BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Tên HP Đại số tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHNhóm sinh viên thực hiện:... Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’... Vậy ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là:... a Ch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nhóm sinh viên thực hiện:

8 Nguyễn Thanh Thảo 47.01.102.115 47.01.LY.SPB

BÀI 1:

Trong không gian ℝ 4cho các vectơ sau đây: u 1 = (1, 2, 0, 1); u 2 = (2, 1, 3, 1); u 3 = (7, 8, 9, 5); u 4= (1, 2, 1, 0);

u 5 = (2, -1, 0, 1); u 6 = (-1, 1, 1, 1); u 7= (1, 1, 1, 1).

Đặt U =〈u 1 , u 2 , u 3 〉, W = 〈u 4 , u 5 , u 6 , u 7 〉 Hãy tìm cơ sở cho mỗi không gian con U, W, U+W, U∩W Từ đó suy

ra dimU; dimW; dim (U+W); dim (U∩W).

⇒ 〈(1, 2, 1, 0); (0, -1, 0, 1); (0, 0, 1, -1); (0, 0, 0,5)〉 là cơ sở của U + W

a) Kiểm tra B = {u1; u2; u3 } là cơ sở của W.

b) Cho u = (a, b, c, d)∈ ℝ 4 Tìm điều kiện để u ∈ W và với điều kiện đó hãy tìm [u] B.

c) Kiểm tra B’ = {v 1 , v 2 , v 3} là một cơ sở của W Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’.

d) Tìm [u] B , v, [w] B’ nếu biết u = (a, b, c, d) ∈ W, [v] B’= và [w] B=

Xét ma trận hệ số mở rộng:

Khi đó: [u] B= (x1+ x2+ x3)

⇒ B’ độc lập tuyến tính ⇒ B’ = {v 1 , v 2 , v 3} là cơ sở của W

Trong không gian V 3 cho các vector = i + j, = i – j, = – i + 2j – k

Chứng minh rằng, hệ B’ = ( ) là cơ sở trong V 3và viết ma trận chuyển đổi P B B’ , với B = (e 1 = i, e 2=

j, e 3 = k) Tìm toạ độ của vector x = i – 2j + 2k trong cơ sở B’.

• B’ = ( ) = (i + j, i – j, – i + 2j – k) = i(1, 1, -1) + j(1, -1, 2) + k(0, 0, -1)

• B = (e 1 , e 2 , e 3 ) = (i, j, k) = i(1, 0, 0) + j(0, 1, 0) + k(0, 0, 1)

Vậy ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ là:

a) Chứng minh rằng V là một không gian con của ℝ n

b) Tìm một cơ sở và số chiều của V.

a) Lấy 2 vector thuộc V:

b) Tìm một cơ sở và số chiều của F + G.

a) Ta có:

•

•

Vậy f (e i) = e i ⇔ f (a, b, c) = ⇔ f (a, b, c) = (a + 2b + 4c, a + 3b + 5c)

Kerf = {(a, 3a+b, b, 5a+2b) / (a, b∈ ℝ)}

• Imf:

Ta có ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc của ℝ4và ℝ3là:

A =

Biến đổi sơ cấp trên dòng đối với AT=

Vậy 〈(1, 3, 4); (0, 1, 1)〉 là cơ sở của Imf ⇒ dim(Imf ) = 2

1, 1, 2) Mà〈(1, 3, 0, 5); (0, 1, 1, 2)〉 độc lập tuyến tính

⇒ 〈(1, 3, 0, 5); (0, 1, 1, 2)〉 là cơ sở của Kerf ⇒dim(Kerf ) = 2

• Ta có: r( f ) = dim(Imf ) = dim(ℝ4) - dim(Kerf ) = 4 – 2 = 2 (≠ dim ℝ3)

⇒ f không phải toàn cấu.

BÀI 9:

Cho ma trận:

Hãy xét xem A có chéo hoá được không? Tìm ma trận C làm chéo hoá A.

Phương trình đặc trưng của A là:

λ2= 2, ta giải hệ:

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ 0⎟⎠

⎛−1 23⎞⎛ x1⎞

3⎞⎛ x1⎞

⎧−2x1+ 2x2+ 3x3= 0 ⎧x1= 9c / 2(∀c ∈ R)

( A − 3I )(x) = 0⇔⎜0 −1 3⎟⎜ x⎟

= 0 ⇔⎪ −x + 3x = 0 ⇔⎪x = 3c

⎜ 00

Với λ1= 5, ta giải hệ phương trình sau:

⇔

Ứng với trị riêng λ1= 5, ta có vector riêng:

(A – (3 - )I3)(x) = 0⇔ = 0