(SKKN mới NHẤT) phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toán hình giải tích từ những mối quan hệ giưã các điểm, điểm và đường thẳng

Để có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy vềmôn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi thường trăn trởvới những khó khăn của học trò

Để có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy vềmôn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi thường trăn trởvới những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán.

Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là bài toán thường xuất hiện ởcác kì thi vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học trò, bên cạnh đó nócũng là bài toán khó với nhiều đối tượng học trò đặc biệt là với các em có năng lựctrung bình Băn khoăn trước những khó khăn của học trò, tôi tìm tòi và quyết địnhchọn phương pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” để giúp các em tiếpcận loại toán này một cách hiệu quả nhất

Trong số những bài toán về hình giải tích trong mặt phẳng có một lớp cácbài toán thiên về tính chất hình phẳng thuần túy đã gây cho học trò nhiều khó khănkhi tiếp cận Vì vậy tôi chọn đề tài là “Phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toánhình giải tích từ những mối quan hệ giưã các điểm, điểm và đường thẳng” đểnghiên cứu

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài toánhình giải tích trong mặt phẳng thông qua phương pháp dạy học: “Phát hiện và giảiquyết vấn đề”

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Học sinh khối 10, 11 trường THPT Đông Sơn I

- Học sinh khối 12 ôn thi vào các trường đại học trường THPT Đông Sơn I

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nhiều nguồn khác nhau liên quan đến hìnhhọc phẳng

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

- Giảng dạy các tiết bài tập toán tại các lớp 11a2, 12a2 trường THPT ĐôngSơn I để nắm bắt tình hình thực tế của học sinh

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Một số điểm cần lưu ý 1.1 Những bài toán liên quan đến tam giác vuông (đặc biệt là tam giác vuông cân),

hình chữ nhật (đặc biệt là hình vuông), hình thang vuông thì ta có thể đặt một cạnhbằng a Từ đó sử dụng giả thiết, định lý Pitago, định lý hàm số côsin… sẽ xác địnhđược các yếu tố cần thiết thuận lợi cho việc giải quyết bài toán đó Bài toán cơ bản

về khoảng cách và bài toán cơ bản về góc cũng thường được sử dụng trong chủ đềnày

1.2 Vẽ hình chính xác, từ đó dự đoán xem có hai đường thẳng nào vuông góc với

nhau hay không Từ đó sử dụng định lý Pitago, phương pháp vectơ hay cộng góc

để chứng minh dự đoán này Việc phát hiện ra yếu tố vuông góc có thể là mấu chốt

để chúng ta giải quyết bài toán

1.3 Sử dụng định lý Talet, tam giác đồng dạng để so sánh khoảng cách từ 2 điểm

đến một đường thẳng Từ đó sử dụng bài toán cơ bản về khoảng cách hoặc phươngpháp tham số hóa để giải quyết bài toán

2 Một số tính chất của hình học phẳng vận dụng vào bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Tính chất 1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Tính chất 2 Định lý hàm số cosin, hệ quả định lý hàm số cosin, định lý hàm số

sin, hệ quả định lý hàm số cosin, công thức trung tuyến, công thức tính diện tích tam giác.

Tính chất 3 Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và

B A

Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta có tính chất sau

Tính chất 4 Cho hình vuông Gọi lần lượt thuộc và sao

Tính chất 5 Cho hình chữ nhật có Gọi là trungđiểm Khi đó

Chứng minh Ta có

Suy ra

M A

D

Tính chất 6 Cho hình chữ nhật Gọi là hình chiếu của lên và

lần lượt là trung điểm của Khi đó

Chứng minh Gọi là trực tâm của

tam giác Khi đó

(vì cùng vuông góc với Do

là trung điểm nên là đường

trung bình của tam giác Suy

Vì là trực tâm của tam giác nên

Thay đổi hình thức của tính chất 4 ta có các hệ quả sau

6.1 Cho hình thang vuông tại và Gọi là hình chiếucủa lên và là trung điểm Khi đó

M H

C

B A

6.2 Cho tam giác vuông tại có hai trung tuyến và Gọi làhình chiếu của lên là trung điểm của Khi đó

E B

A

N

C

H M

M H

C

B A

D

Trên đây là những tính chất được khai thác nhiều trong các bài toán

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG

- Kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung

bình

- Kết quả khảo sát ở một số lớp trong phần giải bài tập toán về phần hìnhgiải tích trong mặt phẳng cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn toán,chỉ có khoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán hình giải tích trong mặt phẳng

III GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Đưa ra các bài toán cụ thể trong các tiết dạy học bài tập, phân tích từng bàitoán cụ thể để định hướng cho học sinh cách giải quyết bài toán và những bàimang tính chất tương tự

IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Sau khi áp dụng kết quả nghiên cứu của đề tài, qua việc kiểm tra khảo sát

cho thấy có trên 70% các em học sinh có hứng thú với bài học và trong số đó cókhoảng 40% các em học sinh biết cách vận dụng một cách linh hoạt, nhất là số các

em đang chuẩn bị thi vào các trường đại học

- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh đang học khối 10cũng như các em học sinh khối 12 THPT đang ôn thi vào các trường đại học và caođẳng

V BÀI TẬP ÁP DỤNG

-Trong khuôn khổ của đề tài, sau đây tôi xin trình bày một số bài toán hình

học giải tích phẳng liên quan đến tam giác vuông, hình thang vuông, hình chữnhật và hình vuông

- Ở mỗi bài toán đều có sự phân tích bài toán và đưa ra hướng giải để giúpcác em học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng hơn, qua đó học sinh có thểvận dụng cho những bài toán tương tự

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình thang ABCD vuông tại A

và B là trung điểm AB, Tìm toạ độ của C biết rằng

Phân tích bài toán Bài toán này chúng ta có thể đi theo một trong các hướng như sau:

Hướng thứ nhất Vì

nên ta tham số hóa

điểm C (ẩn c) Hình thang

vuông này có các cạnh liên

hệ với nhau qua đẳng thức

nên nếuđặt độ dài một cạnh nào đó

A

Lời giải Đặt Suy ra AD = 4x Do đó

Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác MCD ta có

Gọi ( a2 + b2 # 0) Ta có

Nếu chia cả hai vế của phương trình (*) cho b2 ta có

Từ đó suy ra

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác vuông tại

trung điểm của nằm trên đường thẳng Gọi

là hình chiếu của A lên trung tuyến của tam giác ABC Biết rằng làtrung điểm Tìm tọa độ các đỉnh và

Phân tích bài toán Dựa vào tính chất hay hệ quả

thì ta có được Từ đó viết được phương trình

của MI và tìm được tọa độ của M.

Lời giải Gọi là trung điểm của Ta có

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình chữ nhật có

đỉnh thuộc đường thẳng là điểm đối xứng với qua Hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng là Tìm tọa

: 2x y + 9 = 0

C

B

A 3; 5( )

Lời giải Lấy đối xứng với qua Khi đó là trung điểm của Trong

Phân tích bài toán Ta đi tính góc

từ đó viết được phương trìnhđường thẳng dựa vào bài toán cơ bản

Suy ra

Gọi phương trình đường thẳng là Ta có

Với chọn

Vậy

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình chữ nhật có

là trung điểm của Hình chiếu vuông góc của lên là đường trung tuyến của tam giác có phương trình Viếtphương trình cạnh

Phân tích bài toán Từ tính chất ta có

Do đó lập được phương trìnhcủa đường thẳng suy ra tọa độ của

Từ đó lập phương trình của Suy ra tọa độ của Lưu ý rằng, đường

thẳng đi qua và song song với

E

M H

K

B A

Lời giải Gọi E là trực tâm của tam giác Khi đó (cùng vuônggóc với Vì là trung điểm của nên là đường trung bình của tamgiác Suy ra

Do đó là hình bình hành Dẫn đến

Suy ra

Vì là trung điểm của nên

Vì

Bài 6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình thang vuông tại

điểm thuộc đoạn sao cho Tìm toạ độ cácđỉnh của hình vuông biết có hoành độ dương.

Phân tích bài toán Mấu chốt ở bài

toán này là dự đoán và chứng minh

được Từ đó viết được

phương trình của và tham số hóa

điểm Từ độ dài của sử dụng

định lý Pitago ta sẽ tính được độ dài

Tam giác vuông cân nên

Chú ý cùng phía so với Từ đó tìm được

Vậy

Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình vuông Điểm

nằm trên cạnh Đường tròn đường kính cắt đoạn tại Đỉnh thuộc đường thẳng Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông

đã cho, biết rằng đỉnh có tọa độ nguyên và đỉnh có hoành độ nhỏ hơn

Phân tích bài toán Gọi là trung điểm

Dự đoán và chứng minh vuông cân tại

nên tìm được tọa độ của suy ra tọa độ của

với ẩn Từ đó tìm được tọa độ tâm của

hình vuông đã cho theo Từ tính chất

ta tìm được Suy ra tọa độ của

E H

Lời giải Ta có tam giác vuông tại và nên tam giác

vuông cân tại Gọi là trung điểm của Khi đó tam giác vuông cân tại Gọi là trung điểm của thì là đường trung trực của

Do đó

Ta có

Vì đỉnh có hoành độ nhỏ hơn nên

Vì Gọi là tâm của hình vuông Khi đó

Vì có tọa độ nguyên nên Do đó

Vậy

Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác vuông tại

đường cao Gọi là điểm đối xứng với qua Điểm thuộc

đường thẳng đường trung tuyến kẻ từ của tam giác

có phương trình Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

Phân tích bài toán Trước hết tìm được

tọa độ của Gọi là trung điểm của

Mấu chốt ở bài toán này là dự đoán và

chứng minh được Viết được

phương trình của và tìm được

x 3y + 8 = 0 7x 11y + 6 = 0

E 11;15( )

M D

B A

Lời giải Gọi là trung điểm của Vì nên

Ta chứng minh bằng phương pháp vectơ Ta có

Phân tích bài toán Hình vuông đã cho có hai đường chéo vuông góc với nhau tại

Dự đoán Từ đó suy ra tam giác vuông cân tại Do đó tìmđược tọa độ của

Lời giải Gọi là tâm của hình vuông Khi

đó nên là trực tâm của tam

giác Suy ra

Từ đó suy ra tam giác vuông cân tại

Đường trung trực của là

Ta có

I E M

Suy ra

Vậy

Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình vuông có

là trung điểm của Điểm thuộc sao cho Biết rằng

Viết phương trình cạnh

Phân tích bài toán Mấu chốt của bài toán

này là dự đoán và chứng minh được tam giác

vuông cân Từ đó tìm được điểm Gọi là giao điểm của và

Từ định lý Talet ta tìm được tọa độ Từ đó

viết được phương trình của đường thẳng I

Từ đó suy ra có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình vuông Gọi làtrung điểm Biết rằng, là hình chiếu của lên làtrung điểm đỉnh có hoành độ dương Tìm tọa độ các đỉnh

Phân tích bài toán Gọi là trung điểm của Ta có thẳng hàng và

nên viết được phương trình của Tính được góc Sử dụng bàitoán cơ bản về góc ta viết được phương trình của

Lời giải Gọi là trung điểm của Khi đó

tính chất đường trung bình nên Lại có là hình bình hành nên AM//CN Do đó

thẳng hàng

Ta có : tanBCN =

N

I H

M D

B A

C

Vì đi qua và vuông góc với nên

Vì là trung điểm của nên

Vì có hoành độ dương nên

Đường thẳng qua và vuông góc với nên

Đường thẳng qua và song song với nên

Suy ra

Vậy

Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác vuông tại

là trung điểm của Điểm thuộc đoạn sao cho Giao điểm của và là Xác định tọa độ các đỉnh củatam giác biết rằng nằm trên đường thẳng

Phân tích bài toán Giả thiết cho tam

giác vuông mà cạnh góc vuông này gấp

đôi cạnh góc vuông kia nên ta có thể nghĩ

đến việc dựng hình vuông để từ đó phát

hiện các yếu tố vuông góc Chẳng hạn, gọi

là trung điểm Dựng hình vuông

Theo tính chất ta có Đây là mấu chốt của bài toán

Lời giải Gọi là trung điểm của Dựng hình vuông Từ giả thiếtsuy ra lần lượt là trung điểm của và Theo tính chất ta có

Suy ra

Vì là đường trung trực của nên

Ta có là trung điểm của Khi đó

Vì là trung điểm nên

Vì là trung điểm của nên

Vậy

Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình vuông có làtrung điểm Đường trung tuyến kẻ từ của tam giác có phương trình

Tìm tọa độ đỉnh biết có tọa độ nguyên

Phân tích bài toán Đặt cạnh hình vuông bằng tham số Sử dụng định lý Pitago,

định lý hàm số côsin để tính góc Từ đó, sử dụng bài toán cơ bản về góc ta sẽlập được phương trình của đường từ đó tìm được tọa độ của điểm

Lời giải Lấy đối xứng với qua Khi

đó là hình bình hành Suy ra

cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Gọi là

giao điểm của với thì là trọng tâm

của tam giác Do đó

Đặt cạnh hình vuông bằng Sử dụng định lý

Pitago ta có

I E

x 5y 50 = 0

M 10;0( )

B A

Gọi Ta có

Vì có tọa độ nguyên nên Ta có

Kiểm tra lại điều kiện suy ra

Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác vuông cân tại Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của

thuộc đoạn sao cho Tìm tọa độ của biết rằngđiểm có hoành độ âm

Phân tích bài toán Bài toán chỉ cho tọa độ của hai điểm và Mấu chốt của bài

toán này là phát hiện và chứng minh được tam giác vuông cân tại Từ đó tìmđược tọa độ của

Lời giải Gọi là trung điểm của Khi đó

là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn

N M

Vì

Vì có hoành độ âm nên Vì là trung điểm nên Gọi

là trọng tâm tam giác Ta có

hình chiếu của lên và lần lượt là

M

H

Xét trường hợp đặc biệt, là hình vuông

Lúc này, ngoài kết quả ta còn có hay tam giác vuôngcân tại

C

A

E I

N B

M H

N M I

M

N

C D

Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình chữ nhật có

với điểm thỏa mãn điều kiện là giao

điểm của hai đường thẳng và Cho biết và điểm có

hoành độ dương Tìm tọa độ các điểm

Phân tích bài toán Tìm được tọa độ của

thông qua tọa độ của và đẳng thức

Nếu đặt một cạnh của hình chữ nhật đã cho

ta sẽ tính được các đoạn thẳng liên quan qua Từ đó tìm

Lời giải Từ giả thiết suy ra thuộc cạnh BC và

x + y + 2 = 0

x + 2y 13 = 0 F

Phân tích bài toán Mấu chốt của bài toán này là dự đoán và chứng minh

Từ đó viết được phương trình tìm được

Lời giải Gọi là trung điểm của

và thì thẳng hàng

và Ta có tam giác

nội tiếp đường tròn tâm Suy ra

Suy ra tứ giác nội tiếp Do đó

hay Suy

ra

Ta có

Vì có tung độ lớn hơn nên ta chọn trường hợp

Đường thẳng đi qua và vuông góc với nên

Ta có

Vì đi qua và nên Từ đó suy ra

Bài 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình chữ nhật có cáccạnh không song song với các trục tọa độ Điểm là trọng tâm tam giác

Đường thẳng đi qua đường thẳng đi qua Viếtphương trình cạnh biết rằng diện tích hình chữ nhật đã cho bằng

Phân tích bài toán Gọi VTPT của là

Từ đó viết được phương trình của

và Diện tích của hình chữ nhật được

tính thông qua tích khoảng cách từ đến

C D

Lời giải Gọi VTPT của đường thẳng là Khi đó

Ta có

Vì hình chữ nhật đã cho có các cạnh không song song với các trục tọa độ nên

Từ đó suy ra hoặc Vậy

Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác vuông cân tại trung tuyến là trung điểm của Điểm thoả mãn

Viết phương trình đường thẳng

Phân tích bài toán Để dễ dàng phát hiện thêm các

mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán, ta hãy

dựng hình vuông Khi đó là tâm của hình

vuông này, là trung điểm của Gọi là giao

điểm của với Từ định lý Talet ta tìm được

tọa độ của Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác

vuông ta cũng tính được góc giữa hai đường thẳng

Áp dụng bài toán cơ bản về góc ta viết được phương trình đường thẳng

Lời giải Theo định lý Talet ta có

Gọi là trung điểm của Theo định lý Talet ta có

Trong tam giác vuông ta có