(SKKN mới NHẤT) những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài dãy số

Cộng đẳng thức trên theo vế ta được Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là c Từ công thức truy hồi suy ra Từ đó ta có … …Cộng đẳng thức trên theo vế ta được Vậy số hạng tổng quát của

Trang 1

1 Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Với 13 năm đứng trên bục giảng năm nào tôi cũng được tham gia giảngdạy cho học sinh lớp 11 và có một số năm được dạy cho học sinh ôn thi Họcsinh giỏi Khi dạy chương dãy số tôi thấy có một số vấn đề sau cần phải giảiquyết:

Một là: Theo qua điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trìnhdạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể Tuy nhiênviệc giảm tải chỉ tập trung vào bài tập còn lí thuyết thì giảm tải không đáng kể vì

đó là yêu cầu tối thiểu Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất vả,học sinh học lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáokhoa học sinh thấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bàitập còn lại đều tương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinhlàm bài theo cách rất máy móc ít hiểu rõ vấn đề do đó khi đề bài chỉ thay đổimột chút là học sinh sẽ cảm thấy khó khăn, chán ngán

Hai là: Các vấn đề về dãy số hầu như không xuất hiện trong các đề thituyển sinh Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này Tàiliệu tham khảo về dãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểusau thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý đinh ôn thi Học sinh giỏi rất khótìm cho mình một cuốn tài liệu dễ đọc

Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: Dãy số

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:

Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theoquan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống và phântích các bài tập về dãy số một cách logic từ khó đến rất khó

Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là cácphép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổngquát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích

Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bàitoán về dãy số chánh sự gượng ép máy móc

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phảinghiên cứu trên các bài toán về dãy số: phương pháp quy nạp toán học, cấp sốcộng, cấp số nhân và giới hạn của dãy số

Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào chương dãy số,giới hạn của dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên vàcác bài tập thi Học sinh giỏi cấp thành phố

Trang 2

4 Kế hoạch nghiên cứu

Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần

cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi thấy khi cho các em học sinh lớp

11 khi làm bài tập về dãy số hầu hết đề rất máy móc hiểu vấn đề rất lờ mờ không

hệ thống một số ít học sinh có hứng thú với phần dãy số thì rất khó tìm đượcmột tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ thông không chuyên nhưngtrong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cấp thành phố đều có ít nhất một bài vềdãy số

Từ những khúc mắc nói trên tôi đã nghiên cứu đề tài dãy số qua một sốgiờ tự chon nâng cao tại lớp 11A2 năm học 2011 – 2012 và lớp 11A1 năm học

2012 – 2013 từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình

Trang 3

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

a) Phương pháp quy nạp toán học

b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

* Dãy số gọi là dãy số tăng nếu

* Dãy số gọi là dãy số giảm nếu

Vậy: Nếu suy ra là dãy số tăng

Nếu suy ra là dãy số giảm

* Nếu tồn tại số sao cho thì bị chặn trên

* Nếu tồn tại số sao cho thì bị chặn dưới

* Nếu dãy số bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn

c) Cấp số cộng

* Dãy số là cấp số cộng với , trong đó là

số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng

* Nếu dãy số là cấp số cộng thì

* Nếu dãy số là cấp số cộng thì tổng

d) Cấp số nhân

* Dãy số là cấp số nhân với , trong đó là

số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân

* Nếu dãy số là cấp số nhân thì

* Nếu dãy số là cấp số nhân vơi thì tổng

- Nếu dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

Nếu dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

Trang 5

là cấp số nhõn cú cụng bội

Vậy số hạng tổng quỏt của dóy số đó cho là

1,5

Chú ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong

đáp án mà vẫn đúng thì đợc đủ điểm từng phần nh

Trang 6

Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau:

Điểm Lớp 1 – 2,5 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10Lớp 11A2

( 50 HS ) 4,0% 20% 60% 12% 4,0%

Lớp 11A5( 49 HS ) 6,1% 30,6% 51,3% 10% 2%

Học sinh có điểm kiểm tra thấp như trên vì các lí do sau :

Câu I – Một số học sinh không có lời giải

- Một số học sinh có lời giải tương tự đáp án nhưng tính toán không chính xác Câu II – Nhiều học sinh không có lời giải

- Một số học sinh có các giải tương tự đáp án trên nhưng tính toán không chính

xác hoặc chưa đi đến kết quả cuối cùng hoặc

Câu III – Hầu hết học sinh không có lời giải

- Một số ít học sinh rất chăm học đã làm nhiều bài tập trong Sách bài tập Cơ bản

và Nâng cao đã có dự đoán và chứng minh theo quy nạp được đẳng thức nhưđáp án

- rát ít học sinh có cách giải như đáp án

đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấnmạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng

Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết củamình thành ba phần sau:

- Dãy số với phương pháp quy nạp toán học

- Dãy số quy về cấp số cộng và cấp số nhân

- Bài tập về dãy số trong một số đề thi Học sinh giỏi

Trang 7

PHẦN I: DÃY SỐ VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Bài 1 hãy chứng minh các đẳng thức sau:

Bước 1: Giả sử đẳng thức (2) đúng với tức là

(giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh (2) đúng với tức là phải chứng minh:

Thật vậy Vế trái của (*) bằng

suy ra (*) đúngTheo nguyên tắc quy nạp suy ra đẳng thức (2) đúng

Các ý a) và c) được chứng minh hoàn toàn tương tự

Từ bài tập trên ta có lời giải khá đẹp cho các bài tập sau đây:

Bài 2 Rút gọn các biểu thức biểu thức

a)

Trang 8

Cộng đẳng thức trên theo vế ta được

Bài 3 Tìm công thức tính giá trị của các biểu thức sau theo

a)

Trang 10

d)

Tổng và được chứng minh theo phương pháp quy nạp

Trong quá trình giải quyết các bài toán trên ta đã khai thác khá sau cácđẳng thức (1), (2) và (3) đã nêu trong bài 1 nhưng có học sinh lại đặt ra câu hỏinếu không biết đến các đẳng thức (1), (2) và (3) thì bài toán được giải quyết nhưthế nào ? Vấn đề này có thể giải quyết như sau :

Trang 14

Cộng đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

Bài 5 Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây

a)

b)

Trang 15

Mà

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

b) Từ công thức truy hồi suy ra

Từ đó ta có

… …

Trang 16

c) Từ công thức truy hồi suy ra

Từ đó ta có

… …Cộng đẳng thức trên theo vế ta được

d) Theo đề bài suy ra ;

Trang 17

… …Cộng đẳng thức trên theo vế ta được

Mà

e) Từ công thức truy hồi suy ra

Trang 18

Bài 1 Cho dãy số xác định bởi công thức:

Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số

Giải

Từ công thức truy hồi đã cho suy ra là một cấp số cộng có và công sai nên số hạng tổng quát là

Vậy

Trang 19

Giải

Từ công thức truy hồi đã cho suy ra là một cấp số nhân có và công bội nên số hạng tổng quát là

Vậy

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là

Bài 4 Cho dãy số có

Trang 20

Với thì theo đề bài suy ra

Nên là cấp số cộng với cồng sai

Bài 5 Cho dãy số có : với

Tìm a để ( ) là cấp số nhân

Giải

Theo đề bài suy ra

Dãy số là cấp số nhân

Lưu ý là phải thử lại

+) với thì theo đề bài suy ra

nên là cấp số nhân có công bội

+) với thì theo đề bài suy ra

nên là cấp số nhân có công bội

Vậy dãy số là cấp số nhân khi

Bài 6 Cho dãy số có số hạng tổng quát

Đặt Hãy rút gọn theo

Giải

Ta có

Trang 21

Theo công thức tổng các số hạng của cấp số nhân suy ra

Vậy

Nhận xét:

Với cách làm như trên ta có bài toán tương tự đối với dãy số

, trong đó là các hằng số bất kì cho trước

Chẳng hạn: Rút gọn biểu thức với

Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự cácbài trên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bảnthân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân

Suy ra dãy số là cấp số nhân có , công bội

Trang 22

Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng:

Trong đó là các hằng số đã cho, là đa thức theo biến số n

* Nếu ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I

* Nếu ta phải tìm một đa thức có bậc bằng bậc của sao cho phương trình

Khi đó việc tìm sẽ trở thành tìm trong đó dãy số là một cấp số nhân

Bài 8 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi

b) Từ đề bài suy ra là đa thức bậc nhất ẩn nên ta xét đa thức

sao cho

Trang 23

c) Từ đề bài suy ra là đa thức bậc hai ẩn nên ta xét đa

Trang 24

Trong đó tổng là tổng số hạng đầu của một cấp số nhân có phần tử thứ nhất , công bội

Xét

Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy ra

Trang 25

Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là

Chú ý: Dãy số thỏa mãn

Tương tự cách giải của bài tập 8 và 9 ta có thể tìm được số hạng tổngquát của các dãy số cho bới công thức truy hôi như sau:

Trong đó là các hằng số đã cho, là một đa thức theo biến số n

Với một số lưu ý sau:

* Nếu ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của cộng với 1sao cho Khi đó ta sẽ đưa về bài toán tìm số hạngtổng quát của một cấp số nhân

* Nếu và , ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8

* Nếu , , ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của sao

Trang 26

Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là

Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 8a.

Trang 27

Theo đề , bậc của bằng 2 suy ra bậc của bằng 2

Mà nên ta phải có

và

Do đó là cấp số nhân có công bội nên

Trang 28

Trang 29

Bài tập tương tự

Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi sau:

a)

Trang 31

Cộng theo vế đẳng thức trên ta được

Trang 32

Theo cách tư duy của các bài tập nêu trên ta có thể tìm được số hạngtổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi có dạng sau:

Trang 33

PHẦN III : MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ THI HỌC SINH GIỎI

Sau đây là những bài tập về dãy số được trích ra từ một số đề thi Họcsinh giỏi để học sinh tham khảo qua đó nhận thấy việc thực hiện lời giải khôngquá phức tạp trong khi nhìn đề bài có vẻ rất phức tạp

Bài 1 (Học sinh giỏi Hà Nội 2012 – 2013)

Cho dãy số xác định bởi

1) Chứng minh rằng dãy số giảm và bị chặn

2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số

giảm

bị chặn trên Vậy dãy số giảm và bị chặn

2) Từ

Trang 34

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là

Cho dãy số thỏa mãn Hãy tìm

Trang 35

Cho dãy số thỏa mãn:

Trang 36

Cho dãy số xác định bởi Đặt

Trang 37

Cho dãy số xác định bởi trong đó là số hoán vị của phần

tử, là số chỉnh hợp chập của phần tử Đặt

Tìm

Giải

Ta có ,

Bài 6 Cho dãy số xác định bởi

Với là số thực dương cho trước Hãy tìm

Trang 38

Mà

(vì ) Vậy

Bài 7 (Học sinh giỏi Hà Tây 2004 – 2015)

Cho dãy số xác định bởi

đúng (theo giả thiết quy nạp)

Vậy dãy số tăng

Trang 40

Bài 9 Cho dãy số có:

Bài 10 (Học sinh giỏi Việt Nam 2001)

Cho dãy số xác định bởi: và

với mọi Hãy tính tổng 2001 số hạng đầu tiên của dãy số

Giải

Cách 1 Theo đề bài

Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được

Trang 41

Bài 11 (Học sinh giỏi Việt Nam 1991)

Cho dãy số xác định bởi:

Đặt Chứng minh rằng là một số chính phương

Giải

Trang 42

Ta sẽ chứng minh

Theo giả thiết quy nạp

Theo nguyên tắc quy nạp suy ra

Và

Vậy là một số chính phương

Nhận xét:

Trong khi giải các bài tập về dãy số nêu trên ta thấy cách biến đổi khá

đa dạng, đội khi có phép biến đổi rất khéo không tự nhiên Nhưng việc tính toánmột số phần tử đầu của dãy số sau đó dự đoán và chứng minh theo phương phápquy nạp xem ra khá tốt

-4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một

số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học.Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên giữa học kì II năm học 2012 – 2013khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đãcho các lớp 11A2, 11A5 làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài tương tự phần khảosát thực tiễn chỉ thay đổi về mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánhkết quả thu được

Trong đó lớp 11A2 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tàicòn lớp 11A5 là lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài

Trang 43

trăm như sau:

Lớp thực nghiệm 11A2 (50 học sinh)

Lớp đối chứng 11A5 (50 học sinh)

ĐiểmLớp 1 1 – 2,53 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10 Lớp 11A2 0% 2% 18% 20% 60%

Lớp 11A5 4% 28% 52% 14% 2%

Căn cứ vào kết quả kiểm tra Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của lớpthực nghiệm và lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với cácnội dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 11 có cáinhìn bao quát về cách giải các bài toán về dãy số thuộc chương trình trung họcphổ thông không chuyên giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán vềdãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn nữa với mônToán vì trong đó thường có các phép thế tuyệt đẹp các suy luận rất rất logic

Trang 44

III KẾT LUẬN

Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 11 trong một số giờ tựchọn nâng cao, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đãtrình bày Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy

số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tưduy đó là một yêu cầu rất cần thiết đối với người học Toán nói riêng và học môn

tự nhiên nói chung

Tôi rất vui vì nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trongtrường và một số trường lân cận đã viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấyrằng việc chấm sáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biếnsáng kiến trong nhà trường đều góp phần khích lệ tinh thần làm việc và say mệnghiên cứu

Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực hiện đề tài khótránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và cácbạn đồng nghiệp

Xác nhận của Hiệu trưởng trường

Trung học phổ thông Mĩ Đức A

Hà Nội ngày 5 tháng 3 năm 2013Tôi xin cam đoan sáng kiến kinhnghiệm này do tôi tự viết chứ khôngphải đi sao chép Nếu sai tôi xin chịumọi trách nhiệm!

Tác giả

Nguyễn Hà Hưng

Tiêu đề	Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài dãy số
Tác giả	Nguyễn Hà Hưng
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông Hồng Bàng
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2012
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	11,59 MB