Tài liệu ôn tập môn Toán cao cấp ứng dụng trong kinh tế và kinh doanh 2 (có hướng dẫn bấm máy tính))

Chương 1 Hàm số và giới hạn Bảng biến đổi lũy thừa ( ) 1 1 m m n m n m n n n m m n n n m n mn n n x x x x x x x x x x x x x x + − − = = = = = = 1 Hàm tuyến tính y bmx= + Dạng 1 Cho công thức tìm Hệ s.

Miền xác định của hàm tuyến tính là R

Miền giá trị của hàm tuyến tính là R

Biến thiên:

+hệ số góc m>0: Hàm số đồng biến trên R (hàm số tăng)

+ hệ số góc m<0: Hàm số nghịch biến trên R (hàm số giảm)

Dạng 2: Xây dựng công thức hàm tuyến tính

Cho bài toán thực tế, yêu cầu xây dựng mô hình hàm tuyến tính

a.C = -13x + 2330 (đô la)

Cho trước y, yêu cầu tìm x (logarit)

Ví dụ 1:

Dân số ở Tulsa năm 2000 là 382872 người Từ năm 2000, dân số Tulsa giảm với tỉ lệ 2.6% một năm Khi đó, mô hình dân số ở Tulsa theo thời gian t năm kể từ năm 2000 (năm 2000 ứng với t = 0) là:

P(t) = 382872(1-2,6%)t

Dân số năm 2018, nghĩa là hỏi P

Vì năm 2000 ứng với t = 0 nên năm 2018 ứng với t = 18

Ví dụ 1: Giả sử một người gửi 6000$ vào ngân hàng, được hưởng lãi suất 7%/năm Nếu người đó gửi theo hình thức lãi kép, ghép lãi hàng quý thì sau 4 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi có trong tài khoản là:

m = 4 (ghép lãi mỗi quý nghĩa là một năm được lấy lãi 4 lần)

Số tiền cả gốc lẫn lãi có trong tài khoản là: A (đề bài hỏi)

A = 6000$ (số tiền muốn có trong tương lai)

t = 4 năm

r = 6.5%/năm

m = 6 lần/năm (ghép lãi mỗi 2 tháng nghĩa là một năm có 6 lần ghép lãi)

Hỏi Bây giờ, bạn nên gửi ngân hàng bao nhiêu (Hỏi P = ?)

a

= −

Cách 1: Sử dụng máy tính (nếu được)

Máy casio 570 VN PLus

Mode 5, chọn 3 (giải phương trình bậc 2) Nhập các hệ số trước x2, trước x và hệ số tự do (nếu số hạng nào không có thì hệ số là 0)

Bấm dấu ‘=’ cho đến khi xuất hiện x_value maximum (hoặc minimum) (với bài này là

x_value maximum do đề bài hỏi doanh thu tối đa)

Ra được, x_value maximum là 12,5

Như vậy giá trị của x để doanh thu đạt tối đa là 12,5

Doanh thu tối đa là: y_value maximum là 468,75$

Cách 2 (Nếu bấm máy không được)

R x =x − x = − x + x

a là hệ số trước x2, b là hệ số trước x

Hệ số trước x2 là -3<0 nên hàm số có giá trị lớn nhất

x_value maximum = -b/2a =

( )75 12,5

Thay x này vào công thức của hàm số R(x), ta ra được y_value maximum

Ví dụ 2: Vào mùa hè, Hạ thường làm và bán những chuỗi hạt ở bãi biển Hè vừa rồi cô bán mỗi chuỗi với giá 60 nghìn đồng và bán được trung bình 32 chuỗi mỗi ngày Khi thử tăng giá mỗi chuối hạt lên 5 nghìn đồng, cô nhận thấy sức mua giảm đi 4 chuỗi mỗi ngày Biết chi phí cho vật liệu làm mỗi chuỗi là 40 nghìn đồng Từ dữ liệu trên, ta có được hàm giá P và hàm chi phí C theo số lượng x chuỗi hạt lần lượt là:

P(x) = ̶ 1.25x + 100, C(x) = 40x Vậy lợi nhuận tối đa là:

Trước hết cần xây dựng hàm lợi nhuận:

Thực hiện bấm máy như bài trên ra được x_value maximum = 24

Như vậy giá trị của x để lợi nhuận tối đa là x=24

Lợi nhuận tối đa là y_value maximum = 720 (nghìn đồng)

Chọn phương án A

5/ Phân tích hòa vốn

Lý thuyết: Hòa vốn khi lợi nhuận bằng 0 (hay khi doanh thu bằng chi phí)

Ví dụ: Vào mùa hè, Hạ thường làm và bán những chuỗi hạt ở bãi biển Hè vừa rồi cô bán mỗi chuỗi với giá 60 nghìn đồng và bán được trung bình 32 chuỗi mỗi ngày Khi thử tăng giá mỗi chuối hạt lên 5 nghìn đồng, cô nhận thấy sức mua giảm đi 4 chuỗi mỗi ngày Biết chi phí cho vật liệu làm mỗi chuỗi là 40 nghìn đồng Từ dữ liệu trên, ta có được hàm giá P và hàm chi phí

C theo số lượng x chuỗi hạt lần lượt là: P(x) = ̶ 1.25x + 100, C(x) = 40x Hạ cần bán được bao nhiêu chuỗi hạt để hòa vốn?

Bấm máy giải phương trình bậc 2 ra được nghiệm x1 = 48 và x2 = 0

Như vậy để hòa vốn cần bán được 48 chuỗi

6/ Tìm miền xác định của hàm số

Trong công thức của hàm số có:

+Căn bậc chẵn: đặt điều kiện cho phần trong căn 0

(Ví dụ: y = x+1, dieu kien x: + 1 0)

+Mẫu số: đặt điều kiện cho mẫu khác 0

3

x

y dieu kien x x

+

+Logarit: loga P x( ), dieu kien P x : ( ) 0

Nếu hàm số không cần đặt điều kiện (ví dụ: y= x3, y= −2x4 +3x−1, ….) thì miền xác định của hàm số là R

, 1 (1)1

A 35$

B 30$

C 70$

D 45$

Giải

350 phút nghĩa là x=350, thuộc vào miền 0 x 400

Suy ra chi phí C = 35$

b) Chi phí ứng với 510 phút gọi là:

x=510 thuộc vào miền 400 x 600

9/ Tìm giới hạn, giới hạn trái, giới hạn phải

Ta sẽ sử dụng máy tính để tính giới hạn Các bạn đọc kỹ ví dụ sau để biết cách làm

Ví dụ:

Cho hàm số ( )

2 3

, 1 (1)1

→ (khi x tiến tới 1+ nghĩa là x>1, do đó thay f(x) bằng công thức (1)

để tìm giới hạn bên phải)

1/ Cho bài toán thực tế, tìm tốc độ thay đổi

Ví dụ 1: Biết tổng doanh số bán hàng sau t tháng tính từ thời điểm hiện tại là 𝑆(𝑡) = √𝑡 + 2

(đơn vị là triệu dollar)

Hàm tốc độ thay đổi của tổng doanh số bán hàng theo thời gian là:

trong đó S(t) là số thuê bao truyền hình cáp (tính bằng triệu) trong năm t (t = 0 tương ứng với

năm 1980) Tốc độ thay đổi của số lượng thuê bao truyền hình cáp năm 2020 là bao nhiêu?

Đạo hàm 2 vế theo biến x Khi đó cần lưu ý 3 điều như sau:

1/ Nếu trong số hạng chỉ có x thì cứ lấy đạo hàm theo biến x

2/ Nếu trong số hạng chỉ có y thì cứ lấy đạo hàm bình thường, sau đó nhân thêm y’

3/ Nếu trong số hạng có cả x và y thì phải áp dụng công thức đạo hàm của (uv)’ hoặc

/

u v

y y

F x y dy

x y

Thay x = 1 và y = 3 vào công thức của y’ ta ra được giá trị của y’ tại điểm (1;3) là:

Dạng 3: Tìm đạo hàm tại a bằng phương pháp Logarit hóa

Tất cả các hàm số có dạng y= f x( ), muốn tìm đạo hàm tại a, ta chỉ cần nhập vô máy tính là được

Dạng 1: Tìm công thức tổng quát của vi phân dy

Cho hàm số y = f x( ), công thức của vi phân dy là: dy= f '( )x dx

Ví dụ: Cho hàm số y= 3x+1 Công thức của vi phân dy = y’.dx, suy ra 3

Dạng 2: Tìm vi phân dy khi biết x0 và dx

Ví dụ: Cho hàm số y= 25 3− x Giá trị của vi phân dy khi x=3, dx = 0.08 là:

Giải:

Ta có: dy= f '( )x dx Trong bài này cho sẵn x=3 và dx = 0.08

Thay vào công thức ta có được: dy = −0.375 0.08 = −0.03

5/ Tìm cực đại địa phương, cực tiểu địa phương

 , hàm số đạt cực đại địa phương tại b

6/ Tìm cực đại tuyệt đối, cực tiểu tuyệt đối

Ví dụ:

Cho hàm số y=x3-6x2+5 Xét trên đoạn [-1;5], phát biểu nào sau đây đúng?

A Hàm số có giá trị cực tiểu tuyệt đối là -27 và không có giá trị cực đại tuyệt đối

B Hàm số có giá trị cực tiểu tuyệt đối là -27 tại x=4

C Hàm số có giá trị cực đại tuyệt đối là 5 và không có giá trị cực tiểu tuyệt đối

D Hàm số có giá trị cực đại tuyệt đối là 5 tại x=1

Bấm mode 7, nhập hàm số f(x) vào, start là -1, end là 5, step là 0,5

Sau đó dựa vào giá trị f(x) tính được mà ta có giá trị lớn nhất là 5, tại x=0 và giá trị nhỏ nhất

là -27 tại x=4

Do đó phương án đúng là B

Để quay lại tính toán bình thường thì chọn mode 1

8/ Bài toán tối ưu thực tế (tìm max hoặc min)

Chi phí tối thiểu, doanh thu tối đa hoặc lợi nhuận tối đa

Đọc lại chương 1, phần hàm số bậc 2 đề làm câu này

ÔN TẬP CHƯƠNG 3_TÍCH PHÂN

+

1

1

1

n n

bien doi luy thua lay nguyen ham x

n

bien doi luy thua lay nguyen ham x

n m

m n

0 2x 4 2 5x

3 2

x u

3.22

3

n bien doi luy thua lay nguyen ham cua ax b

2/ Tìm nguyên hàm (bài toán thực tế)

Cho hàm biên Mf(x)=f’(x), yêu cầu tìm hàm ban đầu f(x)

Ta có: f x( )=Mf x dx( )

Ví dụ:

Doanh thu hàng tháng của một cửa hàng ở thời điểm hiện tại là $12000 Tuy nhiên, doanh thu này được dự đoán sẽ thay đổi với tỉ lệ là ( ) 3/5

R x = − x đô la mỗi tháng, sau x tháng kể

từ thời điểm hiện tại Tìm công thức thể hiện doanh thu sau x tháng kể từ thời điểm hiện tại

Giải:

Cho tốc độ thay đổi của doanh thu nghĩa là cho đạo hàm R’(x) của doanh thu

Do đó muốn tìm doanh thu ta sẽ lấy nguyên hàm của R’(x)

Bài 1 Dựa trên các số liệu sản xuất và dữ liệu địa chất, ban giám đốc của một công ty dầu

mỏ đã ước tính tỉ lệ thay đổi của lượng dầu bơm được từ một khu vực sản xuất trong t năm

tính từ khi bắt đầu bơm là ( ) 180

Q(t) là số lượng thùng dầu bơm được trong t năm đầu tiên

a/ Tìm công thức của Q(t) biết Q(0) = 0

b/ Có bao nhiêu thùng dầu bơm được trong 10 năm đầu tiên?

Bài 2 Tìm các hàm từ hàm biên của chúng:

a Cho MR=1000− Tìm ( )Q R Q biết R(0)=0

2

MC= Q+ Tìm ( )C Q biết chi phí cố định là 100 (nghĩa là C(0) = 100)

c Cho M =3Q+700 và nếu chỉ bán được 60 đơn vị hàng hóa thì bị lỗ 7500 đơn vị tiền tệ (nghĩa là ( )60 = −7500) Tìm ( ) Q

Suy ra hàm doanh thu là ( ) 1000 2

4/ Tìm tích phân xác định (bài toán thực tế)

Ví dụ 1: Một nhà sản xuất đã ước tính được tốc độ thay đổi của lợi nhuận P ứng với mức sản lượng x sản phẩm là ( ) 1/2

P x = x− − x (đô la/sản phẩm) Biết nhà sản xuất được lợi nhuận là 520 đô la khi mức sản lượng là 16 sản phẩm Lợi nhuận ứng với mức sản lượng 25 sản phẩm là:

0 12

Bài 1 Số lượng vi khuẩn trong một mẩu bánh mì tăng với tốc độ là ( ) 1202

con/phút, sau t phút tính từ thời điểm hiện tại Số lượng vi khuẩn tăng thêm bao nhiều từ sau

phút thứ 60 cho tới sau phút thứ 120?

Bài 2 Người ta ước tính được rằng, sau t tháng tính từ thời điểm hiện tại, dân số của thành

Bài 3 Doanh thu biên khi bán x đơn vị sản phẩm là 12 0.0004x− (dollar trên mỗi đơn vị sản

phẩm) Tìm doanh thu khi bán 5000 đơn vị sản phẩm đầu tiên

Bài 4 Tốc độ gia tăng tổng tài sản của một công ty là f t( )=9000 1 2+ t (dollar/năm) Tính tổng tài sản của công ty sau bốn năm hoạt động biết rằng tài sản ban đầu của công ty là

Ví dụ:

Cho hàm số ( ) 2

ln

x e

g x =t tdt với x>e Đạo hàm g’(x) là:

x e

1

x x

x x

x

e

e e

6/ Tích phân suy rộng loại 1

Dạng 1: Xét sự hội tụ của tích phân và tính giá trị

x



= Phát biểu nào sau đây đúng?

a Tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là I = 1

b Tích phân phân kỳ

c Tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là I = 1/4

d Tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là I = 1/2

Giải:

Đầu tiên, sử dụng máy tính, tính tích phân I với cận trên là 99

Ta ra được

99

5 1

Do đó tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là ¼

Giải theo tự luận (Nếu lỡ như máy tính chạy quá lâu mà không ra kết quả)

1

dx I

Nhận thấy khi cận trên càng ngày càng lớn (tiến ra vô cùng) thì giá trị của tích phân cũng càng ngày càng lớn Do đó, tích phân I phân kỳ

Do đó tích phân J hội tụ và giá trị của tích phân J là 1

Sinh viên tự kiểm tra tính hội tụ của các tích phân sau bằng cách bấm máy tính

7/ Tích phân suy rộng loại 2:

Dạng 1: Xét sự hội tụ của tích phân và tính giá trị

Tích phân hội tụ khi các giới hạn hữu hạn (nghĩa là các giới hạn tiến về một số cụ thể) Ngược lại, ta nói tích phân phân kỳ

I = xdx Phát biểu nào sau đây đúng?

a Tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là I = 1

b Tích phân phân kỳ

c Tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là I = -1

d Tích phân hội tụ và giá trị của tích phân là I = 0

Giải

Đầu tiên ta cần xác định hàm trong dấu tích phân bị gián đoạn tại cận nào

Hàm trong dấu tích phân là f x( )=lnx Hàm f(x) bị gián đoạn tại x=0 (cận dưới)

Do đó, ta sẽ chọn cận dưới là một số gần với 0 và phải lớn hơn 0 (nghĩa là số phải nằm trong

− bị gián đoạn tại x=2 (cận trên)

Do đó, ta sẽ chọn cận trên là một số gần với 2 nhưng nhỏ hơn 2 (nghĩa là số đó phải nằm

Vậy tích phân I hội tụ và giá trị của tích phân là 2

Dạng 2: Tìm tích phân hội tụ (hoặc phân kỳ)

Hàm trong dấu tích phân là 3/21

x , bị gián đoạn tại x=0 (cận dưới)

Ta chọn x=0,001 Tích phân

4

3/2 0,001

Vậy tích phân I phân kỳ

Sinh viên tự kiểm tra tính hội tụ của các tích phân sau bằng cách bấm máy tính

1

dx x

12

dx x

−

1 0,3

0

2x− dx



CHƯƠNG 4: HÀM NHIỀU BIẾN

Dạng 1: Tính giá trị của hàm nhiều biến

Dạng 2: Tìm đạo hàm riêng cấp 1 của hàm nhiều biến

Cho hàm số y= f x y( ); Điểm tới hạn của hàm số là điểm (x y0 ; 0) mà các đạo hàm riêng cấp

1 tại đó bằng 0 hoặc không tồn tại

Trong các bài tập của môn học này, ta chỉ xét trường hợp đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0

Nghĩa là để tìm điểm tới hạn, ta cần giải hệ phương trình: ( )

( )

x y

f x y = + x− x + y− y Tìm điểm tới hạn của hàm số

Dạng 5: Tìm điểm giá trị cực đại địa phương, giá trị cực tiểu địa phương, điểm yên ngựa.

Lý thuyết:

Cho hàm số y= f x y( );

Bước 1: Tìm đạo hàm riêng cấp 1

Bước 2: Cho đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 để tìm điểm tới hạn (Bỏ qua bước này nếu đề bài cho sẵn điểm tới hạn)

Bước 5: Thay điểm tới hạn (x0, y0) vào D và kết luận như sau:

+ D 0 và f xx(x y0 , 0) 0: Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại (x y0 ; 0)

+ D 0 và f xx(x y0 , 0) 0: Hàm số đạt cực đại địa phương tại (x y0 ; 0)

+ D 0: (x y0 ; 0) là điểm yên ngựa của hàm số

Ví dụ: Cho hàm hai biến ( ) 3 2 3 2

Bước 2: Bỏ qua (đề bài cho sẵn điểm tới hạn)

Bước 3: Tính đạo hàm riêng cấp 2

 Suy ra điểm A(-1;-2) là điểm cực đại địa phương Giá trị cực

đại địa phương là f(-1; -2) =

 Suy ra điểm A(-2;-1) là điểm cực đại địa phương Giá trị cực

đại địa phương là f(-2; -1) = 18