PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ một SỐBÀI TOÁN cơ HỌC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sơ cấp biến ph c thì chúng ta đ̃ gi i quyết được nhiều bài toán ng dụng trong trư ng tĩnh điện và cơ học chấ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Đχ̣I HỌω THχI NGUYÊN

TR NGăĐẠIăHỌCăS ăPHẠM

NGUYỄNăTHỊăTHUăPH NG

PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC V̀ăṂTăŚăB̀IăTÓNăC ăḤC

LUỆ̉NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăḤCăTOANăHỌC

TH́IăNGUYÊN - 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Đχ̣I HỌω THχI NGUYÊN

TR NGăĐẠIăHỌCăS ăPHẠM

NGUYỄNăTHỊăTHUăPH NG

PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC V̀ăṂTăŚăB̀IăTÓNăC ăḤC

ωhuyên nganh: TOÁN GI I TÍωH

M̃ ś: 60.46.01.02

LUỆ̉NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăḤCăTOANăHỌC

Ngươi hương dẫn khoa học: GS TSKHăHaăHuyăKhoai

TH́IăNGUYÊNă- 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

M căl c

Mởăđầu iii

1.ăăăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăṂTăŚăH̀MăS ăC PăC ăB̉N .1

1.1 Khái niệm về phép biến hình b o giác .1

1.1.1 Định nghĩa 1

1.1.2 Phép biến hình thực hiện b i hàm gi i tích 1

1.1.3 ψổ đề Schwarz 2

1.1.4 Nguyên lí đ́i x ng .2

1.2 Phép biến hình b o giác qua một ś hàm sơ cấp .3

1.2.1 Phép biến hình tuyến tính .3

1.2.2 Phép biến hình nghịch đ o w = 1 z 5

1.2.3 Phép biến hình Giucovski .6

2.ăăăB̀IăTÓNăTH MăPH NG 11

2.1 Phương trình chuyển động nước thấm .11

2.1.1 Khái niệm về nước thấm 11

2.1.2 Vận t́c thấm 11

2.1.3 Định luật Darcy 13

2.1.4 Phương trình thấm 14

2.2 ψài toán thấm phẳng đồng chất 15

2.2.1 Thế vị ph c 15

2.2.2 Đư ng dòng và đư ng thế 17

2.2.3 Điều kiện biên 18

2.2.3.1 ψiên không thấm .18

2.2.3.2 ψiên thấm 18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.2.3.3 Biên rỉ .19

2.2.3.4 Đư ng b̃o hòa 20

3.ăăăPH NGăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăB̀IăTÓNăTH MăCÓắP D IăĆCăCÔNGăTR̀NHăTH YăLỢi.ă.ă 21

3.1 ψiến hình đa giác thành nửa mặt phẳng .21

3.1.1 M đầu .21

3.1.2 ωông th c Schwart – Christoffel 22

3.1.3 ψiến hình chữ nhật thành nửa mặt phẳng .23

3.1.4 Các hàm Jacobi 26

3.2 Thấm dưới công trình th y lợi 28

3.2.1 Hình chữ nhật cơ s c a bài toán thấm có áp 28

3.2.2 Hộ đê phẳng trên lơp thâm sâu vô hạn .30

3.2.3 Hộ đê phẳng trên lơp thâm hữu hạn .33

3.2.4 Hộ đê phẳng trên lơp thâm hữu hạn co vach cư .37

4 PH NGăPHAPăBIÊNăHINHăBẢOăGIACăTRONGăBAIăTOANăTHỂM KHÔNGăAP 43

4.1 Hàm Giucovski 43

4.2 Vách c̀ Giucovski 44

4.3 Thâm qua mang lươi co lọc đôi xưng 47

Kếtăluậnă 52

T̀IăLI UăTHAMăKH̉O 53

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

M ̉ ăĐỂU

1.ăLỦădoăchọnăđ ătƠi

Khái niệm ánh x b o giác là một trong những khái niệm quan trọng nhất

c a toán học và là một trong những phần lý thú c a lý thuyết hàm biến ph c ψài toán cơ b n và khó nhất c a lý thuyết ánh x b o giác là tìm hàm chỉnh hình thực hiện ánh x b o giác miền cho trước lên miền cho trước ψài toán này có ý nghĩa thực hành rất lớn, tuy nhiên cho đến ngày nay ngư i ta chưa

có những phương pháp đ hiệu lực để gi i nó, nhưng trong nhiều trư ng hợp đơn gi n nhất (nhưng cũng đầy thú vị) bài toán có thể gi i nh các hàm ś sơ cấp biến ph c

Đặc biệt năm 2005, GS Darren ωrowdy đ̃ có một công trình đột phá về việc ánh x b o giác miền đa giác đa liên lên nửa mặt phẳng ph c (công th c Schwart-Christoffel cho trư ng hợp đa liên), một công cụ vô cùng quan trọng cho tất c các nhà toán học, kỹ sư cũng như các nhà khoa học khi mún chiếu các thông tin về hình kh́i ph c t p thành các hình d ng đơn gi n như hình tròn để dễ dàng hơn trong việc phân tích Kết qu trên còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác, chẳng h n trong mô hình hóa và trực quan hóa các cấu trúc ph c t p c a hệ thần kinh Trong luận văn này, chúng ta mới sử dụng công th c Schwart-ωhristoffel cho miền đơn liên

Và nếu như trước đây một ś các kỹ thuật gi i tích được giới sinh viên toán ng dụng dùng đến nhiều hơn so với phương pháp chiếu b o giác, ví dụ như các phương pháp cổ điển để gi i các bài toán cơ học continuum, tĩnh điện, hay các lĩnh vực sử dụng phương trình Laplace và Poission hai chiều, nhưng với những gì mà tính chất phép biến hình b o giác và nh các hàm ś

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

sơ cấp biến ph c thì chúng ta đ̃ gi i quyết được nhiều bài toán ng dụng trong trư ng tĩnh điện và cơ học chất lỏng,

Xuất phát t̀ thực tế đó, sau khi tiến hành nghiên c u về một vài ng dụng c a phép biến hình b o giác, tôi đ̃ chọn đề tài với một vài bài toán ng dụng phép biến hình b o giác đ̃ được m rộng, mô phỏng lên phần nào các chuyển động c a dòng nước trong cơ học chất lỏng

3.ăM căđíchăc aăluậnăvĕn

Mục đích c a luận văn này là trình bày một ś ng dụng c a phép biến hình b o giác trong một ś lớp bài toán quan trọng c a cơ học, cụ thể là bài toán chuyển động c a nước ngầm dưới các công trình th y lợi T̀ đó có thể giúp các nhà nghiên c u, làm thế nào để xây dựng được một công trình th y lợi đ t chất lượng t́t nhất

4.ăN iădungăc aăluậnăvĕn

Luận văn gồm b́n chương

Chương 1: Trình bày khái niệm phép biến hình b o giác và một ś phép

biến hình b o giác quan trọng trong gi i tích ph c

Chương 2: Giới thiệu về phương trình chuyển động nước thấm và các

vấn đề liên quan như vận t́c thấm, quy luật thấm T̀ đó đưa ra bài toán thấm phẳng đồng chất

Chương 3: Trình bày ng dụng phép biến hình b o giác vào gi i quyết

bài toán thấm có áp dưới các công trình th y lợi bằng cách tìm hàm biến hình

b o giác miền thế vị ph c lên miền thấm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chương 4: Trình bày ng dụng phép biến hình b o giác vào gi i quyết

bài toán thấm không áp dưới các công trình th y lợi Trong bài toán này do miền thấm chưa xác định nên ph i sử dụng hàm Giućpxki sao cho miền giá trị c a nó là xác định Sau đó ta tìm hàm biến hình b o giác miền thế vị ph c lên miền xác định đó T̀ đó ta tìm được quan hệ giữa miền thấm và hàm thế

vị ph c

Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và

b iết ơn sâu sắc đến GS TSKH Hà Huy Khoái, người thầy đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học

Đồng thời tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, trường phổ thông Dân tộc nội trú – THPT tỉnh Tuyên Quang, các bạn trong lớp cao học K18B, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện về mọi mặt để giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên tháng 08 năm 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ch ngă1

PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăṂTăŚăH̀MăS ă CỂPăC ăBẢN

1.1 KH́IăNI MăV̀ăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC

1.1.1 Địnhănghĩa:

Một phep biên hinh được gọi la bảo giac nêu no co cac tinh chât sau:

- ψ o toàn góc giữa hai đư ng cong bất kì đi qua z (kể cả độ lơn va

hương)

- ωó hệ ś co d̃n không đổi t i điểm đó, nghĩa là mọi đư ng cong đi qua

z đều có hệ ś co d̃n như nhau qua phép biến hình

Nếu phép biến hình là b o giác t i mọi điểm c a miền G thì nó được gọi

là b o giác trong miền G

1.1 2.ăPhépăbiếnăhìnhăthựcăhi năbởiăhƠmăgi iătích:

ωho hàm w = f(z) đơn diệp, gi i tích trong miền G Do ý nghĩa hình học

c a f '(z)ta thấy rằng phép biến hình được thực hiện b i hàm w = f(z) là b o giác t i mọi điểm mà f '(z)0

Nếu chỉ xét trong một lân cận nhỏ c a điểm z, thì phép biến hình b o giác là một phép đồng d ng do tính chất b o toàn góc ωác góc tương ng trong hai hình là bằng nhau Mặt khác nếu xem hệ ś co d̃n là không đổi thì

tỉ ś giữa hai c nh tương ng là không đổi

Ngược l i ngư i ta ch ng minh được rằng phép biến hình w = f(z) đơn diệp là b o giác trong miền G thì hàm w = f(z) gi i tích trong G và có đ o hàm f '(z)0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trước hết ta th̀a nhận một tính chất đặc biệt c a hàm biến ph c mà hàm

biến ś thực không có, đó là tính duy nhất, được phát biểu như sau: Giả sử

hai hàm f(z) và g(z) cùng giải tích trong miền D và thoả mãn f(z) = g(z) trên một cung L nào đó nằm trong D, khi đó f(z) = g(z) trên toàn miền D

Gi sử D1 và D2nằm kề nhau và có biên chung là L

Hìnhă1.1

Gi sử f1(z) gi i tích trong D1 và f2(z) gi i tích trong D2 Nếu f1(z) = f2(z) trên L thì ta gọi f2(z) là thác triển gi i tích c a f1(z) qua L sang miền D2 Theo tính duy nhất c a hàm gi i tích nếu f3(z) cũng là thác triển gi i tích c a f1(z) qua L sang miền D2 thì ta ph i có f3(z) = f2(z) trong D2 ωách nhanh nhất để tìm thác triển gi i tích c a một hàm cho trước là áp dụng nguyên lí đ́i x ng sau đây:

Giả sử biên của miền D 1 chứa một đoạn thẳng L và f 1 (z) biến bảo giác

D 1 lên B 1 trong đó L chuyển thành đoạn thẳng T thuộc biên của B 1 Khi đó

x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

tồn tại thác triển giải tích f 2 (z) của f 1 (z) qua L sang miền D 2 nằm đối xứng với

D 1 đối với L Hàm f 2 (z) biến bảo giác D 2 lên B 2 nằm đối xứng với B 1 đối với T

biến bảo giác D thành B

Nguyên lí đ́i x ng thư ng dùng để tìm phép biến hình b o giác hai miền đ́i x ng cho trước

kz (k a 0)

       e i ( Arga)

w =  + b

Nếu biểu diễn các điểm , , w trong cùng

một mặt phẳng thì dựa vào ý nghĩa hình học c a

phép nhân và phép cộng các ś ph c ta suy ra rằng:

- Điểm  nhận được t̀ điểm z bằng phép co

d̃n với hệ ś k

- Điểm  nhận được t̀ điểm  bằng phép quay tâm O, góc quay 

- Điểm w nhận được t̀ điểm  bằng phép tịnh tiến xác định b i vectơ biểu diễn ś ph c b

Hìnhă1.2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Như vậy mún được nh w c a z ta ph i thực hiện liên tiếp một phép co d̃n, một phép quay và một phép tịnh tiến Tích c a 3 phép biến hình trên là một phép đồng d ng Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép đồng d ng

Nó biến một hình bất kì thành một hình đồng d ng với hình ấy Đặc biệt, nh

c a một đư ng tròn là một đư ng tròn, nh c a một đư ng thẳng là một

đư ng thẳng

Ví dụ: Tìm hàm w = f(z) biến hình tam giác vuông cân A(3 + 2i), B(7 + 2i),

C(5 + 4i) thành tam giác vuông cân có đỉnh t i O1, B1(– 2i) và C1(1 – 2i)

Hìnhă1.3

Vì các tam giác χψω và tam giác O 1B1C1 đông dạng nên phep biên hinh này được thực hiện bằng một hàm bậc nhất w = az + b Phép biến hình này có

thể phân tích thành các phép biến hình liên tiếp sau đây:

- Phép tịnh tiến t̀ χ về ǵc, xác định bằng vec tơ (–3 – 2i) Phép tịnh tiến này được xác định b i hàm    z (3 2i)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.2.2 Phépăbiếnăhình nghịchăđ o w = 1

z:

Phép biến hình này đơn diệp, biến mặt phẳng

ph c m rộng z (t c mặt phẳng ph c có bổ sung

thêm điểm z = ) lên mặt phẳng ph c m rộng w

nh c a điểm z = 0 là điểm w =  Ngược l i nh

Ta sẽ nêu ra cach tim ảnh của một điểm z bât ki ωhú ý là hai điểm z và

z  Vậy mún được w, ta dựng w đ́i x ng với z qua đư ng tròn

đơn vị rồi lấy đ́i x ng qua trục thực Nói khác đi, phép biến hình w 1

z

 là tích c a hai phép đ́i x ng:

- Phép đ́i x ng qua đư ng tròn đơn vị

- Phép đ́i x ng qua trục thực

Tínhăch tă: Phép biến hình w 1

z

 biên:

- Một đư ng tròn đi qua ǵc to độ thành một đư ng thẳng

- Một đư ng tròn không đi qua ǵc to độ thành một đư ng tròn

- Một đư ng thẳng đi qua ǵc to độ thành một đương thẳng

- Một đư ng thẳng không đi qua ǵc to độ thành một đư ng tròn đi qua ǵc to độ

Nếu coi đư ng thẳng là một đư ng tròn có bán kính vô h n thì tính chất

1

Hìnhă1.4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

trên được phát biểu gọn l i là: Phép biến hìnhw 1

z

 biến một đư ng tròn thành một đư ng tròn

Chứng minh: Xét đư ng cong ω’ có phương trình:

A(x2 + y2) + 2Bx + 2Cy + D = 0 trong đó χ, ψ, ω, D là những hằng ś thực

Viết phương trình ấy dưới d ng ph c ta có:

Azz    Ez Ez D 0trong đó E = ψ – iC

Nếu χ  0, D = 0 thì ω’ là đư ng tròn đi qua ǵc to độ

Nếu D = 0 thì L là đư ng thẳng Nếu D = χ = 0 thì L là đư ng thẳng đi qua ǵc to độ Nếu χ = 0 thì L là đư ng tròn đi qua ǵc to độ

  là hàm Giucovski Hàm này có rất nhiểu

ng dụng trong kĩ thuật mà chương sau ta s̃ biết một phần ng dụng c a nó Hàm Giucovski có một điểm bất thư ng hữu h n là z = 0 Đạo ham của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ta đi tim miên đơn diệp của ham Gi sử z1 z2nhưng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

tiêu điểm của elip la F1(– 1; 0) và F2(1; 0) Khi  biên thiên tư 0 đến 2, điểm

z chạy dọc đương tron z h theo hương dương trong khi ảnh w tương ưng

c a nó ch y trên elip theo hướng âm c a mặt phẳng

Vì khi 0 <  <  thì v < 0 và khi  <  < 2 thì v > 0 nên nh c a nửa đương tron trên la nửa elip dươi, nh c a nửa đư ng tròn dưới là nửa elip trên

ωhú ý là khi h  0 thì các bán trục a , b của elip dân ra , nghĩa là nếu đương tron z h càng nhỏ thì nh c a nó có các bán trục càng lớn Khi h 

1 thì a  1 và b  0, nghĩa là nếu đư ng tròn z h càng dần vào đư ng tròn đơn vị thi elip ảnh dẹt dân va tiên tơi đoạn kep F 1F2 (sở dĩ gọi la đoạn kep vi

F1F2 đông thơi la ảnh nửa cung tron đơn vị trên va la ảnh nửa cung tron đơn

vị dưới) Ta quy ươc bơ trên của đoạn thẳng la ảnh nửa cung tron đơn vị năm trong nửa mặt phẳng dươi ; bơ dươi của đoạn thẳng la ảnh nửa cung tron đơn

vị nằm trong nửa mặt phẳng trên

ii, Đoạn thẳng Argz   , z 1

Nêu gọi L la ảnh của đoạn thẳng:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Đây la phương trinh của một hyperbol co cac tiêu điểm trung vơi F 1 và

nh là nửa mặt phẳng dưới Ngược l i nửa hình tròn đơn vị dưới có nh là nửa mặt phẳng trên

iv, Nửa mặt phẳng trên, năm ngoai hinh tron đơn vị tâm O

Tương tự như ở y i, nh c a nửa đương tron trên:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Đây la một cung elip năm trong nửa mặt phẳng trên , có các bán trục là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ch ngă2

2 1.ăPH NGăTR̀NHăCHUY NăĐ̣NGăN CăTH M

2.1.1.ăKháiăni măv ăn căth m

Hiện tượng thấm có liên quan với tính x́p c a đất Tính chất x́p này được đặc trưng b i độ x́p Ta xét một mẫu đất x́p có thể tích V và gọi V1 là tổng thể tích c a các lỗ hổng Tỉ ś giữa V1 và V gọi là độ x́p c a mẫu đất

Ta kí hiệu độ x́p là  :

V

  (2.1) Nước có thể tồn t i trong đất x́p dưới nhiều tr ng thái như hơi nước, nước bám chặt vào mặt ngoài các h t, nước dính vào đất do lực phân tử v.v…, nhưng quan trọng đ́i với vấn đề đây là tr ng thái nước tự do, chuyển động dưới tác dụng c a trọng lực và áp suất th y động Hiện tượng thấm là hiện tượng nước tự do ch y trong đất x́p

lên pháp tuyến c a S và gọi tỉ

lệ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

mS

 (2.2)

là độ x́p mặt Lưu lượng qua S trong một đơn vị th i gian bằng

Q = S1Un = S.mUn (2.3) T̀ đó ta suy ra rằng lưu lượng qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị

th i gian là mUn, đó là vận t́c thấm và vectơ vận t́c thấm là:

VmU (2.4) Lấy một mẫu đất hình trụ có độ cao h, gọi S1(z) là diện tích lỗ hổng trên tiết diện S c a mẫu đất độ cao z Độ x́p c a mặt tiết diện ấy s̃ là

1

S (z)m(z)

S

Giá trị trung bình c a độ x́p mặt trong mẫu đất được tính theo công

1

VmV

   Vậy độ x́p mặt bằng độ x́p (thể tích) và vận t́c thấm (2.4) có thể viết là

V U (2.5)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

s theo hướng c a vận t́c thấm, giới h n

ĐịnhăluậtăDarcy: Tốc độ thấm V chỉ phụ thuộc vào độ dốc thủy lực J Đối với

những trường hợp thường gặp, sự phụ thuộc ấy là tuyến tính:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

đư ng kính trung bình c a h t đất là khá bé, cụ thể là nằm dưới một giới h n nào đó (ch̀ng 0,7cm2/giây) Khi đó hệ ś thấm k có những giá trị t̀ 1 đến 10-

2 đ́i với cát, t̀ 5.10-4 đến 5.10-5 đ́i với đất sét Hệ ś thấm đ́i với các lo i đất sét pha cát năm giữa hai kho ng đó

Trong môi trư ng thấm, hệ ś k có thể thay đổi theo t̀ng điểm, t c là một hàm ś c a x, y, z: k = k (x, y, z)

Trong trư ng hợp k là một hằng ś thì môi trư ng thấm được gọi là đồng chất

2.1.4.ăPh ngătrìnhăth m

Ta lấy một kh́i nước thấm hình lập phương với kích thước dx, dy, dz, có các mặt song song với các mặt tọa độ Lưu lượng chất lỏng qua các mặt thẳng góc với trục Ox cách ǵc một kho ng x là:

udydz = u (x, y, z) dydz Lưu lượng qua mặt như thế cách ǵc một kho ng x + dx là:



ωũng vậy hiệu ś ấy đ́i với hai hướng y và z là:

udydzdxy



udzdxdyz



Vậy gi thiết là chất lỏng không nén được, thì lượng nước ch y vào kh́i lập phương bằng lượng nước ch y ra, cho nên ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Phương trình (2.9) gọi là phương trình liên tục

Lấy biểu th c c a V (2.8) đặt vào phương trình liên tục (2.9) ta s̃ được

ś, thì ta có thể rút k ra ngoài và gi n ước, khi đó phương trình thấm s̃ tr

phẳng Mỗi tiết diện như thế c a đập được gọi là mặt phẳng thấm

Trong mặt phẳng thấm ta chọn hai trục tọa độ Ox ngang và Oy dọc hướng lên trên Lúc ấy phương trình chuyển động thấm phẳng s̃ có d ng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

          (2.13) với

 =  + i

Hàm  = (z) gọi là thế vị phức c a sự thấm Đ o hàm c a nó bằng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.2.2.ăĐ ờngădòngăvƠăđ ờngăthế

Đường dòng thấm là đư ng tiếp xúc với vectơ vận t́c thấm t i mỗi điểm

c a nó Phương trình c a một đư ng như vậy là

(x, y) là hàm dòng

Quỹ đ o trực giao c a đư ng dòng rõ ràng là

những đư ng  = hằng ś, mà ta gọi là đường thế

Gi sử ta có hai đư ng dòng ω1 và C2 (hình 2.2)

C1:    hằng ś 1

C2:    hằng ś 2

Ta h̃y xét ý nghĩa c a hiệu   Ta ńi một 2 1

điểm M1 trên C1với một điểm M2 trên C2 bằng một đư ng L kh vi Ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

trong đó dQ là lưu lượng nước thấm qua cung vi phân ds Lấy tích phân, ta có

L

V ds Q

     (2.21) Như vậy hiệu   chính bằng lưu lượng 2 1 2

1

Q nước thấm giữa hai

đư ng dòng    và 1    trên một bề dày đơn vị 2

2.2.3.ăĐi uăki năbiên

Miền thấm được giới h n b i những đư ng gọi là biên hay đư ng viền (hình 2.3) Thế vị ph c (z) là một hàm gi i tích trong miền ấy Nó thỏa m̃n một ś điều kiện trên các đư ng viền gọi là điều kiện biên Những điều kiện này tùy thuộc vào lo i biên mà sau đây ta s̃ lần lượt xét

2.2.3.1.ăBiênăkhôngăth m

Đó là biên giới h n những kh́i không thấm nước, như công trình bằng

bê – tông hay nền đá rắn (ví dụ FNF hình 2.3)

ψiên như thế rõ ràng ph i là một đư ng dòng, t c là dọc theo đư ng biên không thấm ta có điều kiện

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Áp suất trong kh́i nước được phân b́ theo quy luật th y động học T i một điểm M bất kì trên biên thấm χψ chẳng h n, áp suất s̃ là

p p g H  ytrong đó palà áp suất trên mặt nước (áp suất không khí), H1và y là độ cao c a mặt nước và c a điểm M tính t̀ một trục ngang chung Do đó giá trị c a một hàm thế  t i M là

Đ́i với ba lo i biên trên, ngoài điều kiện vật lý (2.22), (2.23) hay (2.24),

ta còn điều kiện hình học, t c là phương trình xác định các biên ấy đ̃ cho trước d ng

f (x, y)0

Trong các trư ng hợp thư ng gặp, các biên ấy là đư ng thẳng và phương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Do đó một điều kiện trên đư ng b̃o hòa là:

Nếu không có sự thấm xúng hay sự b́c hơi thì đư ng b̃o hòa cũng là

đư ng dòng, cho nên một điều kiện vật lý khác trên đư ng b̃o hòa là

Ngoài hai điều kiện (2.26) và (2.27), trên đư ng b̃o hòa không còn điều kiện nào khác Nó là một biên không biết trước

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

W u iv d d :dz

      (3.1) ψài toán thấm có áp dưới các công trình th y lợi có hai đặc điểm (hình 3.1)

Hình 3.1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

a) đây ta chỉ có biên không thấm trên đó = const và biên thấm nước

φ = const, cho nên miền thế vị ph c là một đa giác có các c nh dọc hay là ngang

b) Miền thấm thư ng cũng được giới h n b i những đo n thẳng, t c cũng là một đa giác, hoặc là xấp xỉ một đa giác

Như vậy, việc tìm các hàm z( ) và ( ) được quy về việc tìm phép biến hình đa giác lên nửa mặt phẳng Đó là cơ s c a phương pháp mà vào kho ng năm 1920 N.N.Paolôpxki đ̃ dùng để gi i rất nhiều bài toán thấm có áp

Theo lý thuyết các hàm gi i tích đơn trị, đa

giác này s̃ được biến hình b o giác lên nửa

Nếu một điểm aira vô tận, chẳng h n an   , thì công th c cũng như trên

Hìnhă3.2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

nhưng bỏ đi nhân th c tương ng:

như trên, nhưng ph i lấy  là góc giữa hai c nh ra vô k

3.1.3.ăBiếnăhìnhăchữănhậtăthƠnhăn aăm tăph ng:

Ta h̃y biến b o giác chữ nhật có c nh

là  và 1  như trong hình 3.3 lên nửa mặt 2

1(i 1, 2,3, 4)2