Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏng

Bài viết Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏng trình bày về hai phương pháp phân tích trực chuẩn: Phương pháp POD cổ điển và phương pháp POD snapshot. Trong đó phương pháp POD snapshot được sử dụng khi kích cỡ của biến thời gian nhỏ hơn đáng kể so với kích cỡ của biến không gian.

PHÉP PHÂN TÍCH TRỰC CHUẨN PHÂN TÍCH DỮ LIỆU

TRONG BÀI TOÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG

Nguyễn Đức Hậu

Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn

1 GIỚI THIỆU CHUNG

Phương pháp phân tích trực giao theo giá

trị riêng (Proper Orthogonal

Decomposition-POD) là một phương pháp phân tích các dữ

liệu, nó xấp xỉ một hệ các phương trình có số

chiều lớn thành hệ có cỡ nhỏ hơn Phương

pháp này được sử dụng trong cơ học chất

lỏng bởi Lumley [1] năm 1967 để xác định

cấu trúc của dòng chảy rối và sau đó xây

dựng một mô hình rút gọn có thể xấp xỉ được

năng lượng của dòng chảy Ý tưởng ban đầu

của phương pháp POD là công cụ để xử lý

các dữ liệu tuy nhiên sau đó phương pháp

này được sử dụng rất nhiều để xấp xỉ hệ

phương trình Navier-Stokes để xây dựng lại

và kiểm soát dòng chảy Phương pháp POD

là một phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ

xác định một hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ

(một cách tối ưu) các dữ liệu ban đầu là tập

hợp rời rạc hoặc liên tục có cỡ lớn (các kết

quả thực nghiệm hay là các kết quả số tại các

thời điểm khác nhau)

2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Ta xét các dữ liệu dạng u( )X với xác định

trên H( )Ω H là một không gian Hilbert với

tích vô hướng ( ).,. với chuẩn H và Ω là

một miền không gian và thời gian

[ ]0,T

Ω = ×X với T> 0 H là không gian

( )

2

L Ω với tích vô hướng:

( , ) ( ) ( )d

Ω

Φ Ψ =∫Φ XΨ X X

Phương pháp POD cổ điển là phương pháp

xấp xỉ ở đó ta xác định một hệ cơ sở trực

chuẩn từ đó ta xác định xấp xỉ tốt nhất của u

trong không gian con với số chiều là

POD

N dạng:

1

NPOD

i i i

u u,Φ Φ

=

Điều kiện tối ưu hóa theo nghĩa tích vô hướng trên không gian hàm H theo nghĩa tìm được các modes Φi∈H( )Ω trực chuẩn sao cho cực tiểu hóa sai số sau:

1

NPOD

i i

u u,Φ Φ

=

− ∑

trong đó . kí hiệu là trung bình theo thời gian của tập hợp các dữ liệu ban đầu

Theo Lumley 1967 bài toán cực tiểu hóa trên dẫn đến bài toán cực đại hóa sau: Xác định các véc tơ đơn vị trên không gian H*( )Ω =H( ) { }Ω \ 0 sao cho có cực đại hóa sau:

( )

2

H*

u, max

,

Ψ

Ψ Ψ

Ta định nghĩa toán tử tuyến tính:

( ) ( ( ) ( ) )

K : H H

K C , , ,

→

6 với C(X X, ')= u( ) ( )X u X' là ten sơ tương giao có tính chất đối xứng

Dễ dàng chứng minh được toán tử K là toán tử đối xứng, không âm nghĩa là

( )

, H

(K ,Φ Ψ) (= Φ Ψ,K ), (K ,Φ Φ ≥) 0 Theo định lý Riesz về phổ của toán tử tuyến tính K có vô hạn các giá trị riêng thực

không âm có thể được sắp theo thứ tăng dần

1 2 0,

λ λ≥ ≥ ≥ ≥ và

1 i

i

.

λ

+∞

=

< ∞

∑

Các hàm riêng của K là trực giao Ta có

thể chọn các hàm riêng là trực chuẩn Bài

toán cực đại hóa trên trở thành tìm Ψ ∈H *

sao cho:

H*

max , Φ Ω ,

Xét hàm F :Φ \→\ xác định bởi công

thức:

F

,

Φ

Ψ εΦ Ψ εΦ ε

Ψ εΦ Ψ εΦ

=

Nhận thấy rằng FΦ( )ε ≤FΦ( )0 và

( )0 0

F 'Φ =

Từ đó dẫn đến:

( , ) ( (K , ) ( ) , )

,

Ψ Ψ

Ψ Ψ

(K , , )

Ψ Ψ

λ

Ψ Ψ

Vậy Ψ là nghiệm của bài toán:

KΨ λΨ= Bài toán tối ưu hóa bây giờ trở thành bài

toán giá trị riêng Tất cả các véc tơ riêng Ψ

tương ứng các giá trị riêng lớn nhất của K

Các modes POD chính là các hàm riêng của

toán tử K tương ứng với N POD các giá trị

riêng lớn nhất Và bài toán cực tiểu hóa được

xét trên hệ cơ sở rút gọn với số chiều

là N POD

Công thức xấp xỉ trở thành:

1

NPOD

i i i

=

trong đó các modes POD { }Φi trực chuẩn

(Φ Φi , j)=δijvà hệ số a i được xác định bởi

i i

a = u,Φ

Nếu N POD→ ∞ ta nhận được công thức

đúng:

1

i i i

u ∞ aΦ

=

=∑

Ten sơ tương giao được xác định bởi:

1 i i i

i

C , ' ∞ λΦ Φ '

=

=∑

Vì { }Φi trực chuẩn nên ta có:

a a = u,Φ u,Φ

( ) ( )i ( ) ( )j

u Φ d u ' Φ ' d '

( ) ( ) ( ) ( )i i

H H

u u ' Φ Φ ' d d '

( ) ( )

i j H

KΦ ' Φ ' d '

(KΦ Φi , j)

i i , j

λ Φ Φ

=

i ij

λ δ

= Giá trị riêng 2

i a i

λ = tương ứng với động năng trung bình sinh ra bởi mode thứ i Động năng toàn phần của cả bài toán là:

H

C , d ∞ a ∞ λ E

Động năng sinh ra đối với hệ cơ sở POD là:

1

NPOD

N POD i

i

=

= ∑

Ta có hai tiêu chuẩn để đánh giá một hệ cơ

sở POD được chọn Tiêu chuẩn thứ nhất là sai số:

1

NPOD

i

S N u u,Φ Φ

=

Tiêu chuẩn thứ hai là tỉ số giữa động năng của hệ cơ sở POD với động năng toàn phần:

POD

E

T N

E

Trong thực hành tiêu chuẩn thứ hai thường được sử dụng để đánh giá số lượng mode cần thiết để sinh ra đủ động năng cần thiết

3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

a) Trường hợp rời rạc với số chiều hữu hạn

Trong bài toán thực nghiệm hay là bài toán

mô hình số mô phỏng dòng chảy dữ liệu nhận được sắp xếp dưới dạng ma trận

( ) ( )

1

=

"

" " "

"

Nt

N x N x N t

u x ,t u x ,t

U

u x ,t u x ,t

ở đó N x là số các điểm không gian x rời rạc

(các điểm đo trong bài toán thực nghiệm hay

là các nút lưới trong bài toán mô phỏng) và

t

N là số các thời điểm nghiên cứu

Khi đó cực tiểu hóa sai số trong trường

hợp rời rạc là:

i j i j

min u x,t a t x

−

Ma trận ten sơ tương giao cỡ N x×N x xác

định bởi:

( ) ( )

1

t

u x ,u x N

C

b) Phương pháp POD snapshot

Phương pháp POD snapshot được đưa ra

bởi Sirovich [3] năm 1987 Mục đích trong

phương pháp này là phép lấy trung bình được

lấy theo không gian còn ma trận ten sơ tương

giao sẽ phụ thuộc vào thời gian có cỡ là

t t

N ×N :

t= ⎣ ⎦⎡C ij⎤

C

với

( ) ( )

1

t

C u t ,u t

N

= Phương pháp POD snapshot được dùng

trong trường hợp khi N x thực sự lớn hơn N t

Đó chính là các trường hợp với các dữ liệu là

kết quả thực nghiệm hay kết quả số

c) Áp dụng phương pháp POD snapshot

Tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp POD

để phân tích kết quả số của mô hình hai pha

Hình 1 Nồng độ bùn cát trong kết quả số

Trong Hình 1 biểu diễn kết quả số của mô

hình hai pha khi mô phỏng quá trình rơi trở

lại của bùn cát trong phòng thí nghiệm của trường hợp e13 (xem [2]) Hình 2 là chín modes đầu tiên trong hệ cơ sở POD snapshot đối với trường nồng độ Ta thấy rằng modes đầu tiên ứng với giá trị riêng lớn nhất là trung bình của cả quá trình diễn tiến của nồng độ khối Các modes tiếp theo thể hiện

rõ hơn quá trình rời của bùn cát Chín modes này sinh ra khoảng 90% động năng của hệ ban đầu

Hình 2 Chín modes đầu tiên

của hệ cơ sở POD

4 KẾT LUẬN

Trong bài báo này tác giả trình bày về hai phương pháp phân tích trực chuẩn: Phương pháp POD cổ điển và phương pháp POD snapshot Trong đó phương pháp POD snapshot được sử dụng khi kích cỡ của biến thời gian nhỏ hơn đáng kể so với kích cỡ của biến không gian Một áp dụng của phương pháp POD snapshot trong phân tích dữ liệu

số của mô hình hai pha mô phỏng dòng chảy

và vận chuyển bùn cát đối với trường nồng

độ bùn cát được xem xét

5 TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lumley, J L (1967), The structure of inhomogeneous turbulent flows, Atmospheric turbulence and radio wave propagation, Moscow: Nauka, 167-178

[2] Nguyen D.H., Guillou S., Nguyen K.D., Pham Van Bang D., Chauchat J (2012),

“Simulation of dredged sediment releases into homogeneous water using a twophase model” Advances in Water Resources 48, 102–112

[3] Sirovich, L (1987), Turbulence and the dynamics of coherent structures, Quarterly

of Applied Mathematics, 5, 561-590