4 Chu,o,ng 1.Olympic To´an Bulgari... Olympic To´an BulgariB `ai 1.8... Ðê` thi olympic to´an Trung Quô´cdu,o,ng.
Trang 1Nguy ˜ên H˜u , u Ðiê , n
1998 – 1999
, AI (T âp 1)
NH ` A XU ´ ÂT B
,
AN GI ´ AO D UC
Trang 22
Trang 3L `o , i n ´ oi ¯ dâ`u
Ðê,thu,,g´oi l ênh phông ch˜u,tôi biên so an m ôt sô´ ¯dê` to´an thi Olympic, m`a c´ac h octr`o cua tôi ¯, d˜a l`am b`ai t âp khi h oc t.âp LATEX Ðê,ph u v u c´ac b.an ham h oc to´an tôithu th âp v`a gom l.ai th`anh c´ac s´ach ¯di.ên tu,,, c´ac b an c´o thê,tham khao M˜ôi t âp tôi s˜e,gom khoang 50 b`ai v´o, ,i l`o,i giai.,
Râ´t nhiê`u b`ai to´an d.ich không ¯du,.o,c chuâ,n, nhiê`u ¯diê,m không ho`an to`an ch´ınhx´ac v ây mong b.an ¯d oc t u,ng˜âm ngh˜ı v`a t`ım hiê,u lâ´y Nhu,ng ¯dây l`a nguô`n t`ai li êutiê´ng Vi êt vê` chu ¯, dê` n`ay, tôi ¯d˜a c´o xem qua v`a ngu,`o,i d.ich l`a chuyên vê` ng`anh To´anphô,thông B an c´o thê,tham khao l ai trong [1],[2].,
Râ´t nhiê`u ¯do an v`ı m´o,i h oc TeX nên câ´u tr´uc v`a bô´ tr´ı c`on xâ´u, tôi không c´o th`o,igian su,,a l ai, mong c´ac b.an thông cam Cuô´n s´ach n`ay c´o c´ach không cho sao ch´ep,ch˜u,Vi êt, c´ac b.an thu,,xem nh´e
H`a N ôi, ng`ay 20 th´ang 9 n˘am 2013
Nguy˜ên H˜u,u Ðiê,n
51
Trang 4M uc l uc
L`o,i n´oi ¯dâ`u 3
M uc l uc 4
Chu,o,ng 1.Olympic To´an Bulgari 5
1.1.Ðê` b`ai 5
1.2.L`o,i giai, 6
Chu,o,ng 2.Ðê` thi Olympic To´an Canada 12
2.1.Ðê` b`ai 12
2.2.L`o,i giai, 12
Chu,o,ng 3.Ðê` thi olympic to´an Trung Quô´c 17
3.1.Ðê` b`ai 17
3.2.L`o,i giai, 18
Chu,o,ng 4.Ðê` thi Olympic To´an Hungary 28
4.1.Ðê` b`ai 28
4.2.L`o,i giai, 29
Chu,o,ng 5.Ðê` thi olympic to´an India 35
5.1.Ðê` b`ai 35
5.2.L`o,i giai, 36
Chu,o,ng 6.Ðê` thi olympic to´an Iran 42
6.1.Ðê` b`ai 42
6.2.L`o,i giai, 43
T`ai li êu tham khao, 49
4
Trang 51 ≤ i < 2 j − i ≤ n ¯du,.o,c tô c`ung m ôt m`au s´˘ac.
B `ai 1.2. Cho t´u,gi´ac lô`i ABCD, c´o AD = CD v`a [DAB= ABCd < 900 Ðu,`o,ng th˘ang,qua D v`a trung ¯diê,m cua BC c´˘at ¯, du,`o,ng th˘ang AB t ai ¯diê, ,m E Ch´u,ng minh r`˘ang:[
BEC= [DAC
B `ai 1.3. Cho R+l`a t âp h o,p c´ac sô´ th u,c du,o,ng Ch´u,ng minh r`˘ang không tô`n t ai h`amsô´ f : R+→R+sao cho:
( f (x))2 ≥ f (x+ y)( f (x) + y) V´o,i m.oi x, y ∈ R+.
B `ai 1.4. Cho h`am sô´ f (x)= x3− 3x+1 T´ınh sô´nghi.êm th.u,c kh´ac nhau cua phu, ,o,ngtr`ınh f ( f (x))= 0
B `ai 1.5. Cho ng˜u gi´ac lô`i ABCDE n ôi tiê´p ¯du,`o,ng tr`on b´an k´ınh R B´an k´ınh c,ua
¯
du,`o,ng tr`on n.ôi tiê´p ∆XYZ ¯du,.o,c k´ı hi.êu l`a rXYZ Ch´u,ng minh r`˘ang:
1 cos dCAB+ cosABCd + cosBCAd = 1 + rABC
R .
2 Nê´u rABC = rAEDv`a rABD= rAEC, th`ı∆ABC v`a ∆AED l`a ¯dô`ng d.ang
B `ai 1.6. Ch´u,ng minh r`˘ang phu,o,ng tr`ınh:
x2y2= z2(z2− x2− y2)không c´o nghi êm nguyên du,o,ng
B `ai 1.7. Cho n l`a m ôt sô´ nguyên du,o,ng T`ım sô´ nguyên du,o,ng k sao cho tô`n t aik0 − 1 chu˜ôi c´o ¯d ô d`ai 2n + 2, v´o,i bâ´t k`y 0 − 1 chu˜ôi c´o ¯d ô d`ai 2n + 2 m ôt trongnh˜u,ng sô´ ¯du,.o,c ¯du,a ra trong ´ıt nhâ´t n+ 2 v.i tr´ı
Trang 66 Chu,o,ng 1 Olympic To´an Bulgari
B `ai 1.8. C´ac ¯da th´u,c Pn(x, y) (v´o,i n= 1, 2, ) ¯du,.o,c x´ac ¯d.inh bo,,i P1(x, y) = 1 v`a
Pn +1(x, y) = (x + y − 1)(y + 1)Pn(x, y+ 2) + (y − y2)Pn(x, y)
Ch´u,ng minh r`˘ang: Pn(x, y)= Pn(y, x) v´o,i m oi n v`a v´o,i m oi x,y
B `ai 1.9. Trên hai bên cua m ôt ∆ABC không t`u ¯du, ,.o,c xây d u,ng bên ngo`ai m ôt h`ınhvuông, c´o n ¯diê,m v`a m ¯diê,m (m, n > 5) c´o c´ac c anh t.ao th`anh m ôt tam gi´ac ¯dê`u.Ch´u,ng minh r`˘ang v´o,i m= n = 6, th`ı c´o thê,t`ım ¯du,.o,c c´ac g´oc cua tam gi´ac, ∆ABC
B `ai 1.10. Cho c´ac sô´ th u,c a1, , ankh´ac 0 Ch´u,ng minh r`˘ang phu,o,ng tr`ınh:
Gia s, u,, ngu,.o,c l ai không c´o b ô ba nhu, v ây , khi ¯d´o trong A1, A2, , A9 c´o ´ıt nhâ´t 5trong sô´ ch´ung c`ung m`au
L `o , i gi ai 1.2 , G oi M l`a trung ¯diê,m cua BC, v`a ¯, d ˘at:
Trang 7Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 7sin [CE M
sin [BCE = MC
ED = sin [CEDsin [DCE = sin [CE M
sin(1800− [DCE) Do ¯d´o:
[
BCE= 1800− [DCE = 1800− [DCB − [BCE = 2y − [BCE, v´o,i ch´u ´y r`˘ang [BCE = y
Do ¯d´o:
[
CEB=CBA − [d BCE= x = [DAC ( ¯dpcm)
L `o , i gi ai 1.3 Gi , a s, u,,tô`n t ai h`am f Khi ¯d´o, ta c´o:
V ây ta c´o ¯diê`u phai ch´u, ,ng minh
L `o , i gi ai 1.4 Câu tr , a l`o, ,i l`a 7 Th ât v.ây, ta c´o f (x) = x3− 3x+ 1 nên f0
(x)= 3x2− 3
Trang 88 Chu,o,ng 1 Olympic To´an Bulgari, f0(x) = 0 khi x = 1 ho.˘ac x = −1 Khi ¯d´o f (1) = −1 v`a f (−1) = 3 Nhu,ng
f(−2) = −1, f (0) = 1, f (2) = 3 Do ¯d´o, c´ac gi´a tr.i cua x ¯, dê, f(x) = 0 n`˘am trongc´ac khoang (−2, 1), (0, 1), v`a (1, 2) Nê´u ch´ung ta ¯, dê´m sô´ lâ`n f thông qua ho`an to`anm˜ôi khoang ta s˜e c´o câu tr, a l`o, ,i Th ât v.ây, f ¯di qua (−2, 1) m ôt lâ`n (Khi x < −2), n´o
¯
di qua (0, 1) ba lâ`n ( khi −2 < x < −1, 0 < x < 1 v`a 1 < x < 2), v`a n´o ¯di qua (1, 2)
¯
d´ung ba lâ`n Do ¯d´o phu,o,ng tr`ınh f ( f (x))= 0 c´o ¯d´ung 7 nghi.êm th.u,c phân bi.êt
L `o , i gi ai 1.5 , 1 G oi ¯diê,m O v`a I lâ`n lu,.o,t l`a tâm cua ¯, du,`o,ng tr`on ngo.ai tiê´p v`a n.ôitiê´p cua, ∆ABC
Ð ˘at dCAB = α, ABCd = β,BCAd = γ G.oi AI c´˘at ¯du,`o,ng tr`on tâm O o,, F, g oi O n`˘amtrong [AFC Khi ¯d´o:
= R2(2 − 2 cos α+ 1 + 2[cos(α + β) − cosβ])
= R2(3 − 2 cos α − 2 cos β − cosγ)
Nhu,ng OI2 = R2− 2RrABC(Theo công th´u,c Euler), do ¯d´o
cos α+ cos β + cos γ = 1 + rABC
R .Hay ch´ung ta c´o:
cos dCAB+ cosABCd + cosBCAd = 1 + rABC
R ( ¯dpcm)
2 G oi 2a, 2b, 2c, 2d, 2e lâ`n lu,.o,t l`a sô´ ¯do cua c´ac cung AB, BC, CD, DE, EA T`u, ,câu(1) ta c´o:
Trang 9Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 9
cos a − cos(a+ b) + cos b = cos d + cos e − cos(d + e)cos a+ cos(c + b) + cos(d + e) = cos e + cos(c + d) + cos(a + b)
Tr`u,hai vê´ cua ¯, d˘ang th´u, ,c, ta c´o:
cos b+ cos(c + d) = cos d + cos(b + c)
⇐⇒ cosb − c − d
2 = cosd − b − c
2
⇐⇒ b= d Thay kê´t qua n`ay v`ao ¯, d˘ang th´u, ,c ¯dâ`u, ta c´o:
cos a − cos(a+ b) + cos b = cos d + cos e − cos(d + e)
⇐⇒ cos a − cos(a+ b) + cos b = cos b + cos e − cos(b + e)
⇐⇒ cos a+ cos(b + e) = cos e + cos(a + b)
⇐⇒ cosa − b − e
2 = cose − a − b
2
⇐⇒ a= e
Khi ¯d´o a= e, b = d Do v.ây ∆ABC v`a ∆AED l`a ¯dô`ng d.ang ( ¯dpcm)
L `o , i gi ai 1.6 Tru , ,´o,c hê´t ta ch´u,ng minh bô, ¯dê` sau:
Bô,dê` 1: Phu¯ ,o,ng tr`ınh s4− t4= u2(1)
Không c´o nghi êm nguyên du,o,ng
Th ât vây: Ch´ung ta ch´u,ng minh gi´an tiê´p Gia s, u,,tô`n t ai m ôt t.âp S không r˜ôngc´ac sô´ nguyên , v´o,i a ∈ S , khi ¯d´o tô`n t ai sô´ t u, nhiên b v`a c nhu, v ây sao cho
a4 − b4 = c2, v´o,i a l`a gi´a tr.i nho nhâ´t V`ı v ây U, ,CLN (a, b, c) = U,CLN (a, b) =
U,CLN (b, c)= U,CLN (c, a)= 1 Ch´ung ta x´et c´ac tru,`o,ng h.o,p sau ¯dây:
V´o,i c t`uy ´y Khi ¯d´o v´o,i a v`a b l`a sô´ le v`a a, 2+ b2 ≡ 2(mod4), khi U,CLN(a, b)=1, 4
c2.V`a:
Trang 1010 Chu,o,ng 1 Olympic To´an Bulgari(a2+ b2)(a2− b2) = c2, UCLN(a2 + b2, a2 − b2) = 2 Cho ta: x =
i x v`a y l`a c´ac sô´ nguyên, ta c´ox4− y4 = (ab)2 Khi a> b, x<a
Do ¯d´o vi ph am v´o,i gia thiê´t c, ua ch´ung ta a l`a gi´a tr.i nh, o nhâ´t,
L `o , i gi ai 1.7 Câu tr , a l`o, ,i l`a k = 4
L `o , i gi ai 1.8 , Ta x´et c´ac gi´a tr.i cua n, v´o, ,i n = 1 ta c´o: P1(x, y)= 1
Khi :Pn−1(x, y)= Pn−1(y, x), Tn−1(y, x)= Tn−1(y, x) Cho ta:
Un−1(x, y) = (x + y − 1)[(y + 1)(x − x2)Pn−1(y+ 2, x) + (x + 1)(y − y2)Pn−1(y, x+ 2)]
Trang 11Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 11Khi Pn−1(x, y) = Pn−1(y, x), Un−1(x, y) = Un−1(y, x) Do v ây:
Pn +1(x, y)= Sn−1(x, y)+ Tn−1(x, y)+ Un−1(x, y)= Pn +1(y, x).
Do v ây: Pn(x, y) = Pn(y, x) v´o,i m oi n v`a v´o,i m oi x,y.( ¯dpcm)
L `o , i gi ai 1.9 Câu tr , a l`o, ,i l`a tam gi´ac ¯d´o c´o c´ac sô´ ¯do lâ`n lu,.o,t l`a 900, 450, 450
L `o , i gi ai 1.10 Tru , ,´o,c hê´t ta nh.ân thâ´y h`am sô´ fi(x)= √1+ aixl`a m ôt h`am l˜om Do
ta l`a sai, do ¯d´o c´o nhiê`u nhâ´t m ôt nghi.êm th u,c kh´ac 0 cua phu, ,o,ng tr`ınh f (x)=n
Trang 12+a5
2.2 L `o , i gi ai ,
L `o , i gi ai 2.1 , C´o 30 nghi êm Khi
a2
,a3
v`a
a5
l`a c´ac sô´ nguyên, do ¯d´o l`a a Bâygi`o,viê´t a= 30p + q cho sô´ nguyên p v`a q, 0 ≤ q < 30
Sau ¯d´o
Trang 13Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 13
a
2
+a3
+a5
+q5
−
q5
.Nhu,v ây, ¯dô´i v´o,i m˜ôi gi´a tr.i cua q, c´o ch´ınh l`a m ôt gi´a tr.i c, ua p (v`a m ôt gi´a tr.i,
cua a) ¯, d´ap ´u,ng c´ac phu,o,ng tr`ınh Kê,t`u,khi q c´o thê,b`˘ang bâ´t k`y ba mu,o,i gi´a tr.i, c´o
¯
d´ung 30 nghi êm, nhu,yêu câ`u
L `o , i gi ai 2.2 C´ach 1: x , = 1+
√5
2 l`a nghi êm duy nhâ´t Cô l.âp
r
1 − 1
x v`a b`ınhphu,o,ng ta c´o
Phu,o,ng tr`ınh n`ay l`a ¯dô´i x´u,ng v´o,i x = 1
2, v`ı v ây ch´ung tôi th u,c hi ên vi.êc thay thê´
u= x − 1
2, x = u +1
2 dê¯
,c´o ¯du,.o,c u4− 5
2 v`a x= 1 ±
√5
2 Kiê,m tra c´ac phu,o,ng tr`ınh ban ¯dâ`u cua ch´ung tôi,,
chı x, = 1+
√
5
2 l`a nghi êm th´ıch h o,p
C´ach 2: T`u,phu,o,ng tr`ınh ban ¯dâ`u, ch´ung tôi c´o x > 0 v`a 1 > 1
x, do ¯d´o x > 1.Bây gi`o,cô l âp
Trang 1414 Chu,o,ng 2 Ðê` thi Olympic To´an Canada
L `o , i gi ai 2.3 Ch´ung tôi ch´u , ,ng minh r`˘ang
> (1
2 + 1
4 + · · · + 1
2k)+ k+ 12k+ 2 +
12k+ 2
> (1
2 + 1
4 + · · · + 1
2k)+ k+ 22k+ 2Phu,o,ng ph´ap quy n ap ¯du,.o,c ho`an th`anh l`a
> (k + 2)(1
2 + 1
4 + · · · + 1
2k+ 2).
L `o , i gi ai 2.4 Lu , ,u ´y r`˘ang [ABD= 20o,BCAd = 80ov`a [ACE = 10o
Lâ´y G l`a chân ¯du,`o,ng cao k,e t`u, A t´o,i BC Th`ı BAGd = 90o
− dABC = 30o
v`a[
CAG= 90o
− dBCA= 10o Bây gi`o,,
sin dBAGsin [ACE sin [CBDsin [CAGsin [BCE sin [ABD = sin30osin10osin40o
sin10osin70osin20o
Trang 15Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 15Sau ¯d´o, b`˘ang h`ınh th´u,c lu,.o,ng gi´ac cua ¯, d.inh l´y Ceva AG, BG v`a CE l`a ¯dô`ng quy.
Do ¯d´o F n`˘am trên AG ¯dê,AFvuông g´oc v´o,i ¯du,`o,ng th˘ang BC, nhu, ,mong muô´n
L `o , i gi ai 2.5 Nê´u hu , ,´o,ng yêu câ`u l`o,i gi,ai c´o thê,d˜ê d`ang ch´u,ng minh b`˘ang quy n.aptheo n, ch´ung tôi chı ra ch, ı ra ¯, diê`u mâu thu˜ân Gia s, u,,, ngu,.o,c l ai, r`˘ang c´o tô`n t.ai
c ˘ap ¯d´ap ´u,ng c´ac phu,o,ng tr`ınh nhu,ng không phai c, ua c´ac h`ınh th´u, ,c ¯du,.o,c mô ta; cho,(a, b) l`a m ôt c.˘ap v´o,i sô´ tô,ng tô´i thiê,u a+ b Ch´ung tôi ch,ı ra (c, a)= (m2a − b, a) l`a
m ôt c.˘ap nhu,v ây, nhu,ng v´o,i tô,ng nho ho, ,n c+ a d˜ân ¯dê´n mâu thu˜ân
(a) a= 0 Th`ı (a, b) = (0, m) = (ao, a1) m ôt mâu thu˜ân.
(b) a= m Th`ı (a, b) = (m, m3)= (a1, a2) m ôt mâu thu˜ân.
(a, b) = (an +1, m2an +1− an)= (an +1, an +2).
Trang 1616 Chu,o,ng 2 Ðê` thi Olympic To´an CanadaNhu,ng sau ¯d´o, c+ a < a + a ≤ b + a, nhu, mong muô´n.
T`u,nh˜u,ng ¯diê`u trên, ch´ung ta thâ´y r`˘ang gia ¯, d.inh cua ch´ung tôi l`a sai Do ¯, d´o m˜ôi c ˘ap
¯
d´ap ´u,ng c´ac phu,o,ng tr`ınh ban ¯dâ`u phai c´o c´ac h`ınh th´u, ,c mô ta.,
Trang 17CHU , O , NG 3
3.1 Ðê` b `ai
B `ai 3.1. Cho ABC l`a tam gi´ac không t`u v´o,i AB > AC v`a bB= 45o;
Cho O v`a I l`a tâm ¯du,`o,ng tr`on ngo.ai tiê´p v`a n.ôi ti.êp cua tam gi´ac ABC Gi, a s, u,,r`˘ang
√
2OI = AB − AC X´ac ¯d.inh tâ´t ca c´ac gi´a tr.i c´o thê, ,c´o cua sin d, BAC
B `ai 3.2. Cho n, n > 1 l`a m ôt sô´nguyên du,o,ng X´ac ¯d.inh nê´u c´o tô`n t.ai 2n sô´nguyênkh´ac bi êt t`u,ng ¯dôi m ôt a1, a2,· · · , an, b1, b2,· · · , bncho thâ´y
(a) a1+ a2+· · · + an = b1+ b2+· · · + bn;(b) n+ 1 >
B `ai 3.3. Ðô´i v´o,i m ôt b ô U, cho |U| biê,u th.i sô´ phâ`n tu,,trong U M ôt t.âp h o,p U ¯du,.o,c
g oi l`a nguyên thuy nê´u tâ´t c, a c´ac phâ`n t, u,,cua n´o l`a sô´ nguyên du, ,o,ng v`a c´o m ôt phâ`n
tu,, u ∈ U thoa m˜an UCLN(u, u, 0) = 1 v´o,i m.oi u0 ∈ U, u0
, u M.ôt t âp h o,p U ¯du,.o,c
g oi l`a không - nguyên thuy nê´u tâ´t c, a c´ac phâ`n t, u,, cua n´o l`a sô´ nguyên du, ,o,ng v`ac´o m ôt phâ`n tu,,u ∈ U thoa m˜an UCLN(u, u, 0) > 1 v´o,i m oi u0 ∈ U H˜ay ¯dê,thiê´t l âp
S = 1, 2, , 98 X´ac ¯d.inh gi´a tr.i tô´i thiê,u l`a sô´ nguyên du,o,ng n r`˘ang, ¯dô´i v´o,i bâ´t k`y
t âp h o,p con T ⊂ S v´o,i |T | = n n´o luôn luôn c´o thê,t`ım thâ´y m ôt t.âp h o,p con T10⊂ Tnhu,v ây m`a T10 = 10 v`a cho bâ´t k`y phân v`ung A v`a B cua T, 10v´o,i |A|= |B| = 5 m.ôttrong sô´ ¯d´o l`a nguyên thuy v`a kh´ac l`a không nguyên th, uy.,
B `ai 3.4. X´ac ¯d.inh tâ´t ca c´ac sô´ nguyên du, ,o,ng n ≥ 3, sao cho 22000 chia hê´t cho
Trang 1818 Chu,o,ng 3 Ðê` thi olympic to´an Trung Quô´c
du,o,ng G oi x1, x2, , xn l`a c´ac sô´ th u,c thoa, m˜an
Ap d ung ¯d.inh l´y Sin cho tam gi´ac ABC, ta c´o:
a= 2Rsinα, b = 2Rsinβ, c = 2Rsinγ,Khi β= 45o, sinβ =
√2
2 , tanβ
2 = √2 − 1, v`asinγ = sin(135o−α) =
√2(sinα+ cosα)
2 = R(√2 − 1)(sinα+ sinγ − sinβ)
T`u,công th´u,c Euler OI2 = R(R − 2r), ch´ung ta c´o
OI2= R2[1 − 2(sinα+ sinγ − sinβ)(sqrt2 − 1) (3.2)Khi√2OI = AB − AC,
OI2 = (c − b)2
2 = 2R2(sinγ − sinβ)2T`u,(1) v`a (2) ch´ung ta ¯du,.o,c
2(sinγ − sinβ)2 = 1 − 2(sinα + sinγ − sinβ)(√2 − 1)
Trang 19Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 19
⇐⇒ 1 − 2(sinγ − sinβ)2 = 2(sinα + sinγ − sinβ)(√2 − 1)
√2
2 ho ˘ac cosα = 1 −
√2
2 ,sinα = √1 − cos2α =
q4
(b) OIkAB Gia s, u,,El`a chân vuông g´oc t`u,Oxuô´ng BC V`ı v ây [AOE =Cb= γ
Rcos [AOE = Rcosγ = OE = IIc = r
Trang 2020 Chu,o,ng 3 Ðê` thi olympic to´an Trung Quô´cKhi
= cosβ − 1 + sinα + β − γ
2 + sinβ + γ − α
2
= cosβ − 1 + sin(90o−γ) + sin(90o−α)
= cosβ − 1 + cosγ + cosα,
Ðê,´y r`˘ang
cosα = 1 − cosβ = 1 −
√2
2 v`a sinα= √1 − cos2α =
q4
√
2 − 2
L `o , i gi ai 3.2 Câu tr , a l`o, ,i l`a c´o Ðâ`u tiên ch´ung ta ch´u,ng minh bô,dê` sau ¯¯ dây
Bô,dê` 3.1 Nê´u a¯ 1, a2,· · · , an, b1, b2,· · · , bn l`a 2n sô´ nguyên kh´ac bi êt t`u,ng ¯dôi m ôtm`a
Trang 21Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 21
Ch ´u,ng minh ¯dê` b`ai Cho N l`a m ôt sô´ nguyên du,o,ng V´o,i i = 1, 2,· · · n − 1, cho
ai = N(2i − 1), bi = 2i T`u, (a) ch´ung tôi c´o:
Sô´ lu,.o,ng n`ay tiê´p c ân n − 1 nhu,N −→+∞ v`a an
N −→+∞ (ch˘ang h an, cho a, n = n2.) Do ¯d´o ¯dô´i v´o,i ¯dô´i v´o,i bâ´t k`y ε > 0 (o,,dây ε¯ = 1
1998,) ch´ung ta c´o thê,t`ım thâ´y sô´
L `o , i gi ai 3.3 Câu tr , a l`o, ,i l`a n = 1 Cho T ⊂ S Ch´ung ta n´oi T l`a tô´t nê´u c´o tô`n
t ai T10 ⊂ T дap ´u,ng ¯diê`u ki ên (a) v`a (b) Bây gi`o, ch´ung ta h˜ay |T | = 50 Ch´ungtôi kh,˘ang ¯d.inh r`˘ang tâ´t ca c´ac T nhu, , v ây l`a tô´t H˜ay ¯dê, E(T ) l`a sô´ lu,.o,ng
th âm ch´ı ca yê´u tô´ trong T v`a O(T ) l`a sô´ c´ac phâ`n t, u,, le trong T Ch´ung tôi c´o,E(T )+ O(T) = |T| = 50 Ðô´i v´o,i m.ôt sô´ le x ∈ S cho f (x) biê, ,u th.i sô´ lu,.o,ng y c´acsô´ ch˜˘an trong S nhu, v ây m`a UCLN(x, y) > 1 Ch´ung tôi thiê´t l.âp c´ac s u,ki ên sauv`a bô,dê`.¯
l`a3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59
(2) C´o 16 sô´ le, 3, 9, 15, , 93, trong S v´o, ,i c´ac u,´o,c sô´ nguyên tô´ nh,o nhâ´t 3
Trang 2222 Chu,o,ng 3 Ðê` thi olympic to´an Trung Quô´c(3) C´o 7 sô´ le, 5, 25, 35, 55, 65, 85, 95, trong S v´o, ,i c´ac u,´o,c sô´ nguyên tô´ nh,o nhâ´t5.
(4) C´o 4 sô´ le, 7, 49, 77, 91, trong S v´o, ,i c´ac u,´o,c sô´ nguyên tô´ nh,o nhâ´t 7
(5) C´o 1 sô´ le trong S v´o, ,i c´ac u,´o,c sô´ nguyên tô´ nh,o nhâ´t p, cho tâ´t c,a c´ac sô´nguyên tô´ 11 ≤ p ≤ 97
Bô,dê` 3.2 Nê´u c´o m ôt sô´ l¯ e x ∈ T nhu, ,v ây m`a
(a) E(T ) ≥ 31 Kê,t`u,khi x c´o thê,c´o nhiê`u nhâ´t l`a hai yê´u tô´ kh´ac bi êt ch´ınh,
f(x) ≤ f (15)= 98
6
+9810
−
9830
= 22
Do ¯d´o E(T ) − 9 ≥ 22 ≥ f (x) T`u,bô,dê`, T l`a tô´t.¯
(b) 30 ≥ E(T ) ≥ 21 Th`ı O(T )= 50 − E(T) ≥ 20 Khi,
1+ 16 = 17 < 20,t`u,(1) v`a (2) ch´ung tôi tiê´p t uc c´o thê,gia s, u,,r`˘ang p ≥ 5 v`a x , 35, 55,
Do ¯d´o
f(x) ≤ f (65) =98
10
+9826
= 12
Do ¯d´o E(T ) − 9 ≥ 22 ≥ f (x) T`u,bô,dê`, T l`a tô´t.¯
(c) 20 ≥ E(T ) ≥ 12 Th`ı O(T )= 50 − E(T) ≥ 30 Khi,
1+ 16 + 7 + 4 = 28 = 30 − 2 ≤ O(T) − 2,
Trang 23Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 23t`u,(1) v`a (5) ch´ung tôi tiê´p t uc c´o thê,gia s, u,,r`˘ang p ≥ 13 Do ¯d´o
f(x) ≤ f (13)=98
26
= 3 = 12 − 9 ≤ E(T) − 9
Theo bô,dê` T l`a tô´t.¯
(d) 11 ≥ E(T ) ≥ 10 Th`ı O(T )= 50 − E(T) ≥ 39 Khi,
1+ 16 + 7 + 4 = 28 = 39 − 11 ≤ O(T) − 11,t`u,(1) v`a (5) ch´ung tôi tiê´p t uc c´o thê,gia s, u,,r`˘ang x= p ≥ 47 Do ¯d´o,
f(x) ≤ f (47)=98
94
= 1 = 10 − 9 ≤ E(T) − 9
T`u,bô,dê` T l`a tô´t.¯
(e) E(T )= 9 Th`ı O(T) = 41 Khi,
1+ 16 + 7 + 4 = 28 = 41 − 13 = O(T) − 13,t`u,(1) v`a (5) ch´ung tôi tiê´p t uc c´o thê,gia s, u,,r`˘ang x= p ≥ 59 Do ¯d´o
f(x) ≤ f (59)= 0 = E(T) − 9
T`u,bô,dê` T l`a tô´t.¯
(f) E(T ) ≤ 8 Th`ı O(T )= 50 − E(T) ≥ 42 Khi,
1+ 16 + 7 + 4 = 28 = 42 − 14 = O(T) − 14,t`u, (1) v`a (5) ch´ung tôi tiê´p t uc c´o thê,gia s, u,, r`˘ang x = p ≥ 61 Khi O(T) ≤ 49, c´onhiê`u nhâ´t l`a 7 sô´ le không trong T Trong sô´,
986
+ 1 = 16, sô´ le trong S l`a chia,hê´t cho 3 c´o ´ıt nhâ´t l`a 16 − 7 = 9 trong sô´ sô´ trong T G.oi t1, t2, , t9l`a 9 sô´ nhu,
v ây Sau ¯d´o, ch´ung tôi c´o thê,cho T10 = x, t1, t2, , t9v`a do ¯d´o T l`a tô´t
V`ı v ây, tâ´t ca T v´o, ,i |T | = 50 l`a tô´t Tuy nhiên, t.âp h.o,p con cua 49 con sô´ th âm,ch´ı l`a không tô´t Do ¯d´o n= 50
Trang 24
24 Chu,o,ng 3 Ðê` thi olympic to´an Trung Quô´c
L `o , i gi ai 3.4 , C´ac nghi êm n = 3, 7, 23 Kê,t`u,2 l`a sô´ nguyên tô´ 1+ C1
dô´i v´o,i m ôt sô´ nguyên du,o,ng t Nê´u s ≥ 4 th`ı 8 ≡ 3 × 2t(mod16) =⇒ 2t = 8 =⇒
m2 − 3m+ 8 = 24 =⇒ m(m − 3) = 16 ¯d´o l`a không thê, V`ı v ây, m ôt trong hai
s= 3, m = 8, t = 4, n = 7, ho.˘ac s = 2, m = 4, t = 2, n = 3
(b) m= 3×2s Khi m ≥ 4, m > 1 v`a u ≥ 4 Ch´ung tôi c´o 9×22u−9×2u+8 = m2−
3m+ 8 = 2v, ¯dô´i v´o,i m ôt sô´ nguyên du,o,ng v N´o râ´t d˜ê d`ang ¯dê,kiê,m tra m`a không
c´o giai ph´ap cho v khi u, = 1, 2 Nê´u u ≥ 4, ch´ung tôi c´o 8 ≡ 2v(mod16) =⇒ v = 3
v`a m(m − 3)= 0, ¯d´o l`a không thê, V`ı v ây, u = 3, m = 3 × 23 = 24, v = 9, n = 23
L `o , i gi ai 3.5 ,
Bô,dê` 3.3 Cho D l`a m ôt ¯diê¯ ,m bên trong tam gi´acABC.Ch´ung tôi c´o
AD · DB · AB+ DB · DC · BC + DC · DA · CA ≥ AB · BC · CA; (4)
¯
d˘ang th ´, u,c xay ra khi v`a ch, ı khi D l`a tr u, ,c tâm cua ABC.,
R˜o r`ang l`a bô,dê` c´o ch ´¯ u,a kê´t qua ch´ınh c, ua ch´ung tôi.Ch´ung tôi s˜e ch ´, u,ng minh
bô,dê` theo hai c´ach.¯
Ch ´u,ng minh C´ach 1
Cho E v`a F l`a diê¯ ,m nhu, v ây m`a BCDE v`a BCAF l`a hai h`ınh
b`ınh h`anh V`ı v ây EDAF c˜ung l`a m ôt h`ınh b`ınh h`anh.Ch´ung tôi c´o