Tìm hiểu bước đầu về dung lượng monge ampere (luận văn thạc sĩ toán học)

Các tãp cực này không the được mõ tà bới một do đo đơn giàn, do đó các nhà toán học phải giới thiêu khái nlẽm dung lưựitg.. một mờ rông phi tuyến cùa khái niệm đõ do Dung lượng dóng một

LỜI CÁM ƠN

Ban luận ván náy đưực hoán thanh tại trương Dại học Sư phạm Thảnh phó IIỐ Chí Minh dưói sự hướng dán tận tinh cùa TS Nguyên Văn Dõng Nhãn dịp này tôi xin câm ơn Thầy về sư hướng dẫn hiéu quà cùng những kinh nghiệm trong quá trình hoc táp, nghiên cưu và hoàn thành luãn ván

Xin ( hãn thành câm ơn phòng Sau Đại hoc Ban chú nhiêm khoa Toán, các thầy

cô giáo Trường Dai hoc Sư pham Thành phố Hồ Chi Minh đã giông dạy và tao điều kiện thuận lơi cho tô) trong quá trinh live tập và nghiên cứu khoa học.Xin chân thành cám ơn trường TIICS THPT Nguyên Khuyến cùng các đàng nghiệp dã tạo diều kiộn giúp dỡ toi vè mọi mặt trong quá trình học tẠp và hoàn thành luận ván này

Bail hum vàn chác chấn SŨ không tránh khói những kliión khuyết vì váy rai mong nhận dược sự dóng góp ý kiến của các thay cô giáo và các bụn học viên

đe bàn luận vAn này được hoàn chinh hơn

Cuói cúng tôi xin càni ơn gia dinh và ban bé dộng viên, khích lệ tôi trong thdi gian học tập nghiên cứu vã hoàn thành luận vàn

Tháng (ks năm 2021

Tác giã

3LỜI MỚ ĐẦU

Lý thuyết đa the vi trên các mien trong V, được klỉời xướng bỏi Bedford- Taylor trong [2].[;{' Lý thuyết nay cho phép ta dinh nghĩa nghiệm tổng quát cũa phương trình Monge-Ampftre phức VÌ1 có nhiều áp dụng trong giải tích phức vã dộng lực phức

Trong lý thuyết da the VỊ tãp Cực (nghĩa là -00 tãp) cùa một ham da diều hóa dưới là tãp không cùa nhiều độ đo Borel Các tãp cực này không the được mõ

tà bới một do đo đơn giàn, do đó các nhà toán học phải giới thiêu khái nlẽm

dung lưựitg một mờ rông phi tuyến cùa khái niệm đõ do

Dung lượng dóng một vni trò quan trong trong Giải tích phức vì chúng cho phép mô tà các tập nhò Có rat nhiều dung lương khác nhau phụ thuộc vào van đề được nghiên cứu ờ dảy chung ta giới tlũêu khái niêm dung lương Monge Ampère một dung lương khái quát theo nghĩa Choquet, < ó các tập không là cốc tộp da cực (nghĩa là các tộp dược chữa mọt cách dịu phương trong tập cực ciia hám da điền hòa dưái)

Việc tim hiểu cầc dung lương Monge-Ainpỗre giúp tôi tim hiểu sau bơn các kiên thức về phương trinh vi phân, lý thuyét (la thề vị hỉnh học giãi tích phũc.Tữ những lv do trẽn, rỏi quyết dinh c hon dề tài 'Tìm hiểu bước dan về dung lương Monge Ampere"

Luân vãn này sí trình háy lại những kiến thức liên quan đen các dung lương ứng với toán tữ Monge-Ampère phức trẽn cn

Luân vãn nhắc lại đmh lý Choquet vẻ các dung lương khái quát, là các hàm táp hợp khái quát khái niêm đõ do, trong đó chúng không thỏa mãn tính chat cõng tính

Chúng lõi sẻ tlm hiểu các hàm cưc tri tương dói nghĩa là các bao kiểu Perron tuo diều kiộn (ho việc tính toíin dung lương Monge-Ampere

Sừ dụng dung lượng Monge-Atnpỉ-re chúng ta mờ tả CMC tịip da cực Một tạp cỏ dung lượng Monge-Ampẽre ngoal bang 0 nẹu vã chi néu nó la tạp da cực

(.'húng ta sẽ chi ra lâng CÁC liAiu da diihi hòa (lười là tựa liên tục dối vời dung lượng Monge-Ampère (chúng liên tục bẽn ngoài niỏt tập dung lượng nhò tùy ý) Tỉũ heu tham khảo cơ bàn sù dụng tini hiến về dung lương Monge-Apère lá các cõng trình cùa E.Bcdlord vã B.A.Tayloi '3], S.Kolodziej [iu]) U.Cegtell |5j .1 P.Demnilly [7]) V.Guedj và A Zcriahi s]

Xoi dung luân van gồm có 5 chương

Chương 3: Trình bày tính liên tục cùa toán tứ Monge-Ampère phức.

Chương 4: Tim hiểu các ham cực trị tương đói

Chương 5: Trình bày về các tâp nhó như tập (la cực tập không đáng kể

Mục lục

1.1 llảm nứa liêu tục trên 7

1.2 Các hàm đa điều hòa dirởi X 1.3 Dang vi phân và dòng 10

1.3.1 Dạng vi phân 10

1.3.2 Dòng 13

1.4 Dỡ đo Monge-Ampère phức 16

1.5 Một số két quá khác 17

2 Dung lượng Monge - Ampère 19 2.1 Dung lượng Choquet 19

2.2 Dung lương Monge - Aiupồre 23

2.2.1 D|nh nghĩa 23

2.2.2 Tập cực và tẬp khống 26

3 Tính liên tục cún toán tứ Monge - Ampère phức 20 3.1 Tinh tựa liên tuc của hàm đa điều hòa dưói 29

3.2 Sư hội tu theo dung lượng 31

3.3 Sư liỗn tục của toán từ Monge - Ampère phức 31

4 Hàm cực trị tương dối 39 4.1 Dịnh nghĩa và tinh chất cơ ban của hàm cực tri tương đổi 39

12 Dung lượng và hàm cực trị tương đối 12

5 lặp nhò 47 5.1 Tãp đa cực và hàm cực tri tương đối 47

5 2 Táp không dáng ke 50

5

táp hớp các hàm đa điều hòa dưới ám trẽn ft.

lởp belong các hàm da diều hòa dưới

không gian các hàm khâ tích địa phương trên tập U1Ỡ ư c LỈ”

không gian các hàm đo được bi chăn háu khắp nơi trẽn tãp mơ í' c tì'1, tãp các tâp con của í ỉ

n - đai bố các tập con Borel cứa ft.

dung lượng Monge Ampère (trong) doi với E c ftdung lượng Monge Ampère ngoài dối với A c fthàm cực trị t ương dổi gán với í A',ft)

Khi nghtân cứu vố hàm diều hòa (lưtìi, chúng tu can tìm hii'u một Nố tíuli chất

cơ bàn của hàm nứa Itèn tục trên

Định nghĩa 1.1.1 Chc A' là không gian metric Một ham tt: A -*• [-ỌQ,+3O) dược gọi là nứa iiSn tục tir'n nếu vói mói <: € K tập hợp {x € A' : n(a) < c} là tập mờ

Dinh nghĩa trẻn tương đương với định nghĩa sau

Ta nói rang u : A +oc) la nứa hen tục tvẻn tai Xo nếu vứi moi £ > 0 tồn

tại một lân cận V của Xụ 8410 cho «(r) < ti(xo) ♦ £ với moi X Ế u khi íi(xo) > -ao VỈ1 u(x) clan tới -oc khi I tiền tói J-|| khi ư(zu) = -00

Ham dược gọi la nứa hên tục trẽn tiin X nếu nó nữa liên tuc trẽn tai mõi điểm thuôc Ar

Nhận xét ràng, hàm tí là nửa lièn tuc trên trên A' nếu và chí nếu vói mói <1 € -V

ta có

/imtupu(x) < u(«),

ỡ dãy ỉiưuupu(x) = 4M/(yvp{u(y) V € A' n Zf|«.ĩ)} J Hàm «1 được goi là "lia hên

£>0 tục (lưới bin X nếu -u la nửa liên tục trẽn X.

Mệnh đề 1.1.2 Cho K hì một không gian metric coniịMict và H :k -+ [ 3C 4oo)

là hàm nửa liên tục trên Khi đó tồn tai môt dãy giâm các hàm liẽn tục Uj

7

CHƯONG ỉ KIẾN THỨC CHUẨN RỊ

K -» [-30, +3C) sao cho lim u.ịx) = «(r) vói mỏi r e K.

_r-»ocCho A là mõt không gian metric và y là một tập con khác rỗng rũa A Giã

sứ rang u Y -4 |-oc t oo) lã một hàm bị chặn trên địa phương gan mỗi điếm cua Y, nghĩa la với mỗi a € tồn tai môt lãn cận u cùa a trong A' sao cho

swp{u(jd ụ € Lrn >'} < X Ta (linh nghĩa hàm í.hình (Ịtty hóa nữa hên tuc trên

II* cùa u bời công thức

II* (j) = iimsupv(y) (z ẽ >')

r-»r.ự«rMệnli đề 1.1.3 Hàm Ư* : Y -4 [-00,4-00) là hàm mía liên tuc trẽn và u’ > u

trên y Hơn nữa, níu V Y -4 [-30; +oc) là hàm nửa ltèn tực trên, và u < r trèn

Y thì u* < V trẽn Y.

Dác biệt, hãm u A' -4 [-x.+x) lit ham nứa liên tuc trên 1ICU vã chi néu IIÓ trùng vái hàm chính quy hóa nữa liên rục trẽn của nó

1.2 Các hàm đa điều hòa dưới

Dịnh nghĩa 1.2.1 Cho íì là tap con mô cùá It'" và 11 íỉ -* -X +x| là hàm mía liên tuc trôn, không đống nhát bằng -X trôn mọi thành phần lién thông

t lia Q Một ham II như vạy dược gọi là Jit'tt hin đttâi trong n licit vói nwjỉ tập con mỡ compact rương đối G’ của í ỉ vá vơi mọt hãm h € W(íi) n (•((?) phép keo theo sau lã (lúng

11 < A trẽn dG => u < h trẽn G

Ký liiẽu: S7/(Q) hì ho các hàm (liều hòa (lưới trẽn íl

DỊnh nghĩa 1.2.2 Cho í> là mọt tãp con mơ của vn và hâm lí: íì —► |-x frx|

là hàm nửa liên tục trẽn, không đồng nhát bàng -X trẽn moi thành phần liên thõng cún tỉ Ilìnn u đưoc goi lĩi hàm da điều hỏa diíớt níu vói mỗi ft € Q và

A € V” hàm A t-r w(ơ + Aò) điều hòa (lưới hoặc (lỏng nhất bàng -X trên moi thành phần lũ?n thõng cùa tạp {A € V (I + XI/ e íĩ} 'Dong trường hop nàv ta vrôt u € PSH(ÍỈ)

Dịnli lý 1.2.3 Cho li íì -4 [-X + rc| là hàm nứa licn tụt tri’n, không dòng nhát bang -X tròn mọi thành phần liên thòng cùa íỉ c V" Khi đó u e p$ỉl(ữ) néu vã chi nếu với mói u € í! vã 6 € <j" sao cho

{a + AỐ: A€f,|A| < 1} c í>

1.2 CÁC HÀM DA DỈÈƯ HÒA DƯỚI 9

ta có

u(a} < í(u;a;&),

ớ đáy

l(u: ơ;ộ) - u(o +

llơn nửa, tính đa điều hòa dưới là tính chát đia phương

Định lý 1.2.4 Cho Í2 la một tập mờ trong V" vã u € PSiỉịíì) Néu e > 0 sao cho ft£ / 0 thì tí ♦ Xí e c* n PSHựl) Hơn thế nữa, u ♦ Ví giám khi £ giâm và

iutt ú * v(r) = u(±) với mồi JT 6 ft

Ể-»0

Hệ quả 1.2.5 Cho ỉỉ và Sỉ' làn lươt là các tập II1Ô trong V" và cfc Nếu a €

PSH(D) và f ft' -> ft bì một lình xa chính hình thì no/ íla (tiêu hòa duói trong

ÍK

Hệ quà 1.2.6 Nếu n là một tập con mờ cùa V’ thì /’Ó7/(ÍÌJ c s//(íỉ) c

Hệ quả 1.2.7 Nếu w,f e PSHịíl) và u = r hầu khắp nơi trong íĩ thì tt = V

t rong ft

IIộ quả 1.2.8 (Nguyên lý cực (lại cùa các hàm đa (liều hòa (lưói) Nếu

ft là một tập con mớ liên thông bị chộn cúa và néu w € /’.S7/(ft) thì hoftc u

là hồng số hoặc vói mói : € ft

u(-) < sup <fitnsvp

L y—.yifl JMót tạp con E cùa V" được gọi lã táp (ỉa cực nón VỚI môi tt í E có một lan Cun V' cùa a và một hàm u 6 /’.$’//( V) sao cho An V' c{:€ V : u(z) = -oc}

Hệ qua 1.2.!) 'lạp đa cực cô (lộ (lo Lebesgue hang 0

DỊnh lý 1.2.10 Mót hàm n : ft -> [ -X +<x| XÁC dinh trẽn mõt tập mở ft c V*

lá da điều hòa dưới trong Sỉ néu và chi néu uoT diều hòa dưới trong 7,-’líỉJ với mọi đắng cẤu € - tuyến tính 7*: tv’ -> C"

Định lý 1.2.11 Cho ft là mót tap mơ

(i) Ho /’5H(ÍỈ) lã inõt non lòi Nghĩa la nếu u ỉ là những sú không âm vã

U,V6 PSHịĩì} thì PSHịĩì).

(ii) Nếu ft là tap liên thong và [ỉí,}(FA c PS77|ftì lã dãy giam thì u lim II €

PSIIịữị hay u - -X.

10 CHƯƠNG' ỉ KIẾN THỨC CHUẨN RỊ

(iii) N7‘U u : íỉ -> K lã một hàm số vã nếu c PSH(ÍÌ) hội tụ đAu đén utrong tập con compact của ft thì « € PSH(ữ)

(iv) Cho c PSH(ữ} sao cho bao trẽn của IIÓ u - stiff un bị chăn trẽn

đìa phương Khi đó hàm chính quy hóa nưa liên tuc trẽn u* là đa điều hòa dưới trong ft

Hộ quả 1.2.12 Cho ft lã một táp mỏ trong V" vã ú.’ là một tập mờ khác rông con thực sự cùa Q Nếu u 6 /\$7/(ft) II 6 PSỈf(u) VÀ hrrMupv(r) < u(r/| với mỏi

»-*v

y 6 íkâ 1*1 ft t hì hàm ũ xác định bởi

moz(u, I*) trên u’

tt trên ft \ <.ỉ

là hàm đa diều hòa dưới trên ft

Mệnh <tề 1.2.13 Cho Ị : fl -> C" là ánh xụ chinh hình không suy biến trên một tập mở ft c và già sử í? là một lan cận mờ của f(Q) trong V* Giả sứ

4 c PSHịtt'} sao cho bao trên 9VP u,» bi chán trên dia phương Khi dó

•»€.4(w o /}• = w‘ ofMệuli đề 1.2.14 Gia sử {«,}/ A bi chàu trẽn đều dia phương Dinh nghĩa

11(e) - liitiSUỊ/ti, với z € ft Khi dó c hính quy hóa nứa liên tục trẽn »• là hàm đa

điòu hóa dưới tiuug íỉ

1.3 Dạng vi phân và (lòng

1.3 ỉ Dạng vi phân

Ký hieu H" lã không gian vectơ n - chiêu thực vói cơ sứ chính tác < ,(0 0.1 0)trong đó 1 ờ vị trí thứ J Già sử vđỉ môi 1 < j < n, ký liiộu u?(.r) = Tj là hhm tọa độ thứ J Ánh xa

/ ; JR.” X X 1K", -> o

S'pdược gọi lã p- tuyen Unit nếu nó tuyền tinh theo từng bién khi các biếu khúc cỏ định

Một ánh xa p - tuyến tính sao cho /(t'1, í'p) 8 0 khi I'j = v,t| I < j < n - 1

1.3 D.VNG VI PHÂN VẤ DÒNG IIđược gọi lã p- tuyí-n tính thay phiên, 'ráp CÁC ánh xạ p - tnyén tính thay phiên được ký hiệu là Af(K",(Ư).

Bàng cách thay mỗi t'i - £2’/ ị ut(iư)M La có thể biểu diễn ánh xa p - tuyên tinh thay phiên thing công thức

ỏ dãy / = (»|, ,tp), ỉ < i| < < ly < n,dxi - rfz,, A Adx.^.a : fỉ -* V- Tùy

thuộc tính chat của (II là bi chặn liihi lục, khả vi tu nói p - dang là bi chán, liôn tục, khá vi

GiẶ sir (I - E'ufdzf lã p - dang và ri - E'rfjdxj la q - dạng, trong dó 1 < <1 <

— < ty < n, 1 < Ịỵ < < J<Ị < n Khi đó lích ngoai ti A a lã một (p + <|) - dang

cho hòi công thức

« A 3 = 52?t«irz,

L

trong đó 'Yi.tlvỉ = 0 nếu có »t = Ji với 1 < k < p 1 < l < ụ và =(-l)r<r/3jdx/, A A vói 1 < tị < < ly+q < n với n là hoán vị cúa dãy 1 < I) < < ty < n và 1 < j| < < ýq < II trong tãp hợp (L n} để tao

c) u Arj) A< = Í A(ffA<)

Lưu ý: <.!/€ A1 (!<'' C) thì (Al/ I/Acc A( - I/AI/ - 0

.Nếu f là mót ham thi /A« = fa và (/a) A 3 = /(a A 3) Mọi p - dang với p> n dcu bâng 0 Dạng có bộc cực đại III II dạng Cho <« - Ha/di/ là p dạng thuộc lớp cỵ Vi phan ngoài (dao hàm ngoài) của «1 la một (p I l) dang xác đinh bỏi

12 CHƯƠNG' ỉ KIẾN THỨC CHUẨN RỊ

Một dạng vi phân u' € AP(K".V) được gọi là khớp nếu tốn tụi dạng vi phân

€ Ap-I(B.",<)) dể tin = Id Mọi dạng khớp đèu đóng Điều ngược 1111 không đúng

Mệnli đề 1.3.1.3 Vi phan ngoài thỏa các tinh chát sau:

ỉ) Với hai dang vi phân € AP(IK".C) TỈ1UỘC lóp c’ ta cố

+ Ký lnệu (íỉ) là không gian CÁC p - dạng lớp ck có giá compact t rong íỉ

I Ký hiộu ơ^(fỉ) là không gian các p - dạng trơn có giá comjMict trong ít+ Ký hiệu là kliỏug gian các p - dang lớp cl trẽn ít

+ Ký hiộu rbtyíỉ) lả không gian cAc p - dạng tron trAn ít

Giả sử lá A tập con compact trong Q và <1 € í A|(ty Nếu <1 = / (’Uppa

ự, íiuppn/) thi họ

ll«ll*.K = '”iH|ơ,ỉn/(.i)| : T € A‘, 131 <k,ĩ}

khi A chạy qua mọi tap compact của fĩ sinh ra tò po trén ' (íí)

Ta mõ ta tõ põ trên Giâ sử h dãy các tập mơ compact tươngdối cùa ữ vái ĩ\ c Í1J+1 vái mọi ■] > 1 Xét không giun vđi tỏ ]>ỏ dưocxác dinh bời ho nửa chuẩn {í\ ír,}£L<j ch° bời

1.3 DẠNCỈ VI PHÂN VẤ DÒNG I

Ffc.il, = ™p{|P*nr(z)| : T € Qr 131 < i ỉ}

nếu u - L'a/clx/i-suppo - |J; fuppaf) Ta có D^'(ÍỈ;J lá không gian t’rechet Kill

đó Dlr'(Qf) D'^(íij + |) và êípỉ(n) - u D^'(íĩz) Tô pô trên (Q) (lược mô tà như là tô pô giỏi han quy nap chát họ không gian frechct Dip-(f*z) Dicu này có nghĩa là một tãp ư c ẽ^(íì) là lãn cân cùa o e néu và chi nếu

là lân cũn của 0 trong D^(íỉj) với moi J hay là, mót (lày piF} c ẽ<p’(íl) hỡi tu trong đến A € í-(p>(Q) nẻu ton tại mót J sao cho {«*,«} c Díp,(ộj và «•/ hội tu trong pW(ĨỤ) đến n e

Như vỗy nếu o = 12'a/(fc/ (strp/Hi = u>vuppaj) và afc = Ỉ2'<r|(fa/ thuộc 5^(0} thi

1 / 1

«»* -> o nốu và chi nến:

1) Tồn tai tap compact K c íỉ SÍU> cho suỊiỊiu^.supỊMtỊ c K với moi /,A

2) Dd((»z) -» />*(<*/) dcu tren K khi A -♦ oc với mọi / và với mọi 3 €

Z'i-1.3.2 Dòng

Một dòng bậc p (hay dòug có chiều n - p) trẽn niõl tãp mở lì c IV là dang tuyến tính lién tuc T D<n~rì -t V Níu o la một dang trong D1" p>(íĩ) thì giá

tri của T tại n, ký hiộu bời T(n) hay (To).

Không gian cốc dõng thường (lược xét với tộ pô y 0 Một dây {/„} CẮC dòng bẬc

p trên n hội tụ (lổn dòng T bỉù p trôn íi nóu (Tn) hoi tụ (tón T trong (D':" p,ỵ nghĩa là vói mọi n € DÍ"-*>(ÍÌ), -» (T.n)

GiẲ sử 7’ € (/>'1_p)(íì)/ I = (â|, Ip) là dây tang vái 1 < »1 < < Ip < n,

.1 (/I hi-p) là dãy tang các chi só la phần bù cùa / (long {1 n} Khi đõ

vói € D(fỉ) ta xác định

77(^1

-ó (ĨAy «•> / được chọn sao cho efjrtri A d.Tj — IĨV Do T € (/>•’’liên

T ị € (D(ii)f Do đó dòng T bậc p cố the viét dưdi dạng

T- ĩ ỊT ị & ị

và dòng bậc p có the được xem là p - dang V) phàn vdi h «6 phân bố Nếu xem D’n)(íỉ) - D(íl) thí các <íony bậc íì trên íì có thổ viết là

T = ìiắiỊ A A din

11 CHƯƠNG' ỉ KIẾN THỨC CHUẨN RỊ với 11 lã phân bổ trẽn fỉ Lúc <16 tu đồng nhát T vối u và có thí' nói ràng các

dòng bậc 0 trên íỉ được xem như là các phán bố trên Ỉ1 và ngược lai

Dong T bậc p dược goi lá co cÁp 0 uéu uó thác triển liên tục đến dang tuyền tính liên tục trên không gian các (n - p) - dang có hê số là các hàmliên tục có giá compact trong 0 Trong trường hợp này ncu T = E’Tfdxt thì T/

la các dạng tuyến tính liên tục trẽn Co(íỉ) vói giá tri trong V Do đó 77 lã các

đõ do Borel chính quy phức trẽn Q

Trong trường hơp này nếu V' € p \Q) là (n - p) - dạng có hệ số là các hàm liẽn tuc có giá compact trong Í1 tlú có thể viết

(7» = f0TAệcSau dãy là một số ví du về dỏng

Ví dụ 1.3.2.1:

1 Giả sứ T - Ị' là một p - dang vói hệ số thuốc

T = ệi = v'o'G/.y-/ £Khi dó T xác dinh một dòng bile p trẽn íỉ xác dinh bời:

(T,a} = JflTAa.a€D<"-ri(il)

2 Già sứ Q c 1K" lã tộp rnỗ và E c Q là tập Borel Khi đỏ E xổc dinh một dỏng bẬc 0 dược gọi là dòng tích phÂn ký hiệu là ị£j tren ỉỉ XẮC dinh bài

= fna,ft e ơ<o>(íl)

Mệnh đề 1.3.2.2 Giã sứ T là dang tuyến tính trên D<n p)(íì) Khi dó T là một

p - dong trên 9 khi và chi khi với mội compact K c íì, tồn tai A > u và c > 0 sao cho vái moi fl e SUỊÌỊMV c K sao cho

lơ’.a)| < trong dó ||<y||a.k - sup{|DJn/(i)| : I e A‘,3 € £Ị,|0| < fr /} vói o = E'o/rfT/ Dinh nghĩa 1.3.2.3 Nêu só k ờ trên có the dươc chọn không phụ thuộc vào K thi ta nói T có cÁp hữu han và số k nhỏ nhất có tinh chÁt trên dược goi là cấp cùa T

cllolk.A-1.3 D.ỊNG VI PHÂN VẤ DÒNG lĩĐịnh nghĩa 1.3.2.4 Già sử T là p-dòng trẽn tập mà Q c K" Giá của T ký hiệu suppT là tập đóng nhó nhất cùa íì mà T bàng 0 trên íì\ xapỊiT nghĩa lã

<7'.a} - 0 VỚI mui u € D1-" f,-'(íỉ) VÓI suppcj c íỉ \ svịjịj T.

Ví dụ vtrppịEỊ E vói hao đóng cùa E lấy trong í ỉ

Tiễp theo là các phép toán trẽn ílòng

+ Giã sử T là p - dòng trẽn tãp mó Q c K" và O’ c fỉ là tập mở Dòng f lír là dòng được xác định bởi:

A3-(dT.o) = (-lf(T.rfa) vđi Q € ir-^ííì)

Dòng T dược gụi là đóng nếu <iT = <1 Cảc (long có bíic CI/C dai (bàng n) luôn dóng

DỊnh lý Stokes cổ đicn Nếu fĩ c 11" là mien bi t han có biên thuôc tóp c và

u- là (n - I) - dạng VI phân thuộc lớp c’ trẽn ỉĩ thi

ỉfìdw = ỉm

w-Định lý Stokes trên dòng Néu ỉỉ c K" lã miều bị chặn có biên thuộc kip c’

và 7’ là dòng bậc n - 1 trôn Q thuộc lóp c* trfn ĩĩ\u,ư Ế Q Hơn nita giả sử

lìT là dòng băc n cấp 0 trẽn Q Khi dó

lf> CHƯONG ỉ KIẾN THỨC CHUẨN RỊ

1.4 Độ đo Monge-Ampère phức

Định nghĩa 1.4.1 Cho u là niõt dạng vi phân trên mõt tãp mỏ Í1 c C” Nếu

w có t hr dươc viết dưới dang

w= z

t—rt/f-g

hoặc, một cách tương dương, nếu tự là ánh xa từ n vào nó dươc goi

là dạng ri phân kứ.u (p.q).

Cho Q là một tạp mờ trong V" Ilọ cAc dạng vi phAn song bộc (p q) có hệ số

thuộc c - O(ÍỈ,C) (t.ư Cg°(ft,V)) được kv hiệu là flS*(íỉ) (t.ư.

Định nghĩa 1.4.3 Các phần tứ c ua không gian đối ngầu (D"-F-n-*(íl)/ dược

goi là dòng song hác (p.q) (còn dược qoi la (p.q)-donq) Các phan tú của không gian dối ngáu (DJJ ’(íỉ))' dược RỌI la dong tẵp 0 và Sừng bậc (p.q) Rõ răng

(n,n) - dòng chi là phân bố trong Q trong khi (n.n) - dòng Clip 0 là đõ đo Borel phức chinh quỵ trẽn Q

Định nghĩa 1.4.4 Một dòng T dươc gội là dồng dương bác p níu nó là (p p)

- dòng sao cho T(u’) > 0 vói mỗi (p.p) - dung thử dương trôn fì

Neil V lã (p,p) - dụng dương trốn Q (nghĩa lã f(z) dương với mỗi z e íĩ), dòng

'ỉ\s xâí định bởi 7 ví?) - fii^ 1“ dương.

Mệnh đồ 1.4.5 Moi dóng dương song bac (p.p) trôn Í1 < V" <tóu cũ tap I) nghĩa 1A có hộ số là các độ do Borrl phức

Mênh dê 1.4.6 Nếu u € PSlỉ(íì} thì dd'u lã (1.1) dòng dương với he so la

dô du Borel

Mệnh <ĩề 1.4.7 X/‘U T là một (q q) - dõng diMDg, đỏng thi lỉd' UA.T lã một (q + 1 q + 1) • dòng dương đóng VÓI moi u € PSỈIịĩì) n

T.5 MỌT SO KẼT QUẢ KHÁC 17Định nghĩa 1.4.8 Nell ,«* € P.S7/I.V) n £f*(A') và T là dòng dươngđóng, song chiều (m.m), ta có thể đinh nghĩa dòng thĩ U| Adzf u2 A A <ỉft uk A T bới.

íW «1 A dti* Iff A A ốíf Ufc A T - rf<f‘(uj A dif'u-2 A A dff'uti A Tj

Ta cũng định nghĩa tương tự cho rftt| A <f 1*1 A A duk A zfu* A T Các định nghĩa này là đối xứng theo các u, DẠc biệt, nếu V € PSIIịĩi) và 1*1 u2, ,u* €

PSllịiìị n Lf^.(ỉĩ) dòng dd' 1*1 A dtf 1*2 A A (Iff Uk Add V lã dờng dương dõng xác

Bốt đăng thức Chern - Levine - Nirenberg Giả sừ íỉ c V là một tãp m<5

và «1 Up Ể F57/(íì) n A£;(íỉ) và T là (q.q) - (lòng dương đóng với p + < n.

Khi dó vói mọi Tập con compact A' c íĩ Ta cỏ:

lldtfui A A dd Up ATI Ik <

C(A-.íỉ)||u,|k.(rt) ||up||^(ft)||T||A-với ClA'.O} là hang phu thuộc VÀO /í.íĩ

1.5 Một số kết quả khác

.Mộnli đồ 1.5.1 Cho u V U’ € (fì) n£,*’(0) sao chơ - Hỉ)) =

0 Khi đó

/0(» - < (" + lJlAf"*1 /„(«• - v)f (d/Fr)"

trong dớ A/ - aupiỊíí - *n/(j« vồ («• - v)+ ywp{,,‘ - <•»!))

1.5.2 Nguyên lý địa phương hóa (.’ho lĩ - (p < 0} £ C'" lii miền giã lòi bị

chán nghiêm ngặt, f> là hàm da diêu hòa dưdi trơn ngạt trong một lân cân rũa

í ỉ Tap compact K c B và 1/ > 0, tồn tai c > 0 chi phu thuộc vào K vá lì, tạp con compact E c 12 sao cho K c E vã với bát kỳ u € /'57/(12)01^ (11) với u < 0 trong 12 tổn tại 1 > (1 và một hãm đa điAu hòa dưđi bị chộn ỡ trong một lãn can cưa Õ sao cho

CHƯONG ỉ KIẾN THỨC CHUẨN RỊ

1&

(i) ữ = u trong một lán cận của K

<ii) « = Afi trong ỉỉ \ K với A < C||u||t*.(ft)

Chương 2

Dung lưựng Monge - Arnpère

Tãp cực (nghĩa là tập hợp các điểm mà tai đó mót hàm đa điền hòa duói có giã trị -ou ) là tập cớ độ tiu không cúa nhiều đõ đo Borel Các lập Iilió này không thể được mõ la bới một độ đo đơn gián nên cần phai giới thiệu khái niẽni dung

lương mót mờ rong phi tuyến cùa khái niêm độ do

Dung lương dóng một va) trò quan trong trong Giãi tích phức VI chúng tho phép

mô tá các tập Iihõ Có rắt nhiều dung lương khác nhau, phu thuOc vào vắn đề dược nghiên cứu Trong ( hương nàv triíớc tiên chúng t.H giới thiộu một dung lương khái quát theo nglùa Chơquet, là hàm tãp hơp có các táp khúng lã các tap (la cực (nghĩa lã lác lập vi'* dịa phương <lượ<: chứa trong tập cơi: cùa hàm

đa diều hòa dưới)

Tiếp theo chung ta trinh bàv lại khái niệm dung lượng Monge-Ampère theo cong trình cua Bedford và Taylor [3] (với sự dơu gián hóa sau dó cùa Cegrell [5| và Demailly [7])

Mục 2.1 của chương dành trinh bàv về khái niêm và cách thức xây dưng dung lương Choquet Két quà chinh lù Định lý 2.1.7

Mục 2.2 trình liàv khái niêm VÌI cốc tính chất cơ han cúa dung lượng Monge Ampère Kết quả chính là Mệnh đề 2 2 13 Mệnh đề 2.2.2.1

Tài liệu tham kháo chinh cùa chương này lá [8]

2.1 Dung lưựng Choquet

Sự nghiên cứu một cách có hõ thống các dung lượng khái quit được thực hiên bới Choquet trong cong trinh nổi tròng cua ong [bì Chúng ta trinh bày ỡ dãy một lỉnh vực rùa lý thuyèt Choquct mã ta cán trong phan tiẾp theo

Cho f> là khổng gian to po compact đia phương Hausdorff hay a - compact Ta

1<J

20 CHUÔNG 2 DƯNG LUỌNG MONGE - AMPERE

ký hiệu 2U là họ cóc Tập con cùa íì

Định nghĩa 2.1.1 Một hàm c •2ÍI -» tỉ* = [0,+oc] gọi là dtinạ ỉtíỢng trên íì nẻu nó thòa các (liều kiện sau:

(i) c(0) = 0

(ii) c đon điộu nghĩa lỉi ri(‘u I c lì c íì => 0 < c(4) < c(fíị

(ui) Nếu (.4„)„ệN là dãy các tãp con không giâm của íì thi

(iv) Nếu (A„) lá một dãy không tâng các tâp con compact của íì thi

z(fV’w) = hm c(Kn) = infc(Kn) * «

nMột dung lương c dươc gọi là dung lương Chuqutt nén nó dưới cờng tinh, nghĩa là nếu nó thỏa mãn điều kiện bồ sung sau

(v) NẾU (.4„)„ là dãy tùy ý cốc tập con CÙA íỉ thi

dUA.) <E*GM

Các dung lượng tiước tiên dươc dinh nghĩa vói cac tãp con Borel và sau dó mỡ rộng đến moi tãp hàng cách xặv dưng hàm tập hop ngoài thích hợp Diều này giãi thích cho dinh nghĩa tiếp theo Ta ký hiẽu C(íl) là fĩ - dai số các táp con Borel cùa íỉ

Định nghĩa 2.1.2 Mõt hàm tãp hơp c £?(Q} -> ILỈ dược gọi là tfr.u (tung lương nóu nó thỏa i), iỉ), iii) vôi moi tẠp con Borel cùa fì

Mọt tiền dung lương c dược gội là dưới cộng tính nếu nó thỏa v) Nó được goi

là ( hình quy ngoài nốu với moi tftp í on Bond ỉĩ c íỉ

2.1 DUNG LUONG CilOQUET 21dưới) Mối liên hộ gỉũa hai khái niệm này dược cho trong kfa <|iiá sau.

Mệnh đè 2.1.3 Giả sứ r : B(íỉ) -4 11* là một tiền dung lương trên íỉ Dung

lưựng ngoai tương ứng đươc xác đinh X'ơi IUỌ1 tập con £ c ỉỉ hỡi

C*(E) = in/{r(G)|G mờ và E c G c 9} (2 1)

là mõt dung lương trên íĩ

Hơn nữa nỂu / dưới cõng tính thì là dung lương Choquct

Chứng TTtiTih

i) và ii) được suy ra từ dinh nghía Ta chứng minh tinh nứa liên tục Iren iii) Theo dinh nghĩa, tồn tai một dãy cốc tạp mớ (Gj) sao cho Ạý c Gj và

vái moi j> 1

Vì (/1j) lã dãy không giảm ta có thè sÁp lai <h’ dây cốc tup II1Ơ (Gy) tương ứng

là không giám (bằng cách thay Gf báng nG*) Vì c thỏa mãn iii) dối vỡi cảctãp Bore] và 4 c G - (JG, ta kết luận rằng

i UịA) < cịG) = lim c(G?) = lim c’(dj)

Chiều ngược- lai là tàm thường do dó c’ thỏa hi)

Biiy giò ta kh’in tru c* thỏa mãn iv) Nổu (A’ỹ) là mỗt dãy giâm cốc tãp con

compact, tập mỏ G tùy V chứa K ■= QA’j sẽ chửa Kj với } dử hỉn Do dớ r(G) > hm c*iKj) do dó C*(Ấ") > ItmUịKy) Chiều ngược hù là tam thường do

đó r* thỏa iv)

Gia sử c có tính chát dưới cộng tinh và (.4|) là dãy các tãp con cúa Q Đe chứng minh v) đói với í’ đười cộng tinh tu co thể gia sư ráng c’(d|) < + x

vói moi j Theo dinh nghĩa, cho ĩ > 0 tồn tại một tap mỡ G\ D 4, sao cho

r(GJ < C*(Ạ>) + c2 ,_1 Khi dó G :=■ (JG là mòt tap mỏ sao cho (J.4j c Ci và

Sứ dung kót quà e*(U<4j) < ^2 c*(^j) + °' '1l (v) có được khi cho f -> !!.□

J

Ví dụ 2.1.4 Một đọ do Botel la một độ do đương xác dinh trẽn moi táp Borel

mà hữu han dia phương, chinh quy ngoài và trong Do dó moi do đo Borel fi

22 CHUÔNG 2 DƯNG LUỌNG MONGE - AMPERE

trôn í? là tiền dung luting chính quy ngoài và độ đo ngoài liõn két p* là một dung lượng Choquet trên íì Mi Mệnh đè 2 1.3

Vi dụ 2.1.5 Cho ,M lá một hư các độ dữ Borel tiêu íl llãm tập hơp xác dinh trẽn các lập con tùy V 4 c íì bỏi cõng ĩ hức

cM(.4):=.vup{p(.4)|p€ -M)

la mõt tiền dung lương trẽn Q Nó dược goi là baơ Irỉn cua ,M

Nhận xét ràng tiền dung lương này không nhất thiết cộng tinh Thát vậy giã

sử A là dô do xác suất và /1 íi là các tập con Borel rời nhau có A • dò do đươngDật PI := UA/AfA) và P2 = 1«A/A(B) Khi dó bao trẽn f của (P1.P2Ỉ thỏa mãn

í (.4> = c( H) = l và c(4 u B) = 1

Vấn đề chúng ta quan tâm bày giờ là liệu dung lượng Choquet có chính quy trong và chính quy ngoài Ihtóc tiên ta cằn tuột dinh nghĩa

Bịnh nghĩa 2.1.6 (ÌIO e : B(fl) -> R 111 mỗt tiên dung lượng Một tap con

E c fĩ dược gụi là khà dung Itíợag níu r*(E) = (\(E) trong dó

c.(£) — ywp(r(A‘)|A' compart c íĩ}

lá dung lương trưng c ua E

Bịnh lý 2.1.7 Cho e là dung lượng Choquet trẽn íỉ Khi dỏ mồi tập con Borel

ĩỉ c íĩ thỏa mãn

c(ĩĩf = sup{c(N)ỊK compact c Ql

Kết qua này lã trưởng hợp dặc biột của định lý khá dung lượng Choqưet mà ta

bỏ qua chứng minh Có the tham khao chứng minh này trong [8.Theorem 4.15Ị

Hệ quả 2.1.8 Cho c : £<íỉỉ) -t fi' lá mút tiền dung lương trên ỉỉ thưa mãn (iv) Khi dó r* là dung lượng trong nghía là, vói moi tiìp con Borel ỉỉ c íỉ

r’(B) = sup(c(A')|A' compact c B}

CA tín.ợ minh

Tính chat (iv) suy ra rhngc’(A') - <ịK) vói tập con compact tùy ý A' c fl Thật vậy với tap compact K dâ cho tồn tại mọt dây các tộp con compact (A'j)j sao cho A' c A J iC K* vdi mội J > I Khi đờ

rXA')<c(A';)<e(A’J

2.2 DƯNG LƯỢNG MONGE - AMPÈRE 23

vói mọi j > 1 dán đón r*(A‘) < /imr(A*j) — r(K) vi r thỏa mãn rinh cliẨt (iv)

j

như vậy C*(A) = c(K)

Từ Mênh đề 2 1.3 cóc’ là một dung lương Choquct trẽn íì Khi đó từ Dinh lý Choquet (Dinh lý 2.1.7) suy ra

- rup{c*(A’)|A’(Wiijxrct c £>}

với moi tãp con Borel tuy ý ừ c íỉ Do đó < -(B) = <•.(£).□

2.2 Dung lượng Monge - Ampère

Trong lý thuyết thế vi cỗ (hen đinh nghĩa (lung lương được phát biểu bang cách đặt

eapiK) — 3UỊỉ{ti(K) : {I € r(A')}

trong (ló A' là tập con compact cua Q c !<"'> r(A') là tãp các dô đo Borel có

giá trẽn K và có the vi ưtl bi chân giữa 0 và 1 trong í? o dãy ư(i ký hiệu thế vi

Green của // , nghĩa là ư,t lá nghiệm của bài toán Dirichlet A« = ị‘ trong íỉ \ Ấ với các giá tri biên tt 1 trôn ỠA' và bằng (I frẽn /MI Trong (tinh Iighìa này(A'.Q) dược gọi là vãt chứa (condenser) Không có còng thức dơn gián cho rp trong trường hợp í.’" khi n > 2 vì toán tử Monge-Ampère phức là phi tuyến Tuy nhiên ( húng ta có thi' bát chưdc dinh nghĩa trôn bằng cách sứ dung hụ các hàm da diều hòa dưóỉ bi chạn với các giá r r| biên bang II rrón Q

Trong tiểu mục 2.2 1 ra trình bay khái num và một số tinh chár cơ bàn của dung lượng Monge Ampere Tiểu muc 2.2.2 (lãnh dể chứng minh ràng mọi tăp rục của một hãm đa diều hòa íluới déu có dung hrợng Monge-Ampere bang 0

2.2.1 Định nghĩa

Trong muc này vã các ph.ìn còn lại < ũa luận vùn ta ký hiẹu ỉỉ Ê V" là một rnh'n giả lói trơn bị chận luôn được trang bị với một hám xủc đinh da điéu hòa dưdi

trơn p nghĩa là íỉ = (ỉ € VM /X-) < <»} • CliÁng han quá càu dơn VI là một miền

giã lói VỚI z) ||ỉ||2 - 1 Trung luiin v&n ta cũng ký hiệu r »-> (dtf \ĩ)" lá toán tử Monge-Ampère phức với p là hàm da (liêu hòa dưới vã rf - d + JJ.zf - (d-?>)

Định nghía 2.2.1.1 Với moi t.Ap con Borel £’ c íi rbtHỊỊ ItíỢnỊỊ Mongt - Ampr.ni (tì^onq) được dinh nghĩa là

21 CHUÔNG 2 DƯNG LUỌNG MONGE - AMPERE

CrtpỊE.Q)Ỹơpị J£ (rW «)"|u e PSIlịĩìy—1 < u < III

Từ các bát đảng thúc Chern - Levine - Nirenberg ta suy ra dung lương của các táp con compact tương đối E <ẽ Í1 là bửu hộn, nghĩa la Cơp(£,fì) < +»

Vì mọi độ do Borel là chính quy trong rlăn den hàm tập hơp Cí?pl ;íì) chính quy trong

Dttnọ lượng Monge - -bnpcn nậódt khí dó được đinh nghĩa:

Định nghĩa 2.2.1.2 Với mọi tập con h’C Sỉ, dung lượng Mungt Ampetv ngoài

là dại lượng

c*ap*(£; Q) ■- inf{Cap(G, Q) G mờ E cGciì}

Tá nói rằng E tìtả dung lương nếu Cap*(E.ÍT) - Cap(Eịĩì) < +oc Chúng ta bat đầu hang viộc thiết lập một số lính chốt sơ cấp cùa dung lượng này Trong Chương I ta sộ chúng minh dung lượng Monge-Ampère lá dung lượng Choquet Mệnh đề 2.2.1.3

11) Nểu Sỉ c B(« /ỉ) c C" thi với mọi tập Borel £■ c Q

WE) < Cap-ịK.il)

với >2„ là dọ đo Lebesgue trcn C"

(2) Nếu /?1 c E2 c fì.j c ill thì Cap’lErilj} < Cap’lEoiil,}.

(3) Hàm tập hợp Cap*ị- Qj là dưới công tính, nghĩa là nếu (Ej)fỀ^ là dây tùy

ý các tập con của Sỉ thì

Cop-(U^ii) <

(4) Cho ư <ẽ Sỉ" c Í1 c C" u CẮC tạp con mờ Khi đó tồn tại một hang số

.4 = -ttíỉ.ír.íl") sao cho với moi E c sr

Cap’(E ít} < CopịE.tt') < AC<tp'(E.ữ).

(5) Cho / : íì| c C" -* c C" hì ánh xạ riêng chinh hình Khi đó vứì mọi tập

con Borel E Q ĩì2 ta có

2.2 DƯNG LƯỢNG MONGE - AMPÈRE 25

Ta có dang Kahler 3 - ^ỜỞDI2 = 12'1 A dỊ) Do dó

-Sau dớ sư dung dinh nghĩa dung lương tn có điều phai chứng minh

(2) Do ((/(/■«)" > ơ vói « € P5//(ÍÌ>).-1 < u < 0 ta có JE1(<Wm}" < Jrjd.rv)” nóu Eị c £j c ílj Suy raCap(£|.íìj) < Capita, fl 2) Mat khác khi E\ c fỈ2 c íl| thì PSH&i) c PSIf(ữ2) suy ra CnplEị.Qi) < CapịEi fíj) Do dó cổ điều phải chứng minh

(3) TYưức tỉÊn ta kiêur tia Cop( ,íỉ) lã (lưỡi (ỏng tinh Thật vạy.

Capdjh; íỉ) = vup « J’UE {dd u)” : u € PS7/IÍỈ) - I < u < 0

nưKr(tt(s), «>(:)) nen z € íì, v>(z) nếu ìẽQ\íì,-

26 CHUÔNG 2 DƯNG LUỌNG MONGE - AMPERE

Ta có Ĩ7 là hàm <la điều hòa dưới trôn íĩ vft thỏa mãn ũ = tf trôn

ÍY-Hàm V := (a + l)~’(ũ - <1) ỏ đây a xupiỉũ là hàm đa điều hòa dưới trong Q và -1 < V < 0 Như vậy fg(dífv)n < Cap{E;íì) Vì V := (a +1)‘ ’(u u) trong ư ta có

< (A + l)"C«p(JS;ft)

(lo (ló Cap(E:iir) < (n + 1 yCap(E- Q).

Cuối cùng ta chứng minh 5) Cố đinh u c p $ fl (íì2ịn L^íị))- Theo |GZ Ex 3.5]

f,{ddu o ỊỴ‘ = ụư u)" theo nghĩa <lõ đo Borel trong 91 vói Ị, là cái lũy tới ling vái Ị Như rây, nén E c Qj là táp con Borel,

2.2 DƯNG LƯỢNG MONGE - AMPÈRE 27

Tù đây suy ra (lánh giá dối vái flung lượng trong

Vì với mọi tập niờ I) <Ẽ íỉ cốc tãp mức dưôi{r € />|V < -»} lit các tập mò dan

đến bất dảng thức cũng dũng VỚI dung lương ngoai Khảng dinh cuối cùng dược suy ra từ tính chất nứa cộng tính của (lung lương ngoài.O

Trong Chương 5 chúng ta sẽ chí ra điều ngươc lại- nền Cap*ịP;ữ) - 0 thì về dia phương /’ được chứa trong một lâp cực cua mõt hàm da điều hòa dưới