Chương 1 và chương 4 thiên về hướng dẫn người học tìm tòi sáng tạo các bài toán và cách giải mới, hai chương còn lại bàn về các phương pháp thường dùng để giải các loại toán điển hình tr
Trang 2{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
PGS.TS LÊ QUỐC HÁN (Chủ biên)
TS ĐINH QUANG MINH – ThS LÊ THỊ NGỌC THÚY
Nh÷ng con ®−êng s¸ng t¹o
Trang 4MỤC LỤC
Trang
HỌC
6
§4 Định lý Pythagore với những cách thức tập dượt sáng tạo 24
§5 Sử dụng yếu tố phụ trong giải toán hình học 41
§6 Một số phương pháp chứng minh hình học cơ bản 48
§7 Một số phương pháp giải toán hình học hữu hạn 54
Chương 2 GIẢI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 62
§1 Hai dạng toán chứng minh cơ bản trong hình học phẳng 62
§2 Các điểm và đường đặc biệt trong tam giác 77
§3 Từ công thức tính đường trung tuyến của tam giác đến hệ
thức Leibniz
90
§4 Định lý Ptolemy và các đặc trưng của tứ giác nội tiếp 100
§5 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 112
§6 Quỹ tích cơ bản và quỹ tích gần cơ bản 124
§7 Họ đường thẳng đi qua một điểm cố định 134
§9 Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng 154
§10 Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong hình học phẳng 165
` §1 Các bài toán liên quan đến tính song song 177
Trang 5{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
§2 Một số phương pháp xác định góc giữa hai hình hình học trong
không gian
189
§3 Các bài toán liên quan đến hai đường thẳng chéo nhau 201
§4 Các bài toán liên quan đến tính vuông góc 214
§5 Phương pháp tính thể tích khối đa diện 224
§6 Một số phương pháp chứng minh hệ thức trong hình học
không gian
240
§7 Một số dạng toán cực trị trong không gian 250
§8 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện 259
§9 Mặt cầu nội tiếp đa diện 269
§10 Mặt cầu giả nội tiếp đa diện 278
§11 Sự phân loại tứ diện và ứng dụng 284
GIÁC VÀ ĐẠI SỐ
294
§1 Cùng lượng giác hành hương về “Thánh địa Euclid” 294
§2 Định lý hàm số sin trong tam giác, nhịp cầu nối giữa các loại toán 302 §3 Định lý hàm số côsin trong tam giác và ứng dụng 313
§4 Diện tích tam giác và các công thức thông dụng khác 319
§5 Phương pháp hình học trong đại số 329
§6 Ứng dụng các bất đẳng thức quen thuộc vào giải các bài
toán hình học
339 Hướng dẫn giải bài tập
Trang 6Lêi nãi ®Çu Cuốn sách gồm bốn chương Hai chương đầu dành cho học sinh Trung học cơ sở, hai chương sau
dành cho học sinh bậc Trung học phổ thông
Chương 1 và chương 4 thiên về hướng dẫn người học tìm tòi sáng tạo các bài toán và cách giải
mới, hai chương còn lại bàn về các phương pháp thường dùng để giải các loại toán điển hình trong
hình học phổ thông Nhằm nâng cao năng lực suy diễn lôgic cho người đọc, các công cụ được sử
dụng trong cuốn sách này chủ yếu là các kiến thức trong hình học Euclid Tuy nhiên, khi cần thiết
chúng tôi có sử dụng các công cụ thuộc hình học giải tích như tọa độ hay vectơ nếu chúng thực sự
tỏ ra ưu việt hơn
Trong mỗi phương pháp, chúng tôi trình bày ngắn gọn phần lý luận và tập trung vào phân tích các
ví dụ minh họa Cuối mỗi tiết có bài tập để bạn đọc thử sức Các ví dụ và bài tập thường được sắp
xếp từ đơn giản đến phức tạp Thi thoảng có ngoại lệ, xen giữa các bài toán quen thuộc là những
bài toán tương đối mới lạ, chúng được chọn trong đề thi các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia hay thi
Olympic Toán Quốc tế (IMO) Phần hướng dẫn lời giải cuối sách mang tính chất gợi ý để người
đọc tham khảo khi cần thiết Chắc rằng có những phương án giải tốt hơn đang chờ các bạn khám
phá, phát hiện Hơn nữa, nhằm tránh sự thụ động khi đọc, trong phần hướng dẫn bài tập, việc vẽ
hình được dành cho độc giả
Để đọc cuốn sách này, chỉ cần nắm vững các kiến thức được trình bày trong các giáo trình toán
phổ thông và tất nhiên, cả lòng say mê ham học hỏi hiểu biết nữa
Mặc dù cuốn sách chủ yếu dành cho đối tượng học sinh phổ thông, nhưng nó thật sự có ích cho
các giáo viên dạy Toán cũng như các sinh viên Cao đẳng và Đại học Sư phạm ngành Toán Các
phụ huynh cũng có thể dùng làm tài liệu giúp con em mình nâng cao hiểu biết những kiến thức
Toán học mà do điều kiện thời gian các em chưa được lĩnh hội đầy đủ trên lớp
Trong quá trình biên soạn, chúng tôi có tham khảo đề ra hay lời giải một số bài tập từ các tài liệu
dẫn ra cuối cuốn sách này Xin chân thành cảm ơn các tác giả của những đề ra hay cách giải đó
Cuốn sách được khởi soạn đầu Xuân 2011 và được hoàn thành vào cuối Hạ 2016 Trong gần sáu
năm qua, chúng tôi đã không ngừng sửa chữa và bổ sung bản thảo, nhưng không thể tránh được
những sai sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của bạn đọc Các góp ý xin gửi về :
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, tầng 12, Tòa nhà Diamond Flower Tower,
Số 1 Hoàng Đạo Thúy, Thanh Xuân, Hà Nội
Các tác giả
Trang 7PHẦN 1 HÌNH HỌC PHẲNG .
CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG VỀ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
Đứng trước một bài toán hình học Euclid,
cơ hội giải được của một học sinh phổ thông
và nhà toán học ngang nhau
GS Tạ Quang Bửu
§1 LƯỢC ĐỒ GIẢI TOÁN CỦA POLYA
Giải bài toán là một quá trình tâm sinh lý phức tạp Nó đòi hỏi người giải vận dụng một cách sáng tạo những kiến thức và kinh nghiệm của mình kết hợp với những phương pháp suy luận thích hợp để giải quyết vấn đề bài toán đặt ra Các bài toán ở bậc phổ thông thường có mức độ khó dễ khác nhau, do đó đòi hỏi người giải những cố gắng khác nhau
Trong tác phẩm nổi tiếng Giải bài toán như thế nào, J Polya chia các bài toán thành hai lớp: các bài toán tìm tòi và các bài toán chứng minh Theo ông, các bài toán tìm tòi
thường khó hơn các bài toán chứng minh Tuy nhiên, thực tế các bài toán tìm tòi trong sách giáo khoa phổ thông hiện nay không khó lắm Chúng chỉ đòi hỏi học sinh vận dụng trực tiếp những kiến thức vừa học và những thuật toán đã biết để tìm ra lời giải thích hợp Trong khi đó nhiều bài toán chứng minh đòi hỏi người giải phải vận dụng tổng hợp các kiến thức khác nhau một cách sáng tạo cùng với những thao tác tư duy thích hợp (phân tích và tổng hợp, quy nạp và suy diễn, đặc biệt hoá và tổng quát hoá, tương tự, …) mới hoàn thành nhiệm vụ được giao
Ở đây chúng tôi trình bày về việc tìm lời giải các bài toán tìm tòi chưa có thuật toán hoặc các bài toán chứng minh chưa có phương pháp chung để giải Đối với các bài toán này, nên vận dụng lược đồ bốn bước của Polya: Tìm hiểu đề toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải
1 Tìm hiểu đề toán
Việc giải một bài toán sẽ trở nên hữu ích nếu người giải ham thích công việc đó Muốn vậy, người giải cần tìm hiểu một cách kỹ lưỡng Trước hết phải đọc kỹ đề toán để thấy
Trang 8được toàn bộ nội dung của bài toán Sau đó phân tích bài toán, tách những yếu tố chính của bài toán, xem xét các yếu tố chính nhiều lần và ở nhiều mặt Nếu là bài toán chứng minh thì yếu tố chính là giả thiết và kết luận Nếu là bài toán tìm tòi thì yếu tố chính là ẩn (cái cần tìm, cái chưa biết), là dữ kiện (những cái đã biết) và điều kiện (mối liên hệ giữa cái cần tìm và cái đã cho) của bài toán Cuối cùng phải nhìn lại tổng quan bài toán trước khi tìm lời giải
Đôi khi, việc tìm hiểu đề toán phải diễn ra nhiều lần và ở nhiều thời điểm khác nhau Phải làm sao khi nhắm mắt lại, người giải vẫn thấy rõ từng chi tiết của bài toán và mối liên hệ giữa các chi tiết đó Điều này sẽ giúp người giải tìm được “ý chói lọi” (từ dùng của Polya) trong quá trình hình thành lời giải bài toán
Để giúp cho việc hiểu rõ đề toán, nhiều khi người giải cần phải đưa vào các ký hiệu mới hoặc các hình vẽ minh họa
Các ký hiệu đưa vào phải gọn và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn và hiểu nước đôi Hơn nữa nó phải giúp người giải hình dung bài toán dễ hơn và việc tính toán thuận lợi hơn Chẳng hạn nếu bài toán đã cho liên quan đến ba số nguyên liên tiếp thì nên ký hiệu chúng là
1, , 1
a− a a+ (nếu ký hiệu chúng là ,a a+1,a + thì việc tính toán sẽ phức tạp hơn) 2 Đối với các bài toán hình học, nói chung cần phải vẽ hình minh họa Hình vẽ phải tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận trong suy luận Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn thấy những quan hệ và tính chất của các yếu tố trong bài toán Ngoài ra để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đường, các hình, trong hình vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền hoặc nét đứt Điều này đặc biệt quan trọng trong việc giải các bài toán hình học không gian Nếu dựa trên phép dựng hình bằng thước và compa (đối với hình học phẳng) hoặc dựa vào các phép chiếu song song hay vuông góc (đối với hình học không gian) để vẽ hình một cách chính xác thì càng tốt,
vì nhờ vậy người giải sẽ tiệm cận với lời giải một cách dễ dàng hơn
Có rất nhiều bài toán không phải là bài toán hình học nhưng việc dùng hình vẽ để diễn tả chúng rất hữu ích Chẳng hạn dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán số học, dùng đồ thị để biện luận phương trình chứa tham số, …
Trang 92 Xây dựng chương trình giải
Đây là bước quan trọng nhất trong hoạt động giải toán Để xây dựng chương trình giải một cách hợp lý, cần tìm tòi lời giải Tuy nhiên người ta đã chứng minh được rằng không
có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán cả Thậm chí đối với một lớp bài toán khá hẹp như lớp bài toán tìm nghiệm nguyên của các phương trình Diophante cũng không có thuật toán chung để giải chúng Vì vậy để tìm tòi lời giải một bài toán, chúng ta cần dựa trên những kinh nghiệm giải toán trước đó của bản thân Trong tác
phẩm Giải bài toán như thế nào, J Polya đã đưa ra một bản gợi ý xây dựng chương trình
giải một bài toán bao gồm những câu hỏi sau:
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác?
- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?
- Xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương
tự
- Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng nó không?
Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phương pháp giải nó? Có cần đưa thêm một số yếu tố phụ mới sử dụng được nó không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? Hãy quay về các định nghĩa
- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, hãy thử giải một bài toán liên quan dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn
có thể giải một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn
có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Bạn có thể nghĩ ra những dữ kiện khác có thể giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn, hay các dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?
- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa? Đã để ý đến một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Những phần sau của cuốn sách này sẽ minh họa cho việc sử dụng bản gợi ý chương trình giải toán trên của Polya
Trang 10Tuy không có một thuật toán chung nào để giải tất cả các bài toán, nhưng với những lớp bài toán khá hẹp nào đó, chúng ta cũng có thể tìm ra những định hướng, những phương pháp chung để giải chúng Trong chương 2 và chương 3, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết vấn đề này
3 Thực hiện chương trình giải
Sau khi đã tìm được cách giải rồi hãy tiến hành thực hiện chương trình giải Đây là công việc chủ yếu, là kết quả để đánh giá hoạt động giải toán Quá trình này không khó khăn như khi tìm cách giải nhưng tính chất công việc có khác nhau
Khi đang tìm lời giải thì có thể tự do mò mẫm, dự đoán và không ngại gì mà không dùng một cách lập luận “tạm thời” Nhưng khi thực hiện chương trình giải thì phải thay đổi quan niệm đó và chỉ được thừa nhận những lý lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Một điều quan trọng trong việc trình bày lời giải là trình tự các chi tiết, nhất là đối với các bài toán phức tạp Phải trình bày sao cho tường minh sự liên hệ giữa mỗi chi tiết, cũng như sự liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải
ấy Trình tự mà ta trình bày trong lời giải có thể rất khác với trình tự mà ta đã tiến hành
để tìm lời giải ấy Trình tự trình bày các chi tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa
4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Đây là một bước cần thiết và bổ ích mà trên thực tế ít người giải toán thực hiện nó Trong khi thực hiện chương trình giải, rất có thể ta đã mắc phải thiếu sót, lầm lẫn ở chỗ nào đó Việc kiểm tra lời giải sẽ giúp ta sửa chữa được những sai sót đáng tiếc đó Mỗi sai lầm đều cho ta một kinh nghiệm trong hoạt động giải toán Mặt khác việc nhìn nhận xem xét lại những chi tiết của cách giải cũng như toàn bộ cách giải, việc phân tích lại kết quả và con đường đã đi cùng phương pháp tiến hành, còn có thể giúp chúng ta tìm thấy một cách giải khác tốt hơn, hoặc phát hiện ra những sự kiện mới và bổ ích Phải kiên nhẫn và chịu khó nghiên cứu lời giải tìm được để có thể hoàn thiện cách giải và bao giờ cũng giúp ta hiểu được cách giải sâu sắc hơn Chính điều đó sẽ làm phong phú kinh nghiệm giải toán, củng cố và phát triển năng lực giải toán cho bản thân
Trang 11
§2 KHAI THÁC LỜI GIẢI BÀI TOÁN
1 Tìm các cách giải khác nhau của một toán
Việc nắm vững các kiến thức cơ bản chỉ thực sự có ý nghĩa khi ta vận dụng được chúng vào giải quyết các bài toán cụ thể Cần nắm vững những phương pháp suy luận cơ bản và giải toán cơ bản như phương pháp phân tích đi lên và phương pháp suy diễn lôgic, phương pháp phản chứng và phương pháp chứng minh gián tiếp, … Ngoài ra, cần phân loại các dạng toán thường gặp và tìm phương pháp giải các dạng đó
Tuy nhiên, điều chúng tôi muốn nhấn mạnh ở đây bạn đọc nên cố gắng tìm ra nhiều cách
giải cho cùng một bài toán Đặc biệt, sau khi học thêm một kiến thức mới, hãy trở về với
các bài toán trong quá khứ để tìm ra lời giải mới nhằm thể hiện “tính ưu việt” của kiến
thức mới Sau đây là một thí dụ:
Bài toán 1 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC); AD là đường phân giác trong
Đường thẳng kẻ từ D, vuông góc với BC cắt AC tại E Chứng minh DB = DE
Lời giải Cách giải thứ nhất (Dựa vào tam giác bằng nhau)
Trên AB lấy điểm F sao cho AF=AE Khi đó
Δ = Δ nên DF=DE và nAFD=nAED
Từ đó nBFD=DECn Ta lại có nABD=DECn (cùng
90 −ACB) nên nBFD=nABD.
Suy ra tam giác BDF cân tại D Từ đó BD=DFnên BD=DE
Cách giải thứ hai (Dựa trên tính chất đường phân giác)
(cùng bằng 0 n
90 −ACB) nên hai tam giác vuông DHB và DKE bằng nhau, từ đó
DC= AC Mặt khác hai tam giác vuông DEC và ABC đồng dạng nên
DC = AC Từ đó DB DE
DC= DC Suy ra DB=DE
Trang 12Cách giải thứ tư (Dựa vào tứ giác nội tiếp)
90
BAE=BDE= nên tứ giác ABDE nội tiếp
trong đường tròn đường kính BE
Khi đó nDBE=DAEn (cùng chắn cung DE ) và
DEB=DAB (cùng chắn cung BD )
Mà nBAD=DAEn (giả thiết) nên nDBE=DEBn Do đó tam giác DBE cân tại D Từ đó
2 Đừng bỏ qua các trường hợp riêng
Khi giải toán, việc xét các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt không chỉ giúp chúng ta thu được một lời giải hoàn chỉnh mà còn chỉ ra con đường đi đến lời giải trong trường hợp tổng quát hoặc gợi ra những ý tưởng sáng tác các bài toán mới
a Trước hết cần chú ý rằng nhiều khi lời giải bài toán trong trường hợp chung không bao hàm
hết các trường hợp cá biệt Các trường hợp này cần phải được xét riêng
Bài toán 2 Tính các tổng sau:
A= + +a a + +a − +a
b)B= − +1 a a2− + − ( 1)n a n
Lời giải a) Trước hết, ta xét riêng trường hợp a = Khi đó 1 A = + +1 1 1+ (n + 1 hạng
tử bằng 1) = + n 1
Từ đó
1
1
1
n
a A
a
+
−
=
− (*) , ở đây công thức (*) không chứa kết quả khi a = 1 b) Để tính tổng thứ hai, ta phải xét riêng trường hợp a = − Khi đó 1 B= + n 1
Với a ≠ − , có 1 (1+a B) = +(1 a) 1⎡⎣ − +a a2− + − ( 1)n a n⎤⎦= + −1 ( 1)n a n+1
1
1 ( 1)+ − n a n+
=
A
B
E