Tổng ôn chuyên đề cung và góc lượng giác, công thức lượng giác

, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.. Mệnh đề nào sau đây là đúng?[r]

• sin4xcos4x 1 2sin2xcos2x; sin6xcos6x 1 3sin2xcos2x

• sin3xcos3xsinxcosx1 sin cos x x; sin3xcos3xsinxcosx1 sin cos x x

2) Dấu của hàm số lượng giác

3) Mối quan hệ giữa các cung lượng giác đặc biệt

▪ Cung đối nhau:  và 

 cos   cos

 sin   sin

 tan    tan

 cot    cot

▪ cosa b  cos cosa bsin sina b

▪ cosa b  cos cosa bsin sina b

▪ sina b  sin cosa bsin cosb a

▪ sina b sin cosa bsin cosb a

▪ tan  tan tan

2

sin 2 2sin coscos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sin

2 tantan 2

Trang 3

▪ Công thức góc nhân ba:

3 3

3 2

sin 3 3sin 3sincos3 4cos 3cos

3tan tantan 3

▪ Công thức hạ bậc hai:

2

2

1 cos 2sin

2

1 cos 2cos

3

3sin sinsin

43cos cos3cos

7) Công thức biến đổi tích sang tổng và ngược lại

▪ Công thức biến đổi tích thành tổng:

21

▪ Công thức biến đổi tổng thành tích:

II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung xsau:

Từ đó ta được:

tancos 2 2 41

tan

xx

xx

2 x

1 sin cos

coscos

a) tan2xsin2xtan2xsin2x b) sin cos 1 cos

sin cos 1 1 sin

2sin cos sin

Từ  1 và  2 suy ra điều phải chứng minh

c) Ta có: 1 sin2 cos2 1 sin2 cos2 1 sin3 cos3

sin sin sin cos sin cos

tan tancos cos sin cos sin cos

cos cos cot

sin sin tan

cos 2 sin 1 sin 1 sin 2 sin 1 sin

1 sin cos 1 sin cos 1 sin 1 sin cos

sinx cosx1 sin cosx x sin cos sinx x x cosx 1

•D sin4x4cos2 x cos4x4sin2x  2 2 2  2 2 2

1 cos x 4 cos x 1 sin x 4 sin x

1 4sin cos

sin cossin cos

sin cos 1 2sin cos

1 2sin cos sin cos 2sin cossin cos

sin cos 1 cos

cos sin sin cos sin 1 sin cos sin cos

sin 1 cos sin

tancos

cos 1 sin

x VPx

a) tan sin 1 sin2 cos

sin cot cos

a) sin cos 1 2 cos

sin cos 2 cos 1 2 cos 1 cos

sin cos cos

cos2

1 sin .cos 1sin cos

xx

7tan 360 8

sin 515 cos 475 cot 222 cot 408

cot 415 cot 505 tan197 tan 73

sin 360 180 25 cos 360 90 25 cot 180 42 cot 360 48

cot 360 55 cot 360 90 55 tan 180 17 tan 90 17



40 49

1 tan tan 1

xx

Ví dụ 24 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

a) cos2 cos2 cos2

Vậy biểu thức Akhông phụ thuộc vào biến x

b) 3 cos3 cos 3 3sin3 sin 3

xx

b) VT sin 2 cosx 2 x2sin cos cosx x x sin 2 cos 2x x VP

2sin cos cos 2 2

sin cos sin cos

cos sin sin cos

Ví dụ 32 Cho tam giác, chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin A  sin cos B C  sin cos C B

b) tan A  tan B  tan C  tan tan tan A B C

Lời giải:

Trang 18

a) sin cosB Ccos sinB CsinB C sin AsinA đpcm

b)tan tan tan sin sin sin

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

cos sin sin cos cos

cos cos cos



cos cos cos



cos cos cos

tan tan tancos cos cos

Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp

Ngoài ra chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi theo hướng khác nhanh gọn hơn như sau

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1 Cho góc  thỏa mãn sin 4

A cos 2  1 2sin2 B cos 2 cos2sin2

C cos 2  1 2 cos2 D cos 2 2 cos2  1

Câu 22 Cho sin 3





  Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin   0 B sin   0 C sin   0 D sin   0

Câu 36 Với góc  bất kì Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin 22cos 22   1 B sin 2 cos 2 1

C sin2cos 1802   1 D sin2cos 1802   1

Câu 37 Để t a n  có nghĩa khi

A sin60   sin150  B cos30   cos60  C tan45   tan60  D cot 60   cot 240 

Câu 41 Với mọi   R thì tan 2017    bằng

A A  cos   sin  B A  2sin  C A  sin cos   D A  0

Câu 43 Rút gọn biểu thức cos sin   sin cos  

A S  0 B S sin2xcos2 x C S  2sin cos x x D S  1

Câu 44 Cho Psin   .cos    và sin cos

 thu được kết quả là

Câu 74 Biến đổi biểu thức sin a  1 thành tích

A sin 1 2sin cos

 Câu 76 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A sin sin 2 cos sin

B cosa b cos cosa bsin sina b

C sina b sin cosa bcos sina b D 2cos cosa bcosa b  cosa b 

Câu 77 Cho hai góc ,  thỏa mãn 5

A 1 sin    1; 1 cos 1 B tan sin cos 0

Câu 82 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A sin4xcos4x 1 2 cos2 x B sin4xcos4x 1 2sin cos2x 2x

C sin4xcos4x 1 2sin2x D sin4xcos4x2 cos2x 1

Câu 83 Rút gọn biểu thức M sin6xcos6x

A M  1 3sin2xcos2x B M  1 3sin2x

Câu 84 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A cos3 cos5 1cos8 cos 2 

2

2

C M cos 2 2cosx x1 D M cos 2 2cosx x1

Câu 88 Rút gọn biểu thức sin 3 2 sin

Câu 89 Rút gọn biểu thức 1 cos 2 cos 2 cos 3

Câu 90 Rút gọn biểu thức tan cot cos 2

A t a n  B 2tan  C tan2   tan  D tan 2 

Câu 94 Rút gọn biểu thức 1 sin cos 2

A M  sin 2  B M  cos2  C M   cos2  D M   sin2 

Câu 96 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

A cos sin 2 cos

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 30

71-A 72-D 73-C 74-A 75-D 76-B 77-D 78-D 79-B 80-C

81-C 82-A 83-D 84-A 85-A 86-B 87-D 88-D 89-C 90-A

91-C 92-C 93-A 94-B 95-D 96-C 97-B 98-C 99-C 100-C 101-A 102-C 103-C 104-C 105-A 106-B 107-C 108-C 109-B 110-D 111- 112-

Câu 5: 1 sin 2 cos 2  1 cos 2  sin 2 2cos2 2sin cos

4 1 tan tan 1 2

4P

 nên t a n  vàcot  cùng dấu

Mặt khác tancot  0 tan  , do 0 sin 1 0 cos 0

Trang 33

sin  cos     1 1 2 cos cos   1 5 cos 4 cos 0

Câu 21: Ta có cos 2acos2asin2a2 cos2a  1 1 2sin2a Chọn C

Câu 22: cos 21 cos cos21 sin sin21 2sin cos 

13

kk

Câu 40: Ta có sin150   sin30  nên sin60   sin150  , cos30   cos60 

tan45   tan60 và cot60   cot 240 

Khẳng định đúng là C Chọn C

Câu 41: Do tan k tantan 2017   tan Chọn C

Câu 43: Ssin sinx xcos cosx xsin2xcos2x1 Chọn D

Câu 44: Psin   .cos     sin   cos  sin cos 

sin cos

P      Chọn B

Câu 63: Psin3 cos3 (sin cos ) sin  2 sin cos  cos2

(sin cos )(1 sin cos )  

Câu 65: Ta có: (sin cos )22 1 2 sin cos

(sin cos ) 1 2 sin cos

Câu 66: P  tan2  cot2  (tan   cot )  2 2tan cot      4 2 2 Chọn B

Câu 67: P  tan3  cot3  (tan   cot )  3 3tan cot (tan     cot ) 

Câu 69: Ta có (tan cot )22 tan22 2 cot22

(tan cot ) tan 2 cot

sin 2 sin 2 sin cos sin sin

Câu 76: cos(a b ) cos cos a bsin sina b Chọn B

Câu 77: Ta có cos(  ) cos cos   sin sin 

Câu 78: Ta có sin (2018 ) cos (2018 ) 12   2    Khẳng định D sai Chọn D

Câu 79: M  (sin x  cos ) x 2 (sin x  cos ) x 2

sin x 2 sin cosx x cos x sin x 2 sin cosx x cos x 2 sin x cos x 2

Câu 80: sin sin sin cos sin cos sin( )

Câu 86: sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin

sin sin sin sin sin sin sin sin

Trang 40

cos cos

cot cotsin sin

1 cos cos 2 cos 3 1 cos 2 (cos cos 3 )

2 cos cos 1 cos 2 cos 1

cos sinA

Câu 91: 1 sin 4 cos 4 1 cos 4 sin 4 2 sin 222 2 sin 2 cos 2

1 sin 4 cos 4 1 cos 4 sin 4 2 cos 2 2 sin 2 cos 2

2 sin 2 (sin 2 cos 2 ) tan 2

2 cos 2 (cos 2 sin 2 )

Câu 92: sin 22 4 sin24 4 sin22 cos2 sin 22 4 sin24 (2 sin cos )2 2

4 sin 2 4 sin 4 sin 2 4 sin

4sin cos 4cos4sin cos 4 1 sin

tan

94cos

Câu 93: sin 2 sin 2 sin cos2 sin sin (2 cos 1) sin tan

1 cos 2 cos 2 cos cos cos (2 cos 1) cos

Vậy sin cos(   ) sin  tan(  ) 2 tan   Chọn C

2



                   

1

1 tan ( )

1(1 )

pq

P

pq