Chuyên đề trắc nghiệm tích phân đặc biệt và nâng cao

Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau: 1... Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau: 1..[r]

CHỦ ĐỀ 11: TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO 1) Một số dạng tích phân đặc biệt

 Mệnh đề 1: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [−a;a]thì a a

Để chứng minh hoặc tính toán các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi

biến như sau:

(2) Biến đổi:

' 2

Từ giả thiết lấy nguyên hàm 2 vế ta được: sinx.f (x)= −cos x sinx C+ +

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]0;2 thỏa mãn f '(x) f(x) x 1+ = − Biết

f (0) 9= Khẳng định nào sau đây là đúng?

Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên  Biết rằng f (0) 3= và

f (x) f '(x) 2x 1− = + Giá trị của f 1 thuộc đoạn ( )

Ví dụ 11: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn 0;

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: f (x) tanx C

Ta có f (x) tanx.f'(x) x3 cos.f(x) sin xf '(x) x2 [sinx.f (x)] x2

Và trên 0; sinx cos 0 min sinx;cos{ } cos

∫ , trong đó hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] Tính 1

I =∫ f x dx

Câu 16: Cho hàm số f(x) là hàm chẵn và liên tục trên , thỏa mãn 3

blà phân số tối giản Giá trị a+2b c− thuộc

khoảng nào trong các khoảng sau?

Câu 19: Biết

0xf(sin x)dx 2

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Lấy tích phân 2 vế của f x( )+ f x( )− =cos2 xcận từ 3 3

ππ

(x 3 2)dx (x 3 2)dx (x 3 2)dx

22

Suy ra trên [ ]0;3 →x2−2 1 ( 1) 0x+ − + < ⇒x max{x2−2 1;x+ x+ = +1} x 1