cách giải toán tìm giá trị biểu thức GTLN GTNN

Đây là những cách giúp bạn nhanh chóng tìm ra cách giải toán tìm giá trị biểu thức

A MỞ ĐẦU

Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc

hoc nay Dé giải các bài toán cực tri dai so , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biêu thức đại sô người làm toán phải sử dụng các phép biến đổi đồng nhất các biểu

thức đại số , phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hăng đăng thức từ các dạng đơn giản đến các dạng phúc tạp Bởi thế , có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp

2 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biêu thức đại só

Các bài toán cực trị đại số ở chương trình toán cấp 2 có sự liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất dang thức , các bài toán giải phương trình và hệ phương trình , các kiên thức về tập hợp về hàm số và đô thị hàm số

Về mặt tư tưởng bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi vol kiến thức thực

tế của đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , luôn mong muốn những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhật

Tóm lại các bài toán cực trị trong đại ở chưong trình toán cấp 2 là các bài toán tông hợp các kiến thứcvà kỹ năng tính toán rèn khả năng tư duy cho học sinh , nó có một vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Bồi dưỡng HS thi vào các

trường chuyên, thi vào cấp 3

B NOI DUNG:

IL Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bang cach đưa về dạng A, >0 hoặc A, < 0

a, Co’ so lý luận

- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ „ số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất

- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất

- Từ đó ta có kết luận : Nếu M= A,/A,>0_ thì GTNN của A,=0

Nếu M= A,/A,<0_ thìGTLN của A,=0

b, Các ví dụ

Ví dụ 1:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Ay = 2xẴ-§x+L với x là số thực bất kỳ

Lời giải : Ta có Àx = 2x?— 8x +l = 2(x-2}`—7 Ta có với mọi x thì

(x-2}' >0 Nên ta có 2( x- 2 )“— 7 >-7

Vậy A, đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2

Ví dụ 2:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M, =-5x°—4x+1 với x là số thực bất kỳ

Lời giải: Ta có M, =- 5x?~ 4x + 1= 5(xt2 yrs

Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +2 <0 VậyM, < : (dấu = xảy ra khi x =

=, Ta có GTLN của M, =: với x= =,

II Phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng

cách dua vé dang a >0 hoặc 2 <0

Vi du 3:

Tìm giá trị nhỏ nhât của biêu thức:

Ax = ——— Với x là các số thực dương

x

Lời giải: Ta có A, = x txt — G-4),2Ì với mọi x >0 thì

&-#9 „23 > 23 Vay GTNN cua A, = 23 VỚI X= 4

Ví dụ 4:

Tim gia tri lon nhât của biêu thức:

M„= *Š *Y†ÍẺ với x thuộc tập hợp số thực

x +2x+3

Loi giai:Ta co M,= ¬ =3+ a Vi tt < 1 nén ta co

x° +2x4+3 (x+1)° +2 (x+1)°+2 2

M, =3+ —— < 3+0,5 =3,5 Vay GTLN M, = 3.5 với (x+1)” = 0 hay x= -Ï

(x+1)° +2

Ví dụ 5:

Tìm giá trị lớn nhât của biêu thức:

Ex = ay ty (y ox) +t voi x, y là các sô thực

xˆy +2y +x +2 xy?+y (y?—x)+l — y* +1 xy? ay" tor" $2 (yŸ +1)(x? +2)

của x nên ta chia ca tu va mau cho y’ +1 ta duge : Fy y= ——— vi x” 20 voi moi x nén 2

x° +2

1

x“ +2 >2 với mọi x ,và do đó ta có Exy = ¬—

x” +

IA 1

2

Vay Fy dat GTLN = ; với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý

Ill Tim GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi

1_Bát đăng thức Cósi : Với các sô dương a,b, c ta có:

a+b2>2Vab đạt được dâu = khi a=b

a tbt+c >3vabc đạt được dấu = khi a=b =c

2 Cac vi du :

Vi du 6: Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thức:

8x7 +2 xã

Ay, = * *^“ vớix>0,

Xx

_ 8x° +2 =§x+ ^ Ta thấy 8x và ^ là hai đại lượng lấy giá trị

Loi giai:Tacé A,

dương áp dụng bất đăng thức Côsi cho hai số dương là 8x va 2 ta có:

Xx

8x+ ^>2,lsx.^ =2v16 =8 dấu = xây ra khi 8x = Z=>x=l

x

Vay GTNN Ax = 8 voix = 5

Vidu7:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

B, = 16x” - x” với x thuộc tập hợp các số thực đương

Lời giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đồi dé áp dụng được bất đăng thức Côsi ta

co

B, = 16x? - x°=x°(16- x°) Taco x°>0, con 16— x’ > 0 khi 16 > xỶ hay x< X16 (*)

ta thấy x” và 16 — xỶ là hai đại lượng đương áp dụng bất đăng thức Côsi cho hai số

dương xỶ và 16- xỶ ta có 2 Jx*(16-x°) <x`+16—x` =16 suy ra xÌ( 16 — x”) < 64 dấu =

xay ra khi x° = 16-x° => x =2 (Thoa man *) GTLN ctia B, = 64 , voi x=2

IV Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp dat an phu:

Ví dụ 8 :

Với giá trị nào của x thì biểu thức

_ 4x* +16x° +56x* + 80x +356

x° +2x4+5 fon ms š 4x" +l0x? :

Loi giai: Taco: Py = x + 16x + 56x +80R+356 „ 4x” + 8x+ 20 +— 29 —

x +2x+5 x +2x+5

Vì xÝ+ 2x +5 = (x+1}” +4 > 0 (*) nên P„ luôn xác định với mọi x ta đặt

y=x2+2x++5 ,tacóP,=4y+ ^Š với y>0, ta thấy 4y và ^°Ẽ là hai đại lượng

luôn đương áp dụng bất đăng thức Côsi cho hai số dương 4y và uo taco:

y

dy + 28 39 |4y 2° 9.2.16 =64 Dau = xdy ra khi 4y = 22° => y=8 hoac y = -§

tu do tinh duge x= -3 hoac x=1 Vay voi x=-3 hoac x=1 thi GTNN cua P, = 64

Ví dụ 9 :

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Q = (xˆ- 2x + 2)(4x- 2xˆ+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực

Lời giải: Đặt xˆ- 2x +2 = y ta cô 4x — 2x” + 2 = -y +6 Vậy Q, = y ( 6- 2y)

Ta có 2Q, = 2y(6-2y) , ta thấy x”- 2x+2 = (x- I}` +l >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3

Vậy 2y và 6-2y là hai số dương áp dụng bất đăng thức Côsi cho hai số dương 2y và 6-2y ta có : 2y + 6-2y >2./2y(6-2y) => 3 >.j2y(6-2y) =>9>2Q, dấu = xây ra khi

2y=6-2y=>y=I,5_ thay vào ta có x”- 2x +2 = l,5 =>x= 12 hoac x= | -

2 vay GTLN cua Q, = 4,5 voi x = = hoặc x= | a

Vidu 10:

Tim gia tri mm nhất của biểu thức :

=(8+x°+x )(20- —x) với x là các số thực tuỳ ý

Lời giải: Ta có : * 8+ x” + x=(x+ ˆ s} + >0 voi moi gia tri cula x

*20 — x* —x _ -5<x<4

Như vậy H, = (§ + xˆ + x)(20 - x” -x) >0 khi -5 <x<4_ Từ đó suy ra H, có giá trị

lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4)

Với -5 <x <4 ta có 8+ x+x và 20 — x”—x luôn đương áp dụng bất đăng thức Côsi

cho hai đại lượng dương §+ x”+x và 20 — x” —x ta có :

(8+ x° +x )+(20—x? —x) 22) (8 +x? +.x)(20- x? — x)

> 14> vj(8+x? +x)(20—-x?—x) => 196 > (§+x“+x)(20— xˆ-x) Dau= xây

ta khi 8+ x* +x =20—x?-x => x= 2 hoặc x= -3

Hay H;, < 196 Vậy ŒGTLN của Hy = 196 ,với x=2 hoặc x = -3

V Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lượng

Ví dụ II :

Tìm giá trị của m, p sao cho A= m* —4mp + 5p’ + 10m — 22p + 28 dat giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải:

Ta có A= m”- 4mp + 5p” + IŨm— 22p + 28 =(m— 2p} + ( p— 1)7+27 + 10(m— 2p)

Đặt X = m-2p ta có A = X” + 10 X +(p-Lƒ + 27 =(X+5) “ + (p-I+2

Ta thay (X+5) 7 20; (p-1)? 20 véi moi m, p do dé A dat GINN khi X+ 5=0 va p- 1=0

Giải hệ điều kiện trên ta được pECL, m= -3 Vậy GTNN của A = 2 voi p= 1, m=-3

Ví dụ 12 :

Tìm giá trị của x, y sao cho F = x” + 26yˆ— 10xy +14x — 76y + 59 đạt giá trị nhỏ

nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải:

Ta có F = xỶ + 26y” — 10xy +14x — 76y + 59 =( x-5y)“+ (y-3)ˆ +14(x-5y)+50

Đặt ân phụ : Z = x-5y ta có F= (Z+7J + (y- 3) +1 21

Dấu = xây ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta được x=§ y= 3 Vậy

GTNN cua F = Ï với x=8, y=3

Ví dụ 13 :

Tìm giá trị của x, y,Z sao cho P= 19x” +54y” +16z” -l6xz— 24yz +36xy +5 Đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải:

Ta có P= 19x” +54y” +16zˆ -16xz - 24yz +36xy +5 = ( 9x”+ 36xy + 36y”) + (18y- 24yz +8z2) + (8x ˆ— 16xz + 8z) + 2x” + 5 hay

P = 9(x+2y) + 2(3y— 2z)” + 8(x- z )ˆ + 2x” + 5 Ta thấy (x+2y)” > 0;

(3y — 2z) > 0; (x-z}“ > 0; 2x” > 0 với mọi giá trị của x, y, z

Vay GTNN cua P = 5 đạt được khi x+2y = 0 va 3y- 2z =0 va x- z =0 va x=0 Giai hệ phương trình trên ta được x= y =z = 0

VI Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp sử dụng bat dang thức Buanhiacôpski

*Bắt đẳng thức Buanhiacôpski

(aibi +a¿b¿ + anba)” < (ai + a2” + tan )(bị” + bạ bạ)

Dấu bằng xấy ra khi “+ =^? = = “”

*Cac vidu:

Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

P=xÝ + yỶ †z” Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995,

Lời giải:

Áp dụng bất đăng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, ] và x, y, z ta có :

(x.1+y.l1+z.I < (1+ 1+ 1’ +y? +z’)

Hay :(xty+z) < 3.(xX+y +z”) Từ đó ta có :

P=x+y+zZ> eet ey ee ( Vì theo gia thiét x+ y +z =1995)

Vay GTNN cua P = 199)" ddu = xây ra khi x =y =z kết hợp với giả thiét x + y +z = I995 Ta có x= y =z =665

Ví dụ 14 :

Cho biêu thức Q = J2x+4y+x5.z| Trong do x,y,z la cdc đại lượng thoả mãn điều kiện

x +y° +z = 169.Tim GTLN cia Q

Loi giải:

Ap dung bat dang thtre Buanhiacépki cho bé ba sé : 2, 4, V5 vax, y, ztaco:

(xt+4y+ V5zy <{2?+44+ (V5 x+y +z’)

Hay Q* <{ 274+ 44+ (V5 PU x+y? tz’) vi Pty +z = 169 nén Q* < 25.169 Vậy GTLN của Q= 65, dấu = xây ra khi a ae, vax +y +z v5 = 169 từ đó tìm

VII Cac bai tap ap dung:

Bai 1: Cho biéu thite :Q = ——> „: Tìm GTLN của Q

4x? -4x+

2x+]

Bài 2: Biêu thức : P = 5 có giá trị lớn nhất không ?

2

Hãy chứng tỏ khăng định của mình

Bai 3: Cho biêu thức : A = txt Voix #-1,x >0 Hay tim GTNN cua A

x° +2x+1

Bài 4: Cho biểu thức : B= BH Tim GTLN cua B

x —6x+12

Bài 5: Cho biểu thre: F= ~11**!© | Voix >0 Hay tim GTNN cia F

xX

Bài 6: Cho biéu thức: A = - > Hãy tìm GTLN của A

+x

Bài 7: Cho biểu thức: Y = &t2*®) | Voix > 0 Hay tìm GTNN của Y

Xx

Bài #: Cho biểu thức: = # +“* ~“Ý-Ì Từmn(TNN cua Y,

x-l VIII Hướng dẫn giải và đáp số :

Bài I:Ta có: Q= —— ———<Š Vậy GTLN của Q= Ý, với x= 0,5

_ 42 — T\2

Bài 2: Ta có P=1- CC”, vị G=Đˆ >0 với mọi x nên P <1 Vậy GTLN của P= I

khi x=1

Bài 3:Ta có : A=1 - Ị Đề A đạt giá trị nhỏ nhất khi Ị đạt GTLN muốn

x+—+2 x+—+2

vậy x+L + 2 phải đạt GTNN Mà x> 0 nên 1 > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai

số dương x và + ta có:x+ >2 lx ` =2 Dấu = xây ra khi

Xx

x= => x= 1; x =-1 (Loa )

xX

Vậy GTNN ctia A=1- ao Vi x= —

x -=6x+12 (x—3) +3

phải đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)” + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có (x- 3+3 > 3 voi moi x Vay GTLN ca B= > , voix =3,

m- (x—3)?+3

Bai 5: Taco F= oe Với x >0 chia tử cho mâu ta có E = vìx>0

ˆ re A 2 , A ` , 16 A

Nên Ý >0; 1S i áp dụng bất đắng thức Côsi ta có : > + a8 2|—— =Š; Dau

xây ra khi x = 4, Vay GTNN cla F=5 + 5 = › VỚIX=4

2

Xx

Bai 6: Taco: A= ; voix # 0 thiA=

Xe

_A dat GTLN khi + + x? nho a

nhất „ ta thấy x” và _ là hai số đương nên theo bất đăng thức Côsi ta có: xe

2

+t >2 et =2.Dau=xayrakhix*=1 =>x=1;x=-l

Vay GTLN cua A = 5 V6i x= 1;x=-l

Bai 7:Tacé Y= S*VE*%) Voixs0 Y=x+!%+10>2/x1° +10 =18

( Theo bất đăng thức Côsi cho hai số dương x và si Dấu = xây ra khi x = 4

Xx

Vay GTNN cua Y = 18; voix =4

Bài 8: Ta có: V= ~ 77% —**7! (vgix 1) Y = (x+iy-22-

x-1

Dầu = xây ra khi x =~ >,

Vậy GTNN của Y =~^; với x= - =