Với ý tưởng sử dụng công cụ đạo hàm trong khảo sát hàm số, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn và thực hiện đề tài này với mục đích đóng góp một phần công sức nho nhỏ và việc tuyển chọn và chứng
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC …
ĐẠO HÀM VÀ ÁP DỤNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng và
Ký hiệu : :số gia của đối số tại x0.
:số gia của hàm số tại
Nếu tồn tại (hữu hạn) giới hạn: thì ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại và giới hạn đó chính là đạo hàm của f(x) tại
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng (a,b) thì ta nói hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b). b.Định lý :( điều kiện cần của đạo hàm)
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại thì f(x) liên tục tại Và do đó nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì nó liên tục trên khoảng (a,b).
Thật vậy : Vì f(x) có đạo hàm tại nên tồn tại = Từ đó suy ra:
Tức là f(x) liên tục tại
Lưu ý: điều ngược lại của một định lý nói chung là không đúng; ví dụ, một hàm liên tục tại 0 nhưng lại không có đạo hàm tại 0 c Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: phần này trình bày các công thức cơ bản và quy tắc quan trọng giúp tính đạo hàm ở nhiều trường hợp khác nhau, từ đạo hàm của các hàm số cơ bản cho tới các phương pháp áp dụng như quy tắc sản phẩm, quy tắc thương, quy tắc chuỗi và các công thức đạo hàm của một số hàm phổ biến, nhằm phục vụ cho các bài toán phân tích và tối ưu.
2.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số: a.Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b).
Hàm số f(x) được gọi là đồng biến(tăng) trên khoảng (a,b) nếu
Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến(giảm) trên khoảng (a,b) nếu
Ví dụ: là những hàm đồng biến trên miền xác định của nó. là những hàm nghịch biến trên miền xác định của nó. b.Định lý:
Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b).Khi đó:
Nếu thì f(x) đồng biến trên khoảng(a,b).
Nếu thì f(x) nghịch biến trên khoảng(a,b).
II.Hệ thống bài tập minh họa:
Việc sử dụng đạo hàm cho phép ta xét tính đơn điệu của hàm số và từ đó áp dụng vào việc chứng minh bất đẳng thức và giải quyết các bài toán liên quan Phương pháp này dựa trên phân tích đạo hàm để nhận diện tăng giảm, cực trị và giới hạn của hàm, từ đó rút ra các bất đẳng thức tối ưu và các ước lượng cần thiết Khi nắm được tính đơn điệu, ta có thể so sánh giá trị hàm tại các điểm nhất định và chứng minh các bất đẳng thức một cách logic và chặt chẽ Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho thấy cách áp dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu và giải quyết các bài toán bất đẳng thức.
Bài 1[3] Chứng minh rằng: Ta có:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
Xét hàm số:f(x)=xsinx+2cosx ,x
Suy ra : f’(x) nghịch biến trên
Do đó f(x) nghịch biến trên (0, ).
Bài2:[9] Chứng minh rằng: sinx >
Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
Xét hàm số Ta có:
Suy ra g(x) nghịch biến trên khoảng
Suy ra :f’(x)= f(0)=0,
Bài 5[9] : Chứng minh rằng :Với mọi x>0,ta có:
Xét hàm f(x)= -x+sinx trên khoảng , ta có:
Mặt khác xét hàm g(x)= ,x>0 Tương tự ta cũng có:
Theo chứng minh trên ta có :g”(x)=f(x)>0, x>0.Do đó g’(x) đồng biến trên g’(x)>g’(0)=0 , x>0.Do vậy g(x) lại đồng biến trên
Kết hợp (*) và (**) ta có đpcm.
Bài 6:[5] Chứng minh rằng: nếu thì Áp dụng: a, Cho 0f(y) tức là (2) đúng.
Tóm lại (*) đúng với mọi x,y (đpcm)
Bài 9 :[0]Chứng minh rằng với mọi x>0,ta có:
Xét hàm số :f(x)= Ta có:
Do vậy f(x) là hàm đồng biến trên
Vì lnx là hàm đồng biến nên từ gt suy ra: lnx>lny hay lnx-lny>0.
Do vậy : (*) x>y>0. x>y>0.(**) Đặt t= >1, ta có:(**)
Suy ra f(t) là hàm đồng biến trên
Từ đó suy ra đpcm.
Bài 11[5]: Chứng minh rằng nếu ABC là tam giác nhọn thì
Vì tam giác ABC nhọn cho nên :
Xét hàm số f(x)=sinx+tanx-2x trên
Ta có : f(x) đồng biến trên khoảng Do đó f(x)>f(0),
Lần lượt xét x=A,B,C sau đó cộng vế theo vế ta có: sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2(A+B+C)=2 (đpcm)
Bài 12[5]:Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:
Đầu tiên, nhận xét cho thấy bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đẹp và có thể được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau Trong khuôn khổ bài toán này, ta áp dụng phương pháp dựa trên tính đơn điệu của hàm số để tiến hành nghiệm giải một cách có hệ thống Cụ thể, ta phân tích sự tăng giảm của hàm số và dựa vào tính đơn điệu để xác định vùng nghiệm, từ đó rút ra các bước giải rõ ràng và hiệu quả.
Lấy logarit Nepe hai vế (*) ta có:
Vì hàm f(x)=lnx đồng biến trên khoảng cho nên bất đẳng thức (**) là đúng.Từ đó suy ra (*) cũng đúng.(đpcm)
Bài 14: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2007)
Suy ra f(x) nghịch biến trên ,do đó
Từ đó suy ra đpcm.
Tổng quát: Cho a,b,x,y là các số dương; x>y
Xét hàm số :f(t)Ta có f’(t)Rõ ràng f’(t)0,suy ra f(t) nghịch biến trên (0;+ )
Theo giả thiết x>y>0 nên (***) đúng(đpcm)
A Đặt tXét hàm số f(t)=t+1/t+2 ,với t (0,1/16]
Do đó f(t) nghịch biến trên (0,1/16]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t=
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Ta chuyển về chứng minh : >
. Xét hàm số f(x)=2sinx+tanx-3x trên Ta có:
, Suy ra f(x) đồng biến trên Do đó f(x)>f(0),
Bài 17 [5]:Chứng minh rằng : Áp dụng: Cho dãy ( ) được xác định như sau:
Xét hàm số f(x)=x-ln(1+x) và g(x)=ln(1+x)-x + ,
Suy ra f(x) tăng trên ,do đó f(x)>f(0)=0,
Suy ra g(x) cũng là hàm tăng trên (0;+ ),do vậy g(x)>g(0)=0,
Kết hợp (*)&(**) ta có đpcm. Áp dụng: Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh lần lượt với x= sau đó cộng vế theo vế ta có:
Qua giới hạn và sử dụng định lý kẹp ta có :
Bài 18:[1] Chứng minh rằng a,b là những số dương bất kì,còn c là thông số bất kì âm,thì
Bất đẳng thức chứng minh tương đương với (#) Đặt f(x)= với x 0
Ta có f’(x) < 0 trên khoảng [−c, 0], nên f(x) giảm nghiêm ngặt trên khoảng này Mặt khác, f(x) liên tục trên [−c, 0], nên ảnh của [−c, 0] là một đoạn liên tục [f(−c), f(0)] Với f(−c) = 0, mọi giá trị y thuộc [0, f(0)] đều có một x ∈ [−c, 0] sao cho f(x) = y Nhờ tính monotone và liên tục của hàm trên khoảng này, bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình f(x) = y trong [−c, 0] sẽ được giải quyết một cách rõ ràng.
Có đẳng thức f(x)=0 chỉ khi với x=-c
-Nếu x>-c :Khi đó f’(x)>0 , do đó f(x) là hàm tăng ngặt trong khoảng (-c,+ ).Vì vậy f(x) f(-c) với x -c(**) Đẳng thức chỉ có với x=-c
Vì a/b >0 nên theo (*)&(**) ta được (#) đúng Đẳng thức xảy ra khi a/b=-c
Bài 19:[9] Cho 4 số dương a,b,c,d.Chứng minh rằng:
Không mất tính tổng quát ta giả sử
Suy ra f’(a) đồng biến trên (0,+ )
Mặt khác ta có f’(b)= 0 nên f(a) đồng biến trên (0,+ )
III.Bài tập đề nghị :
Bài 1[2].Chứng minh rằng: ,ta có: a sinx > x b.tanx < x c.cosx <
Bài 2[2].: Chứng minh rằng với mọi x>0 ,ta có: a.lnx < b.1+2lnx < c.ln(1+ )b>e.
Xét hàm f(x)= Chứng minh f(x) là hàm nghịch biến ,từ đó hãy suy ra đpcm.
Bài 8:(Đề thi tuyển sinh trường đại học Quy Nhơn)
Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng:
Bài 9[2] : Chứng minh rằng sin 20 >1/3
Do đó sin20 là nghiệm của phương trình 3x-4 Xét hàm số f(x)= 3x-4
Bài 10[2]:Cho tam giác ABC nhọn ,chứng minh rằng:
2(sinA+sinB+sinC)+(tanA+tanB+tanC)>3
TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC…
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC
Cho hàm số f(x) xác định trên tập D Điểm cực đại của f được gọi khi tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa một điểm x0 ∈ D sao cho mọi x ∈ D ∩ (a, b) thì f(x) ≤ f(x0); khi đó f(x0) được coi là giá trị cực đại của hàm số f Tương tự, điểm cực tiểu của f được gọi khi tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 ∈ D sao cho mọi x ∈ D ∩ (a, b) thì f(x) ≥ f(x0); khi đó f(x0) là giá trị cực tiểu của f Điểm cực đại và điểm cực tiểu được tổng hợp lại gọi chung là điểm cực trị của hàm số f.
Giá trị cực đại và giả trị cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số. Điểm ( ) gọi là điểm cực trị của đồ thị của hàm số f.
2.Định lý: a.Định lý 1 :( điều kiện cần của cực trị)
Giả sử hàm số f có đạo hàm tại Khi đó nếu f đạt cực trị tại thì
Chú ý: Điều ngược lại nói chung là không đúng, tức là hàm số f có thể không đạt cực trị tại một điểm nào đó và đồng thời vẫn có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm Điều này cho thấy tính chất cực trị của hàm số không chỉ phụ thuộc vào sự tồn tại của đạo hàm tại điểm đó mà còn phụ thuộc vào đặc trưng của hàm ở những điểm đó b Định lý 2: (điều kiện đủ thứ 1) trình bày một điều kiện đủ để xác định sự tồn tại của cực trị cho hàm f.
Giả sử f liên tục trên (a,b) và có đạo hàm trên các khoảng (a,c) và (c,b) Nếu tại một điểm x0 ∈ (a,b) ta thấy f’(x) đổi từ âm sang dương khi tiếp cận x0, thì f có cực tiểu tại x0; ngược lại, nếu f’(x) đổi từ dương sang âm tại x0, thì f có cực đại tại x0 Đây là phần thứ hai của Định lý 3 (điều kiện đủ), cho thấy sự đổi dấu của đạo hàm tại điểm tới hạn quyết định sự tồn tại của các cực trị của hàm.
Giả sử hàm f có đạo hàm cấp 1 trên một khoảng (a,b) chứa điểm x0 sao cho f'(x0)=0 và f''(x0) ≠ 0 Theo định lý nghiệm đạo hàm cấp hai, nếu f''(x0) < 0 thì x0 là cực đại của hàm f; ngược lại, nếu f''(x0) > 0 thì x0 là cực tiểu của hàm f.
Giá trị cực đại và cực tiểu của một hàm số nói chung không phải lúc nào cũng là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm trên tập xác định D Hàm có thể đạt được các giá trị cục bộ khác nhau và không phản ánh giới hạn toàn cục Tuy vậy, nếu hàm f liên tục trên [a,b] và chỉ có một giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) duy nhất, thì giá trị đó là giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của f trên [a,b].
II.Hệ thống bài tập minh họa:
Bài 1[6]:Chứng minh rằng với mọi giá trị của x ta đều có:
Như vậy f đạt cực tiểu là tại x= Từ đó suy ra : (đpcm)
Bài 2[9]:Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có:
Giải: Đặt t=sinx+cosx , Khi đó:
Do vậy : Từ đó suy ra đpcm.
Bài 3[4]: Cho tam giác ABC có Chứng minh rằng:
Từ giả thiết suy ra hay Đặt t=cosC,
Từ bảng biến thiên ta suy ra , Từ đó suy ra đpcm.
Bài 4[6]: Cho ,Chứng minh rằng:
Dù n chẵn hay lẻ ta đều có hay
Bài 5[6]: Chứng minh rằng : (bất đẳng thức
Từ đó suy ra f(x) f(1)=0 hay Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1.(đpcm)
Trong các dạng khác của bất đẳng thức Bernoulli, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 ở các trường hợp i, ii và iii, còn ở các trường hợp iv và v dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = a Những trường hợp này cho thấy điều kiện xảy ra của dấu đẳng thức phụ thuộc vào giá trị của x và tham số a.
Xét hàm số :f(x)= Ta có:
Suy ra : Như vậy ta chỉ cần chọn m ta có (*).
Bài 7[8]:Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
Trước hết, đây là một bất đẳng thức trong tam giác rất cơ bản và có nhiều cách chứng minh khác nhau Bài viết trình bày một cách giải bằng phương pháp hàm số nhằm làm rõ quy trình chứng minh và giúp người đọc nắm bắt ý chính của bất đẳng thức tam giác Bạn đọc có thể tự giải hoặc tham khảo thêm trong các tài liệu khác để làm phong phú thêm phép chứng minh.
Ta có : cosA+cosB+cosC= (*)
Vì cos 1,cos ,nên cosA+cosB+cosC
Do vậy ta xét hàm
Dấu đẳng thức xảy ra đều.
Nhận xét: Từ phép chứng minh đã trình bày, ta nhận ra lớp bất đẳng thức tam giác có các trường hợp đẳng thức xảy ra khi tam giác là đều Những đẳng thức này liên quan đến các lớp hàm số có đạo hàm phụ thuộc vào các biểu thức như 2 cos x − 1, cos x − sin(x/2), hoặc 2 sin x và các điều kiện thích hợp; đạo hàm của các hàm số này bằng 0 tại các giá trị x tương ứng, từ đó xác định được các điểm làm xuất hiện đẳng thức tam giác Nhờ đó ta có thể nhận diện nhanh các giá trị x gây ra đẳng thức và hiểu rõ cấu trúc của bất đẳng thức tam giác trong các bài toán hình học.
Ví dụ:Xuất phát từ f’(x)Xét =cotx-
Do đó cotA - - cotB - - cot C- -
Cộng các vế của 3 bất đẳng thức trên ta được cotA+cotB+cotc+3 2(
Như vậy bằng con đường trên bạn đọc tìm ra nhiều bất đẳng thức lượng giác
Bài8 [8]:Cho tam giác ABC,chứng minh rằng:
1+cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA (cosA+cosB+cosC)+cosAcosBcosC (*)
Mặt khác : cosA+cosB+cosC=1+4 >1.
Và cosA+cosB+cosC nên từ đó suy ra:
1< cosA+cosB+cosC Khi đó (1) tương đương với :
Suy ra f(t) đồng biến trên 10, Đặt t=tan
Như vậy : Từ đó suy ra: , (đpcm)
Bài 17 [5]: Cho Chứng minh rằng với mọi x 1 ta có:
Xét hàm số: f(x)= với x 1.Ta có:
Bài 18[5]: Chứng minh rằng nếu n là một số tự nhiên chẵn và a là một số lớn hơn 3 thì với
Ta có : Để ý rằng do n chẵn nên f’(x) không đổi dấu khi đi qua x=0, ta có bảng biến thiên như sau: x 0 3 f’(x) 0 0 + f(x)
Như vậy , (vì a>3).Từ đó suy ra:
III.Bài tập đề nghị :
Bài 1[8]:Cho ABC ,chứng minh rằng:
Bài 2[8]: Cho ABC nhọn ,chứng minh rằng:
Bài 4[11]: Cho a,b,c là 3 số thỏa =1.Chứng minh rằng:
Bài 5[11]:Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:
Bài 1,bài 2:Xét hàm số:
Bài 3: Viết , Đặt t= ,sau đó xét hàm
Bài 4: Phân tích: Để ý rằng =1(gt) và Đặt x=a+b+c ,( ) xét hàm f(x)=
Bài 5: Bài toán đưa về chứng minh bất đẳng thức :
Xét , , Từ đó suy ra đpcm.
ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC. I,Lý thuyết:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên D và có đồ thị (C).Ta nói: a.Đồ thị (C) của hàm số f là lồi trên (a,b) D nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía trên đồ thị. b Đồ thị (C) của hàm số f là lõm trên (a,b) D nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía dưới đồ thị. c.Nếu đồ thị của hàm số lồi và lõm trên từng khoảng xác định của nó thì điểm phân cách giữa phần lồi và phần lõm của nó được gọi là điểm uốn của đồ thị.
Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a,b) nào đó Khi đó: i.Nếu f’’(x)0, (a,b) thì đồ thị hàm số f lõm trên khoảng (a,b). b.Định lý 2:
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a,b) Nếu tồn tại một điểm x0 thuộc (a,b) sao cho f''(x) đổi dấu khi vượt qua x0 (ví dụ f''(x) > 0 khi x < x0 và f''(x) < 0 khi x > x0 hoặc ngược lại), thì x0 là một điểm uốn của đồ thị hàm số f.
3.Tính chất của hàm lồi ,lõm, bất đẳng thức Jensen: a.Tính chất của hàm lồi:
Hàm số f được gọi là lồi trên khoảng (a,b) nếu nó có đồ thị lõm trên khoảng đó.
Như vậy: Hàm số f lồi trên khoảng (a,b)
Nếu hàm số f lồi trên khoảng (a,b) thì f(b) với mọi , ta có:
(f(a)+f(b))/2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi =…= -
0 a b x b.Tính chất của hàm lõm:
Hàm số f được gọi là lõm trên khoảng (a,b) nếu nó có đồ thị lồi trên khoảng đó.
Như vậy: Hàm số f lõm trên khoảng (a,b) y Tính chất: nếu hàm số f lõm trên khoảng (a,b) thì f(b) với mọi , ta có:
(f(a)+f(b))/2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi =…=
Việc áp dụng bất đẳng thức Jensen cho ta giải quyết một lớp bài toán bất đẳng thức có dạng tổng hoặc có thể được biến đổi về dạng như trên, và ngược lại chỉ cần chọn hàm thích hợp để tạo ra hàng loạt bất đẳng thức thuộc dạng này Bất đẳng thức Jensen là công cụ mạnh trong phân tích bất đẳng thức, giúp rút ngắn chứng minh và tối ưu hóa các ước lượng liên quan đến giá trị trung bình, hàm convex/concave và tích phân Sau đây là một số ví dụ minh họa.
II.Hệ thống baì tập minh họa:
Bài 1[2]: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có:
Xét hàm số f(x)= , ta có: f’(x)=2x ; f’’(x)=2>0.
Suy ra f là hàm lồi trên R ,do đó: hay
.Từ đó suy ra đpcm.
Bài 2 [2]: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 ta có:
Xét hàm f(x)=lnx , x>0.Ta có:
Suy ra f(x) là hàm lõm trên (0, ),do đó: hay
Ta xét hàm f(x)=sinx trên đoạn ta có: f’(x)=cosx ; f’’(x)=-sinx Suy ra f là hàm lõm trên đoạn do đó: hay
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Bài 4[5]: Cho f là hàm lõm (đồ thị lồi) trên khoảng (a,b) Giả sử p,q là hai số dương bất kỳ và Chứng minh rằng:
Giải:( phưong pháp vectơ ) Giả sử M và N thuộc đồ thị của hàm số f Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức vectơ : Khi đó ta có hệ:
Vì f là hàm lõm nên
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Tưong tự nếu f là hàm lồi trên (a,b) thì
Bài 5 [5]: Cho 3 số dương a,b,c.Chứng minh rằng:
Lấy logarit tự nhiên hai vế ta có:
. Xét hàm số f(x)=xlnx , x>0 Ta có: f’(x)=lnx+1 ; f’’(x)= Suy ra f(x) là hàm lồi trên và do đó:
(*)Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
Do lnx là hàm đồng biến nên suy ra: (**)
Nhận xét: Đây là một bất đẳng thức khá hay và có thể được giải bằng nhiều cách khác nhau Ví dụ, ta có thể áp dụng bất đẳng thức Chebyshev để tìm lời giải Bạn đọc có thể thử nghiệm với phương pháp này hoặc tìm thêm các cách giải khác hay hơn để hiểu rõ hơn về bản chất và ứng dụng của bất đẳng thức này.
Bài 6[5]: Cho bốn số dương a,b,x,y.Chứng minh rằng:
Tương tự bài 5 ta cũng xét hàm f(x)=xlnx và có f(x) là hàm lồi với mọi x>0.Áp dụng kết quả bài 4 ta có:
Bài 7 [5]: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: sinA+sinB+sinC
Xét hàm f(x)=sinx trên khoảng (0, ) ta có: f’(x)=cosx ; f’’(x)=-sinx0, cosx>0 và Do đó:
Tại x=0 :f(0)=g(0)=0 ; f’(0)=g’(0)=2. Áp dụng định lý trên ta suy ra :f(x)>g(x), tanx+sinx>2x, (đpcm)
Giải: Đặt f(x)=2x.arctanx và g(x)= ln(1+ ) trên khoảng
Với mọi x >0 thì 0g’(x), x>0.
Tại x=0 :f(0)=g(0)=0 Áp dụng định lý suy ra : f(x)>g(x), x>0
Giải: Đặt f(x)=ln(1+x) ; g(x)=x ; h(x)= Ta có:
Với x=0 : f(0)=g(0)=0 Từ đó suy ra :f(x)0
Với mọi x>0 thì rõ ràng
Từ đó ta suy ra : f(x)>h(x) , x>0
Kết hợp (*)&(**) suy ra : (đpcm)
Bài 5[0]: Chứng minh rằng với mọi x>0 , ta có:
Xét hàm f(x)= và g(x)= Ta có:
Với thì và nên suy ra
Với thì và cho nên
Tại x=0, ta có :f(0)=g(0)=1 ; f’(0)=g’(0)=0. Áp dụng định lý trên ta suy ra f(x)>g(x), x>0 Tức là (**) đúng và do đó(*) cũng đúng.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Xét hàm và g(x)=2 trên khoảng (-1,1), ta có:
Với mọi x thì do đó
Tại x=0 ta có f(0)=g(0)=2.Áp dụng định lý trên ta suy ra :
Hiển nhiên cho nên hay
III.Bài tập đề nghị:
Bài 3[0]: Chứng minh rằng tgx