0 i + Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của Y khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi tương đối theo cùng một tỉ lệ ta dùng hệ số co giãn chung.. 8 b Tính hệ số co giãn chung
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH
BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn thi: Mô hình Toán kinh tế
Họ và tên sinh viên: Phan Hồng Ngọc
MSSV: 030136200401 Lớp học phần: AMA305_211_D01
THÔNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số): 20 trang
(bằng chữ): hai mươi trang
YÊU CẦU
- Trình bày rõ ràng, súc tích
- Số trang tối đa là 20 Tiểu luận sử dụng font chữ Time New Roman cỡ chữ 13; mật độchữ bình thường, giãn dòng 1,5 line; lề trên 3,5cm; lề dưới 3cm;lề trái 3,5cm; lề phải 2cm
- Các bài tập trong Câu 2 phải đầy đủ các nội dung trong Câu 1 và mỗi bài cần
có nhiều ý nhỏ a), b),
- Điểm cao sẽ dành cho những bài có hệ thống bài tập đa dạng, có tính thực tế, có liên quan đến lĩnh vực kinh tế, trình bày rõ ràng logic
- Bài viết của mỗi sinh viên là duy nhất, không được sao chép dưới mọi hình thức với bài của bất kỳ sinh viên nào khác, nếu có sẽ bị trừ điểm
Trang 22
BÀI LÀM
Phần I : Mô hình toán kinh tế và phương pháp mô hình trong phân tích kinh tế Câu 1 Trình bày ngắn gọn nội dung của các kiến thức về:
a Hệ số co giãn, hệ số tăng trưởng, hệ số thay thế
b Mô hình tối thiểu hóa chi phí của doanh nghiệp khi sản lượng cho trước, mô hình tối đa hóa sản lượng với chi phí cho trước
c Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp
a) *Hệ số co giãn:
+ Để đo tỉ lệ của sự thay đổi tưởng đối ( tức thời) của biến nội sinh với sự thay đổi tưởng đối của 1 biến ngoại sinh, người ta dùng hệ số co giãn riêng Hệ số co giãn của biến Y theo biến X tại X = X ký hiệu là i 0 𝜀 (X ) được định nghĩa bởi công thức: 0
𝜀 =
Hệ số này cho biết tại X = X , khi biến X thay đổi 1% thì Y thay đổi bao nhiêu 0 i
%
Nếu 𝜀 (X ) > 0 thì X , Y thay đổi cùng hướng và ngược lại 0 i
+ Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của Y khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi ( tương đối) theo cùng một tỉ lệ ta dùng hệ số co giãn chung Hệ số co giãn chung (toàn phần):
𝜀 (X ) = 0 ∑ 𝜀 (X)
Hệ số này cho biết tại X = X tỉ lệ % thay đổi của Y khi tất cả các biến X thay 0 i đổi 1%
*Hệ số tăng trưởng:
Nếu trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian, khi này sự biến động của biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng Hệ số tăng trưởng của một biến đo tỷ lệ biến động của một biến theo đơn vị thời gian
Cho Y = F (X , , X , , X , t) với t là biến thời gian thì hệ số tăng trưởng của 1 i n
Y là: 𝑟 =
+ Nếu Y = F(X (t), X (t), , X (t)) thì: 1 2 n
𝑟 = ∑ 𝜀 𝑟
*Hệ số thay thế:
Giả sử tại X = X có Y = F(X ) = Y 0 0 0
Trang 33
Cho các biến X , X biến đổi và X (k i j k ≠ 𝑖, 𝑗 ) không đổi thì hệ số thay thế của hai biến này chính là tỉ lệ thay đổi của hai biến này sao cho Y = Y (tức Y không đổi) 0
=
+ Nếu
< 0 thì X có thể thay thế được cho X tại (X = X ) và i j 0
là hệ số thay thế + Nếu
> 0 thì X , X có thể bổ sung cho nhau tại (X = X ) và i j 0
là hệ số bổ sung + Nếu
= 0 thì X , X không thể thay thế hoặc bổ sung cho nhau tại X = X i j 0
Tỉ lệ
cho biết khi ta thay đổi một đơn vị yếu tố j thì cần thay đổi bao nhiêu yếu tố
i tương ứng để vẫn giữ nguyên Y
b) * Mô hình tối thiểu hóa chi phí của doanh nghiệp khi sản lượng cho trước:
Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp là Q = F(X , X1 2,…,Xn) và giá các yếu tố là w , 1
w2,…, w n
Q0 là mức sản lượng dự kiến sản xuất
Ta có bài toán:
z = ∑ 𝑤 𝑋 => Min
Với điều kiện: F(X , X1 2,…,Xn) = Q0
*Mô hình tối đa hóa sản lượng với chi phí cho trước:
Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức X , X1 2,…,Xn
để sản xuất và giá các yếu tố là w , w ,…, w 1 2 n
Mức sản lượng tương ứng: Q = F(X1,X ,…,X2 n)
Ta có bài toán:
Max Q = F(X1,X ,…,X2 n)
Với điều kiện: ∑ 𝑤 𝑋 = 𝐾
Giải bài toán trên ta có điều kiện cần sau:
=
, i ≠ 𝑗
c) Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp:
Ký hiệu TR(Q) là doanh thu của doanh nghiệp khi cung ứng và tiêu thụ trên thị trường sản lượng Q
+ Doanh thu biên: MR(Q) =
Trang 44
+ Doanh thu trung bình: AR(Q) =
+ Gọi TC(Q) là chi phí tương ứng để sản xuất sản lượng Q
+ Gọi lợi nhuận là: 𝜋(𝑄) = TR(Q) – TC(Q)
Xác định sản lượng tối đa hóa lợi nhuận ta có bài toán 𝜋(𝑄) → max
Điều kiện cần của tối ưu = (*)
Nếu doanh nghiệp canh tranh hoàn hảo:
Giá bán p là biến ngoại sinh nên TR(Q) = pQ
Và (*) trở thành p = MC(Q)
Nếu doanh nghiệp độc quyền:
Giá bán phụ thuộc vào mức cung tức p = p(Q)
Ta có: TR = P(Q).Q nên MR = p(Q) + .𝑄
Và (*) thành: p(Q) + 𝑄 = MC(Q)
Câu 2 Cho 5 ví dụ là 5 bài tập cụ thể có các nội dung đã trình bày ở Câu 1, sau đó giải chi tiết các bài tập đó
*Hệ số co giãn:
a) Cho hàm tổng chi phí:
TC = Q – 2Q + 10Q +36 tại Q = 10 3 2
Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 10 và giải thích ý nghĩa kinh tế của nó b) Cho hàm sản xuất Q(K,L) = 120K1/3L2/3 Tính hệ số co giãn của Q theo (K,L) và nêu
ý nghĩa kinh tế
Giải
a)
= 3Q – 4Q + 10
2
Ta có: 𝜀 = = (3Q – 4Q + 10) 2
𝜀(Q = 10) ≈ 2,88 > 0
𝜀 = 2,88 có ý nghĩa tại Q = 10 nếu sản lượng tăng 1% thì tổng chi phí tăng 2,88% b) 𝜀 =
= 120. K-2/3L2/3./ / =
𝜀 = = 120.
K1/3L-1/3./ / =
Trang 55
𝜀 = 𝜀 + 𝜀 =
+ = 1 Điều này có nghĩa: khi cả vốn K và lao động L cùng tăng 1% thì sản lượng Q sẽ tăng lên 1%
*Hệ số tăng trưởng:
a) Thu nhập quốc dân (Y) của một quốc gia có dạng: Y = 0,48 K0,4L0,3NX0,01 Trong đó: K là vốn, L là lao động và NX là xuất khẩu ròng Cho hệ số tăng trưởng của NX là 4%, K là 3%, L là 5% Xác định hệ số tăng trưởng của Y
b) Giả sử dân số tăng theo mô hình P(t) = P(0)2 và tiêu dùng của dân cư tăng theo bt
mô hình C(t) = C(0)e Tính hệ số tăng trưởng của dân số và tiêu dùng của dân cư at
Giải a) Ta có: 𝜀
= 0,4; rK = 3
𝜀
= 0,3; rL = 5
𝜀
= 0,01; rNX = 4
Vậy hệ số tăng trưởng của Y là:
rY = 𝜀
r + K 𝜀
r + L 𝜀
rNX = 0,4.3 + 0,3.5 + 0,01.4 = 2,74%
b) Hệ số tăng trưởng của dân số:
𝑟 = ()
() = ()
() = bln2
𝑟 = ()
() = ()
() = a
*Hệ số thay thế:
a) Cho hàm sản xuất Y(t) = 5K0,6L0,3 trong đó K, L lần lượt là vốn và lao động
Tính hệ số thay thế của K cho L tại điểm (K,L) = (1,1) và nêu ý nghĩa của hệ số này b) Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng: Q= K(L+5); trong đó K,L lần lượt là vốn và lao động với Tính hệ số thay thế giữa 2 yếu tố K,L tại điểm (K,L) = (40; 135) và nêu ý nghĩa của hệ số này
Giải a) Ta có: Y(t) = 5K0,6L0,3
Hệ số thay thế của K cho L là:
Trang 66
= –
= – .,,,
., , , = –
Tại điểm (K,L) = (1,1) thì
= -2
Khi lao động tăng 1 đơn vị Khi đó, để sản lượng không đổi thì vốn giảm 2 đơn vị b)
= L + 5;
= K
= –
= – = –2/7
Vậy khi lao động tăng 1 đơn vị thì giá vốn sẽ giảm 2/7 đơn vị
* Mô hình tối thiểu hóa chi phí của doanh nghiệp khi sản lượng cho trước
Hàm sản xuất của doanh nghiệp có dạng Q = K0,75L0,5 ( Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động), giá vốn p = 30, giá lao động p = 5 và mức dự kiến sản xuất Q = 2048 K L 0
a Tìm mức sử dụng K, L để chi phí tối thiểu
b Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng chi phí tại thời điểm chi phí tối thiểu
c Phân tích sự thay đổi của tổng chi phí khi sản lượng tăng lên 2% tại thời điểm Q và chi phí tối thiểu
Giải a) Vấn đề dẫn tới bài toán: Tìm K, L để: TC = 30K + 5L => Min
Với điều kiện: F(K,L) = K0,75.L0,5 = 2048
Phương án tối ưu là nghiệm của hệ:
=
=
K0,75 L = 2048 0,5 K0,75.L0,5 = 2048 L = 1024
Vậy mức sử dụng để tối thiểu chi phí là: K* = 256 và L* = 1024
b) Tác động của giá vốn, giá lao động tới hàm TC tại thời điểm tối ưu:
= K = 256 > 0
= L = 1024 > 0
*
Kết luận : Tại thời điểm tối ưu
- Nếu tăng giá vốn lên 1 đơn vị thì tổng chi phí sẽ tăng lên 256 đơn vị
- Nếu tăng giá lao động lên 1 đơn vị thì tổng chi phí sẽ tăng lên 1024 đơn vị c) Chi phí biên tại thời điểm tối ưu:
Trang 77
MC(Q0) = * =
, ( ∗ ) , ( ∗ ) , = 5 Chi phí trung bình tại thời điểm tối ưu : AC(Q ) = 0 ( )
= ..
=
Hệ số co giãn của hàm tổng chi phí theo sản lượng:
𝜀 = () () =
Kết luận: Tại thời điểm Q nếu tăng sản lượng lên 2% thì tổng chi phí sẽ tăng lên 0 0,8%
*Mô hình tối đa hóa sản lượng với chi phí cho trước:
Một nhà sản xuất cần 2 yếu tố K và L để sản xuất X Biết người này đã chi ra 1 khoản tiền là TC = 15000 để mua hai yếu tố này với giá tương ứng p = 600 và p = 300 K L Hàm sản xuất được cho Q = 2K(L – 2)
a) Tính mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tối đa
b) Tính hệ số thay thế giữa 2 yếu tố K,L tại thời điểm tối ưu? Nêu ý nghĩa của hệ số đó?
Giải a) Q = 2K(L – 2)
TC = 600K + 300L = 15000
=
=
PKK + p L = 15000 L 600K + 300L = 15000 L = 26
Vậy để sản lượng tối đa thì K = 12, L = 26
b) )
= 2L - 4; = 2K
= –
= –1/2 Vậy khi lao động tăng 1 đơn vị thì giá vốn sẽ giảm 1/2 đơn vị
*Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp:
Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm là: Q = 25 – 0,5P ; Q = 30 – P Hàm tổng chi phí của doanh nghiệp là TC = 1 1 2 2
𝑄 + 2𝑄𝑄+ 𝑄+ 20
a) Xác định mức sản lượng Q , Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 1 2
Trang 88
b) Tính hệ số co giãn chung của tổng chi phí tại các mức sản lượng tìm được ở câu a
và giải thích ý nghĩa của kết quả tính
c) Giả sử cả hai mặt hàng đều bị nhà nước đánh thuế với cùng mức thuế là t (đơn vị tiền) trên mỗi đơn vị sản lượng thì các mức sản lượng để lợi nhuận cực đại phụ thuộc vào t như thế nào? Hãy phân tích tác động của t đến các mức sản lượng làm cho lợi nhuận đạt cực đại
Giải a) Q1 = 25 – 0,5P 1 P = 50 – 2Q 1 1
Q = 30 – P 2 2 P = 30 – Q 2 2
Doanh thu TR = P.Q = P1Q1 + P2Q2 = 50Q – 21 𝑄 + 30Q - 2 𝑄
Lợi nhuận = TR – TC = 50Q – 2𝜋 1 𝑄 + 30Q - 2 𝑄 - 𝑄 − 2𝑄𝑄− 𝑄− 20
𝜋 −3𝑄 = − 2𝑄 + 50Q + 30Q1 2− 2𝑄𝑄 20 −
Điều kiện để lợi nhuận đạt cực đại: 𝜋
= -6Q + 50 – 2Q = 0 1 2 Q = 7 1
= -4Q + 30 – 2Q = 0 2 1 Q = 4 2
Xét tại điểm dừng, ta có:
= – 6 = A;
= – 4 = C;
= – 2 = B
A = – 6 < 0
= A C – B = (-6).(-4) – (-2) = 20 > 0 2 2
Vậy doanh nghiệp đạt cực đại tại mức sản lượng Q = 7, Q = 4 ứng với mức giá P = 1 2 1
36,
P2 = 26
b) 𝜀 = 𝜀 + 𝜀 = ( 2Q + 2Q1 2) + (2Q + 2Q2 1)
= = 1,716 Tại mức sản lượng Q = 7, Q = 4, nếu Q và Q cùng tăng 1% thì tổng chi phí tăng 1 2 1 2 1,716%
c) 𝜋(Q1; Q ) = (P2 1Q1 + P2Q2) – (𝑄 + 2𝑄𝑄+ 𝑄+ 20) - t(Q +Q ) 1 2
𝜋 = -6Q + 50 – 2Q – t = 0 1 2 Q = 7 + 0,3t 1
𝜋 = -4Q + 30 – 2Q – t = 0 2 1 Q = -17,5 - 2
t
Trang 99
𝑄(𝑡) = 0,3 > 0; 𝑄(𝑡) = – < 0 Khi t tăng 1 đơn vị thì Q tăng 0,3 đơn vị và Q 1 2 giảm đơn vị
Phần II : Bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT)
Câu 3 Trình bày ngắn gọn nội dung của các kiến thức về:
a Bài toán QHTT (Mục đích giải, khái niệm, các dạng của bài toán QHTT, tính chất của bài toán QHTT)
b Bài toán đối ngẫu và ứng dụng của bài toán đối ngẫu vào việc giải bài toán QHTT a) *Mục đích giải bài toán QHTT:
Các nhà quản lý doanh nghiệp thường xuyên phải ra quyết định lựa chọn giải pháp, phương án hành động trước sự canh tranh khốc liệt của thị trường Mặc dù bị ràng buộc, bị hạn chế bởi hàng loại các điều kiện liên quan tới tiềm năng của doanh nghiệp, điều kiện của thị trường và hoàn cảnh tự nhiên, xã hội nhưng khả năng lựa chọn cũng khá lớn Nếu tất cả các yếu tố (các biến số) liên quan tới khả năng, mục đích và quyết định lựa chọn đều có môi quan hệ tuyến tính thì chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng mô hình QHTT để mô tả, phân tích và tìm lời giải cho vấn đề lựa chọn tối ưu của các nhà quản lý
*Khái niệm:
Một bài toán quy hoạch tuyến tính là một mô hình toán tìm cực tiểu (min) hoặc cực đại (max) của hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc là bất đẳng thức và đẳng thức tuyến tính Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có)
*Các dạng của bài toán QHTT:
Bài toán QHTT dạng tổng quát với n ẩn số x , x , , x có dạng: 1 2 n
f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn => max (min) (1)
ai1x1 + ai2 2x + + a1n nx ≤≥
= b ( i = 1;2; ; m) i (2)
xj ≤≥
Khi đó:
(1) là hàm mục tiêu
(2) là hệ ràng buộc chính
(3) là hệ ràng buộc dấu
Trang 1010
(2) và (3) được gọi chung là hệ ràng buộc của bài toán
Phương án: Phương án của bài toán là vectơ n chiều x = ( x , x , , x ) thỏa hệ 1 2 n ràng buộc của bài toán Tập X tất cả các phương án của bài toán được gọi là tập phương án
Phương án x thỏa một ràng buộc nào đó với dấu “=” thì ta nói x thỏa chặt ràng buộc đó Ngược lại, nếu x thỏa một ràng buộc với dấu “>” hoặc “<” thì ta nói x thỏa lỏng ràng buộc đó
Phương án tối ưu (PATƯ): Phương án x = ( * 𝑥∗, 𝑥∗, , 𝑥∗) được gọi là PATƯ của bài toán max nếu f(x ) f(x), x X và PATƯ của bài toán min nếu f(x ) * ≥ *
≤ f(x), x X
Giải một bài toán QHTT tức là đi tìm PATƯ và giá trị tối ưu của bài toán đó (nếu có)
Phương án cực biên (phương án cơ bản): Phương án x = ( * 𝑥∗, 𝑥∗, , 𝑥∗) được gọi là phương án cực biên (PACB) nếu x* thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính Một PACB thỏa chặt đúng n ràng buộc độc lập tuyến tính được gọi
là PACB không suy biến, còn một PACB thỏa nhiều hơn n ràng buộc chặt (hệ ràng buộc x* thỏa chặt có hạng bằng n) được gọi là PACB suy biến
Bài toán QHTT dạng chính tắc:
(1) f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn max (min) →
(2) ai1x1 + ai2x2 + + a1nxn = b , i = 1;2; ;m i
(3) x 0, j = 1,2, ,n j≥
Nhận xét Bài toán QHTT dạng chính tắc là bài toán QHTT dạng tổng quát trong
đó
• Các ràng buộc chính đều là phương trình
• Các ẩn đều không âm
Bài toán QHTT dạng chuẩn:
Bài toán QHTT dạng chuẩn là bài toan QHTT dạng chính tắc
(1) f(x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn max (min) →
(2) ai1x1 + ai2x2 + + a1nxn = b , i = 1;2; ;m i
(3) x 0, j = 1,2, ,n j≥
Trong đó
Các hệ số tự do đều không âm
Trang 1111
Trong ma trận hệ số tự do có đủ m vector cột đơn vị: e , e1 2, , em
e1 =
⎝
⎜
⎛10.
0⎠
⎟
⎞ , e = 1
⎝
⎜
⎛01. 0⎠
⎟
⎞ , , e = m
⎝
⎜
⎛00. 1⎠
⎟
⎞
Khi đó:
Các ẩn ứng với các vector cột đơn vị được gọi là các ẩn cơ bản Cụ thể
ẩn ứng với vector cột đơn vị e là ẩn cơ bản thứ k k
Một phương án mà các ẩn cơ bản đều bằng 0 được gọi là phương án cơ bản
Một phương án cơ bản có đủ m thành phần dương được gọi là không suy biến Ngược lại một phương án cơ bản có ít hơn m thành phần dương được gọi là suy biến
*Tính chất của bài toán QHTT:
Sự tồn tại phương án cực biên của bài toán
Nếu bài toán QHTT có phương án và hạng của ma trận hệ ràng buộc bằng n ( n là số biến số) thì bài toán có phương án cực biên
Hệ quả: Bài toán QHTT dạng chính tắc nếu có phương án thì sẽ có phương án cực biên
Sự tồn tại phương án tối ưu của bài toán
Nếu bài toán có phương án và trị số hàm mục tiêu bị chặn dưới (trên) – khi f(x) => min (max) - trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu
Hệ quả:
Nếu bài toán có phương án cực biên và có phương án tối ưu thì sẽ có phương án cực biên tối ưu
Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có phương án tối ưu thì sẽ có một phương
án cực biên là phương án tối ưu
Tính hữu hạn của số phương án cực biên của bài toán
Số phương án cực biên của một bài toán quy hoạch tuyến tính là hữu hạn
b) Bài toán đối ngẫu và ứng dụng của bài toán đối ngẫu vào việc giải bài toán QHTT
*Bài toán đối ngẫu:
Hai bài toán (P) và ( sau đây được gọi là cạp bài bài toán đối ngẫu: 𝑃)