Nội dung và Phương pháp dạy học một số yếu tố Xác suất — thống kê ở Trường trung học phô thông, Luận Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây: - Đã làm sáng tỏ được vai trò của
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Thái Báo Thiên Trung Mọi trích dẫn trong luận văn đều là chính xác và trung thực.
Trần Minh Tuấn
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Đâu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu săc đên PGS.TS Lê Thái Bảo ThiênTrung, người đã nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi rất nhiều trong suốt
quá trình thực hiện luận văn này
Bên cạnh đó, tôi cũng xin cảm ơn:
• Ban giám hiệu Trường và chuyên viên Phòng sau Đại học, Ban chủ nhiệm và
kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện Luận văn
viên và tạo • điều kiện • để tôi có thể yên tâm ự hoàn thành Khóa học• một• cách tốt nhất
Trần Minh Tuấn
Trang 4MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Danh mục từ viết tắt
ĐẶT VẤN ĐỀ 1
Chương 1 DẠY HỌC XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHÓ THÔNG MÔN TOÁN 2018 8
1.1 Mục tiêu của Chương trinh GDPT môn Toán 2018 8
1.2 Mạch kiến thức Xác suất trong chương trình GDPT môn Toán 2018 10
Kết luận Chương 1 17
Chương 2 NGHIÊN CÚƯ MỘT SÓ NỘI DUNG XÁC SUẤT MỚI XUÁT HIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHÔ THÔNG MÔN TOÁN 2018 19
2.1 Sơ đồ cây 19
2.1.1 Tiếp cận lý thuyết 19
2.1.2 Tố chức toán học liên quan 23
2.2 Xác suất có điều kiện 29
2.2.1 Tiếp cận lý thuyết 29
2.2.2 Tồ chức toán học liên quan 34
2.3 Xác suất toàn phần & công thức Bayes 40
2.3.1 Tiếp cận lý thuyết 40
2.3.2 Tổ chức toán học liên quan 42
Kết luận Chương 2 49
Chương 3 NGHIÊN cứu THựC NGHIỆM 51
3.1 Mục đích thực nghiệm 51
3.2 Đối tượng thực nghiệm 51
3.3 Tình huống có vấn đề 51
3.4 Kịch bản thực nghiệm 52
Trang 53.5 Phân tích tiên nghiệm 59
3.5.1 Các chiến lược và Lời giải có thể xuất hiện 59
3.5.2 Phân tích lựa chọn sư phạm 66
3.5.3 Dự kiến diễn biến các Pha 67
3.6 Tổ chức thực nghiệm 68
3.7 Phân tích hậu nghiệm 70
Kết luận Chương 3 79
KẾT LUẬN LUẬN VĂN 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO 84
Trang 7ĐẶT VÁN ĐÈ
27/3/2015 của Thủ tướng Chính phủ, Bộ giáo dục và Đào tạo đã chỉ đạo xây dựngChương trình giáo dục phổ thông mới thay thế cho Chương trình giáo dục phổ
Ngày 26/12/2018, Chương trinh Giáo dục phổ thông mới đã được ban hành
Theo đó, lộ trình chương trình mới được triển khai bắt đầu từ năm học
2020-2021 và kết thúc vào năm học 2024-2025 Cụ thể:
- Từ năm học2022 - 2023: áp dụng triển khai cho lớp 3, lớp 7 và lớp 10
- Từ năm học 2023 - 2024: áp dụng triển khai cho lớp 4, lóp 8 và lớp 11
- Từ năm học2024 - 2025: áp dụng triển khai cho lớp 5, lớp 9 và lóp 12
Chương trinh giáo dục phổ thông 2018 được xây dựng theo mô hình phát triển
những phẩm chất và năng lực mà Nhà trường và Xã hội kì vọng
1.3 Đổi mói Sách giáo khoa
cùng một chương trình giáo dục nhưng cho phép có nhiều Bộ sách giáo khoa khác
Trong bối cảnh với nhiều thay đối lớn về mục tiêu, chưong trình và biên soạn
Trang 8Thống kê và Xác suất là một thành phần bắt buộc của giáo dục
sinh khả năng nhận thức và phân tích các thông tin được thê hiện dưới
pháp nghiên cứu thế giới hiện đại cho học sinh.
(Chương trình GDPTMôn Toán 2018, Bộ giáo dục)
không được nhắc đến trong các chương trình Tiểu học và THCS Tuy nhiên, trongchương trình GDPT môn Toán nãm 2018 thì các nội dung về Xác suất lại được
Toán năm 2018 Có thể kể đến như: ứng dụng của sơ đồ cây trong các Bài toán tìm
Trang 9Đứng trước những thay đổi về nội dung Xác suất trong Chương trình giáo dục
chức dạy học hiệu quả các tri thức này
Đây cũng là lí do dẫn đến việc chúng tôi chọn nghiên cứu:
“Dạy học một số tri thức Xác suất trong CTGDPT môn Toán 2018”
3 Tống quan về một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề đang quan tâm:
suất có điều kiện, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Trường ĐHSP TP
Hồ Chí Minh Nghiên cứu đã chỉ ra:
bao gồm quan điểm khách quan và quan điểm chủ quan
có điều kiện
• Nguyễn Minh Tiếng (2013) Nội dung và Phương pháp dạy học
một số yếu tố Xác suất — thống kê ở Trường trung học phô thông, Luận
Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây:
- Đã làm sáng tỏ được vai trò của Xác suất - Thống kê với tư cách là khoa học
dung Xác suất - Thống kê vào chương trinh môn Toán ở trường phố thông cùa Việt
- Đã phần nào làm sáng tở thực trạng về những khó khăn và sai lầm trong dạy
và học chủ đề Xác suất - Thống kê ở trường phổ thông Phân tích những khó khăn,
Trang 10sai lầm của HS khi giải toán Xác suất-Thống kê
nghiên cứu của mình như sau:
Chương trinh GDPT môn Toán 2018, xuất hiện thêm những tri thức mới nào về Xác suất Dạy học những tri thức mới này như thế nào ? Có những kiếu nhiệm vụ
nào phù hợp với các yêu cầu cần đạt khi dạy học các tri thức xác suất mới này?
5 Lọi• •ích và tính cần thiết của Luận văn
Với những nghiên cứu trong phạm vi Luận văn này, chúng tôi hi vọng có thể
6 Khung lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm câu trả lời cho các vấn đề đặt ra như trên, chúng tôi đặt nghiên cứucủa mình trong khuôn khổ của lý thuyết Didactic Toán Cụ thể:
là thiết lập hay làm thay đổi R(x,O) một cách có chủ định
(Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr.57)
Trang 11- Thực hiện một nhiệm vụ t thuộc một kiểu T nào đó
- Kĩ thuật T phải được giải thích bằng một công nghệ 0 (cho phép nghĩ,
thậm chí tạo ra T )
- Và đến lượt mình, công nghệ lại có thể được giải thích nhờ lý thuyết 0
nói riêng, đều có thể được mô hình hóa bằng một bộ gồm bốn thành phần
không thể tách rời nhau mà ta gọi là tồ chức tri thức và kí hiệu là [T/ĩ/e/0]
(Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr.94)
Việc phân tích các kiểu nhiệm vụ và các tố chức toán học liên quan đến các tri
thức mới về Xác suất giúp chúng tôi định hướng rõ hơn về việc tổ chức dạy học các
Trang 12- Tìm ra những kiến thức chỉ đạo việc thực hiện các chiến lược khác nhau mà
người ta có thể dự kiến được; đánh giá được lợi ích cũng như tốn kém của từng
chiến lược đủ.
sinh.
• Phân tích hậu nghiệm: là xem xét mối quan hệ giũa những dữ kiện thu được
kết quả.
7 Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là xây dựng một sổ kiểu nhiệm vụ và tình
8 Câu hỏi nghiên cứu
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi xác định lại các câu
hởi nghiên cứu và việc tìm kiếm câu trả lời chúng chính là trọng tâm của Luận văn
này
Câu hỏi 1: Trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018, mạch xác
những nội dung nào khác khi so sánh với chương trình 2006 ?
Toán 2018?
Trang 13- Nghiên cứu Chương trinh tổng thể GDPT 2018 và những thay đổi về yêu cầu
trả lời cho Câu hỏi 1
- Thông qua một số tài liệu trong và ngoài nước, chúng tôi nghiên cứu một số
nhằm tìm kiếm câu trả lời cho Câu hởi 2
- Xây dựng Bài toán thực nghiệm
- Phân tích tiên nghiệm
- Phân tích hậu nghiệm và đưa ra kết luận cuối cùng
10 Cấu trúc Luận Văn
Chúng tôi tổ chức Luận văn này gồm các Chương như sau:
Chương 2: Nghiên cứu một số nội dung Xác suất mới xuất hiện trongCTGDPT Môn Toán 2018
Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm
Trang 14Chương 1 DẠY HỌC XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH
GIÁO DỤC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN 2018
Chương này nhằm mục tiêu tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi 1:
“Trong chương trình giáo dục phồ thông môn Toán 2018, mạch xác suất đượctrình bày như thế nào? Giới hạn ở bậc THPT, chương trình GDPT môn Toán 2018
có những nội dung xác suất nào khác khi so sánh với chương trình GDPT môn Toán
2006 ? ”
Toán 2018 để phân tích
Trong chương trình giáo dục phố thông 2018, Toán học là một môn học bắt
buộc từ lớp 1 đến lớp 12 Nội dung giáo dục Toán học được phân chia theo hai giai
dưới, phân hóa dần ở các lớp học trên
năng của mồi học sinh, các phương pháp kiềm tra, đánh giá phù hợp với mục tiêu
giáo dục và phương pháp giáo dục để đạt được mục tiêu đó
Mục tiêu chung của chương trình GDPT môn Toán 2018 là giúp Học sinh đạt
các yêu cầu sau đây:
sau: năng lực tư duy và lập luận Toán học; năng lực mô hình hóa Toán học; năng
Trang 15lực giải quyêt vân đê Toán học; năng lực giao tiêp Toán học; nãng lực sử dụng công
Chương trinh tổng thể
khả năng giải quyết vấn đề có tính tích họp liên môn giừa môn Toán và các môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, Tin học, Công nghệ, Lịch sử, Nghệ
thuật, ; tạo cơ hội để Học sinh được trải nghiệm, áp dụng Toán học vào thực tiễn
iv) Có hiểu biết tương đối tổng quát về sự hữu ích của Toán học đối với từng
ngành nghề liên quan để làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng
Chương trình giáo dục phồ thông 2018 so với chương trình giáo dục phố thông hiện hành đó là việc đưa các nội dung về Xác suất và thống kê vào giảng dạy ngay từ lớp
2, cấp tiếu học với nhừng định hướng, mục tiêu theo từng giai đoạn rõ ràng
số vấn đề thực tiền đơn giản gắn với một số yếu tố thống kê và xác suất
- Giai đoạn cấp trung học cơ sở: Mục tiêu của dạy học Thống kê và Xác suất
bàn về xác suất thực nghiệm của một biến cố và xác suất của một biến cố; nhận biết
Trang 16các mô hình ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản của xác suất và ý nghĩa cùa xác suất
trong thực tiễn
Chương trình môn Toán có cấu trúc tuyến tính kết hợp với “đồng tâm xoáy
Xác suất
từng lớp học và cấp học
làm quen với các khả năng xảy ra (có tính ngẫu nhiên) của một sự kiện
Mục tiêu là làm quen với việc mô tả những hiện tượng liên quan tới các thuật
phát từ thực tiễn
với mặt xuất hiện cửa đồng xu khi tung 1 lần; nhận ra được hai khả năng xảy ra đối
với màu của quả bóng lấy ra từ hộp kín đựng các quả bóng có hai màu xanh hoặc
đỏ; )
một thí nghiệm so với tồng số lần thực hiện thí nghiệm đó ở nhũng trường họp đơn
giản Sử dụng được tỉ số đế mô tả số lần lặp lại của một khả năng xảy ra (nhiều lần)
Trang 17của một sự kiện trong một thí nghiệm so với tống số lần thực hiện thí nghiệm đó ở
những trường hợp đơn giản (ví dụ: sử dụng tỉ số 2/5 để mô tả 2 lần xảy ra khả năng
“mặt sấp đồng xu xuất hiện” của khi tung đồng xu 5 lần)
+ Ở lớp 6, Học sinh tiếp tục tìm hiểu về một số yểu tố Xác suất Cụ thể là:
xác suất (thực nghiệm) của khả năng xảy ra nhiều lần cùa một sự kiện trong một số
mô hình xác suất đơn giản
kiện trong một số mô hìnhxác suất đơn giản
(ví dụ: ở trò chơi tung đồng xu thì mô hình xác suất gồm hai khả năng ứng với mặt
xuất hiện của đồng xu, )
- Làm quen với việc mô tả xác suất (thực nghiệm) của khả năng xảy ra nhiều lần của một sự kiện trong một số mô hình xác suất đơn giản
- Sử dụng được phân số đế mô tả xác suất (thực nghiệm) của khả năng xảy ra
xác suất đơn giản
+ Ở lớp 7, Học sinh tiếp tục tìm hiểu về một số yếu tố Xác suất Cụ thể là:
- Làm quen với các khái niệm mở đầu về biến cố ngẫu nhiên và xác suất của
biến cố ngẫu nhiên trong các ví dụ đơn giản
- Nhận biết được xác suất cùa một biến cố ngẫu nhiên trong một số ví dụ đơn
+ Ở lớp 8, Học sinh tiếp tục tìm hiểu về một số yểu tố Xác suất Cụ thể là:
liên hệ giữa xác suất thực nghiệm của một biến cố với xác suất của biến cố đó
- Sử dụng được tỉ số để mô tả xác suất của một biến cố ngẫu nhiên trong một
số ví dụ đon giản
Trang 18- Nhận biết được mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm của một biến cố với
xác suất của biến cố đó thông qua một số ví dụ đơn giản
+ Ờ lớp 9, Học sinh tiếp tục tìm hiểu về một số yếu tố Xác suất Cụ thể:
- Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Xác suất của biến cố trong một số
mô hình xác suất đơn giản
- Nhận biết được phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
- Tính được xác suất của biến cố bằng cách kiểm đếm số trường hợp có thể
và số trường hợp thuận lợi trong một số mô hình xác suất đơn giản
+ Ở lớp 10, Học sinh tìm hiểu kiến thức về Xác suất Cụ thể là:
- Một số khái niệm về Xác suất cổ điển
- Các quy tắc tính Xác suất
- Thực hành tính toán Xác suất trong những trường hợp đơn giản
- Nhận biết được một số khái niệm về xác suất cổ điển: phép thử ngẫu nhiên;không gian mẫu; biến cố (biến cố là tập con của không gian mẫu); biến cố đối; định
nghĩa cổ điển của xác suất; nguyên lí xác suất bé
- Tính được xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản bằng
hình cây (ví dụ: tung xúc xắc hai lần, tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện tronghai lần tung bằng 7)
- Mô tả được các tính chất cơ bản của xác suất
- Tính được xác suất của biến cố đối
+ Ở lớp 11, Học sinh tiếp tục tìm hiểu kiến thức về Xác suất Cụ thể là:
Trang 19(cho trường hợp biến cố độc lập)
- Tính được xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản bằng
phương pháp tổ hợp
- Tính được xác suất trong một số bài toán đơn giản bàng cách sử dụng sơ đồ
+ Ở lớp 12, Học sinh tiếp tục tìm hiểu kiến thức về Xác suất Cụ thể là:
- Khái niệm về Xác suất có điều kiện
- Các quy tắc tính Xác suất
- Nhận biết được khái niệm về xác suất có điều kiện
thực tiễn quen thuộc
- Sử dụng được công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện và vận dụngvào một số bài toán thực tiễn
- Sử dụng được sơ đồ hình cây đế tính xác suất có điều kiện trong một số bài
toán thực tiễn liên quan tới thống kê
Trang 20- Khái niêm• về xác suất: Môt • số khái
niêm• về Xác suất cổ điển
- Môt số • khái niêm về Xác• suất cổ điển
- Các quy tắc tính Xác suất gồm: Quy
và quy tắc nhân hai biến cố độc lập
- Môt số khái niêm • • về Xác suất cổ điển
- Các quy tắc tính Xác suất
Không trình bày - Khái niêm• về Xác suất có điều kiên.•
- Các quy tắc tính Xác suất
Trang 21NÔI DUNG KIÉN • THÚC YÊU CÀU CẲN DAT •
- Khái niêm • về xác suất: Môt9 số khái
niêm về • Xác suất cổ điển
- Các quy tắc tính Xác suất:
+ Thực hành tính toán Xác suất trong
những trường họp đơn giản
+ Các quy tắc tính Xấc suất
không gian mẫu; biến cố (biến cố là tập
- Mô tả được không gian mẫu, biển cố
trong một số thí nghiệm đơn giản (ví dụ:tung đồng xu hai lần, tung đồng xu ba
một số bài toán đơn giản bằng phương
pháp tổ hợp (trường hợp xác suất phân
- Tính được xác suất trong một số thínghiệm lặp bằng cách sử dụng sơ đồ
hình cây (ví dụ: tung xúc xắc hai lần,
Trang 22- Tính được xác suất của biến cố hợpbàng cách sử dụng công thức cộng
- Tính được xác suất của biến cố giao
trường hợp biến cố độc lập)
pháp tổ hợp
- Tính được xác suất trong một số bài
- Giải thích được ý nghĩa của xác suất
có điều kiện trong những tình huống
thực tiễn quen thuộc
- Mô tả được công thức xác suất toàn
xác suất có điều kiện và vận dụng vào môt• số bài toán thưc 9 tiễn
toán thực tiễn liên quan tới thống kê
Trang 23Kêt luận Chuong 1
- Chương trình giáo dục phồ thông môn Toán 2018 nhận định Xác suất và
Thống kê là một trong ba mạch kiến thức chính, có cấu trúc tuyến tính kết hợp với
xuyên suốt từ lớp 2 cấp Tiểu học đến lớp 12 cấp Trung học phố thông và được mô
tả chi tiết về nội dung cũng như các yêu cầu cần đạt khi dạy học ở từng khối lớp và
trung học cơ sở thì việc dạy học xác suất hướng đến mục tiêu hiểu rõ các khái niệm
qua việc sử dụng thống kê Ờ giai đoạn cấp trung học phố thông thì mục tiêu của
suất trong hai chương trình giáo dục phố thông hiện hành và chương trình giáo dục
phổ thông môn Toán 2018 có sự khác biệt rõ không chỉ về khối lượng kiến thức mà còn cả giai đoạn tiếp cận
hiện hành thì còn xuất hiện thêm một số nội dung kiến thức mới đó là: vận dụng sơ
xác suất toàn phần, công thức Bayes Cụ thế hơn, Chúng tôi mô tả những nội dung
mới này trong Bảng sau:
Trang 24trong CTGDPT môn Toán 2018
Sơ đồ hình cây
- Sử dụng sơ đồ hình cây để tính Xác
tung xúc xắc hai lần, tính xác suất để
tung bằng 7
xác suất có điều kiện trong một số bàitoán thực tiễn liên quan tới thống kê
Xác suất có điều kiên •
thực tiễn quen thuộc
Công thức xác suất toàn phần
Công thức Bayes
- Mô tả được công thức xác suất toàn
dữ liệu thống kê 2x2 và sơ đồ hình cây
xác suất có điều kiện và vận dụng vào môt• • số bài toán thưc tiễn
Trang 25Chuông 2 NGHIÊN cứu MỘT SÓ NỘI DUNG XÁC SUẤT MỚI XUẤT HIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC
PHỔ THÔNG MÔN TOÁN 2018
Mục tiêu của chương này nhằm tìm câu trả lời cho câu hởi 2
Có những kiều nhiệm vụ nào phù hợp với các yêu cầu cần đạt về dạy học
2018? ”
Đe trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi lựa chọn một số Tài liệu sau đây phục vụ
- Tài liệu Probability & Statistics for Engineers & Scientists, chúng tôi ký hiệu
là [E2J
ký hiệu là [V11
Chúng tôi tập trung nghiên cứu hai nội dung trọng tâm sau đây:
Một là, tiếp cận lý thuyết về các nội dung Xác suất mới xuất hiện trong
điều kiện; công thức Xác suất toàn phần và công thức Bayes
phần và công thức Bayes
Once the sample space is illustrated, the tree diagram can be used for determining probabilities.
Trang 26Tạm dịch:
Sơ đồ cây có thê được sử dụng đê minh họa các không gian mẫu nếu
họa, sơ đồ cây có thể được sử dụng để xác định xác suất.
- Một là, Sơ đồ cây được sử dụng để minh họa không gian mẫu
advantage of tree diagrams is that they can be used when more than two
<[E1], Trang 574>
Tạm dich:
Đe minh họa cho nhận định này, [E1 ] đưa ra ví dụ về phép thử tung hai đồng
xu như sau:
possible outcomes
The sample space is {HH, HT, TH, TT}
Mồi nhánh của sơ đồ cây sẽ cho một kết quả của không gian mẫu
[E1] đưa ra mình họa như sau:
Trang 27tiêu của Yuka.
xảy ra của các biến cố HH, HM, MH và MM Xác suất của mỗi biến cố
sơ đồ cây trong việc minh họa các kết quả của không gian mẫu:
Trang 28“ In some experiments, it is helpful to list the elements of the sample space
mẫu một cách có hệ thống bằng sơ đồ cây là rất hữu ích ”
<[E2], Trang 36>
[E2] đưa ra ví dụ về ứng dụng của sơ đồ cây trong bài toán minh họa không gianmẫu như sau:
list the elements of the sample space providing the most information, we
construct the tree diagram of Figure 2.1”
Tạm dịch: “Một phép thử bao gồm tung một đồng xu và sau đó tung nó
lần thứ hai nếu mặt sấp xảy ra Neu mặt ngửa xảy ra ở lần tung đầu
của không gian mẫu cung cấp nhiều thông tin nhất, chúng tôi xây dựng
sơ đồ cây của Hình 2.1”
<[E2], Trang 36>
Hình 2.1
Trang 29Quan sát sơ đồ cây ở trên, có thể thấy được không gian mẫu:
Như vậy:Trong cả hai tài liệu [E1] và [E2] chỉ đề cập đến hai ứng dụng của sơ đồ
cây là minh họa các kết quả của Không gian mẫu và tính toán xác suất trong một số
hài toán đơn giản mà không đưa ra hất kỳ một Định nghĩa, hay một khái niệm
Trong phần này, chúng tôi xem xét có nhừng kiểu nhiệm vụ nào phù hợp với
Kiểu nhiệm vụ Tl: Sử dụng sơ đồ cây đế mô tả không gian mẫu của phép thử
Với kiều nhiệm vụ này, yêu cầu đặt ra là sử dụng Sơ đồ cây đê minh họa các
kết quả của không gian mẫu trong một phép thử ngẫu nhiên gồm 2 hay nhiều hành động liên tiếp.
- Bước 1: Vẽ các nhánh ứng với các kết quả của hành động thứ 1
Tiếp tục vè tương ứng cho các hành động tiếp theo
- Bước 3: Kết luận các kết quả của không gian mẫu dọc theo các nhánh của
Phép thử
• Công nghệ: Sơ đồ cây và khái niệm tập hợp
• Ví dụ minh họa:
Illustrate, using a tree diagram, the possible outcomes when:
a tossing two coins
b drawing two marbles from a bag containing many red, green, and yellow marbles.
<[E1], Trang 574>
Tam dich:• ♦
Hãy sử dụng sơ đồ cây để minh họa các kết quả có thê xảy ra khi:
Trang 30h Lấy ra 2 viên hỉ từ một túi chứa nhiều viên màu Đỏ, Xanh lá và Vàng
Lời giải cho ý a được chúng tôi tìm thấy trong [E1] như sau:
- Cột 1 thể hiện các kết quả của hoạt động gieo đồng xu 1 Hoạt động này
ghi nhận hai trạng thái là H và T
- Cột 2 thể hiện các kết quả tương ứng của hoạt động gieo đồng xu 2 Hoạt
động này ghi nhận được 4 nhánh tương ứng của sơ đồ cây
R(Red); G(Green) và Y(Yellow)
Trang 31- Ò CỘI thứ 2: Ghi các kết quã cùa hoạt động lay bi thử 2 tương ứng VỚI các
nhánh cua hoạt động I Chúng ta cố thế quan sác được tất ca 9 nhánh tương ứng.
- Ờ CỘI thú 3 Tồng hợp các két qua cùa không gian mẫu dọc theo các nhánh
của sơ đồ cây
Trên thực tế vời phép thù tung hai đồng AM học sinh hoàn loan cớ Ihĩ ghi
nhận đầy (hì 4 kềt quá của không gian mau hằng cách liệt kê mà khàng cần đền sơ
đồ c ây Tuy nhiên, cách liệt sẽ gập nhiều khó khản với những phép thư phức lụp và
có nhiều hoai động nỗi tiếp như trong phép thừ lầy hai viên hi từ túi chứa các bi gớm màu Jo K (Jiedf màu Xanh Gị Green)rú màu váng Yị Yellow Ị Chinh vi thê SƯ
dồ cây có thê xem như lù một công cự tư duy có lỉnh logic vả tường minh hơn
Kiêu nhiệm vụ T2: Dùng sư (lũ cây (le tìm xác suất.
Kiêu nhiỳm vụ này dáp ưng yêu cầu sứ dụng được SƯ dồ hình cày vào linh xác suất
trong một số Bài loàn đơn gian
• Kĩ thuật:
- Bước : Vồ sơ đồ cây minh họa các trướng hụp xay ra trong bài toán
- Bước 2: Ghi nhận xác suẩt thành phần của các biến cổ đà biết lèn các nhánh
- Bước 3 Dựa vào sư dồ cây đà vê đe kết luận xác suất của hiển cổ cồn tim.
• Công nghệ:
- Sơ đồ cây
- Dịnh nghía cố điền về xác suất cùa biến cổ
- Các quy tác cộng và nhân xác suất các biển cố.
• Vi dụ minh họa:
Ví dụ I:
Trang 32<[EI| Trang 5S9>
Tụm địc h Gan đày Carl khổng gap nhiều may mắn Chiếc xe hưi cua anh
ẩy chi khởi đòng 80% thài gian và chiếc xe mày ctia anh ẩy chi khới dộng 60% thời gian.
a ỉ'è sơ đồ cây dè minh họa tình huống này
b Sú dụng sư dó cày dê xác dịnh cư hội:
ỉ Cá hai xe sè khởi dộng if Carl chi có thê sữ dụng xe hai cùa mình
LỜI giai cho bải toán này được chúng (ÔI tìm thây trong [El I nhu sau:
• c “ car starts
M = motorbike Marls
c' • complementary
event of ( ■
= car docs not start
and M = motorbike does
04 M 0.6 «0.12 0.2 <1)4 -nf«
0 ý a yêu câu vệ so đồ hĩnh cây đẽ minh họa cho lình huống dưa ra trong BẲI loan
Dựa vào sơ đồ cây này có thể thấy được:
- Không gian mau có 4 két quá gồm ỈCM;CM ’ ;C M;CM ỉ
- Các xác suẩt ghi trên các nhánh the hiện:
♦ Xác suất đè Xe hợi khới động và không khơi đọng lán lượt lá (),8 và
0.2 được ghi trên 2 nhánh đẩu tiên
Trang 33trong ý b cùa Bài toán Cụ thề là:
nhân các xác suất dọc theo nhánh 1 (c —> M )
nhân các xác suất dọc theo nhánh 2 (c —> M')
Trang 34- Bốn nhánh tiếp theo thể hiện các kết quả của hành động lấy bi lần thứ hai.
khi lần lấy thứ nhất là bi Xanh
- Biến cố “lấy ít nhất một bi Đở” được mô tả là RR hoặc RB hoặc BR
Dựa vào sơ đồ cây, ta tính được xác suất như sau:
P(RR or RB or BR) = 4x^ + 4x£ + 4x4 =
Một vài kêt luận
chung và lĩnh vực xác suất thống kê nói riêng Có hai ứng dụng tường minh của sơ
đồ cây được đề cập đến trong Xác suất là:
hành hoàn toàn không nhắc đến khái niệm này; trong Giáo trình Xác suất - thống kê
Trang 35Trong phần này chúng tôi xem xét việc trình bày lý thuyết vê khái niệm xác
suất có diều kiện trong các Tai liệu mà chúng tôi dã dè cạp đến ơ trên.
I VII đưa ra định nghía về Xác suẳt có điều kiện như sau:
Định nghĩa 1 Giã sử trong một phép thừ ta cộ P(B) > 0
Khi đố xác suất có điểu kiên cùa sự kiện A nào dô biết răng dã
cỏ fi là một 8Õ * không âm, ký hiệu là:
(3.
Đe ý rằng nói chung PịA) * F\A B) Ngoài ra xác suất có
điều kiện có mọi tính chất cùa một xác suất binh thường.
- Định nghía trcn được [VI ] dưa ra sau khi trinh bảy day đủ các kiến thức mỡ
dầu cua xác suẩ( gôm khái niệm sụ kiện ngau nhiên phép toán và quan hệ cua các
sự kiện: giãi lích kểt hợp: các định nghía cùa Xác suất
- Trong dinh nghĩa trên, [V' I ị cũng nhẩn mạnh rang Xác suât có diêu kiện có
mụi lính chất của một xác suất binh thường và nói chung hai xác suẳl này không phai luôn giống nhau.
- Để có được công thức lính Xác suất cố điều kiện như ở trên [VI ị đưa ra lý giai nhu sau:
Vớt điều kỉện dà ró R, người Ui xức (tịnh một C(irh tự nhiên khá
nâng xuất hiện A nào đó bưng một số tý lỷ vói PịABì tín tá số có
Trang 36Từ công thức 1’ 1 A|B) - , Ị V1 1 tút ra hệ quả true tiếp như sau: P(AB) = P(B)P(A|B)-P(A)P(B|A)
Và theo [VI], đây chinh la còng thức nhân Xác suất.
Chúng tót tiếp tục xem xét VC việc trình bây khái niệm náy trong IV21
[V2Ị trinh bày đ|nh nghía như sau:
Định nghĩa 1.5 Giã sù (trong mỏt không gian rác suất nào tliì) điêu
kiện li có xái suất khác không í ‘ ịHị > II, thi xảcsuãt cùa sư kiện 4
dưới điêu kiện LỊ, ký hiệu lù Ỉ^AỊB), dươc định nghĩa như sau;
Mót hẻ quà true tièp của định nghĩa xác suất có diéu kiện là còng
Như vậy, trong ca hai tài liệu [VI] va [V2] đều trình bày về xác suất cờ điều kiện cua biến cố A với dicu kicn B dà xây ra là kết quà cua ti 50 giữa xác suất của
biến cố (AnB) và xác suất c ua biến cố B.
Chung tói tiểp lục xem xét việc trình bày khái niệm này trong |E11
Trước khi giới thiệu khái niộin này, [F.I I trình bfty Ciíc khái niệm VC
Không gian mỉu (sample Space)
- Lý thuyết Xác suãl (Theoretical probability)
Quy tác còng Xác suất (The addition law)
Khái niệm Xác suât co điêu kiện được [Kl| trinh bày nhu sau;
Trang 37Given two events I and B the rnnditinnal probability of 4 given B is the probability that 4 occurs given that B has already occurred
The conditional probability is written A I B and read as /1 given B"
If A and /Ỉ arc events then P(A| =
F(AfiB)
P(B)
Tạm dịch ■
Chi) hat biển co 4 và b Xác suất có then kiện cua A cho truớc b lù
xức suất mờ biến cồ A xay rư, với điểu kiện hicn cố 8 đà xay ra
Xác suất cổ diềtt kiện dược \'iểt tù A B vừ dọc là "A elto trước B
Neu A và b tó các biển cố ihi PỊ A B| =
' 7 P(B)
Đế chứng minh công thức đưa ra ớ trên, [El I dùng cõng cụ biếu do Venn:
P( A I iỉ) = {Venn diagram}
o + c
ỈTTTITTĨ
• I • </i
P(4nS)
Với [E2J Khát niệm VC Xác suất có điều kiện đtrực giởi thiệu như sau:
The probability oí IU1 event if ixcurrmg when it is known that MHue event 4 has txtumwl IN tallitl h conditional probability and ỈK denot'd l»v /* (/J|.4) The symbol P(H|4) is usually read "the |>n>lml)ility chat /ỉ (MTUTM given I lull 1 occurs"
or <M— ply “ thí * proliability of H, given 4."
<|E2J Trang 62>
Tựm dịch: Xác ỉiitií xay ra biến cồ B kln biết biến cổ A nào dó dừ xáy
ra dược gọi là xdc suất cá diều kiện và dược ký hiệu lừ p lb I 4).
Cúc ký htỳti ĩ' ỉ b I AI thường đuợc dọc là xác suất ma B un t ư khiA
.uậ ra hoặc dan giản là "xúc suất cua 8 cho ỉruớc 1 ” Sau khi giới thiệu và chi rỏ cách kí hiệu xác suát có điêu kiên |F.2| nếp tục
đưu ra một định nghía cụ thê về Xác suất cô điều kiện như sau:
Trang 38giữa xác suất của biến cố giao A n B và xác suất của biến cố A với điều kiện ràng
Như vậy, cách trình bày khái niệm Xác suất có điều kiện trong [Eỉ] gần như
chứng minh công thức trên nhờ công cụ biêu đồ ven, trong khỉ [E]] thì không trình bày phần chứng minh Bên cạnh đó, điều kiện P(B) > 0 cũng không được đề cập
Liên quan đển khái niệm Xác suất có điều kiện, chúng tôi nghiên cứu thêm về Khái niệm biến cố độc lập (independent events)
Định nghĩa 2 Ta nói rằng A và B độc lập (thống kê), nêu
Theo đó, nếu A, B là các biến cố độc lập nhau thì việc xuất hiện biến cố này không
làm thay đổi xác suất cùa biến cố kia Tuy nhiên [VI] cho rằng thực tiễn việc kiểm
Chính vì vậy, trong nhiều trường hợp phải dựa vào trực giác để nhận biết
(Đây là công thức nhân Xác suất hai biến cố bất kỳ)
Trang 39Trong trường hợp A và B là hai biến cố độc lập thì dẫn đến kết quả sau đây:P(AB) = P(A)P(B)
Chương trình giáo dục phô thông môn Toán hiện hành)
P(A A Az>) = P(A )P(A ) P(At.) (3.4)
vói mọi dãy (ỈỊ, ., gồm các số nguyên khác nhau lấy từ {1, 2,
»• •, ^'1 *
<[V1], Trang 19>
Khái niệm độc lập trong tổng thể kéo theo khái niệm độc lập từng đôi (khi
Chúng tôi cũng xem xét khái niệm này trong [E1 ]
of them does not affect the probability that the other occurs.
This means that P(A ị B) = P(A I B') = P(A).
Using P(A n B) = P(A I B) P(B) we see that
<[E1], Trang 601 >
Tạm• • • • 1 • • dich: A và B là các biến cố độc lạp nếu sự xuất hiện của mỗi
Điều này có nghĩa là p ( a | b ) = p ( a |B’) = P(A)
A và B là các biến cố độc /ậpoP( AnBj = P(A|P(B)
biến cổ độc lập thông qua khái niệm Xác suất có điều kiện Tuy nhiên,
Trang 40trong thực rieii cõ nhiều trưởng hợp phái dựa vào trục giác dê nhận hie! sự độc iịip cua hai hiển cố.
2.2.2 Tố chức toán học liên quan
Kiêu nhiệm vụ T3: Tìm xác suất cỏ điều kiện dựa vào định nghĩa
Kiêu nhiệm vụ này đáp ứng ycu càu nhận biêí vù vận dụng được khái niệm xúc suâí
cỏ diều kiên.
Vin kiêu nhiệm vụ này thúng lõi nhận thầy có 3 kỳ ĩĩĩũạĩ giái cơ bân san đây:
• Kỷ thuật 1: bùng biêu đồ Ven (Ven diagram)
Bước I Vẻ hình chừ nhật đạt diện cho không gian mầu han đàu Bước 2 Vẽ các vòng tròn đụi diện cho các biền cồ A và B
Bước 3: Tím số kết quá cùa A và cua A n B
n(ArsR) n(A)
Bước 4 Thay vào công thúc PịB|A| =
• Công nghộ: Định nghía Xác suất cỏ diều kiện, htcu dồ Ven
• Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
In a class id25 students 14 like pi/za and 16 like iced codec One student likes neither and
6 students like both (Jnc student is randomly selected from the class What is the probability that
the student:
a likes pizza b likes pizza given that he or she likes iced coffee?
<|E1|, Trang 598>
Tạm dịch: Trang mật tap học cá 25 sinh viên, trong dó có 14 sinh vièn thích
Pizza và 16 sinh viên thu h ca fé đá Cớ / Sinh viên không thích cá hai và 6
sinh viên thích cà hai Mội sinh viên dược chon ngầu nhiên trong lớp Xác suát dè sinh viên dở:
a Thích Pizza.
b Thfch Pizza, cho biết ràng học sinh dò thích café dừ.
I.ỜI giai đưực chúng tôi IÌHI thấy trong [EI ] như sau: