Bài viết Tính hầu tự đồng hình của các dòng chất lỏng chảy qua một vật cản thiết lập sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm hầu tự đồng hình của các luồng chất lỏng chảy qua một vật thể được mô tả bởi phương trình NavierStokes-Oseen.
Trang 1TÍNH HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH CỦA CÁC DÒNG CHẤT LỎNG CHẢY QUA MỘT VẬT CẢN
Lê Thế Sắc1, Nguyễn Thị Vân1
1 Trường Đại học Thủy lợi, email: SacLT@tlu.edu.vn
1 GIỚI THIỆU CHUNG
Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập sự
tồn tại và tính duy nhất nghiệm hầu tự đồng
hình của các luồng chất lỏng chảy qua một
vật thể được mô tả bởi phương trình
Navier-Stokes-Oseen Xét một vật thể di chuyểnD
trong một chất lỏng nhớt không thể nén lấp
đầy toàn bộ không gian
( )
div in ,
0 in ,
0 on ,
lim , 1.1
t
x
u
u
u t x u∞
→∞
⎧
⎪
⎪
⎪
⎩
\
\
\
Ω = \ là bề ngoài của vật thể với
biên ∂Ω trơn; u là vận tốc của chất lỏng;
p là áp suất và divF là ngoại lực
2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chúng tôi phát triển phương pháp sử dụng
trong bài báo [1] sang trường hợp các hàm hầu
tự đồng hình hoặc ]−hầu tự đồng hình
Phương pháp này liên quan đến lí thuyết nội
suy, đánh giá đối ngẫu và đến tính chất trơn
p q
L − của phương trình tuyến tính liên kết L
Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra rằng không gian các
dữ liệu ban đầu có thể mở rộng tới lớp các
hàm ] hầu đồng hình, nghiệm thu được vẫn
là hầu tự đồng hình, điều này tổng quát hóa
một định lí mở rộng loại Massera trong [2]
3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1 Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1
Hàmf ∈BC(\;X)là hầu tự đồng hình
nếu ∀dãy số ( )s′ ∃ n , dãy con (sn) sao cho
Nghĩa là ∃ hàm g t( ) sao cho các giới hạn sau tồn tại với mỗi ( ) lim ( n)
n
→∞
= + và
n
→∞
Ký hiệu BPC(\;X)là không gian các hàm trong B(\;X)liên tục trong /\ ] có giới hạn hữu hạn trong ]
Định nghĩa 1.2 Hàm f∈BPC(\;X) gọi
là ] - hầu tự đồng hình nếu∀dãy số nguyên
( )s′ n , ∃ dãy con ( )s n sao cho các giới hạn trong ( )1.3 đúng Dễ thấy
AP \ X ⊂AA \ X ⊂]AA \ X Đặt A u O := − Δ +P( )u P(u∞∇v),
3.2 Phương trình Navier-Stokes-Oseen
Ký hiệu ( ).
,
p c
Lσ =C∞σ Ω
C∞σ Ω = ν∈C∞ Ω ν = Ω Với 1 r< < ∞ và 1≤ ≤ ∞ ký hiệuq , L là r q, không gian Lorentz Chú ý rằng
,
L Ω =L Ω và L rω( )Ω =: L r, ∞( )Ω gọi là không gianL ryếu
Đặt , ( ) ( )
,
r q
r q
Lσ Ω =Rg P
loc
L Ω =Lσ Ω ⊕ ∇ ∈p L p L∈ Ω
L Ω =Lσ Ω ⊕G Ω
loc
G Ω = ∇ ∈p L Ω p L∈ Ω Gọi P P là phép chiếu Helmholtz trên = r
r
L Ω hạn chế của nó P P xác định một = r q, phép chiếu bị chặn trên L r q, ( )Ω
Trang 2Cho ( )3
c
C
ϕ∈ ∞ \ thỏa mãn ϕ≥0, 1ϕ≡
trên một lân cận của Ω và c suppϕ⊂B 0;r( )
Đặt b∞:=Bog D( ( )∇ϕ u∞),với Bog là toán D
tử Bogovskii trên D={x∈Ω: x <r}
Ta có b C c∞( )
∞∈ Ω thỏa mãn divb∞ = và 0
b∞=u∞ trên ∂Ω
Với α∈` , n0 ∃ > sao cho C 0
αb∞ L∞( ) C u ∞.
Ω
0
O
D A =W Ω ∩W Ω ∩Lσ Ω
với :v = −u u∞+b∞
Do (u⋅∇)u=div(u u ⊗ nên u là nghiệm )
của ( )1.1 khi và chỉ khi v là nghiệm của
' O div , 3.1
v t +A v t = P G v t
v v v b
∞
+ ⊗ − ⊗
Bổ đề 3.1
a Với p∈ ∞( )1; , 1≤ ≤ ∞q ,−A O sinh ra
nửa nhóm bị chặn ( )e−tA O trên Lσp( )Ω và
( )
p q
Lσ Ω
b Với1< ≤ < ∞p q ,∃ > sao cho C 0
3 1 1 2
,1
tA
p q
− ⎜ − ⎟
c Với 1< ≤ ≤p q 3,∃ > sao cho C 0
1 3 1 1
2 2
,1
p
− − ⎜ − ⎟
′
3.3 Nghiệm hầu tự đồng hình
a) Trường hợp tuyến tính
Xét phương trình:
u t'( )+A u t O ( )=PdivF t( ), t∈\ 4.1( )
Đặt B= Pdiv và
Y =Lσ∞ Ω Y =Lσ∞ Ω X =Lσ ∞ Ω
Theo [2] chỉ ra sự tồn tại và duy nhất
nghiệm hầu tự đồng hình của ( )4.1
Bổ đề 4.1 Cho ( 3/2, ( )3 3)
;
F L∈ ∞ \ L ∞ Ω × và
( )
3,
Y =Lσ∞ Ω Khi đó ( )4.1 có duy nhất nghiệm đủ tốt u BCˆ∈ (\;Y) xác định bởi:
t
u t e− −τ BF τ τd
−∞
= ∫
Hơn nữa, tồn tại hằng số M >0không phụ thuộc vào F sao cho
( ; ) ( ; 3/ 2, ( ) 3 3)
u \ ≤ M F ∞\ ∞ Ω ×
Chúng ta định nghĩa toán tử nghiệm như sau: ( )( ): ( ) O div ( )
t
S F t e− −τ F τ τd
−∞
Kết quả chính của mục này được phát biểu dưới đây
Đinh lý 4.2 NếuF∈]AA(\;X) thì
u t ∈AA \Y Chứng minh Để chứng minh kết quả này
chúng ta sử dụng kết quả từ hai bổ đề dưới đây và thực tế rằng các hàm ]AA-liên tục
đều là hầu tự đồng hình
Bổ đề 4.3. Toán tử nghiệm ánh xạ
] \ vào chính nó
Bổ đề 4.4. Nếu F khả tích địa phương và
bị chặn thì nghiệm đủ tốt u( ) liên tục đều Trường hợp nửa tuyến tính
Đặt B= Pdiv, ( )3.1 trở thành
u t +A u t =BG u t t∈ \ với G BPC: (\;Y)→BPC(\;Y) và
u u u b
∞
+ ⊗ − ⊗
u BC∈ \Y là nghiệm đủ tốt của (4.2) nếu
t
u t e− −τ BG u τ τd
−∞
= ∫
Đặt
aa
B = ω∈AA \Y ω \ ≤R
Trang 3Định lý 4.3 NếuF∈]AA(\;X) thì tồn
tại nghiệm đủ tốt duy nhất u AAˆ∈ (\;Y) của
( )3.1 trong aa, ( )0
R Y
3 TÀI LIỆU THAM KHẢO
A.Seyfert, On periodic and almost periodic solutions to imcompressible viscous fluid flow problems on the whole line, conference: Mathematics for Nonlinear Phenomena: Analysis and Computation (2017)
[2] R Finn, Mathematical questions relating
to viscous fluid flow in an exterior domain, Rocky Mountain J Math 3 (1973), 107-140