CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT MỘT SỐ CÔNG THỨC LŨY THỪA 1 n n a a a a= thöøa soá Trong đó a gọi là cơ số, n gọi là số mũ 2 Cho 0a , 0n = hoặc n nguyên âm 0 1a = 1n n a a− = 3.
Trang 1CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
MỘT SỐ CƠNG THỨC LŨY THỪA
1 n .
n
a =a a a
thừa số
Trong đĩ a gọi là cơ số, n gọi là số mũ
2.Cho a 0, n =0 hoặc n nguyên âm
0
1
a = n 1
n
a
a−
=
3 Căn bậc n
Với a b , 0; m, n nguyên dương và p q ,
⬧ n n .n
ab = a b ⬧ ( 0)
n n n
b
p
n p n
a = a a ⬧ m n mn
a = a
⬧ ( )
a
=
lẻ chẵn
⬧ Nếu p q
n = m thì n a p =m a q (a 0) ⬧n mn m
a = a
4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a 0 và số hữu tỉ r m
n
= , trong đĩ m , n , n 2
m n
a =a = a
5 Lũy thừa với số mũ vơ tỉ
Ghi nhớ (điều kiện về cơ số của lũy thừa)
Xét lũy thừa ( ( ))f x r:Nếu số mũ r là ;
⬧ r là số nguyên dương: f x ( )
⬧ r =0 hoặc r là số nguyên âm: f x ( ) 0
⬧ r là số khơng nguyên: f x ( ) 0
6 Tính chất : Cho a b , 0 và m n ,
⬧ a a m. n =a m n+ ⬧ ( )n n n
ab =a b
⬧ m m n
n
a
a a
−
= ⬧
n
=
Trang 2⬧ ( )m n mn
a =a ⬧
−
=
7 So sánh các lũy thừa
a) Định lí: Cho m n ,
⬧ Với a 1 thì: m n
a a m n
⬧ Với 0 a 1 thì: m n
a a m n
b) Hệ quả 1: Với 0 a b và m
⬧ a mb m m 0
⬧ a mb m m 0
c) Hệ quả 2: Với ab và n là số tự nhiên lẻ thì n n
a b
Bài Tập : SO SÁNH MŨ
Câu 1 Hãy so sánh các số mũ p và q biết:
( 3 - 2) > ( 3 - 2)
Câu 2 Có kết luận gì về cơ số a > 0 khi biết:
1)
a > a
Câu 3 So sánh mỗi số sau với 1:
1)
3
1
2
0, 013 −
Câu 4 So sánh các cặp số sau:
1)
1 4
( 3 -1) và
2 2
5 2
π ( )
2 và
10 3
π ( ) 2
3) 2300 và 3200 4) 1 3
( )
3 và π -0,3
( ) 4
………
§2 LÔGARIT
I ĐỊNH NGHĨA
Cho 0 a 1 và b 0
loga b= a =b
II Công thức
A Tính toán - Rút gọn
Cho 0 a 1
Trang 31) log 1 0a = 2)loga a = 1
3) loga ab = b , b 4) log
a b
a = b b
5) loga c loga b, , 0
b = c b c 6) logab = logab ,
7)
1 loga b loga b , 0
= 8) loga b loga b
=
B Phép toán :
Cho 0 a 1; b c , 0
1)loga( )bc = loga b+ loga c 2) loga b loga b loga c
3) loga b.logb c= loga c 4) log log
log
a b
a
c c
b
Lưu ý: Nếu 0 a 1, b 0 và là số chẵn thì logab = loga b
C Đổi cơ số :
Cho 0 a b, 1; c 0
log
log
a b
a
c c
b
= 2) 1
log
log
a
b
b
a
= 3) loga b.logb a =1
D So sánh hai logarit cùng cơ số
1) Định lí: Cho 0 a 1 và b c , 0
⬧ Với a 1 thì: loga b loga c b c
⬧ Với 0 a 1 thì: loga b loga c b c
2) Hệ quả: Cho 0 a 1 và b 0
⬧ Với a 1 thì: loga b 0 b 1
⬧ Với 0 a 1 thì: loga b 0 b 1
III LOGARIT THẬP PHÂN, LOGARIT TỰ NHIÊN
1 Logarit thập phân: Logarit cơ số 10 của một số dương x gọi là logarit thập phân của x
kí hiệu log10 x = log x hoặc log10 x = lg x
2 Logarit tự nhiên
Trang 4⬧ Số e:
1 lim 1 2, 71828
x
x
→+
+ =
⬧ Logarit cơ số e của một số dương x gọi là logarit tự nhiên của x
kí hiệu loge x = ln x
………
LUYỆN TẬP
I RÚT GỌN – TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT
Câu 5 Tính:
1) log 2 4 2) 1
4
log 2 3)
3
2
4 log
2 8 4)
2 1 2
log 16
5) log 27 9 6) log5 1
25 7)
1
ln e + ln
e 8)
2
1 5ln + 4ln(e e) e
9)
3
2
4 log
3
2
2 4 log ( )
2 8
Câu 6 Tính:
1) A = log 6.log 9.log 23 8 6 2) B = log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 73 4 5 6 7 8
Câu 7 Tính:
1) log 3 2
B = 4 3) log 2 9
C = 27 4) log 3 2
D = 9 5) log75+log 49 9
E = 7 6) F = 102+lg7
Câu 8 Tính:
1) A = log 3 + log 126 6 2) 2 2
log 24 log 192
-log 2 log 2
C = (lg5 + 2lg2 - lg50) + 4lg5(lg2 + lg50)
Câu 9 Cho 0 < a 1 Tính:
1) A = log a 2) a 3 4
1 3 a
B = log a 3) 1 7
a
C = log a 4)
10
log(loga )
D = log(loga) +1
Câu 10 Cho 0 < a 1 Tính:
1) log 2 a
A = a 2) log a 4
B = a 3) log a 1
C = (2a) 4) 4log 2 5
D = a
Câu 11
1) Cho log214 = a Tínhlog4932 theo a
2) Cho log 15 3 = a Tính log 25 15 theo a
3) Cho log23 = a; log25 = b Tính log 1030; 3 5
9 log
8 theo a, b 4) Cho log303 = a; log305 = b Tính log308; log301350 theo a, b
5) Cho a = lg2; b = lg3 Tính
4
364,5 log
2 theo a, b 6) Cho a = ln2; b = ln3 Tính ln36; ln 1
12 theo a, b
Trang 5Câu 12 Cho 0 < a 1 Có kết luận gì về cơ số a biết:
1) loga 2> loga 3
3 4 2) loga1 > loga 3
§3 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT,
HÀM SỐ LŨY THỪA
I HÀM SỐ LŨY THỪA
1 Định nghĩa: Hàm số y=x, với , được gọi là hàm số lũy thừa
2 Tập xác định của hàm số lũy thừa
⬧ nguyên dương: D =
⬧ = 0 hoặc nguyên âm: D = \ 0
⬧ không nguyên: D =(0; +)
3 Đạo hàm của hàm số lũy thừa: Cho
x = x− x
u = u− u u
4 Khảo sát hàm số lũy thừa y = x α trên khoảng (0;+)
0
y = x− x y' = x−1 0, x 0
Giới hạn đặc biệt
0
x
x
+
lim
x x
0
lim
x
x
+
x x
Tiệm cận đứng là trục Oy
Bảng biến thiên
'
y
0
+
'
0
Trang 6Đồ thị hàm số y=x
II HÀM SỐ MŨ
1 Định nghĩa: Cho 0 a 1
Hàm số x
y=a được gọi là hàm số mũ cơ số a
2 Đạo hàm của hàm số mũ: Cho 0 a 1
⬧ ( ) ax ' = ax ln a ⬧ ( )e x ' = e x
Đạo hàm của hàm hợp: ⬧ ( ) au ' = au ln ' a u ⬧ ( ) eu ' = u e '. u .
y = a (0 <a 1)
1
Giới hạn
đặc biệt
Bảng biến thiên
'
y
0
+
'
y
a
0
Đồ thị
Đồ thị luôn qua điểm ( )0;1 và nằm phía trên trục hoành
1
1
α<0 α=0 0<α<1 α=1
α>1 y
x O
Trang 7III HÀM SỐ LOGARIT
1 Định nghĩa: Cho 0 a 1
Hàm số y= loga x được gọi là hàm số logarit cơ số a
2 Đạo hàm của hàm số logarit: Cho 0 a 1
.ln
x a
⬧ ( ) 1
lnx ' , x 0
x
=
Đạo hàm của hàm hợp:
.ln
a
u
u a
.ln
a
u
u
u
3 Khảo sát hàm số logarit y =loga x (0 <a 1)
1
Đạo hàm
1
ln
x a
ln
x a
=
Sự biến thiên
Hàm số luôn đồng biến trên
khoảng (0; +)
Giới hạn đặc biệt
0
lim loga
lim loga
0
lim loga
x
x
+
lim loga
Trang 8Bảng biến thiên
'
y
−
+
'
y
0
−
Đồ thị
Đồ thị luôn đi qua điểm ( )1; 0 và nằm bên phải trục tung
4 Nhận xét
⬧ Đồ thị của các hàm số x
y=a và 1
x
y a
= (0 a 1) đối xứng với nhau qua trục Oy
⬧ Đồ thị của các hàm số y= loga x và log1
a
y= x (0 a 1) đối xứng với nhau qua trục Ox
⬧ Đồ thị của các hàm số x
y=a và y= loga x (0 a 1) đối xứng nhau qua đt y=x
IV CÁC CÔNG THỨC VỀ LÃI SUẤT
1 Dạng 1: (Lãi kép) Gửi A đồng, lãi suất r/kì hạn
Sau N kì số tiền thu được cả vốn lẫn lãi là: C=A(1 +r)N
2 Dạng 2: Mỗi kì gửi A đồng, lãi suất r/kì hạn
Sau N kì số tiền thu được cả vốn lẫn lãi là: A(1 r) (1 r)N 1
C
r
+ + −
3 Dạng 3: Vay A đồng, lãi suất r/kì hạn
Để sau N kì trả hết nợ thì số tiền mỗi kì phải trả là: ( )
1
N
N
m
r
+
= + −
V CÔNG THỨC TÍNH SỐ CHỮ SỐ CỦA SỐ NGUYÊN DƯƠNG A
( ) log 1
s A = A + (kí hiệu x là phần nguyên của x)
Trang 9BÀI TẬP
I HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 13 Cho hàm số:
x x
4 f(x) =
4 + 2
1) Chứng minh rằng: nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1
2) Tính tổng S = f( 1 ) + f( 2 ) + + f(2016)
Câu 14 Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1) y = x1
2x - 3
3) y = log3 210 - x
y = lg x - x -12
Câu 15 Tìm m để hàm số: 2
3
y = log (x - mx + m + 3) có tập xác định là R
Câu 16 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
y = ( ) +1 3
Câu 17 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
3
y = log x
II ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT, LŨY THỪA
Câu 18 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
y = e + e 3) y = (sinx − cosx).ex 4) y = cosx.esinx 5) y = x.ex + sinx + cosx 6) y = 102x−7
Câu 19 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = ln(1 – 2x) 2) y = 5 + lnx 3) y = ln3x
4) y = ln2(5x + 4) 5) y = log5(x2 + x + 1) 6) y = log2(5 + lnx)
Câu 20 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) 5 3 6
y = x x -8 2) 4
2
1
y =
x +1 3) 2 3
4
1
y = (x + x + 3)
4) y = xx (x > 0) 5) y = (x2 + 1)sinx 6) 1 x
y = (x + )
x (x > 0)
Câu 21 Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa hệ thức được chỉ ra:
1) y = (x + 1).ex thỏa hệ thức: y’ − y = ex
2) y = ln 1
x +1 thỏa hệ thức: xy’ + 1 = ey
3) y = x.lnx thỏa hệ thức: xy' - y = 1
y"
4) 4x -x
y = e + 2e thỏa hệ thức: y''' -13y' = 12y
Trang 10III ĐƠN ĐIỆU – CỰC TRỊ – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT
Câu 22 Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
1) π x
y = ( )
3 + 2
Câu 23 Tìm cực trị của các hàm số sau:
x
Câu 24 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau trên các tập hợp được chỉ ra:
1) 2
y = x - ln(1- 2x) trên đoạn [–2; 0] 2) 2 x
y = x e +1 trên đoạn [–3; 2]
y = (x + 4x +1)e trên đoạn [–2; 3] 4) y = -lnx
x trên đoạn [1; 4]
5) y = ln(ex)
x trên đoạn [ ; e]1
e 6) x-1 3-x
y = 2 + 2
7) 2x x
y = e - 3e -1 trên đoạn [0; ln3] 8) 2
y = ln x - lnx trên đoạn [1; e2]
IV BÀI TOÁN THỰC TẾ
Câu 25 Một người gởi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất 7,56% một năm Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 26 Một người gởi 20 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi sau bao lâu thì người đó có được ít nhất 30 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi)?
Câu 27 Một người gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn quý (3 tháng), lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép Sau đúng 6 tháng, người đó gởi thêm 100 triệu đồng nữa với kì hạn và lãi suất như trước Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm tính từ lần gởi đầu tiên là bao nhiêu?
Câu 28 Một người muốn sau 10 năm phải có số tiền 500.000.000 đồng để mua xe ô tô Hỏi người đó phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền như nhau hàng năm là bao nhiêu nếu người
đó định gửi theo thể thức lãi kép, loại kì hạn 1 năm và giả sử lãi suất tiết kiệm không thay đổi là 7% một năm?
Câu 29 Một người gởi tiền bảo hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hàng tháng anh ta gởi đều đặn cho con M đồng với lãi suất 0,52% một tháng Trong quá trình đó, người này không rút tiền ra và giả sử lãi suất không thay đổi Nếu muốn số tiền rút ra hơn 100 triệu đồng cũng lúc con tròn 18 tuổi thì hàng tháng phải gởi tối thiểu khoảng bao nhiêu tiền?
Câu 30 Một người vay vốn ở ngân hàng với số vốn 100 triệu đồng, thời hạn 48 tháng, lãi suất ngân hàng là 1,14% mỗi tháng, tính theo dư nợ trả đúng ngày quy định Hỏi hàng tháng người đó phải trả đều đặn vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến tháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng?
Câu 31 Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78 685 800 người và tỉ lệ tăng dân số hàng năm là 1,7% Hỏi đến năm nào thì dân số Việt Nam ở mức 100 triệu người?
Trang 11Câu 32 Biết rằng tỉ lệ giảm dân số hàng năm của Nga là 0,5% Năm 1998, dân số của Nga
là 146 861 000 người Hỏi năm 2018 dân số của Nga sẽ là bao nhiêu?
Câu 33 Dân số một quốc gia trong 2 năm tăng từ 30 triệu người lên 30.048.288 người Tính
tỉ lệ tăng dân số hàng năm của quốc gia đó trong 2 năm trên
Câu 34 Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M = logA - logA0, với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là biên độ chuẩn (hằng số) Đầu thế kỉ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần Tính cường độ của trận động đất ở Nam
Mỹ
Câu 35 Khi viết 21000 trong hệ thập phân, ta được một số có bao nhiêu chữ số?
Câu 36 Năm 1992, người ta đã biết số 756839
p = 2 -1 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho tới lúc đó) Hỏi khi viết trong hệ số thập phân, số nguyên tố đó có bao nhiêu chữ số?