Bài tập và đáp án giải tích bậc đại học ôn tập

BÀI TẬP GIẢI TÍCH HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016 2017 BÀI TẬP ÔN TẬP GIẢI TÍCH HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016 2017 Bài 1 Áp dụng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau 1   1 1 2 3 f x x  2   25f t. Bài tập và đáp án giải tích bậc đại học ôn tập Bài tập và đáp án giải tích bậc đại học ôn tập

Bài 1 Áp dụng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

1   1 1

5

f t  t tại t 1

Đ/S 1   1

2

f x  2 f 1 10

Bài 2

1 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đường parabol y4xx2 tại điểm (1; 3)

2 Tìm phương trình đường tiếp tuyến trong câu 1

3 Vẽ đồ thị đường parabol và đường tiếp tuyến trong câu 2

Đ/S 1 2; 2 y2x1

Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số một biến số sau:

3

x

2 y 4(t2) 6t

3

2

y

x

 tại x1

4 yln(x 1x2)

5

2 3

1

x

  tại x1

6 ye x x

Đ/S 1 ' 64 1 1

2



 2

2(14 3 ) '

6

t y

t



 3 2

4

2

1 1

y x

 

 5

2

3 6

1 1 2

x

x

x

 

Bài 4 Giả sử rằng f  5 1; f 5 6; g 5 3; g 5 2 Hãy tính các giá trị:

1    fg  5

2 f  5

g



 

 

f



 

 

 

Đ/S 1 20 2 16

9 3 16

Bài 5 Giả sử rằng f  2  3; g 2 4; f 2  2;g 2 7 Hãy tính h 2

1 h x 5f x 4g x  2 h x  f x g x   

3 h x  f x   

g x

1

g x

h x

f x





Đ/S 1 38 2 29 3 13

16 4

3 2



Bài 6 Nếu g là một hàm khả vi, hãy tìm biểu thức cho đạo hàm của mỗi hàm số sau:

yx g x

2

 x

y

g x

3 1 xg x 

y

x





Đ/S 1 y2xg x x g x2   2    

  2

y





2

xg x x g x y

x x



 

Bài 7 Tính vi phân của các hàm số một biến số sau:

1 2 4 1 3 2 5

3

ln 2

x

ye  x tại x 1

3 5 3 x

3

x 

1

x

e y

x





2

s y

s







Đ/S 1 dy 8x3 x2 1 dx

x

1 4 ln 3 3

dy    dx

 

2 2 2

1 2 1

x

x



 5 dy 0  6dx 6

 13 2





Bài 8 Tìm đa thức Taylor bậc 3 của các hàm số sau:

1 f x( )ln(1 2 ) x tại x0

2 f x( )e3x1 tại 1

3

x 

2

f x



 tại x 1

Đ/S 1 ( ) 2 2 2 8 3

3

f x   x  x   x 

3  2

( ) 1 +1

Bài 9 Tính các tích phân sau:

1 x 2dx

x





2

3

2

2

2 1

1

x

dx x







3

0 2 1

x dx







4

2 2

2

4 3

x

dx





5

1

02 x 1

dx



xx

7

2

9 4

dx

x x



8 (2x1)e dxx

9

ln(x1)dx

10

ln 2

0

1

x

e  dx



11

2 2

1

1

x dx x





Đ/S

3x x xC

3

 

3 ln 2

4





4 3ln 1 11ln 3

5 ln2 1

3

e e



6 2arcsin xC

ln x 2 9 4 xx C

8 ex( 2  x 3) C

9 (x1) ln(x  1) x C

10 2

2





11 3

3





Bài 10 Tính các tích phân suy rộng sau:

1

3 x 2

dx x



2

0

2

dx

x

 

0 9 6 4

dx





4 2

dx





x x





 2

6 0 2x 1e dx x







Đ/S 1 3 2

4



3

9 3



4 1ln 2

2

 5 1ln3

2 2 6 – 1

Bài 11 Tính độ dài đường cong:

1 1 ( 2 ln ) (1 )

2 2

3

3 yln(x x21) ( 2 x 5)

4 ln(1 2) (0 1)

2

5 ylnx ( 3 x 8)

2

Đ/S.1

2 2

2 2

2 49

3 3 1 4

1

ln 3 2

 5 1 1ln3

  

Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1

2 2

2

x

yx y y x 3 y2 x y;  2 x y; 0, trục hoành

2

Đ/S 1 4 2 4 3 7

6

Bài 13 Tính vi phân toàn phần của hàm số:

1 z ln x 1

f x y  xy e  tại 1; 1 

xy

y





Đ/S 1   2 1

1; 2

dz  dx dy 3 df 1; 1  dxdy 4 dz 1,1 dx dy

2

Bài 14 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:

1 z xylnx x

y

2  2 2

ln

z x y 3 z(2x2y e2) x y

Đ/S

y

x

2

3

Bài 15 Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

1 ze2x(xy22 )y 4 z xy 50 20

3

z x  y  xy

3 zx4y4x2y22y12 6 zx yx2 y 6x3

Đ/S

1 Đạt cực tiểu tại 1; 1

2

  3 Đạt cực trị tại

1

;1 2

  6 Đạt cực tiểu tại

1

;1 3

2 Không có cực trị 4 Đạt cực đại tại M 5; 2 7 Đạt cực đại tại  4; 4

Bài 16 Điểm M 1;1 và N1;1 có là điểm cực trị của hàm số zx4y44xy2 không? Nếu có thì nó

là điểm cực đại hay cực tiểu của hàm số?

Đ/S N không là điểm cực trị, M là điểm cực tiểu

Bài 17 Giải các phương trình vi phân với biến số phân ly sau:

1  2

1x y3xy0 3 2 2

1x y (1 y )

2 xyy 1y2

2 2

1 y

y x



 

Đ/S

ln ln 1

C

y

2 x0, 1y2 lnx2 C; x0không là nghiệm

3 arctan yarcsinx C 0,x 1

1

y



 ; y 1 cũng là nghiệm

Bài 18 Giải các phương trình vi phân đẳng cấp sau:

; 1 1

x y

x y



' (1 ln ln x)

xy  y  y với y(1)e

2



4 y 2xy 2

 



x  xyy  2 x ln y C

y   3 yx e x 4 lnCy 2x22 0,C 0

y

Bài 19 Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau:

1 '

2

  với y(1)1

2 y'2xy(xx2).ex2

3

3 '

2 4

x

xy y

x

 



y



3

1 2

x



  2

2

x

y x  x C e 

3 1  2 

2

y x  C x x 

x

x



Bài 20 Giải các phương trình vi phân Bernoulli sau:

1 xy2 dy y3 12

dx  x

2 y 3 y x y3 2

x



3 x y2 2xy5y3

4 dy y 5x y2 2

dx x

Đ/S 1 3  

3

1

x

4 3

1

0 7

x y

C x

4x

C

0, 0; 0 3

Bài 21 Tính tổng của các chuỗi số sau:

1

1





2

1

1 (3 2)(3 1)





2

1 ln(1 )









4

0

6

n n









0

2 3 ( 1) ( 2)









n

n

Đ/S 1 1 2 1

3 3 ln 2 4 7

2 5 1

Bài 22 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

1

n

n









2

1

1

sin

5









1

5n

n









2

1

!

n

n n





5

2

2 1

n

n







6

1

1 arctan

n







7  

1

1

1 n









8  

1

1 ln

n









9

1

sin

2n

n

na







10

4 1

cos 1

n

na n





Đ/S

1 Phân kì (tiêu chuẩn so sánh)

2 Hội tụ (tiêu chuẩn so sánh)

3 Hội tụ (tiêu chuẩn Đalămbe)

4 Hội tụ (tiêu chuẩn Đalămbe)

5 Phân kì (tiêu chuẩn Côsi)

6 Hội tụ (tiêu chuẩn Côsi)

7 Hội tụ (tiêu chuẩn Leibnitz)

8 Hội tụ (tiêu chuẩn Leibnitz)

9 Hội tụ tuyệt đối 10 Hội tụ tuyệt đối

Bài 23 Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau:

1

5x

!

n







1

n









3   1

3 1

n n

n

x n











1

1

4

n

n n

n

x n









1

5 5

n

n n

x n









6

0

! n

n

n x







Đ/S 1  2 1;1 3 1 1;

3 3