ĐỀ tài “một cách tiếp cận mới về bài toán dao động tắt dần chịu tác dụng của lực cản không đổi”

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu 2 3 Phương pháp nghiên cứu 2 4 Phạm vi nghiên cứu 2 5 Đóng góp mới của đề tài 2 NỘI DUNG 3 Chương 1 Bài toán dao động cơ tắt d.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Đóng góp mới của đề tài 2

NỘI DUNG 3

Chương 1: Bài toán dao động cơ tắt dần chịu tác dụng của lực cản không đổi 3

1.1 Hiện tượng tắt dần của dao động cơ 3

1.1.1 Phương trình tổng quát 3

1.1.2 Sử dụng định lý biến thiên cơ năng 4

1.1.3 Vị trí cân bằng tạm thời 4

1.2 Bài toán tổng quát về dao động cơ tắt dần 5

1.2.1 Độ giảm biên độ sau một chu kỳ 5

1.2.1.1 Theo quan điểm năng lượng 5

1.2.1.2 Theo phương pháp so sánh tương tự 7

1.3 Các kết luận về sự dừng lại của vật 7

1.4 Áp dụng giải các bài toán định lượng 8

1.4.1 Tốc độ cực đại của vật 8

1.4.3 Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại 11

1.4.2 Thời gian dao động 12

1.5 Các bài toán phụ 12

1.5.1 Động năng lớn nhất hay thế năng của hệ khi vật đạt tốc độ cực đại 12

1.5.2 Thế năng của hệ hoặc độ lớn lực đàn hồi của lò xo khi vật đổi chiều lần thứ n 12

1.5.3 Động năng của vật khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ n 13

1.5.4 Tốc độ cực đại của vật đạt được kể từ sau thời điểm t 13

1.5.5 Tìm thời gian từ lúc buông vật đến khi lò xo không biến dạng 13

Chương 2: Hệ thống bài tập minh họa 15

2.1 Bài tập minh họa 15

2.2 Sưu tầm một số câu trắc nghiệm cơ tắt dần 19

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán dao động cơ tắt dần là bài toán tương đối rộng và khó củachương trình Vật lý 12, SGK vật lý 12 – Nâng cao đã khảo sát một cách sơ lượcdao động tắt dần của một vật dưới tác dụng của ma sát nhớt Có thể tóm tắt nhưsau:

+ Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian

+ Nguyên nhân: Khi vật dao động trong môi trường (không khí, nước,dầu…) thì các phần tử môi trường đã tác dụng lực cản lên vật (lực đó gọi là masát nhớt) Lực ma sát nhớt làm cho cơ năng của vật dao động chuyển thànhnhiệt

+ Dao động tắt dần càng nhanh nếu môi trường càng nhớt

Cái khó khi nghiên cứu về loại dao động này là độ lớn của lực ma sát nhớtphụ thuộc vào tốc độ của vật Khi vật dao động càng đến gần vị trí cân bằng thìlực ma sát nhớt tác dụng vào nó càng lớn

Để viết được phương trình của một vật dao động tắt dần, ta phải lập vàgiải được phương trình vi phân bậc hai Việc này cần đến các công cụ của toáncao cấp và vượt ra ngoài phạm vi kiến thức toán THPT Chính bởi vậy, khi nói

về dao động tắt dần của một vật trong một môi trường, SGK cả cơ bản và nâng cao đã đề cập đến một cách hết sức sơ lược, chủ yếu là giúp cho HS nắm đượckhái niệm dao động tắt dần là gì, do nguyên nhân nào gây ra, có ứng dụng gìtrong thực tế… mà không đi sâu vào khảo sát định lượng bằng các biểu thức

Chính vì vậy khi giảng dạy và học tập về phần này đa số giáo viên chỉtruyền tải cho học sinh phương pháp giải các bài toán hết sức đơn giản về mặtđịnh lượng, và rất ít khi đề cập đến bản chất Vật lý của nó

Với mong muốn khai thác triệt để về mặt bản chất Vật lý của dao động cơ

tắt dần nên tôi chọn đề tài: “Một cách tiếp cận mới về bài toán dao động tắt dần chịu tác dụng của lực cản không đổi” Tôi hi vọng rằng qua nội dung đề tài của

mình, một số đồng nghiệp có thể làm tài liệu tham khảo để nhìn nhận lại quan

điểm của mình đối với bài toán và đề ra phương pháp giảng dạy phù hợp, dễ tiếpthu.

2 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu

Lý thuyết về phần dao động cơ tắt dần với cách tiếp cận mới

Xây dựng hệ thống bài tập hợp lý phần dao động cơ tắt dần

3 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết: Nêu tổng quan bài toán dao động tắt dần phần cơ,

và những điều kiện áp dụng Hệ thống một số bài toán thuộc chuyên đề đã ratrong các đề thì cấp tỉnh, các kỳ thi tuyển sinh đại học,…

Ngoài phương pháp nghiên cứu lý thuyết là chủ yếu thì để hoàn thiện

được đề tài tác giả sử dụng các phương pháp: Phương pháp nêu giả thiết khoa học; Phương pháp quan sát sư phạm; tổng kết kinh nghiệm sư phạm từ thực tiễn; thực nghiệm sư phạm,…

4 Phạm vi nghiên cứu

Do tính phức tạp của bài toán, cũng như đối tượng tiếp thu kiến thức là

học sinh trung học phổ thông nên đề tài chỉ nghiên cứu ở mức độ “dao động tắt dần chịu tác dụng của lực cản không đổi” bỏ qua sự ảnh hưởng của lực cản tới

tốc độ của vật

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết luận thì phần nội dung của đề tài được chia làm

2 chương:

+ Chương 1: Bài toán dao động cơ tắt dần chịu tác dụng của lực cản có

độ lớn không đổi.

+ Chương 2: Hệ thống bài tập minh họa.

6 Đóng góp mới của đề tài

Trước đây khi gặp bài toán về dao động tắt dần thì đa số giáo viên, họcsinh, chỉ dừng lại ở bài tập tương tự như tìm tốc độ cực đại của dao động.Nhưng khi tiếp cận theo hướng mới này thì giáo viên, học sinh có thể mở rộngcho nhiều bài tập khác như: tính quảng đường vật đi được đến khi dừng lại, thờigian dao động, động năng, thế năng,…

NỘI DUNG Chương 1 BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CƠ TẮT DẦN CHỊU LỰC

CẢN CÓ ĐỘ LỚN KHÔNG ĐỔI 1.1 Hiện tượng tắt dần của dao động cơ

1.1.1 Phương trình tổng quát

Hiện tượng các dao động của các vật dừng lại sau một khoảng thời giannào đó được gọi là những dao động tắt dần

Giả sử trong quá trình dao động vật chịu tác dụng của lực ma sát nhớt với

hệ số nhớt là η và ta chỉ xét tới trường hợp lực ma sát nhớt tỉ lệ với bậc nhất vậntốc

Phương trình định luật II Niu tơn: -kx - ηv = ma

1.2.2 Sử dụng định lý biến thiên cơ năng

Nội dung: Khi vật dao động, cơ năng của hệ giảm do sự mất mát bởi lực

ma sát Độ giảm cơ năng của hệ đúng bằng độ lớn công lực ma sát

Biểu thức: Giả sử, ở thời điểm t, vật đang ở vị trí có li độ x với vận tốc v

và đã đi được quãng đường S khi đó ta có: E - E = A 0 s ms

1.1.3 Vị trí cân bằng tạm thời

Gọi vị trí lò xo không biến dạng là vị trí O

Hình 1.1 Các vị trí cân bằng tạm thời của lò xo

Ban đầu kéo vật đến vị trí P cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn

OP = A0 Trong quá trình chuyển động về vị trí lò xo không biến dạng vật chịuthêm lực tác dụng của lực ma sát trượt Rõ ràng điều kiện ban đầu phải thỏa mãnlực đàn hồi có độ lớn lớn hơn độ lớn lực ma sát trượt thì vật mới chuyển động về

vị trí cân bằng của vật ( không phải là vị trí O) Vị trí O1 nằm giữa P và O

Tương tự như vậy, trường hợp khi vật chuyển động từ Q về O thì vật có vịtrí cân bằng là O2 giống với O1 Do đó trong quá trình dao động qua lại vật cóhai vị trí cân bằng, ta tạm gọi đó là hai vị trí cân bằng tạm thời

Gọi tọa độ của O1 và O2 là x0 Dễ dàng thấy được tại O1 và O2 ta có:

Vị trí lò xo không biến dạng O; Hai vị trí cân bằng tạm thời O1 và O2 nằm

cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn δ μmgmg

k



Nhận xét: Biên độ dao động của vật giảm theo hàm mũ, sự giảm phụ

thuộc vào hệ số nhớt của môi trường Hệ số nhớt càng lớn thì biên độ càng giảmnhanh Đó là lý do giải thích tại sao trong môi trường càng nhớt thì dao độngcủa vật tắt càng nhanh Tần số góc dao động của dao động tắt dần nhỏ hơn tần

số góc của dao động riêng

1.2 Bài toán tổng quát về dao động cơ tắt dần

Bài toán: Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có độ

cứng k Con lắc đặt trên mặt phẳng nằm ngang Tại thời điểm ban đầu người ta kéo vật dịch khỏi vị trí O một đoạn A 0 rồi thả nhẹ Cho rằng hệ số ma sát trượt giữa vật và giá là không đổi và bằng μmg và bỏ qua lực ma sát nhớt của môi trường.

Nhận xét: Có rất nhiều phương pháp để giải bài toán này tùy vào từng

quan điểm hay là cách tiếp cận của mỗi người, ở đây tôi chọn phương pháp so sánh tương tự, cụ thể:

- Tôi phân tích quá trình dao động tắt dần thành nhiều giai đoạn khácnhau, so sánh tương tự với bài toán dao động điều hòa của con lắc lò xo chịu tác

dụng của một lực có độ lớn và hướng không đổi.[phụ lục ]

- Như vậy, trong một quá trình dao động, trước khi vật đổi chiều thì chu

kỳ dao động của vật không đổi

1.2.1 Độ giảm biên độ của vật sau một chu kì.

1.2.1.1 Theo quan điểm năng lượng

Rõ ràng ta không thể chọn một vị trí cân bằng nào cố định để tính biên độ,

mà mỗi một lần đổi chiều dao động thì biên độ sẽ ứng với vị trí cân bằng khácnhau Do đó ta tạm coi rằng khoảng cách xa nhất của vật tới vị trí lò xo khôngbiến dạng O là biên độ dao động tạm thời

Theo điều giả sử trên ta tính được độ giảm biên độ sau ½ chu kì dao độngnhư sau:

Hình 1.2 Độ giảm biên độ sau các lần dao động.

Giả sử sau ½ T đầu, vật dao động từ P rồi dừng lại và đổi chiều tại M.(Nếu không có ma sát thì vật sẽ dao động và đổi chiều tại Q đối xứng với P qua

O ) Như vậy lượng giảm biên độ của vật sau ½ T chính là đoạn MQ

MQ =ΔAA 1/2

Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng O Mốc thếnăng trọng trường là mặt phẳng ngang

Thế năng trọng trường của hệ bằng 0

Tại P: Cơ năng của hệ tồn tại dưới dạng thế năng đàn hồi của lò xo:

Với A1/2 là biên độ của vật sau 1/2T

Độ giảm cơ năng của hệ sau 1/2T:

Mặt khác: ΔAA = A - A 1/2  0 1/2 ta được 1/2

μmgmg ΔAA = 2 2δ

k Vậy độ giảm biên độ sau 1 chu kì của vật được xác định:

1.1.2.2 Theo phương pháp so sánh tương tự

Xét trong ¼ chu kỳ đầu, vật dao động với VTCB tạm thời và chu kỳ daođộng không đổi

Trong ¼ T chu kì đầu vật dao động từ P hướng tới O, vật sẽ nhận vị trí O1

1.3 Các kết luận về sự dừng lại của vật

Dễ dàng ta chứng minh được, vị trí vật dừng lại phải nằm trong khoảng từ

O1 đến O2

Gọi An là biên độ của vật sau n nửa chu kì Ta có 3 bổ đề sau:

Kết luận 1: Nếu An = δ thì Sthêm = 0

Kết luận 2: Nếu 2δ> An >δthì vật dừng lại trong khoảng OO1

Thời gian trong quá trình này là T/2:

Tọa độ vị trí dừng lại được xác định dựa vào định lý biến thiên cơ năng:

1.4 Áp dụng giải các bài toán định lượng

1.4.1 Tốc độ cực đại của vật

Có nhiều phương án để tìm tốc độ cực đại của vật trong dao động tắt dần,sau đây tôi xin trình bày 3 phương án và sẽ nhận xét ưu nhược của từng phương

án trên:

Phương án 1: Dựa vào tính chất cực trị toán học

N .

Ta đã biết, gia tốc tức thời của vật chính là đạo hàm bậc nhất của vận tốc

Dựa vào định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại O1 để tìm tốc độ cựcđại:

Thiết lập phương trình tổng quát sau đó tìm vị trí vật đạt tốc độ cực đại

Dễ thấy, trước khi vật đổi chiều thì vật đã đạt tốc độ cực đại ở một vị trí nào đó.Xét vật ở vị trí tọa độ x bất kì Giả sử lúc này vật đang tại N:

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại N ta có:

Ta thấy v2 phụ thuộc vào x theo hàm bậc 2 nên từ tính chất của đườngcong parabol ta có được kết quả sau:

Vị trí vật đạt tốc độ cực đại: max

b μmgmg

v x = - =

 , tọa độ này chính là tọa

độ vịt trí cân bằng tạm thời O1 Như vậy vật đạt tốc độ cực đại tại O1

m và μmgmg

k Phương án 3: Dựa vào tính cực đại của vật tốc đối với dao động điều hòa.Trong dao động điều hòa của một vật với tần số góc biên độ A, thì vậtđạt tốc độ cực đại khi đi qua vị trí cân bằng, giá trị cực đại có độ lớn :

vmax =  A

Dựa vào hệ quả của cách lí giải 2 về độ giảm biên độ trong một chu kì

Nhận thấy, trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vật nhận O1

làm vị trí cân bằng tạm thời Do đó ta coi trong quá trình này vật dao động vớibiên độ A1 = A0 - và với tần số góc Từ đó thu được kết quả:

vmax =  A1 = A0 - với  k

1.4.2 Quãng đường đi của vật đến khi dừng lại

*) Quãng đường của vật đi được sau n nửa chu kì:

Vậy: Sau n nửa chu kì, quãng đường vật đi được là: Sn = 2n A - nδ 0 

*) Quãng đường của vật đi thêm sau n nửa chu kì:

Giả sử sau n nửa chu kì, biên độ của vật giảm còn An = A0 – 2nδ= A0 - 2nμmgmg

k

Từ kết quả của kết luận trên:

Nếu An = δ thì theo kết luận vật dừng lại tại đây hay Sthêm = 0

Theo kết luận 2 và 3, trong cả hai trường hợp δ<A3δ An <A3δ 2δ và 2δ<A3δ An <A3δ 3δ

quãng đường vật đi thêm đều là Sthêm = 2A0 - 2δ (2n + 1), với n là số nửa chu kì

Ta có :

*) Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại :

Tổng hợp hai kết quả trên ta tính quãng đường tổng như sau:

Phân tích: A 0

= n + m 2δ

( với n là số nguyên, m là phần lẻ )

Kết quả 1: Nếu m = 0,5 thì vật rơi vào trường hợp An = δ , do đó quãngđường vật đi được là: S = 2n A - nδ 0 

Kết quả 2: Nếu m  0,5thì vật rơi vào trường hợp δ<A3δ An <A3δ 2δquãngđường vật đi được là:

S = Sn + Sthêm = 2(n+1)A0 -2(n+1)2 δKết quả 3: Nếu m <A3δ 0,5 thì An <A3δ δ Ở đây vật đang nằm trong khoảng

O1O2 nghĩa là sẽ không dao động nữa, vậy ta xét trong nửa chu kì trước đó Lúcnày 2δ<A3δ An <A3δ 3δ do đó quãng đưòng vật đi được là:

1.4.3 Thời gian dao động

Bài toán tính thời gian dao động thì đơn giản hơn bài toán tính quãngđường đi Chỉ cần sử dụng hai kết luận 1 và 2 thì ta có thể giải quyết được

Phân tích: A 0

= n + m

( với n là số nguyên, m là phần lẻ )

Nếu m > 0.5 thì thời gian dao động là (n+1)T/2 rơi vào bổ đề 2

Nếu m  0.5 thì thời gian dao động là nT/2

1.5 Một số bài toán phụ

1.5.1 Động năng lớn nhất hay thế năng của hệ khi vật đạt tốc độ cực đại

Động năng cực đại của vật Eđmax 2max

Vật đạt tốc độ cực đai tại vị trí O1 lúc này lò xo biến dạng một đoạn δ do

đó thế năng của hệ lúc vật đạt tốc độ cực đại là:  

2 2

1.5.2 Thế năng của hệ hoặc lực đàn hồi của lò xo khi vật đổi chiều lần thứ n

Khi vật đổi chiểu lần thứ n thì lúc này vật đang cách vị trí lò xo khôngbiến dạng một đoạn: xn = A0 – 2nδ Do đó:

Thế năng của hệ khi vật đổi chiều lần thứ n là:

n

2 2

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 1: S = A 0

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 2: S = A + 2 A - 2δ 0  0 

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3:

S = A + 2 A - 2δ + 2 A - 4δ

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n:

1 kA

2 = Eđn + A ms hay

Eđn = 2

0

1 kA

A = kA - F S = kA - μmgmg 2 n -1 A - 2n n -1 δ

1.5.4.Tốc độ cực đại của vật đạt được kể từ sau thời điểm t

Sau thời gian t nào đó, vật sẽ đạt tốc độ cực đại sau đó là bao nhiêu?

vmax = ω A - 3δ = ω A - δ 2n+3 n   0   

1.5.5 Thời gian vật dao động từ lúc buông vật đến vị trí lò xo không biến dạng.

Từ lúc buông vật đến khi lò xo không biến dạng thì vật đang dao độngđiều hòa với chu kì T và với biên độ A1 = A0 - δ Do đó ta tiến hành giải quyếtbài toán tương tự bài toán trong dao động điều hòa khi không có lực cản.

Khi đó thời gian cần tìm: t = 0 +δ

T t

Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 9.8 cm rồi buông nhẹ để con lắc daođộng tắt dần

Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc daođộng tắt dần

Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10.12 cm rồi buông nhẹ để con lắc

Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10.4 cm rồi buông nhẹ để con lắc daođộng tắt dần

Quãng đường vật đi

được đến khi dừng lại

2.1.2.Ví dụ minh họa 2

Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có độ cứng 50 N/

m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số

ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,05 Tại vị trí lò xo không biến dạng,người ta nén vật 5cm rồi buông nhẹ

Tốc độ của vật khi vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3

Độ lớn lực đàn hồi khi vật đổi chiều lần 3

Từ lức buông vật đến lúc vật qua vị trí lò xo không bị biến dạng lần 3, vật

đã đi được quãng đường:

S = 2n - 1 A - 2n n - 1 δ 0   = 5A0 - 12δ = 22,6cm(Lưu ý đối với trường hợp n nhỏ ta có thể thấy ngay quãng đường vật đi đượcthông qua hình vẽ mô phỏng)

Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng Theo địnhluật bảo toàn năng lượng ta có kết quả sau: