Tổng kết lý thuyết và công thức giải nhanh thể tích khối đa diện

CÁC MÔ HÌNH THƯỜNG GẶP HÌNH 1: Hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy + Đáy là tam giác ABC.. HÌNH 3: Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật hoặc hình vuông và SA vuông góc với

Trang 1

A TỔNG KẾT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC

I CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH THƯỜNG GẶP

1 Thể tích khối chóp

Gọi B là diện tích đáy; h là đường cao tương ứng

Suy ra: 1

3

V  Bh hay đơn giản: 1

3

chóp day

h: độ dài chiều cao khối chóp bằng khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy

chóp

.

1

3

*) Chóp tam giác đều:

+) cạnh đáy ,a cạnh bên

+) cạnh đáy ,a góc cạnh bên với đáy là

3

tan :

12

a

+) cạnh đáy ,a góc mặt bên với đáy là

3

tan :

24

a

+) tất cả các cạnh bằng a (tứ diện đều):

3

;

*) Chóp tứ giác đều:

+) cạnh đáy ,a cạnh bên

+) cạnh đáy ,a góc cạnh bên với đáy là

3

2 tan :

6

a

BÀI GIẢNG: TỔNG KẾT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC GIẢI

NHANH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

Trang 2

2 Truy cập trang https://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh –

Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

+) cạnh đáy ,a góc mặt bên với đáy là

3

tan :

6

a

+) tất cả các cạnh bằng a (tứ diện đều):

3

;

2 Thể tích khối lăng trụ

Gọi B là diện tích đáy; h là đường cao tương ứng

Suy ra: V Bh hay đơn giản: V S day,h

+ S day : diện tích mặt đáy

+ h: độ dài chiều cao lăng trụ = Khoảng cách giữa hai đáy

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên

Lăng trụ đa giác đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

3 Thể tích khối chữ nhật: bằng thể tích của ba kích thước

Gọi a b c, , lần lượt là ba kích thước tương ứng

Suy ra: V abc

4 Thể tích khối lập phương: bằng độ dài cạnh lũy thừa 3 (mũ ba)

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương

Suy ra: 3

V a

Chú ý:

+ Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2

+ Đường chéo của hình lâp phương cạnh a là a 3

+ Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a b c, , là

2 2 2

a  b c

Trang 3

+ Đường cao của tam giác đều cạnh a là 3

2

a

5 Hình chóp cụt

Hình chóp cụt ABC A B C : ' ' '  ' '

3

h

Với B B h, ', là diện tích hai đáy và chiều cao

6 Tỉ số thể tích

Công thức Simpson: ' ' '

.

S A B C

S ABC

' ' ' '

S A B C D

S ABCD

Trong đó a c b d   với

HAI KHỐI CHÓP CHUNG CHIỀU CAO H' '

H

V  S

V

TỈ SỐ THỂ TÍCH HAI KHỐI LĂNG TRỤ TAM GIÁC

.

' ' ' 3

ABC MNP

ABC A B C

V

 

TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI HỘP ĐÁY LÀ HÌNH BÌNH HÀNH

.

ABCD MNPQ

ABCD A B C D

V

Trong đó:

    và a c  b d

Trang 4

II MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CÁC HÌNH THƯỜNG GẶP

1 Tam giác vuông

+) Diện tích tam giác vuông bằng 1

2 tích hai cạnh

góc vuông

1

2

1 )

2

2 Tam giác đều

+) Diện tích tam giác đều  2

3 4

deu

canh

+) Đường cao tam giác đều   3

2

canh

2

3 )

4

a S

3 )

2

a AM

3 Hình vuông

+) Diện tích hình vuông  2

S canh +) Độ dài đường chéo hình vuông bằng canh 2

2

) S a

  ) AC a 2

4 Hình chữ nhật

+) Diện tích hình chữ nhật S dai rong ) S AB AD ab

5 Hình thang

2

day lon day be

2

AB CD

6 Hình bình hành

S = đáy Cao AB AB .sinBAD

7 Hình thoi

1

2

deu canh

60

hoặc 0

120

8 Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc

1

2

S  AC BD

9 Lục giác đều

Trang 5

2 2

6

deu canh a

10 Nửa lục giác đều hay hình thang cân đặc biệt

2

3

4

deu canh a

a

III CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG

1 Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho ABC vuông tại A, đường cao AH

2

;

AH BC AB AC

b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là a b c, , ; độ dài các đường trung tuyến m a;m b; m ; c

bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, bán kính đường tòn nội tiếp là r, nửa chu vi tam giác là p

+ Định lí hàm số cos:

2 cos

  

+ Định lí hàm số sin:

2

R

+ Độ dài trung tuyến:

2 Công thức tính diện tích

a) Tam giác

Trang 6

;

4

abc

R

+ Công thức He-rong: S  p p a  p b p c 

+ ABC vuông tại : . .

+ ABC đều cạnh a:

2

;

V CÔNG THỨC KHỐI ĐA DIỆN

Khối đa diện: loại  n p có Đ đỉnh, C cạnh, M mặt thì ; n M  p D 2.C

Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Kí hiệu Thể tích

12

V  a

Khối bát diện

đều

3

Khối thập nhị

diện (12 mặt) đều

4

Khối nhị thập

diện (20 mặt) đều

12

V CÁC MÔ HÌNH THƯỜNG GẶP

HÌNH 1: Hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy

+) Đáy là tam giác ABC

+) Đường cao SA

+) Cạnh bên SB SC SA, ,

+) SAB,SAC là các tam giác vuông tại A

+) Góc giữa cạnh SB với đáy ABC là góc SBA

+) Góc giữa cạnh SC với đáy ABC là góc SCA

HÌNH 2: Hình chóp tam giác đều S.ABC

+) Đáy là tam giác đều ABC

Trang 7

+) Đường cao SG, với G là trọng tâm tam giác ABC .

+) Cạnh bên SA SB SC, , hợp với đáy một góc bằng nhau

+) Góc giữa cạnh bên với đáy bằng SAG (hoặc SCG,SBG)

+) Mặt bên SAB SBC SCA, , hợp với đáy một góc bằng nhau

+) Góc giữa mặt bên với đáy là góc SMG

HÌNH 3: Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) và SA vuông góc với đáy

+) Đáy là hình chữ nhật (hình vuông) ABCD

+) Đường cao SA

+) Cạnh bên SB SC SD SA, , ,

+) SAB,SAC,SAD là các tam giác vuông tại A

+) Góc giữa cạnh SB với đáy ABC là góc SBA

+) Góc giữa cạnh SC với đáy ABC là góc SCA

+) Góc giữa cạnh SD với đáy ABC là góc SDA

HÌNH 4: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD

+) Đáy là hình vuông ABCD

+) Đường cao SO, với O là giao điểm của AC và BD

+) Cạnh bên SA SB SC SD, , , hợp với đáy một góc bằng nhau

+) Góc giữa cạnh bên với đáy bằng SBO (hoặc SAO,SCO,SDO)

+) Mặt bên SAB SBC SCA SAD, , , hợp với đáy một góc bằng nhau

+) Góc giữa mặt bên với đáy là góc SMO

HÌNH 5: Hình chóp S.ABC (hoặc S.ABCD) có một mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Trang 8

+) Đáy là tam giác ABC (hoặc ABCD )

+) Đường cao SH, với H là trung điểm của AB

B BÀI TẬP ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

1 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b

Khi đó:

.

3 12

S ABC



Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 3 Thể tích khối chóp là:

A

3

6

a

B

3

2 6

a

C

3

2 3

a

D

3

3 4

a

Giải:

3

S ABC

V



Chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a Thể tích khối chóp

S ABC là:

A

3

24

a

B

3

2 12

a

C

3

2 24

a

D

3

3 12

a

Giải:

S ABC là tứ diện đều cạnh a ta có

3

2 12

S ABC

a

Chọn đáp án A

2 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 

Khi đó:

3

12

S ABC

a

Trang 9

Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0

60 Thể tích khối chóp là:

A

3

6

a

B

3

2 12

a

C

3

3 12

a

D

3

6 12

a

Giải:

Ta có:

0

3 tan 60

S ABC

Chọn đáp án C

Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S ABC có các cạnh đáy bằng 2 ,a góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30 0 Thể tích khối chóp S ABC là:

A

3

48

a

B

3

24

a

C

3 3 36

a

D

3

9

a

Giải:

.

S ABC

Chọn đáp án D

3 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 

Khi đó: . 3.tan

24

S ABC

a

Trang 10

Ví dụ 5: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng 2 ,a góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0 Thể tích khối chóp là:

A

3

a

B

3

3 6

a

C

3

3 12

a

D

3

6 12

a

Giải:

0

.tan 60

S ABC

Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 0

45 Thể tích khối chóp S ABC là:

A

3

48

a

B

3

24

a

C

3

3 24

a

D

3

12

a

Giải:

.

.tan 45

S ABC

4 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 

Khi đó:

3

2

3 sin cos 4

S ABC

b

Ví dụ 7: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0

A

3

8

a

B

3

3 16

a

C

3

3 24

a

D

3

3 32

a

Giải:

Trang 11

3 3

0 2 0

.sin 60 cos 60

S ABC

Ví dụ 8: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh bên bằng 2 và cạnh bên tạo với mặt đáy góc 0

30 Thể tích khối chóp S ABC là:

A 3 3

3

3 3

3 4

Giải:

.

S ABC

b

5 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b

Khi đó:

.

6

S ABCD



Ví dụ 9: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 5 Thể tích khối chóp là:

A

3

2

3

a

B

3

2 2

a

C

3

2 4

a

D

3

3 6

a

Giải:

3

S ABCD

V



Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , và

SASBSCSDa Thể tích khối chóp S ABCD là:

A

3

6

a

B

3

2 2

a

C

3

2 6

a

D

3

2 3

a

Trang 12

Giải:

.

S ABCD

6 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 

Khi đó:

3

2 tan 6

S ABCD

a

Ví dụ 11: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0

A

3

6

a

B

3

3 6

a

C

3

6 3

a

D

3

2 6

a

Giải:

0

tan 60

S ABCD

7 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 

Khi đó: . 3.tan

6

S ABCD

a

Ví dụ 12: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a 2, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0

Trang 13

A

3

a

B

3

3 6

a

C

3

2 3

a

D

3

2 6

a

Giải:

3 0

tan 45

S ABCD

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là

0

45 Thể tích khối chóp S ABCD là:

A

3

12

a

B

3

3 6

a

C

3

6 2

a

D

3

6

a

Giải:

.

tan tan 45

S ABCD

8 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 

Khi đó:

3

2

S ABCD

a







Ví dụ 14: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh bên bằng a 3, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0

A

3

6

a

B

3

2 3

a

C

3

2 3

a

D

3

4 3

a

Giải:

Trang 14

 

3

0 3

2 0

4 3 tan 45 4

3

3 2 tan 45

S ABCD



Ví dụ 15: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có các cạnh bên bằng 1, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng

0

45 Thể tích khối chóp S ABCD là:

A 4 3

4 3

3

4 27

Giải:

27

S ABCD

b



9 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc ở đáy của mặt bên bằng  với ;

4 2

 

 

Khi đó: . 3 tan2 1

6

S ABCD

a

Ví dụ 16: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB60 0 Thể tích khối chóp là:

A

3

6

a

B

3

3 6

a

C

3

2 6

a

D

3

2 3

a

Giải:

.

S ABCD

Trang 15

10 Cho hình chóp S ABC có ba mặt phẳng SAB , SAC , SBC đôi một vuông góc và diện tích của tam  giác SAB SBC SAC, , lần lượt là S S S 1, 2, 3

.

2 3

S ABC

S S S

Ví dụ 17: Cho hình chóp S ABC có ba mặt phẳng SAB , SAC , SBC đôi một vuông góc và diện tích  của tam giác SAB SBC SAC, , lần lượt là 15cm2, 20cm2, 12cm Thể tích khối chóp là: 2

20 2 3

Giải:

.

2.15.20.12

20 2 3

S ABC

Ví dụ 18: Cho hình chóp S ABC với các mặt phẳng SAB , SBC , SAC vuông góc với nhau từng đôi  một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC, , lần lượt là 15cm2, 20cm2, 18cm Thể tích khối chóp là: 2

20 3

10 3 3

Giải:

1 2 3

.

2 2.15.20.18

20 3

S ABC

S S S

11 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC, , đôi một vuông góc Biết SAa SB, b SC, c

Khi đó: . 1

6

S ABC

Trang 16

Ví dụ 19: Cho hình chóp S ABC có SA SB SC, , đôi một vuông góc Biết SA5, SB4, SC3 Thể tích khối chóp là:

Giải:

.

1

.5.4.3 10

6

S ABC

12 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC, , đôi một vuông góc Biết ABa BC, b CA, c

.

1

S ABC



Ví dụ 20: Cho hình chóp S ABC có SA SB SC, , đôi một vuông góc Biết AB 5;BC 13; AC 10 Thể tích khối chóp là:

Giải:

.

5 10 13 5 13 10 10 13 5 1

1

S ABC

Trang 17

13 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a Gọi  P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với SBC góc giữa ,  P với mặt phẳng đáy là 

Khi đó:

3

.cot 24

a

Ví dụ 21: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a Gọi  P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với SBC góc giữa ,  P với mặt phẳng đáy là 0

30 Thể tích của khối chóp là

S ABC là:

A

3

24

a

B

3

3 8

a

C

3

8

a

D

3

3 8

a

Giải:

Ta có:

.

S ABC

Một số công thức tính nhanh khác

14 Cho khối tám mặt đều cạnh a Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương

Khi đó:

3

27

a

V 

Ví dụ 22: Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a có thể tích là:

Trang 18

A

3

12

a

B

3

3 4

a

C

3

6

a

D

3

3 2

a

Giải:

Ta có:

3

6

a

V 

15 Cho khối tám mặt đều cạnh a Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương

Khi đó:

3

27

a

V 

Ví dụ 23: Cho khối tám mặt đều cạnh a Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích bằng

V Tỉ số

3

a

V gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?

Giải:

Ta có:

3

9, 5

27

V

-HẾT -

Thanks for watching!

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,47 MB