Tổ chức EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Chuyên san EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp HCM 1 Đề thi Giải tích A2 Bộ đề này được thực hiện dựa trên chương trì.
Trang 1
1
Đề thi Giải tích A2
Bộ đề này được thực hiện dựa trên chương trình hợp tác giữa tổ chức EXP và Toantin.org, cả hai đều thuộc khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp.HCM
Mọi góp ý về đề thi xin gửi về email:
thienquocdongphuc@gmail.com Cảm ơn các bạn
Trang 2Å là tập các điểm trong của 𝐴.
Câu 2: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid, cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥2 + 𝑦4 ≤ 4}
a) Tìm các điểm trong và điểm biên
b) Tập 𝐷 có là tập đóng không? Chứng minh điều đó
c) Tập 𝐷 có là tập compact không? Chứng minh điều đó
Câu 4: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid, cho
𝑇 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ (𝑥; 𝑦) ⟼ 3𝑥 + 2𝑦 Chứng minh 𝑇 là ánh xạ tuyến tính liên tục và tìm ‖𝑇‖
Trang 3
3
Câu 1: Cho
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥2𝑦2− 5𝑦 a) Hàm 𝑓 có liên tục tại (0; 1) không?
b) Hàm 𝑓 có khả vi Fréchet tại (0; 1) không, tính 𝑓′(0; 1)(ℎ; 𝑘)?
Câu 2: Các giới hạn sau có tồn tại không, tính giới hạn nếu có:
𝑛=1hội tụ đều trên ℝ
Câu 4: Tìm cực trị địa phương của 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥3 − 6𝑥𝑦 + 8𝑦3+ 2
Trang 4
4
Câu 1: Trong ℝ với chuẩn Euclid; cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥 + 2𝑦 ≤ 1}
a) Tập 𝐷 có đóng không? Chứng minh điều đó
b) Tập 𝐷 có mở không? Chứng minh điều đó
c) Tập 𝐷 có compact không? Chứng minh điều đó
Câu 2: Cho:
𝑓(𝑥; 𝑦) = {
𝑥4𝑦32𝑥4+ 𝑦4, khi (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0)
𝑎 , khi (𝑥; 𝑦) = (0; 0)Tìm 𝑎 để 𝑓 liên tục tại (0; 0)
Câu 3: Cho 𝐸 là không gian metric, (𝐹, ‖∙‖𝐹) là không gian định chuẩn Tập hợp các ánh xạ liên tục bị chặn 𝑓 ∶ 𝐸 → 𝐹 ký hiệu là 𝐶𝐵(𝐸; 𝐹) Chứng minh 𝐶𝐵(𝐸; 𝐹) là không gian định chuẩn với chuẩn ‖𝑓‖ = sup
𝑢∈𝐸‖𝑓(𝑢)‖𝐹
Trang 5
5
Câu 1: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid; cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥2+ 𝑦4 ≤ 1}
a) Tập 𝐷 có đóng không? Chứng minh điều đó
b) Tập 𝐷 có mở không? Chứng minh điều đó
c) Tập 𝐷 có compact không? Chứng minh điều đó
Câu 3: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid, cho
𝑇 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ (𝑥; 𝑦) ⟼ 3𝑥 − 4𝑦 Chứng minh 𝑇 là ánh xạ tuyến tính liên tục và tìm ‖𝑇‖
Trang 6
6
Câu 1: Trong ℝ với chuẩn Euclid, cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥 + 𝑦 ≤ 1}
a) Tập 𝐷 có đóng không? Chứng minh điều đó
b) Tập 𝐷 có mở không? Chứng minh điều đó
c) Tập 𝐷 có compact không? Chứng minh điều đó
Câu 3: Trong ℝ2 với chuẩn Euclid, cho
𝑇 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ (𝑥; 𝑦) ⟼ 5𝑥 + 4𝑦 Chứng minh 𝑇 là ánh xạ tuyến tính liên tục và tìm ‖𝑇‖
Trang 7b) Cho 𝑚 > 2 Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet tại (0; 0) không?
b) Tính 𝜕𝑓
𝜕𝑦(𝑥; 0); 𝜕𝑓
𝜕𝑥(0; 𝑦)
Trang 8
Câu 3: Cho 𝑓(𝑥; 𝑦) = cos𝑥
2cos𝑦
2 Tìm khai triển Taylor cấp 2 (phần dư có đạo hàm cấp 3) của 𝑓 xung quanh (𝜋; 𝜋) ≈ (3.14; 3.14) và tính giá trị gần đúng của 𝑓(3.13; 3.15)
Trang 9, 𝑑2 = sup
𝑡∈[0,1]
|𝑓(𝑡) − 𝑔(𝑡)|
a) Chứng minh 𝑑1 và 𝑑2 là các metric trên 𝑋
b) Cho 𝐸 = {𝑓 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(0) = 0} Chứng minh 𝐸 là tập đóng trong (𝑋; 𝑑2)
b) Cho 𝐴 = (0; 1) Chứng minh 𝑎 = 0 là điểm dính của 𝐴
Trang 11
11
Câu 1:
Giả sử ta đang đi trên một ngọn núi Đặt hệ tọa độ mà trục 𝑥 chỉ hướng Đông, trục 𝑦 chỉ hướng Bắc,
và trục 𝑧 chỉ hướng ra khỏi mặt đất Độ cao của ngọn núi được cho bởi
𝑧 = 1000 − 2𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 5𝑦2
Ta đang ở tại điểm 𝑥 = 1; 𝑦 = 0
(a) Nếu ta đi theo hướng Nam thì sẽ đi lên cao hơn hay xuống thấy hơn?
(b) Nếu ta đi theo hướng Tây Bắc thì sẽ thi lên cao hơn hay xuống thấp hơn?
(c) Muốn đi xướng nhanh nhất thì nên đi theo hướng nào?
Câu 2: Cho 𝑓; 𝑔; ℎ là các hàm khả vi liên tục Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦); 𝑥 = 𝑔(𝑡); 𝑦 = ℎ(𝑡);
Trang 12
12
Câu 1: Cho hàm số 𝑑 ∶ ℝ × ℝ → ℝ xác định bởi
𝑑(𝑥; 𝑦) = |2020𝑥− 2020𝑦|, 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ Chứng minh rằng
(a) 𝑑 là một metric trên ℝ
(a) Chứng minh rằng dãy hàm (𝑓𝑛)𝑛∈ℕ hội tụ điểm về hàm 𝑓 trên [0; +∞)
(b) Chứng minh rằng dãy hàm (𝑓𝑛)𝑛∈ℕ hội tụ đểu về hàm 𝑓 trên [1; +∞)
Trang 13𝑛=1(a) Chứng tỏ chuỗi này hội tụ
(b) Tìm giá trị của tổng của chuỗi
Câu 2: Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
(a)
∑ 𝑛2020
2021𝑛 +∞
𝑛=2(b)
∑𝑛
3cos(𝑛2)
𝑛5+ 𝑛 + 1+∞
(a) Tam giác 𝐴𝐵𝐶 có vuông tại 𝐵 hay không?
(b) Hãy kiểm tra đẳng thức
𝑑(𝐴; 𝐶)2 = 𝑑(𝐴; 𝐵)2+ 𝑑(𝐵; 𝐶)2(c) Hãy đưa ra và chứng minh một mệnh đề tổng quát hóa điều trên
Câu 5: Cho hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = ln(𝑥2+ 𝑦2)
(a) hàm 𝑓 liên tục ở đâu?
(b) Tìm giới hạn
lim(𝑥; 𝑦)→(2; 3)𝑓(𝑥; 𝑦)
Trang 14𝑛=1b) Tìm miền hội tụ của:
∑(𝑥 + 1)𝑛
√𝑛+∞
Trang 15
15
Câu 1: Cho 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥2𝑦 + 3𝑦
a) Hàm 𝑓 có liên tục tại (0; 1) không?
b) Hàm 𝑓 có khả vi Fréchet tại (0; 1) không? Tính 𝑓′(0; 1)(ℎ; 𝑘)
Câu 2: Các giới hạn sau có tồn tại không? Tính giới hạn nếu có:
𝑛=1hội tụ đều trên ℝ
Câu 4: Tìm cực trị địa phương của 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥3 − 3𝑥𝑦 + 𝑦3+ 1
Câu 5:
a) Xét tính hội tụ của:
2+ 1(3𝑛+ 1)(2𝑛2+ 3)+∞
𝑛=1b) Tìm miền hội tụ của:
Trang 16𝑛=1hội tụ đều trên ℝ
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
𝑛=1
Trang 17a) Chứng minh 𝑓 liên tục tại (0; 0)
b) Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet tại (0; 0) không?
𝑢 = 𝑥3𝐹 (𝑦
𝑥;
𝑧
𝑥) Chứng minh rằng:
Câu 4: Khai triển Taylor đến cấp 3 của 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑒𝑥cos(2𝑦) tại điểm (0; 𝜋)
Câu 5: Cho chuỗi hàm:
∑ 𝑛𝑥𝑒−𝑛𝑥+∞
𝑛=1
, vvới 𝑥 ≥ 0 a) Chứng minh chuỗi hàm trên hội tụ đều trên [1; +∞)
b) Chứng minh chuỗi hàm trên không hội tụ đều trên [0; 1]
Trang 18a) Chứng minh ‖∙‖1 và ‖∙‖2 là các chuẩn trên 𝐶([0; 1])
b) Cho 𝑇 ∶ (𝐶([0; 1]); ‖∙‖2) ⟶ (𝐶([0; 1]); ‖∙‖1) thỏa 𝑇(𝑓) = 𝑓 Chứng minh 𝑇 là ánh xạ tuyến tính và liên tục
c) Cho 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑛𝑒−𝑛𝑥 Tính ‖𝑓𝑛‖1 và ‖𝑓𝑛‖2
d) Hỏi 𝑓𝑛 có hội tụ về 0 khi 𝑛 → +∞ trong (𝐶([0; 1]); ‖∙‖1) không?
e) Hỏi 𝑓𝑛 có hội tụ về 0 khi 𝑛 → +∞ trong (𝐶([0; 1]); ‖∙‖2) không?
Trang 19
19
Câu 1: Cho 𝑓: ℝ2 ⟶ ℝ thỏa:
|𝑓(𝑥; 𝑦)| ≤ 𝑥2+ 𝑦2Chứng minh 𝑓 khả vi Fréchet tại (0; 0)
Câu 2:
a) Cho:
𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑥 ∙ 𝐹 (𝑦
𝑥) Chứng minh:
𝑥 ∙𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑦 ∙
𝜕𝑢
𝜕𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑢 b) Cho:
𝑢 = 𝑥3∙ 𝐹 (𝑦
𝑥;
𝑧
𝑥) Chứng minh:
Câu 4: Cho 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑛2𝑥(1 − 𝑥2)𝑛, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
a) Chứng minh (𝑓𝑛) hội tụ điểm về hàm 𝑓 = 0
b) Hỏi (𝑓𝑛) có hội tụ đều về 𝑓 = 0 hay không?
Câu 5: Trong ℝ2, cho 𝑥 = (𝑥1; 𝑥2) và 𝑦 = (𝑦1; 𝑦2); ta định nghĩa:
𝑑(𝑥; 𝑦) = max{|𝑥1− 𝑦1|; |𝑥2− 𝑦2|}
a) Chứng minh (ℝ2; 𝑑) là không gian metric
b) Cho (𝑧𝑛) ∈ ℝ2 là dãy Cauchy trong (ℝ2; 𝑑) Chứng minh dãy (𝑧𝑛) hội tụ trong (ℝ2; 𝑑)
c) Cho 𝑋 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2|𝑥 + 𝑦 = 1} Chứng minh 𝑋 là tập đóng trong (ℝ2; 𝑑)
Trang 20Câu 2: Chứng minh tồn tại hàm ẩn 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) tại gần điểm (0; 0; 1) sao cho:
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑧2− 𝑦𝑧 = 1 Tính:
Câu 4: Khai triển Taylor đến cấp 3 của 𝑓(𝑥; 𝑦) = ln(𝑥𝑦) quanh (1; 1)
Câu 5: Cho 𝐶([0; 1]) là không gian các hàm liên tục trên [0; 1] Cho 𝑓; 𝑔 ∈ 𝐶([0; 1]), ta đặt:
𝑑(𝑓; 𝑔) ≔ sup
𝑥∈[0; 1]|𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|
a) Chứng minh 𝑑 là một metric trên 𝐶([0; 1])
b) Chứng minh 𝐷 = {𝑓 ∈ 𝐶([0; 1]) | 𝑑(𝑓; 0) ≤ 1} là một tập đóng, bị chặn Chứng minh 𝐷 không
𝑠𝑛 = 𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑓𝑛(𝑥) Chứng minh dãy hàm (𝑠𝑛) hội tụ đều trên [0; 1] khi 𝑛 → +∞
Trang 21
21
Câu 1: Cho 𝑋 = 𝐶[0; 1] = {𝑓 ∶ [0; 1] → ℝ liên tục} Cho 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑋, ta định nghĩa
𝑑∞ = sup𝑡∈[0; 1]
|𝑓(𝑡) − 𝑔(𝑡)|
a) Chứng minh 𝑑∞ là một metric trên 𝑋
b) Cho 𝐸 = {𝑓 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(1) = 1} Chứng minh 𝐸 là tập đóng trong (𝑋, 𝑑∞)
c) Hỏi 𝐸 có là tập bị chặn trong (𝑋, 𝑑∞) không?
d) Cho 𝑓𝑛 ∈ 𝑋 thỏa 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛(1 − 𝑥) với 𝑥 ∈ [0; 1] Hỏi {𝑓𝑛} có là dãy Cauchy trong (𝑋; 𝑑∞) không?
Câu 3: Cho 𝐹 ∶ ℝ2 → ℝ thỏa
𝐹(𝑡𝑢; 𝑡𝑣) = 𝑡2𝐹(𝑢; 𝑣), ∀𝑡, 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ Chứng minh
Câu 5: Cho dãy hàm {𝑓𝑛} thỏa
𝑓𝑛(𝑥) = 𝑛𝑥
𝑒𝑛𝑥, 𝑥 ≥ 0 a) Chứng minh {𝑓𝑛} hội tụ đều trên [1; +∞)
b) Hỏi {𝑓𝑛} có hội tụ đều trên [0; 1] không?
Trang 22
22
Câu 1: Cho 𝑋 = 𝐶[0; 1] = {𝑓 ∶ [0; 1] → ℝ liên tục} Cho 𝑓; 𝑔 ∈ 𝑋, ta định nghĩa
𝑑∞ = sup𝑡∈[0; 1]
|𝑓(𝑡) − 𝑔(𝑡)| , 𝑑1(𝑓; 𝑔) = ∫ |𝑓(𝑡) − 𝑔(𝑡)|𝑑𝑡
1 0a) Chứng minh 𝑑∞ và 𝑑1 là các metric trên 𝑋
b) Cho 𝐸 = {𝑓 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(1) = 1} Chứng minh 𝐸 là tập đóng trong (𝑋; 𝑑∞)
c) Hỏi 𝐸 có là tập đóng trong (𝑋; 𝑑1) không?
Câu 2:
Trong ℝ2, cho
𝑑(𝑥; 𝑦) = |𝑥1− 𝑦1| + |𝑥2− 𝑦2| với 𝑥 = (𝑥1; 𝑥2) và 𝑦 = (𝑦1; 𝑦2)
a) Chứng mình rằng (ℝ2; 𝑑) là không gian metric đầy đủ
b) Cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑥} Chứng minh 𝐷 là tập compact trong (ℝ2; 𝑑)
Câu 3: Chứng minh rằng mọi dãy Cauchy trong không gian metric (𝑋; 𝑑) thì luôn bị chặn
Câu 4: Cho (𝑋; 𝑑𝑋) và (𝑌; 𝑑𝑌) là các không gian metric Hàm 𝑓 ∶ (𝑋; 𝑑𝑋) → (𝑌; 𝑑𝑌) là hàm liên tục Cho 𝑈 là tập đóng trong (𝑌; 𝑑𝑌) Chứng minh rằng 𝑓−1(𝑈) đóng trong (𝑋; 𝑑𝑋)
Trang 23Câu 2: Cho 𝐹 ∶ ℝ2 → ℝ thỏa
𝐹(𝑡𝑢; 𝑡𝑣) = 𝑡2𝐹(𝑢; 𝑣), ∀𝑡; 𝑢; 𝑣 ∈ ℝ Đặt 𝑢 = 𝑟2𝐹(𝑥; 𝑦), với 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 Chứng minh
∞
𝑛=1
Chứng minh chuỗi hàm này hội tụ đều trên (−∞; −𝑐] với 𝑐 > 1
Trang 24b) Chứng minh (ℝ; 𝑑) là không đầy đủ
Câu 2: Trong ℝ2, cho
𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥1− 𝑦1| + |𝑥2− 𝑦2| với 𝑥 = (𝑥1; 𝑥2) và 𝑦 = (𝑦1; 𝑦2)
a) Chứng mình rằng (ℝ2; 𝑑) là không gian metric đầy đủ
b) Cho 𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑥} Chứng minh 𝐷 là tập compact trong (ℝ2; 𝑑)
Câu 3: Cho 𝐷 là tập compact không gian metric (𝑋; 𝑑) Chứng minh rằng 𝐷 là tập bị chặn
Câu 4: Cho 𝐷 là tập mở không gian metric (𝑋; 𝑑) Chứng minh rằng tập 𝐷1 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑥 ∉ 𝐷} là tập đóng
Trang 25Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau
Trang 26
26
Câu 1: Cho ánh xạ 𝑑 ∶ ℝ × ℝ → ℝ xác định như sau
𝑑(𝑥; 𝑦) = |√𝑥2+ 1𝑒2𝑥− √𝑦2+ 1𝑒2𝑦| a) Chứng minh (ℝ; 𝑑) là không gian metric
b) Chứng minh (ℝ; 𝑑) là không đầy đủ
Câu 2: Trong ℝ2, cho
𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥1− 𝑦1| + |𝑥2− 𝑦2| với 𝑥 = (𝑥1; 𝑥2) và 𝑦 = (𝑦1; 𝑦2)
a) Chứng mình rằng (ℝ2; 𝑑) là không gian metric đầy đủ
b) Cho
𝐷 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 𝑥 + 𝑦 + 𝑒−𝑥2−𝑦2} Chứng minh 𝐷 là tập compact trong (ℝ2; 𝑑)
Câu 3: Cho 𝐷 là tập compact không gian metric (𝑋; 𝑑) Chứng minh rằng 𝐷 là tập đóng và bị chặn
Câu 4: Cho dãy hàm {𝑓𝑛} thỏa
𝑓𝑛(𝑥) =1 + 3𝑛𝑥
4 + 2𝑛𝑥a) Chứng mình {𝑓𝑛} hội tụ điểm và hội tụ đều trên [1; ∞)
b) Chứng minh {𝑓𝑛} không hội tụ đều trên [0; 1]
Trang 27
27
Câu 1:
a) Tính vi phân toàn phần của hàm số 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥√𝑥3 + 𝑦3 tại điểm 𝑀(1; 2)
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong (𝐸) ∶ 𝑧 = 𝑥 ln(2𝑥 + 𝑦) tại điểm
𝜕𝑡)
2]
Câu 3: Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) là hàm ẩn xác định bởi hệ thức 𝑧 + 𝑥𝑒
𝑧
𝑦+ 1 = 0 a) Áp dụng định lý hàm ẩn để tính 𝜕𝑧
𝜕𝑥(0; 1) và 𝜕𝑧
𝜕𝑦(0; 1)
b) Áp dụng kết quả trên, hãy tính gần đúng gía trị 𝑓(0.01; 0.99)
Câu 4:
a) Tìm cực trị địa phương của 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦2 trên miền 𝑥2 + 4𝑦2 < 4
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦2 với điều kiện 𝑥2+ 4𝑦2 = 4 c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦2 với điều kiện 𝑥2+ 4𝑦2 ≤ 4
Câu 5: Cho hàm số 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ xác định như sau
𝑓(𝑥; 𝑦) = {
𝑥 sin 𝑦
√𝑥2+ 𝑦2, khi (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0)
0 , khi (𝑥; 𝑦) = (0; 0)a) Chứng minh hàm số trên liên tục tại 𝐴(0; 0)
b) Tính các đạo hàm riêng phần cấp 1 của 𝑓 tại 𝐴(0; 0)
c) Hàm số trên có khả vi Fréchet tại 𝐴(0; 0)? Hãy giải thích
Trang 28
28
Câu 1: Cho (ℝ; 𝑑) là không gian metric Xét hàm 𝑑1 ∶ ℝ × ℝ → ℝ xác định bởi
𝑑1(𝑥; 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| + 𝑑(𝑥; 𝑦), 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ Chứng minh rằng (ℝ; 𝑑1) là không gian metric
Câu 2: Trong (ℝ2; 𝑑) là không gian metric thông thường Chứng minh rằng
𝐴 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2|𝑥2+ 3𝑦 ≤ 1} là tập đóng nhưng không compact
Câu 3: Cho dãy hàm xác định bởi
𝑓𝑛(𝑥) = 𝑛𝑥
2020 + 𝑛2𝑥2, 𝑥 ∈ [0; 1], 𝑛 ∈ ℕ a) Chứng mình rằng dãy hàm {𝑓𝑛}𝑛∈ℕ hội tụ từng điểm
b) Chứng minh rằng dãy hàm {𝑓𝑛}𝑛∈ℕ không hội tụ đều
Câu 4: Ký hiệu 𝐶[0; 1] là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên [0; 1] Cho ánh xạ
, 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐶[0; 1]
Trang 29∑(−1)𝑛 2𝑛
2+ 4𝑛 − 35𝑛4+ 7𝑛2+ 6+∞
𝑛=1
Câu 2: Xét hàm số
𝑓(𝑥; 𝑦) = sin(𝑥𝑦)
𝑒𝑥 2 𝑦+ 𝑦4Tìm miền xác định của hàm số Hàm số này có liên tục trên miền xác định hay không? Có khả vi hay không?
Câu 3: Xét hàm 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 3𝑥3𝑦 − 3𝑦2𝑧 tại điểm 𝑃 = (1; 2; −1) Tìm đạo hàm theo hướng của 𝑓 theo hướng của 𝑃 tới điểm 𝑄 = (3; −1; 5) Theo hướng này thì giá trị của hàm 𝑓 là tăng hay giảm? Chú ý vector theo hướng có chiều dài bằng 1
Câu 4: Cho 𝑓 ∶ 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ là một hàm khả vi liên tục theo biến (𝑥; 𝑦) Đặt
Câu 6: Cho hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥3 Hãy phác họa đồ thị của hàm này Phương pháp dùng ma trận
Hesse có cho kết luận về cực trị địa phương của hàm này hay không? Vì sao?
Trang 30
30
Câu 1: Hãy vẽ hình quả cầu đơn vị đóng trong không gian định chuẩn (ℝ ; ‖∙‖∞), trong đó
‖𝑥‖∞ = max{|𝑥1|; |𝑥2|} với mọi 𝑥 = (𝑥1; 𝑥2) ∈ ℝ2
Câu 2: Hãy cho một dãy để thấy rằng nó bị chặn nhưng không Cauchy
Câu 3: Cho 𝐴 và 𝐵 là các tập con của không gian metric (𝑋; 𝑑) Chứng minh rằng
(a) Chứng minh rằng dãy hàm {𝑓𝑛}𝑛∈ℕ hội tụ từng điểm trên [0; 1]
(b) Chứng minh rằng dãy hàm {𝑓𝑛}𝑛∈ℕ không hội tụ đều trên [0; 1]
Trang 31a) Tính xấp xỉ tuyến tính của 𝑓 gần điểm 𝑎 = (1; 0)
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc của đồ thị của 𝑓 tại điểm 𝑎
c) Tính đạo hàm của 𝑓 theo vector 𝑣 = (2
[(𝜕𝑣
𝜕𝑥)
2+ (𝜕𝑣
𝜕𝑦)
2+ (𝜕𝑣
𝜕𝑧)
2] (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑓′((𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2)12)
2
Câu 5: Cho hàm
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥2+ 𝑦4− 4𝑥𝑦 a) Tìm các điểm cực đại và cực tiểu địa phương của hàm 𝑓
b) Hàm 𝑓 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên hình tam giác với 3 đỉnh (0; 0); (1; 0); (1; 1) hay không? Nếu có hãy tìm các giá trị này