Tuyển chọn một số bài toán đặc sắc về tổ hợp

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉ[r]

TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ TỔ HỢP Câu 1 Cho triển khai ( )2 ( )2 1 2 2

0

768

n

k

k

a

=

=

A a = −5 378 B a = −5 252 C a = −5 126 D a =5 378

Lời giải:

2 0

n n

k k n



n

− + = ⎯⎯→ = ⎯⎯→ hệ số 5 ( )5 4

Câu 2 Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức

x

1009 2018

1 2

S+ C

A S =22016 B S =22017 C S =22018 D S =22019

Lời giải:

Ta có

2018 2018

2018 2 2018 0

1

k

x

−

=

Để lũy thừa với số mũ nguyên dương thì 2018 2− k  0 k 1009

Suy ra S=C20180 +C20181 + + C10082018

Suy ra 1 20181009 20180 20181 20181008 1 10092018

1009 0 1 1008 1009 2018 2017 1010 1009

2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018

k n k

n n

C C

−

0 1 2017 2018 2018

2018 2018 2018 2018 2

Vậy 1 10092018 22017

2

Câu 3 Cho khai triển ( ) 2

1+x n =a =a x+a x +a x n n với n  * Hỏi có bao nhiêu giá trị n 2018 sao cho tồn tại k thỏa mãn

1

7 15

k

k

a

a + =

Lời giải:

0

1

n

n k

=

+ = ⎯⎯→hệ số của x k là C n k

+

k

Vì n  * nên (k+1 7) ⎯⎯→ = +k 6 7m với m 

Khi đó n=21 22+ m2018⎯⎯⎯m → =m 0;1; 2; ;90⎯⎯→ có 91 số Chọn C

Câu 4 Tìm n, biết rằng hệ số của x4 trong khai triển ( 3 2 ) ( )

A n = 8 B n =10 C n =12 D n =14

Lời giải:

x + x + x x+ =x +x + x +x + x +x

4

Câu 5 Cho khai triển ( ) ( ) 1 ( )

a x a x a x a x với mọi x  , n  và n  5 Tìm n, biết a2+ +a3 a4 =83n

A n =12 B n =13 C n =14 D n =15

Lời giải:

x = x− +  =C x− +C x− − +C x− − + +C − x− +C

Vì a2+a3+a4 =83n⎯⎯→C n2+C n3+C n4 =83n⎯⎯→ = Chọn B n 13

Câu 6 Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức

3 2

x x

Lời giải:

−

−

Ta tìm các số hạng có cùng lũy thừa của x:

k m



 − = −  − =

Vậy trong khai triển đã cho có tất cả 21 11 3+ − =29 số hạng Chọn B

Câu 7 Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức

1 2

n x

+

bằng 135, còn tổng của ba số hạng cuối bằng 22

Lời giải:

2

k x

n k

k x

Từ đó suy ra:

▪ Tổng hai số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135

2 4 n 2x n 2 x n 2x n 2 x 135

▪ Tổng ba hệ số của ba số cuối bằng 22

2

n n

Thay n = vào (1), ta được 6 C62.2 24x 1 2− x +C64.2 22x 2 4− x =13522x+1+22 2− x = 9

0 =u 2 x, ta được

4

u

 + =   = ⎯⎯→ = −



2

x − 

Câu 8 Trong khai triển của biểu thức ( 3 )2017

2

x − −x , tính tổng S của các hệ số của x2k+1với k nguyên dương

A S =22017 B S =2017.22016 C

2017 2016

2

D

2017 2016

2

Lời giải:

x − −x =a +a x+a x + +a x (1)

Ta cần tính S =a3+ +a5 a7+ + a6051

Thay x = vào (1), ta được 1 a0+ +a1 a2+ + a6051 = −22017 (2)

Thay x = − vào (1), ta được 1 a0− + − + −a1 a2 a3 a6051= −22017 (3)

Trừ vế theo vế (2) và (3), ta được 2(a0 + +a1 a2+ + a6051)= ⎯0 →2S+2a1=  = − 0 S a1

Theo khai triển nhị thức Niutơn, ta có ( 3 )2017 2017 ( 3 ) ( )2017

2017 0

k

=

chỉ xuất hiện trong 1 ( 3 )1( )2017 1

C x −x − −

Mà 1 ( 3 )1( )2017 1 2016 ( 3 ) 2016 2016

Câu 9 Kí hiệu a5n−10 là hệ số của số hạng chứa x5n−10 trong khai triển ( 3 ) ( 2 )

1 n 2 n

5n 10 1000 1

A n =15 B n =17 C n =19 D n =20

Lời giải:

Chọn 5n−3k− =2i 5n−103k+ =2i 10⎯⎯→( ) ( ) ( )k i;  0;5 , 2; 2 

Suy ra hệ số của số hạng chứa x5n−10 là C C n0 n5.25+C C n2 n2.22

Theo giả thiết 0 5 5 2 2 2 ( )

x x+ + x+ =a +a x+a x + +a + x + với n là số tự nhiên và n  2 Tìm n, biết rằng a2−7 ;n na n; a n−2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng

A n =7 B n =10 C n =12 D n =14

Lời giải:

Suy ra

1

+

+









Theo giả thiết ta có

6

n

n

=



 =



lo¹i lo¹i tháa

Vậy n =10 Chọn B

Câu 11 Xác định n biết rằng hệ số của x n trong khai triển ( 2 )2

A n = 5 B n = 6 C n = 8 D n =13

Lời giải:

1+ +x 2x + + nx n = + +1 x 2x + + nx n 1+ +x 2x + + nx n

Hệ số của n

x là: 1.n+1.(n− +1) 2.(n− + +2) (n−1 1) +n.1

2

Theo giả thiết, ta có

3

11

6

Câu 12 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C n n+−11+C n n+1=171 Hệ số lớn nhất của biểu thức

( ) (1 )(1 2 )n

A 25346048 B 2785130 C 5570260 D 50692096

Lời giải:

1

−

−

( 1) ( ) 2 17

20 2

n

Suy ra hệ số của x ktrong khai triển là C17k 2k +C17k−12k−1

Hệ số của x k là lớn nhất khi







2

17 17

− −









2

* 2

12

k

k







Vậy hệ số lớn nhất cần tìm là 12 12 11 11

Câu 13 Khai triển ( 2 10)11

1+ +x x + + x được viết thành a0+a x1 +a x2 2+ + a x110 110 Tính tổng

11 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11

S=C a −C a +C a −C a + +C a −C a

A S =0 B S =10 C S =11 D S =110

Lời giải:

Xét x  , từ khai triển nhân hai vế cho 1 ( )11

1

x − , ta được

x − = x− a +a x+a x + +a x 

11 0

k

=

= − ⎯⎯→ hệ số của x11 bằng C =111 11

0

k

=

▪ ⎯⎯→ hệ số của x11 bằng C a11 00 −C a11 11 +C a11 22 −C a11 33 + + C a1110 10 −C a1111 11

11 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11 11

Câu 14 Biết rằng trong khai triển nhị thức Niu-tơn của đa thức ( ) ( 2 3)

5

x là 1001 Tổng các hệ số trong khai triển của P x bằng ( )

Lời giải:

P x = + +x x +x = +x +x

( )

Hệ số của x5 ứng với k+ thỏa mãn 2l k+2l= ⎯⎯5 →( ) ( ) ( ) ( )k l; = 5;0 , 3;1 , 1; 2

▪ Trường hợp 1 Với n  khi đó 5 ( ) ( ) ( ) ( )k l =;  5;0 , 3;1 , 1; 2

⎯⎯→ Hệ số của x5 là 5 02n−5+ 3 12n−3+ 1 22n−1=1001

Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n  do đó chỉ có thể chọn 5 n = 5

Thử lại vào phương trình ta thấy n = thỏa mãn điều kiện 5

▪ Trường hợp 2 Với 3  khi đó n 5 ( ) ( ) ( )k l =;  3;1 , 1; 2

⎯⎯→ Hệ số của x5 là 3 12n−3+ 1 22n−1=1001

Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n  do đó chỉ có thể chọn 3 n = 3

Thử lại vào phương trình ta thấy n = không thỏa mãn điều kiện 3

▪ Trường hợp 3 Với n =2 khi đó ( ) ( )k l =; 1; 2

⎯⎯→ Hệ số của x5 là 2 2

Do đó chỉ có n = thỏa mãn 5 ⎯⎯→ tổng các hệ số trong khai triển là ⎯⎯⎯→cho x=1 65 =7776 Chọn

B

( )

'

P x và P''( )x lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của đa thức P x Khẳng định nào sau đây ( )

đúng?

A a2 =P' 0( ) B ( )

2

' 0 2

P

a = C a2 =P'' 0( ) D ( )

2

'' 0 2

P

Lời giải:

P x = +a a x+ a x + a x

Cho x = , ta được 0 '' 0( ) 2 2 2 '' 0( )

2

P

Câu 16 Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển

1 2− x+2015x −2016x +2017x

Lời giải:

Đặt ( ) ( )

( )

60

2016 2017 2018

2016 2017 2018







60 0

k

=

60

60

k

k i i

k

Vì bậc của đa thức g x là ( ) 2018 ⎯⎯→ số hạng chứa x3 ứng với 0 3

60 3 2 8 60

Câu 17* Cho khai triển

2018 2

với x  − Tính tổng 1

2018

1

=

k

S b

A S =22018 B 22017 1 10092018

2

2

2

Lời giải:

1

f x

x

0 1 2018

Suy ra a0 + =S 22018 (1)

2018 0

1

1

−

=

+

k

x

2 2018 2018

2018

2018 2

1 1

k

k k

k

C

x

−

−

+

Suy ra:

1 3 2017 0 2 4 2018 2018 2018 2018 2018

0 2018 2018 2018 2018 2018

Từ (1) và (2), suy ra 22017 1 10092018

2

Câu 18 Với n  , n  và thỏa mãn 2 2 2 2 2

5

n

5 3 2

4 !

P n

+

+

=

A 29

45

90

90

90

P =

Lời giải:

Ta có

−

10

Với

5 3

10 12 59 10

+

Câu 19 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1+ +P1 2P2+3P3+ + nP n =P2014, với P là số các hoán vị n

của tập hợp có n phần tử

Lời giải:

Ta có P k −P k−1 = −k! (k−1 !) (= k−1 !.) (k− =1) (k−1)P k−1 với k =1; 2; (1)

Áp dụng (1) ta có

2 1 1

1

2

P+ P nP



 − =









Cộng các đẳng thức ở (2) ta được P n+1− = +P1 P1 2P2+3P3+ + nP n

Do P1= ⎯⎯1 →P n+1= + +1 P1 2P2+3P3+ + nP n

Theo đề, ta có P n+1=P2014  + =n 1 2014⎯⎯→ =n 2013 Chọn A

Câu 20 Tính giá trị của biểu thức 0 1 2015 2016

2017 2017 2017 2017

P

A 2017 1

2018!

2017!

C 2018 1

2017!

2018!

Lời giải:

2017! 2017! 2017! 2017!

2017.2017! 2016.2016! 2.2! 1.1!

2017!

=

(2018 1 2017!) (2017 1 2016! ) (3 1 2!) (2 1 1!)

2017!

=

(2018! 2017!) (2017! 2016!) (3! 2!) (2! 1!)

2017!

=

2018! 1! 1

2018

−

Câu 21 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

2018

−

A n =2017 B n =2018 C n =2019 D n =2020

Lời giải:

Ta có

2018

−

Nhân hai vế cho 2019!, ta được

2018

−

2018

2019 2019 2019

!

n

−

2018

!

n

−

2018

!

n

−

Câu 22 Biết S=30C20180 +32C20182 +34C20184 + + 32018C20182018 =2a+ với 2b a b a, ( b) là các số nguyên

dương và không chia hết cho 2 Tính a b−

Lời giải:

2018 2018 2018 2018 2018

Thay x = vào (1), ta được: 3 42018 =C20180 +3C12018+32C20182 + + 32017C20182017 +32018C20182018 (2) Thay x = − vào (1), ta được: 3 22018 =C20180 −3C20181 +32C20182 − − 32017C20182017 +32018C20182018 (3) Cộng vế theo vế của (2) và (3), ta được: 2S =42018 +22018⎯⎯→ =S 24035 +22017

4035

2018 2017

a

a b b

=



Câu 23 Gọi S=C20200 +5C20202 +52C20204 + + 5i C20202i + + 51010C20202020 Biết rằng S chia hết cho M, M có thể nhận giá trị nào dưới đây?

A M =21010 B M =22020 C M =51010 D M =52020

Lời giải:

Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có

2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020

Thay x = 5 vào (1), ta được:

Thay x = − 5 vào (1), ta được:

S

1010 1010 1010 1010

Chọn A

Câu 24 Gọi S =C12017 +32C20173 +34C20175 + + 32014C20172015+32016C20172017 Biết S chia hết cho số M, M có thể nhận giá trị nào dưới đây?

A M =22016 B M =22017 C M =22018 D M =22019

Lời giải:

Ta có 3S=3C12017+33C20173 +35C20175 + + 32015C20172015+32017C20172017

2017 2017 2017 2017 2017

Thay x = vào (1), ta được: 3 42017 =C20170 +3C20171 +32C20172 + + 32016C20172016 +32017C20172017 (2) Thay x = − vào (1), ta được: 3 −22017 =C20170 −3C12017 +32C20172 − + 32016C20172016−32017C20172017 (3) Trừ vế theo vế của (2) và (3), ta được: ( ) 2017 2017

2016 2016 2016 2016

Câu 25 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 0 1 2 ( )

2C n +5C n+8C n + + 3n+2 C n n =1600

A n = 5 B n =7 C n = 8 D n =10

Lời giải:

S= C + C + C + + n+ C (1)

Viết ngược lại biểu thức của S, ta được

S= n+ C + n− C − + n− C − + + C (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế và kết hợp với công thức C n k =C n n k− , ta có

2S= 3n+4 C n + 3n+4 C n+ 3n+4 C n + + 3n+4 C n n

Theo giả thiết: 2 1600 =(3n+4 2) n⎯⎯→ = Chọn B n 7

Câu 26 Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2 ( )

3C n +4C n +5C n + + n+3 C n n =8192 Khẳng định nào sau đây đúng?

A n [1;8) B n [8;12) C n [12;16) D n 16;20

Lời giải:

S= C + C + C + + n+ C (1)

Viết ngược lại biểu thức của S, ta được

S= n+ C + n+ C − + n+ C − + + C (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế và kết hợp với công thức C n k =C n n k− , ta có

2S= n+6 C n + n+6 C n+ n+6 C n + + n+6 C n n

Theo giả thiết: 2 8192 =(n+6 2) n⎯⎯→ =n 10 Chọn B

Câu 27 Tính tổng S =C20183 −2C20184 +3C20185 −4C20186 + − 2016C20182018

A S = −2018 B S = −2016 C S =2016 D S =2018

Lời giải:

2018 2018 2018

Viết ngược lại biểu thức của P, ta được

Cộng (1) và (2) vế theo vế và kết hợp với công thức C n k =C n n k− , ta có

2018 2018 2018 2018 2018

( )2018

Suy ra P= ⎯⎯0 → + = ⎯⎯T S 0 → = − =S T 2016 Chọn C

Câu 28 Tính tổng ( ) ( ) ( )1 2 2 2 3 2 ( )100 2

100 100 100 100

A S =2200 B S =2200−1 C S=C100200 − 1 D S =C100200

Lời giải:

Cân bằng hệ số của x100 ở hai vế, ta được

0 100 1 99 2 98 3 97 100 0 100

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 200

Hay

0 100 100

100 100 200

C C + =S C Suy ra S=C200100−C1000 C100100 =C100200 − Chọn C 1

Câu 29 Tính tổng ( 1 )2 ( 2 )2 ( 2018)2

2018 2 2018 2018 2018

A S=1009C2018 B S=1009C2017 C S=1009C2018 D S=2018C2018

Lời giải:

Viết ngược lại biểu thức của S, ta được

Cộng (1) và (2) vế theo vế và kết hợp với công thức C n k =C n n k− , ta có

2018

4036

1009

Câu 30 Tính tổng ( 1 ) (2 2 ) (2 3 )2 ( 2018)2

2018 2 2018 3 2018 2018 2018

A

2

2018 4036

2018

2

2018 4036

2018

2

C 2 2017

4034

2018

4034

Lời giải:

Áp dụng công thức kC n k =nC n k−−11, ta được

2018 2017

2018 2017

2018 2017

2018 2017

2018 2017

2018



=











Câu 31 Cho tổng S=4C1002 +8C1004 +12C1006 + + 200C100100, biết S =a.2b với a, b là các số nguyên

dương Tính giá trị biểu thức P a b= +

A P = 1 B P =99 C P =199 D P =200

Lời giải:

Ta có

100 100 100 100

100 100 100 100 100

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được

Lấy đạo hàm hai vế của (3) theo ẩn x ta được

100.2 =4C +8C + + 200C hay S =100.299

199 99

a

a b b

=



1

2017

A 32016−1 B 32016 C 2016

Lời giải:

2017 2017 2017 2017

Đạo hàm hai vế ta được:

Thay x = vào biểu thức trên ta được: 3

Suy ra S =42016 −1 Chọn C

Câu 33 Tính tổng 0 2017 1 2016 2017 2017 0

2018 2018 2018 2017 2018k 2018 k 2018 1

k

S =C C +C C + +C C −− + +C C

A S =1009.22017 B S =2018.22017 C S =2018.22018 D S =2018.22019

Lời giải:

Ta có S=C20180 C20182017 +C12018C20172016 +C20182 C20162015 + + C2018k C20182017−−k k + + C20182017C10

2018 1 2017 1 2016 1

2018 2018 2018 2017 2018 2016

( )2018 /

1

=

x

Câu 34 Tính tổng S=C20183 −2C20184 +3C20185 −4C20186 + − 2016C20182018

A S =2016 B S =2017 C S =2018 D S =2019

Lời giải:

2018 2018 2018 2018

2 3 2018 2016

2018 2018

2018 2018 2018

1

+

Lấy đạo hàm hai vế ta được

2018 2018

2018 2018 2018

Thay x = − vào biểu thức trên ta được 1 0=2C20180 −C20181 + ⎯⎯S → =S 2016 Chọn A

Câu 35 Cho đa giác có 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó Xác suất để 3 đỉnh được chọn

tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng

A

3

12

12.8

8 12 3 12

12.8

C C

−

3 12 3 12

12 12.8

C C

3 12

12 12.8

C

+

Lời giải:

( )

3 3

12 12

12 12.8

12 8.12

P

C



▪ Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh: 3

12

C

▪ Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và 2 cạnh là cạnh của đa giác: cứ 3 đỉnh liên tiếp cho 1 tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của đa giác tức là có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác này có 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa trường hợp này)

▪ Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đã chọn) Do đó trong trường hợp này có 8.12 tam giác

Câu 36 Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của (H)

Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, xác suất để chọn được 1 tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác (H) và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H) bằng

A 69

23

17955 C

748

35

10098

Lời giải:

3 22 2 1540

22 18 1540 22 18 22

1540

748 1185030

1995 444312

n A C  C −  +





Chọn C

Câu 37 Cho đa giác đều có 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3 đỉnh được

chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân là

A 3

2

8

17

114

Lời giải:

( )

3

10.18 10.2 160

P

n A



▪ Số tam giác vuông là 10.18

▪ Số tam giác vuông cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đường kính là có 2 tam giác cân (2 điểm tạo nên tam giác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vuông góc với đường kính đã chọn với đường

tròn) Do đó có 10.2 tam giác vuông cân

Ví dụ 38 Cho đa giác đều có 15 đỉnh Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác

đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là