Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác cơ bản

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là... Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là .[r]

Trang 1

I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Loại 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số lượng giác

Với phương trình a.sin2 kx b.sin kx  c 0 thì ta đặt tsin kx với 1  t 1 , quy về phương trình bậc hai: a t.2b t c    0 t sin kx x

Với phương trình a.cos2 kx b.cos kx  c 0 thì ta đặt tcos kx với   1 t 1 , quy về phương trình bậc hai: a t 2b t c    0 t cos kx x

Với phương trình a.tan2 kx b.tan kx  c 0 thì ta đặt ttan kx quy về phương trình bậc hai:

 

2

    0 tan 

a t b t c t kx x Tương tự cho phương trình ẩn tcot kx

Chú ý: Với phương trình bậc ba theo một hàm số lượng giác thì cách giải tương tự!

Loại 2: Phương trình nhóm nhân tử chung

Với phương trình f x 0 , bằng các kĩ thuật phân tích, các công thức lượng giác đã học ta nhóm được nhân tử chung và quy về dạng      

 

0

0





  





g x

g x h x

h x

II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

a) 3 tan2x 1 3 tan x 1 0 b) 4cos x2 2 3 1 cos  x 3 0

Lời giải:

a) 3 tan2x 1 3 tan x  1 0 tanx1  3 tanx 1 0

tan 1

4 1

tan







  

x

Vây phương trình có họ nghiệm ,

     

b) 4cos x2 2 3 1 cos  x 3 0 2cosx 3 2cos  x 1 0

cos

6 2

cos

3 2





x

x

Vây phương trình có họ nghiệm 2

3

   

6

   

Trang 2

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau

2



x cos x cos x b) sin6x cos x cos x  6  4

Lời giải:

2



 

2

2

2 sin sin 2 0 sin 2 1 sin 2 2 0

5

6







x

Vây phương trình có họ nghiệm 5 2

6

   

6

  

b)

4

sin 2 0

2

 x  x k

Vây phương trình có họ nghiệm

2

 k

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau

2

2 2 

x Lời giải:

a) sin4 4 sin 2 1 sin2 2 2 2sin2 2 sin 2 1 0

2

 

sin 1

2





 



x

Vây phương trình có họ nghiệm 2

2

  

b)

2

sin 2







Vậy phương trình có họ nghiệm

2

k

x  ,

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau

Trang 3

a) 2 sin 6 cos6  sin cos

0

2 2sin





sin xcos xsin cosx x0 Lời giải:

a) Điều kiện: 2 ,3 2

2 sin cos sin cos

0 2 sin cos sin cos 0

2 2sin



 x cos x  x cos x  xcos x xcosx

  xcosx  xcosx    xcosx xcosx 

 

sin

2



x xcosx

,

Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là 2 1

4

sin xcos xsin cosx x 0 sin x cos x 2 sinxcosx sinxcosx 0

 xcosx  xcosx   xcosx xcosx 

 

2







Vây phương trình có họ nghiệm

4

   

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau

4

Lời giải:

3

   

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra phương trình có họ nghiệm

3

  

x k với k lẻ b)

Trang 4

Vây phương trình có họ nghiệm

  

Ví dụ 6 Giải các phương trình sau

a)

tan 2



x cos x

x

sin

3 3 8

x cos x

Lời giải:

a) Với cos x2 0, phương trình đã cho tương đương

tan 2



x

sin 2 1

sin 2 1

3







   



x

b) Phương trình đã cho tương đương với

2

4 1



 x   cos x  cos x    x   k    x  k  ,

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau

a) sin2 tan2 2 0



x cos b) cos x cos x3  2 cosx 1 0

Lời giải:

a) Với điều kiện cosx0 phương trình đã cho tương đương với

2

2

1 sin 1 cos 1 cos  1 cos 1 sin 1 sin 

1 sin 1 cos sin cos  0

1 1

 







cosx cosx

b) Phương trình đã cho tương đương với

4cos x3cosx2cos x 1 cosx  1 0 4cos x2cos x4cosx 2 0

2 cos 2 cos 1 2 2 cos 1 0 2 cos 1 2cos 1 0

Trang 5

2 sinx 0

2 1

2 cosx

3 2











x k

x k , k

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau

a)tan cos cos2 sin 1 tan tan

2

x

  b) 1sinxcosxsin 2xcos2x0

Lời giải:

a) Điều kiện: cos cos 0

2

x

2

sin

s c s

2

x x

x











b) Phương trình đã cho tương đương với 1sinxcosxsin 2xcos2x0

2

cos cos 2 0 sin 2sin co sinx sin 2x 1 x x  x x sx 1 cosx2cos x 1 0

 cos  cos 1 2 cos  0 1 2 cos sin c 

3 4

cos

2

x

x

 

 

 



   

Ví dụ 9 Giải các phương trình sau

a) sin2xsin 32 x cos x cos x 22  24 b) sin6x cos x 6 cos 4x

Lời giải:

a) Phương trình đã cho tương đương sin2xsin 32 x cos x cos x 22  24

2cos 5 cos3x x 2 cos5 cosx x 0 cos5 cosx x cos 3x 0

10 5 cos 5 0

cos 5 cos cos 2 0 cos 0

2 cos 2 0

k x

x

x

  







  



,

b) Phương trình đã cho tương đương với

Trang 6

sin x cos x cos 4x sin x cos x 3sin xcos x sin x cos x cos 4x

2

1 sin 2 cos 4 1 1 cos 4 cos 4 cos 4 1

k

Ví dụ 10 Giải các phương trình sau

1

cosx x Lời giải:

a) Với điều kiện cosx phương trình đã cho tương đương với 0

2

2

tan x 3 3 tanx 3 2 0

2

2

x n k











,

b) Với điều kiện cosx phương trình đã cho tương đương 0

2

2

cos x



2

1

2

1

2 cos

5

x m k x





,

Ví dụ 11 Giải các phương trình sau

a) 9 13cos 4 2 0

1 tan

x

x

1 cot 3 sin x  x Lời giải:

a) Với điều kiện cosx phương trình đã cho tương đương 0

2 2

4

1 tan

x

 cos 1

9

4

x





 



,

b) Với điều kiện sinx phương trình đã cho tương đương 0

2

sin x  x   x x  x x 

4 cot 2









Trang 7

Ví dụ 12 Giải các phương trình sau

a) 2 3cos 4 2

2

x

Lời giải:

a) Phương trình đã cho tương đương với

2

2

 









x

x

b) Với điều kiện sin 2x0 phương trình đã cho tương đương với

tan 1

3







x

x x

x

Ví dụ 13 Giải phương trình 2sin 1 cos 2x  xsin 2x 1 2cosx

Lời giải:

2

2

sin 2 1

4

   





x

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: 2 2 ;

x  k   k

,

Ví dụ 14 Giải phương trình cot sin 1 tan tan 4

2

x

Lời giải:

Điều kiện: sin 0 sin 2 0

2 cos 0

2







x



Phương trình tương đương:

Trang 8

sin 4sinxcosx 2sin 2 x sinx

5 2

12

  





Vậy phương trình có 2 họ nghiệm: ;5

x  k  k ,

Ví dụ 15 Giải phương trình cos x3 sin3x2sin2x1

Lời giải:

sin cos 1 sin cos  sin cos sin cos  0

sin cos 1 sin cos sin cos  0 sin cos 0 1   

1 sin cos sin cos 0 2



Giải  1 sin 0

Giải (2): Đặt sinxcosx t ,   2; 2  sin cos 1 2

2



2

2

x k t











Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: 3 2 ; k ; 2

x  k     k 

Ví dụ 16 Giải phương trình cot tan 2cos 4

sin 2

x Lời giải:

Điều kiện: sin 2 0

2

   k

cos sinx cos 4 cos sin cos 4 cos 2 cos 4

sinx cos sinx cos

3 2

x k x

x













Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: ; 2 2

3

x k  k  ,

Ví dụ 17 Giải phương trình sin 2 2cos sin 1 0



Lời giải:

Trang 9

3

  







x

Ta có phương trình sin 2x2cosxsinx  1 0 sinx1 2cos x 1 0

Kết hợp điều kiện, vậy phương trình có 2 họ nghiệm: 2 ; 2

x  k   k  ,

Ví dụ 18 Giải phương trình tan 3 sin 2

x x

x



Lời giải:

Điều kiện: sin 0 



  Ta có phương trình tương đương:

cos 1 2sin 1 sin 1 6 2

5

6

  





Vậy phương trình có hai họ nghiệm: 2 ;5 2

x  k   k  ,

Ví dụ 19 Giải phương trình 2 3 cos 2sin2

2cos 1



x x

x



Lời giải:

    

x x  k  Phương trình đã cho tương đương

Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: 2 2

3

  

,

Ví dụ 20 Giải phương trình

2

2sin 3 2 sin sin 2 1 1 0

sin 2 1



Lời giải:

Trang 10

Điều kiện: sin 2 1

4

     

Phương trình tương đương

2sin 3 2 sin sin 2 1 sin 2 1 0 2sin 3 2 sin 2 0

4

   





Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: 3 2

4

  

,

Ví dụ 21 Giải phương trình

cot 2

x cos x

x

Lời giải:

Điều kiện: sin 2 0

2

   k

Phương trình tương đương:

4 4cos x2 20cos x2 5 4cos x2 20cos x2 9 0 2cosx 1 2cosx 9 0

1

 x    x  k 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: 2

3

  

,

Ví dụ 22 Giải phương trình  2 

4

4

2 sin 2 sin 3

x

cos x Lời giải:

Điều kiện: cos 0

2

   

x x  k Phương trình tương đương:

sin 2 sin 2 sin 3 1 sin 2 2 sin 2 sin 3

2

Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: 2 ;17 2

Ví dụ 23 Giải phương trình 2 cos 1 cot 3 2sin

sin cos 1



x

Lời giải:

Điều kiện: sin 0

cos 1

x x



 Phương trình tương đương:

2 cos 1 cos 1 cos 3 cos 1 2 1 cos 2  2 cos3 cos2 2 cos 1 0

Trang 11

Vậy phương trình có hai họ nghiệm : 2

3

  

,

Ví dụ 24 Giải phương trình sin 2 cos 2 tan cot

cos x sin x  x x

Lời giải:

Điều kiện: sin 2 0

2

   k

Phương trình tương đương:

sin 2 sinx x cos x2 cosx sin x cos x 1 2cos x cosx 1 2cos x

 x x   x    x  k 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm : 2

3

  

x  k  ,

Ví dụ 25 Giải phương trình 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot



Lời giải:

Điều kiện: sinx  0 x k Phương trình tương đương:

2

1

1 sin 2 cos 2 2 sin sin 2 1 cot 2 sin sin 2 2 2 cos

sin

x

2

sin 2 2 2 2 cos 1 0 sin cos cos 2 cos 0

cos sin cos 2





 Với cos 0

2

   

x x  k

Vậy phương trình có hai họ nghiệm : ; 2

x  k  k 

,

Ví dụ 26 Giải phương trình cos cos 5 8sin sin 3

cos 3x  cos x  x x

Lời giải:

Điều kiện: cos 0

cos 3 0





x

x Phương trình tương đương:

cos cos 5 cos 3 8sin cos sin 3 3 cos cos 3 cos 5 2sin 2 sin 6

1 cos 2 cos8 cos 2 2 cos 4 cos8 cos8 2cos 4 1 0

Trang 12

2

  



k x





Vậy phương trình có hai họ nghiệm : ;

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1 Tìm nghiệm của phương trình sau sin4x cos x 4 0

A

 

4

 

x  k,

4

  

2



x k

,

Câu 2 Phương trình 2 1

3

  

cos x 

có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2  là

Câu 3 Số nghiệm của phương trình sin 1

4

  

x 



,   x 5 là

Câu 4 Phương trình sin 3 3

   

 x 

 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0;

2

Câu 5 Cho phương trình sin 2 3

2



x Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn 0;3 thì giá trị của n là

Câu 6 Số nghiệm của phương trình cos x2 sin 3x0 thuộc 0; 2 là

Câu 7 Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinxsin 2x0 trên đoạn 0; 2

Câu 8 Cho phương trình sin 2x2 cosx0, nghiệm của phương trình là

A

2

 

8

 

x  k,

4

x  k 

6

  

x  k

, Câu 9 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sinx2 2 sin cosx x0 là

4

4



Trang 13

Câu 10 Phương trình sin 5xsinx0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 2018 ; 2018 ?

Câu 11 Phương trình cosx cos x cos x 2  3  1 0 có mấy nghiệm thuộc nửa khoảng ;0?

Câu 12 Phương trình sin 2 sin 3

     

có tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; bằng

A 7

2

2

4



Câu 13 Tìm số nghiệm thuộc khoảng  ;  của phương trình cosxsin 2x0

Câu 14 Tìm số nghiệm của phương trình sin cos x0 trên đoạn x0; 2

Câu 15 Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos sin x1 thuộc đoạn 0; 2

Câu 16 Tổng các nghiệm của phương trình sin2xsin 2x cos x 2 0 trên đoạn 0; 2018 là

A 4071315

2

2

2



Câu 17 Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số ysinx trên đoạn  0; , các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và 2

3



Tính độ dài đoạn BC

A 2

1

3

2 Câu 18 Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 32 3cot 3

A

6



6

 

2



3

 

Câu 19 Nghiệm của phương trình lượng giác cos x2 cosx0 thỏa mãn điều kiện 0 x  là

Trang 14

4



2



2

 

x 

Câu 20 Phương trình cos x2 2 cosx 3 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2019?

Câu 21 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5xcos 2x2sin 3 sin 2x x0 trên đoạn 0;3

là

A 16

3



3



3



3



Câu 22 Cho phương trình 2 sin 0

cos 3cos 2 

x

x x Tính tổng tất cả các nghiệm trong đoạn 0; 2018

của phương trình trên

A 1018018 B 1018080 C 1018081 D 1020100

Câu 23 Cho phương trình 2 1 3sin 2 cos2  sin cos

0

2 2sin





x có x0 là nghiệm dương lớn nhất trên khoảng 0;100 và có dạng x0a 

b



 , Tính tổng a b 

Câu 24 Số nghiệm của phương trình 3sin 22 x cos x 2   trên nửa khoảng 1 0 0; 4 là

Câu 25 Gọi x là một nghiệm của phương trình sin 20 xcosx trên ;

2

  Tính giá trị của biểu thức

sin sin 2 sin 3 sin 2018

A 1 3

2





2



2





Câu 26 Tính tổng các nghiệm của phương trình 2cos x2 5 sin  4x cos x 4  3 0 trong khoảng

0; 2018

A 2010.2018 B 1010.2018 C 20182 D 2016.2018

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

11-D 12-B 13-A 14-C 15-D 16-A 17-B 18-C 19-C 20-D

21-D 22-C 23-D 24-D 25-D 26-C 27- 28- 29- 30-

Câu 1: sin4x cos x 4  0 sin2x cos x 2   sin2x cos x 2  0

Trang 15

k

Câu 2:

7

cos x







k

k

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm Chọn B

               Chọn B

Câu 4:

k



Mà

0

4

2

k

k



Chọn D

x

Câu 6: 2 sin 3 sin 3  3

2 cos x  x  x cos x 

2

2 2

2

10 5 2

k x













Mà 0; 2  3 ;3 ;7 ;11 ;3 ;19

2 10 10 10 2 10

Câu 7: Phương trình sin 2sin cos 0 sin 1 2cos  0 sin 0 1

cos

2

x

x











Trang 16

2

2 3

x k











   



TH1: Với

0 0; 2

2

x

x k

x x

x

















3

x   k 

ta giải

2

4 3

3

x k

x





 



 



Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn 0; 2 là 5 Chọn B

Câu 8: sin 2x2cosx 0 2sin cosx x2 cosx 0 2cosxsinx 1 0 sincosxx01

     0

2

2sin 2 2 sin cos 0 2sin 1 2 cos 0

1 2 cos 0

x

x











Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là 3

4

 Chọn D

k x

x x k

x





 



 



  

 TH1: Với

2

k

x 

mà  2018 ; 2018  2018 2018

2

k

có 4036  4036 1 8073 nghiệm k

TH2: Với

k

k

k

 có 6053  6054 1 12108 nghiệm k

Vậy phương trình đã cho có 8073 12108 20181  nghiêm Chọn B

Câu 11: cosx cos x cos x 2  3   1 0 cosx2 cos2x 1 4 cos3x3cosx  1 0

Trang 17

sinx 0

cos

2

x







 



2

2 3

x k











   



Câu 12:

x





 TH1 Với x  k2 mà x0;  0  k2 

1

2

k

          

k

x   mà 0;  0 2

k

x       

 

k



Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là  Chọn B

Câu 13: cos sin 2 sin 2  2

2

x  x  x cos x 

2

2 2

2

2

k x











k 

2

2

x         k  

k

            

k

x   

k

x           

k

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm Chọn A

Câu 14: sin cos x 0 cosx k  mà cosx  1;1

Suy ra 1 k 1 1 k 1 k k 0

        

2

x   x  n

mà 0; 2  ;3

2 2

x   x  

  Chọn C

Trang 18

Câu 15: cos sin x 1 sinx k 2 mà sinx  1;1

k

        

Do đó sinx  0 x n. mà x0;2  x 0; ; 2   Chọn D

Câu 16: sin 2 1 2 2

x  x  k    x  k k

Suy ra 0;1; 2; ; 2017 4071315

2

CD

CD  OD   x  D 

   

x   y     A BC AD

Câu 18: Phương trình  3 1 cot  2x3cotx 3 cot2x 3 cotx 0

Chọn C

Câu 19: Phương trình 2 cos 0 cos 0

2

x k







Với

2

         

Với x k 2 mà 0 9 1

2

        Chọn C

Câu 20: Phương trình 2cos x2  1 2cosx  3 0 cos2xcosx  2 0

 

cos 1

x



2



Mặt khác k k1; 2; ;321 nên có 321 nghiệm cần tìm Chọn D

Câu 21: Phương trình cos 5xcos 2xcosxcos 5x 0 cos 2xcos  x

2

2

k

 



  



;3 ; ; ; ;3

Trang 19

cos 1 cos 3cos 2 0

x



Do đó cosx    1 x  k2 mà 0; 2018  1 2017

0

0;1; 2; ;1008 2 1018081

k



Câu 23: Điều kiện: 2 2sin 0 sin 2

2

Phương trình trở thành: 2 6sin 2xcos2xsin cosx x  0 4 3sin 22 xsin 2x 0

k 

x     k      k

4

max

k k    x  

 (thỏa mãn)   a b 99 4 103  Chọn D

Câu 24: Phương trình 3 1 cos x22 cos x2    1 0 3cos x cos x22  2   2 0

2

3

cos x

cos x







TH1 Với x k 0; 4   0 k 4  k 0;1; 2;3 nên có 4 nghiệm

x arccos k     k

0;1; 2;3

k

  nên có 4 nghiệm

x  arccos k    k

nên có 4 nghiệm Vậy phương trình có tổng 12 nghiệm Chọn D

Câu 25: Phương trình

2

2 sin 2 sin

k x











x x    S        

Ta có

1 sin 2 sin sin 2 sin 3 sin sin

2 sin

2

nx

x

