R, a tùy ý

2.2.4 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (.)

Bài toán 4n : Xác định các hàm f(x) liên tục trên R \{0}

thỏa mãn điềukiện :

Đây là phương trình hàm Cauchy, theo Bài Toán 1 ta có :

h(x) = bx ∀x ∈ R, b tùy ý.

f (x) = bx + 2a g(x) = bx + a ∀x ∈ R; a, b tùy ý

Giả sử ∃x1 sao cho g(x1)̸= 0 thì

0 = f (x1.y) = g(x1).g(y), ∀y ∈ R

Vậy : g(x) ≡ 0

* Vì hàm có dấu (.) nên xét các trường hợp f (x) ≡ 0, g(x) ≡ 0

* Nếu f (x) ̸≡ 0, g(x) ̸≡ 0 thì dùng phương pháp khử biến g

* Dự đoán nghiệm có dạng a.b x , khử hệ số a đưa về dạng 1 ẩn hàm với

2 biến tự do thường gặp

3.3 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (+).

1 Bài Toán 3”:

Bài toán 11 : Xác định các hàm f(x) liên tục trên R \{0}

thỏa mãn điềukiện :

f (xy) = f (x) + f (y) − 2a, ∀x, y ∈ R \{0}

* Đặt f (x) = h(x) + 2a thì h(x) liên tục trên R+ Khi đó :

Ta cũng có thể giải theo phương pháp của bài toán 2 như sau :

* Xét x, y ∈ R+

Đặt x = e u , y = e v vf (e t ) = h(t), g(e t ) = k(t), ta được

h(u + v) = k(u) + k(v), ∀u, v ∈ R+

Theo Bài Toán 1” , ta có nghiệm :

{

h(u) = bu + 2a ⇔ f(x) = b ln x + 2a k(u) = bu + a ⇔ g(x) = b ln x + a

* Kết luận :

{

f (x) = b ln |x| + 2a g(x) = b ln |x| + a ∀x ∈ R, a, b tùy ý

* Giả sử ∃x1 sao cho : g(x1)̸= 0, khi đó :

0 = f (x1y) = g(x1)g(y) ⇔ g(y) = 0 ∀y ∈ R \{0}

Hay : g(x) ≡ 0 ∀x ∈ R \{0}

Vậy f (x) ≡ 0 ⇔ g(x) ≡ 0

* Với y = 1 thì :

f (x) = g(x).g(1) ∀x ∈ R \{0}

- Nếu g(1) = 0 thì

f (x) = g(x)g(1) = 0 ∀x ∈ R \{0}Khi đó :

f (x) ≡ 0, g(x) ≡ 0

- Đặt g(1) = a ̸= 0, ta có :

g(x) = f (x)

a ∀x ∈ R \{0}Khi đó :

Ngoài ra, ta có thể giải bằng phương pháp như Bài Toán 4 cũng cho ra

kết quả như trên

* Nếu ∃x0 sao cho g(x0) = 0 thì

f (x0.y) = g(x0).g(y) = 0, ∀y ∈ R \{0}Khi đó, nếu∃x1 sao cho g(x1)̸= 0 thì

0 = f (x1) = g(x1).g(y) ⇔ g(y) = 0∀y ∈ R \{0}Vậy :

h(u + v) = k(u).k(v), ∀u, v ∈ R

Theo Bài Toán 2" :

{

h(u) = a2.b u k(u) = a.b u ∀u ∈ R; a, b tùy ý

Vậy nghiệm là :

{

f (x) = a2.x α g(x) = a.x α ∀x ∈ R+, α tùy ý

Chương 4

Các hàm số chuyển đổi với đa

ẩn hàm

4.1 Các hàm số chuyển đổi với 3 ẩn hàm

4.1.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+).

4.1.2 chuyển đổi từ (+) sang (.).

4.1.3 chuyển đổi từ (.) sang (+).

4.1.4 chuyển đổi từ (.) sang (.).

4.2 Các hàm số chuyển đổi với n ẩn hàm

4.2.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+).

4.2.2 chuyển đổi từ (+) sang (.).

4.2.3 chuyển đổi từ (.) sang (+).

4.2.4 chuyển đổi từ (.) sang (.).

25

Vì khuôn khổ tiểu luận có hạn, thời gian thực hiện ngắn, nên tiểu luận chỉ

có thể mở rộng 1 số trường hợp tổng quát của "Các hàm số chuyển đổi phéptính số học", đưa ra kết quả chung nhất cho tất cả các phương trình hàm dạngnày

Phần chương 4 mở rộng cho các phương trình hàm đa ẩn nhưng vì giới hạncủa 1 tiểu luận nên không thể trình bày ra được Hi vọng rằng cuốn tiểu luậnnày sẽ được mở rộng để trở thành "luận án thạc sĩ" kết thúc khóa học Khi

đó, nhiều vấn đề còn tồn đọng sẽ được giải quyết 1 cách chỉnh chu nhất, đưa

ra nhiều kết quả thuận lợi nhất cho bộ môn " Phương trình hàm"

Dù đã cố gắng nhưng có lẽ vẫn không tránh được một số sai sót nhất định

Em mong thầy và các bạn sẽ có những sửa đổi, đóng góp để Tiểu luận của

em trở nên đúng đắn và chính xác hơn Xin chân thành cảm ơn thầy NguyễnVăn Mậu đã tận tình giảng dạy trong những ngày qua, các tác giả những cuốnsách phương trình hàm đã mang đến cho em nhiều kiến thức hữu ích để hoànthành tiểu luận này

Học viên K25Nguyễn Hạ Thi Giang

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu Phương Trình Hàm, NXBGD, 1997.

[2] Nguyễn Văn Mậu Lớp các phương trình hàm Cauchy, D’ Alembert và các

dạng toán liên quan, www.VNMATH.com

[3] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng,

Đặng Huy Ruận Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh

Lời giới thiệu i

1 Những hàm số chuyển đổi các phép tính số học với 2 biến tự

1.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+) 1

1.2 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (.) 3

1.3 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (+) 4

1.4 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (.) 5

2 Các hàm số chuyển đổi các phép tính số học với đa biến tự do 7 2.1 Các hàm số chuyển đổi với 3 biến tự do 7

2.1.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+) 7

2.1.2 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (.) 9

2.1.3 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (+) 11

2.1.4 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (.) 12

2.2 Các hàm số chuyển đổi với đa biến tự do 15

2.2.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+) 15

2.2.2 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (.) 15

2.2.3 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (+) 16

2.2.4 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (.) 16

3 Các hàm số chuyển đổi phép tính số học với 2 ẩn hàm 17 3.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+) 17

3.2 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (.) 18

3.3 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (+) 20

3.4 Hàm chuyển đổi từ (.) sang (.) 21

28

4.1 Các hàm số chuyển đổi với 3 ẩn hàm 25

4.1.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+) 25

4.1.2 chuyển đổi từ (+) sang (.) 25

4.1.3 chuyển đổi từ (.) sang (+) 25

4.1.4 chuyển đổi từ (.) sang (.) 25

4.2 Các hàm số chuyển đổi với n ẩn hàm 25

4.2.1 Hàm chuyển đổi từ (+) sang (+) 25

4.2.2 chuyển đổi từ (+) sang (.) 25

4.2.3 chuyển đổi từ (.) sang (+) 25

4.2.4 chuyển đổi từ (.) sang (.) 25

Lời cảm ơn 26 Tài liệu tham khảo 27