CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần π.. Khẳng định nào sau đây đúng?[r]
Trang 1CHỦ ĐỀ 9: CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN
I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức tích phân từng phần: Nếu u u x= ( ) và v v x= ( ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]a b thì ; b ( ) ( ) ( ) ( ) b b ( ) ( )
a
u x v x dx′ =u x v x − u x v x dx′
Hay b b a b
udv uv= − vdu
II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần
Ví dụ 1: Cho tích phân 2
0
cos
I =∫πx xdx và u x dv= 2; =cosxdx Khẳng định nào sau đây đúng?
0 0
0 0
0 0
0 0
Lời giải
0 0
2
sin cos
du xdx
dv xdx
π π
=
Ví dụ 2: Cho tích phân 2( ) 2
0
2 1x+ e dx ae be c x = + +
∫ (a b c ∈ Tính , , ) S a b c= 2+ 2+ 2
Lời giải
du e dx v e
Suy ra a=3;b=0;c= ⇒ =1 S a b c2+ 2+ 2 =10 Chọn B
Ví dụ 3: Cho tích phân 2( 2 ) 2
0
1 sin
π
=∫ + = π + π + với a b c ∈, , Tính T a b c= 2+ 2+ 2
Lời giải
cos sin
du xdx
u x
dv xdx
=
⇔
Trang 2Khi đó ( 2 ) 2 2 2
π
Xét tích phân 2
0 cos
π
=∫ , ta đặt
0
0 0
Vậy
0
1
a
c
=
= π − ⇒ = ⇒ =
= −
Chọn C
Ví dụ 4: Cho tích phân 3( 2 )
2
I =∫ x + xdx a= +b +c với a b c ∈, , Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A a=3b B a= −3b C a b+ =40 D a b− =20
Lời giải
3 3
ln
dx
x
=
3 3
2
22
Ví dụ 5: Cho 4 ( )
1
.ln 3 ln 2
x
x
+
=∫ = + + , với a b c ∈, , , tổng a b c+ + bằng
Lời giải
dx
dx
x
⇔
=
1 1
x
1 1
6
2
a
c
=
= −
Vậy tổng a b c+ + = − − =6 4 2 0 Chọn D
Trang 3Ví dụ 6: Cho tích phân
2
2 0
sin
1 cos
b x
π
+
∫ với a b c ∈, , và a
b là phân số tối giản Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A a b+ =3c B a+2b c= C a b+ =2c D a+2b=3c
Lời giải
Đặt
2 2
π π
=
=
0
2
x
Do đó a b+ =3c Chọn A
Dạng 2: Tích phân từng phần với hàm ẩn
Ví dụ 1: Cho hàm số f x thỏa mãn điều kiện ( ) 1( ) ( )
0
∫ và 2 1f ( )− f ( )0 =2 Tính tích phân ( )
1
0
f x dx
∫
Lời giải
1
10 2 1f f 0 I I 2 1f f 0 10 2 10 8
Ví dụ 2: Cho 2( ) ( ) ( ) ( )
0
1 2− x f x dx′ =3 2f + f 0 =2016
0 2
f x dx
Lời giải
Xét tích phân 2( ) ( )
0
1 2x f x dx− ′
∫
2 2 0 0
Trang 4Xét 1 ( )
0
2
J =∫ f x dx, đặt t=2x⇒dt=2dx, đổi cận suy ra 2 ( ) 2 ( )
1
2 2
dt
J =∫ f t = ∫ f x dx= Chọn B
Ví dụ 3: Cho hàm số y f x= ( ) thỏa mãn điều kiện 1 ( )
0
1 1
f x dx x
′
= +
∫ và f ( )1 2 0− f ( )=2 Tính tích phân ( )
( )
1
2
f x
dx
x +
∫
Lời giải
Đặt
( )
2
1
1
1
x
dv f x dx
v f x
+
=
( )
1
2
′
0
x
Ví dụ 4: Cho F x( )=x2+ln3x là một nguyên hàm của hàm số f x( )
x Tính tích phân ( )
1
ln
e
f x′ xdx
A I e= 2+3e B I e= 2+3 C I = − +e e2 D I e= 2+4
Lời giải
1
1 ln
ln e e
1
Mặt khác f x( ) xF x( ) x x2 3ln2x f e( ) 2e2 3
x
′
Do đó I e= 2+3 Chọn B
Ví dụ 5: Cho F =(x3+x e2) x là một nguyên hàm của hàm số f x e( ) 3x Tính tích phân 1 ( ) 3
0
x
I =∫ f x e dx′
A I e= B I e= +1 C I = − +e 1 D I = −e
Lời giải
Đặt
Trang 5( )1 1 ( ) ( ) ( ) 1
0
I e f x e f x dx e f x x x e
Ví dụ 6: Cho hàm số f x liên tục và luôn dương trên ( ) Biết rằng ( ) 1 ( )
0
1 2, xdx ln 2
f
f x
= ∫ = Tính tích
( )
2
1
2 0
x f x
f x
′
=∫
2
2
I = − − D I = − +2 ln 2
Lời giải
2
2
2 1
f x
2
0 0
I
Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức tích phân
Ví dụ 1: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 thỏa mãn f ( )1 6= , 1 ( ) 2
0
5 2
f x′ dx=
( )
1
0
5
2
x f x dx =
∫ Tích phân 1 ( )
0
f x dx
A 23
4
Lời giải
2
2
du f x dx
u f x
x
dv xdx v
′
=
=
1
2
1
Ta chọn k sao cho: 1 ( ) 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 21 4
1
0
5
Trang 6Do ( ) ( ) 3 1 ( )
0
1 6
x
f = ⇒ =C ⇒ f x = + ⇒∫ f x dx= Chọn D
Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 thỏa mãn f ( )1 1= , 1 ( ) 2
0
9 5
f x′ dx=
( )
1
0
1
5
x f x dx =
0
I =∫ f x dx bằng
A 3
5
4
4
5
I =
Lời giải
2
2
du f x dx
u f x
x
dv xdx v
′
=
=
x
Suy ra 1 2 ( ) 1 4
0
k k
0
1
4
f = ⇒ = ⇒ =C I ∫ f x dx=∫x dx= Chọn B
Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 thỏa mãn ( )1 3
5
0
4 9
( )
1
3
0
37 180
x f x dx =
0
1
I =∫f x − dx bằng
A 1
15
10
10
Lời giải
4 3
'
4
du f x dx
u f x
x
dv x dx v
=
x f x
Trang 7Lại có: 1 8
0
1 9
x dx =
0
k
0
2
5
x
0
f = ⇒ = − + ⇔ = ⇔C C f x − = − x ⇒∫f x − dx=− Chọn B
Ví dụ 4: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [ ]0;3 thỏa mãn f ( )3 1= , 3 ( ) 2
0
1 27
∫
và 3 3 ( )
0
42 5
x f x dx =
0
I =∫ f x dx bằng
A 5
Lời giải
4 3
'
4
du f x dx
u f x
x
dv x dx v
=
x f x dx= f x − f x dx′
4
81 3
Ta chọn k sao cho: 3 ( ) 4 2 3 ( ) 2 3 ( ) 4 23 8
2
0
x
Ví dụ 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên ( )
đoạn [ ]0;1 thỏa mãn f ( )1 0= , 1 ( ) 2
0
7
0
1 3
x f x dx =
∫ Tích phân 1 ( )
0
f x dx
A 7
Lời giải
3
′
0
0
49x dx =7
Trang 8Vậy ( ) 7 3 0 ( ) 7 4
4
f x′ + x = ⇒ f x = − x C+
Mà lại có: ( ) ( ) ( 4) 1 ( )
0
Trang 9BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Với u và v là các hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ ]a b Công thức biểu diễn tích phân từng ; phần được cho bởi công thức nào sau đây?
a
a
C b b a b
udv uv= + udv
udv uv= − vdu
Câu 2: Cho tích phân 3
2
ln
I =∫ xdx , biểu thức nào sau đây thể hiện đúng cách tính I theo công thức tích phân từng phần
2 2
ln
2 2
ln
I = x x +∫xdx
2 2
2 2
I = x x +∫ xdx
Câu 3: Khi tính tích phân b sin 2
a
∫ thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng phần?
A u sin 2x
dv xdx
=
=
sin 2
u x
=
=
dv x
=
=
sin
u x
=
=
Câu 4: Khi tính tích phân b ln
a
x xdx
∫ thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng phần?
A
ln
u x
dv xdx
=
=
dv x
=
=
dv xdx
=
=
ln
u x
dv x
=
=
Câu 5: Khi tính tích phân sin 2b
a
x xdx
∫ thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng phần?
A
sin
u x
=
=
dv xdx
=
=
v x
=
=
sin 2
u x
dv xdx
=
=
Câu 6: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân 2
0 2
xcos xdx
π
sin 2 cos 2
I
sin 2 cos 2
I
Trang 10C 2 2
sin 2 cos 2
I
sin 2 cos 2
4
I
x
Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân 2
0 sin 2
π
=∫
1
x
1
x
1
x
1
x
Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân 4 2
0
x dx cos x
π
∫
tan ln cos
tan ln cos
I = − x x π − x π
Câu 9: Cho tích phân 2
1
ln
e
I =∫x xdx Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1 1
2
e e
1 1
ln e e ln
I x= x +∫x xdx
1 1
ln e e ln
1 1
2
e e
x x −∫x xdx
Câu 10: Cho tích phân 4( )
0
1 sin 2
π
−
∫ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
0 0
1
2
π π
0
π
π π
π π
Câu 11: Cho tích phân 2( )
0
2 x sinxdx
π
−
∫ và đặt u= −2 x dv, =sinxdx Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
0 2
π π
0 0 2
π π
Trang 11C ( ) 2 2
0 2
π π
0 0 2
π π
Câu 12: Biết rằng 1 ( )
0
ln x+1 dx a= +lnb
∫ với a b, là các số nguyên Tính ( 3)b
9
1
1 ln
b d
b và
c
d là hai phân số tối giản Tính
a c
b d+
A 3
2
Câu 14: Biết 2( ) 2
0
3 1x− e dx a be x = +
∫ với a b, là các số nguyên Tính S a b= +
A S =12 B S =16 C S =8 D S =10
1
x ln
b và
c
d là hai phân số tối giản Tính
a c
b d+
9
a c
9
a c
3
a c
3
a c
b d+ = −
0
4∫e x 1 ln+ x dx ae b= + với ,a b là các số nguyên Tính M ab= +4(a b+ )
Câu 17: Biết 2 2
1
lnx dx b aln 2
x = +c
d là hai phân số tối giản Tính 2a+3b c+
Câu 18: Biết 4 2
0
1 ln4
x dx
π
π
= +
∫ với a b, là các số thực khác 0 Tính P a b= +
0
b d
= +
b và
c
d là hai phân số tối giản Tính
a c
b d+
A 3
2
Câu 20: Biết 1 ( 2)
0
x ln 1 x dx a cln 2
b
b là phân số tối giản
Trang 12A 9 B 6 C 15 D 12
Câu 21: Biết 1 ( )
0
ln 3 1x+ dx a= ln 2+b
∫ với a b∈, Tính S =3a b−
Câu 22: Biết 3 2
0
ln 2
x dx a cos x
π
= π −
∫ với a ∈ Hỏi phần nguyên của a −1 là bao nhiêu?
Câu 23: Biết 2 2
4
ln 2 sinx dx m n x
π
π
= π +
∫ với m n∈, Tính P=2m n+
A P = 1 B P =0,75 C P =0,25 D P =0
Câu 24: Biết 2 ( )
1
ln x+1 dx a= ln 3+bln 2+c
∫ với a b c ∈, , Tính S a b c= + +
Câu 25: Cho hàm số y f x= ( ) thỏa mãn 1( ) ( )
0
∫ và 2 1f ( )− f ( )0 =2 Tính 1 ( )
0
f x dx
∫
Câu 26: Cho hàm số y f x= ( ) thỏa mãn f ( )1 1= và 1 ( )
0
1 3
f t dt =
0 sin 2 x f sinx dx
π
′
∫
A 4
3
3
3
3
I =−
Câu 27: Cho hàm số f x( ) có nguyên hàm là F x( ) trên đoạn [ ]1;2 , F( )2 1= và 2 ( )
1
5
F x dx =
( ) ( )
2
1
1
x− f x dx
∫
Câu 28: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên [ ]1;2 thỏa mãn f ( )1 0, 2= f ( )=2 và 2 ( )
1
1
f x dx =
( )
2
1
.x f x dx′
∫
Câu 29: Cho f x liên tục trên ( ) và ( ) 2 ( )
0
0
∫
Trang 13A I =13 B I =12 C I =20 D I =7
Câu 30: Giả sử hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 và thỏa mãn điều kiện
( ) 1 ( )
0
f = ∫x f x dx′ = Tính 1 ( )
0
I =∫ f x dx
Câu 31: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) 1 2 ( )
0
12
x f x dx′′ =
∫ và 2 1f ( )− f ′( )1 = −2 Tính 1 ( )
0
I =∫ f x dx
Câu 32: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) 3 ( ) ( )
1
x f x e dx′ =
∫ và f ( )3 ln 3= Tính 3 ( )
0
f x
Câu 33: Cho hàm số ( )
2
0
x
G x =∫cos tdt Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A G x′( )=2xcos x B G x′( )=2 cosx x C G x′( )=xcosx D G x′( )=2 sinx x
Câu 34: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) 2 ( )
0
3
f x dx =
∫ và f ( )2 =2 Tính 4 ( )
0
Câu 35: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) b ( ) 4
a
x f x dx′′ =
∫ và a b, là các số thực dương, đồng thời ( ) 2; ( ) 3
f a′ = − f b′ = và f a( )= f b( ) Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 2 9 2
P
A min 23
20
391
2
P =
Câu 36: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 2 ( ) ( )
1
f x′ f x dx =
∫ và f ( )1 1, 2 1= f ( )> Tính f ( )2
A f ( )2 =2 B f ( )2 =3 C f ( )2 =e D f ( )2 =e2
Câu 37: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;2 thỏa mãn f ( )2 =3, 2 ( ) 2
0
2 7
( )
2
2
0
152 21
x f x dx =
0
I =∫ f x dx bằng
5
5
5
I =
Trang 14Câu 38: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;3 thỏa mãn f ( )3 6= , 3 ( ) 2
0
3
f x′ dx=
( )
3
3
0
567 4
x f x dx =
0
I =∫ f x dx bằng
A 2
Câu 39: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 thỏa mãn f ( )1 1= , 1 ( ) 2
0
1 5
( )
1
0
2
5
x f x dx =
0
I =∫ f x dx bằng
A 5
4
9
4
5
I =
Câu 40: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;2 thỏa mãn f ( )2 =7, 2 ( ) 2
0
14
f x′ dx=
( )
2
2
0
40 3
x f x dx =
0
I =∫ f x dx bằng
A 19
5
5
5
5
I =
Trang 15LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có b b a b
I =∫ xdx x x= −∫xd x =x x −∫dx Chọn A
Câu 3: Đặt
sin 2
u x
dv xdx
=
=
Câu 4: Đặt u lnx
dv xdx
=
=
Chọn C
Câu 5: Đặt
sin 2
u x
dv xdx
=
=
0
x
cos x
π
x xdx= xd x = x x − x d x = x x − x xdx
0
π
1 0
dv dx
1 0
ln 2 x ln x 1 1 ln 4
= − + = − + Do đó suy ra a= −1,b= ⇒4 (a+3)b =2 164 = Chọn C
e
1
e
e + e x x e + e e e e
Trang 165, 1 3
1 2
3 1x− e dx x =2 3 1x− d e x =2 3 1x− e x −6 e dx x =10 2 12e+ − e x
10e 2 12 12 14 2e e a 14,b 2 a b 12
b = d = ⇒ + =b d Chọn C
4∫e x 1 ln+ x dx=2 1 ln∫e + x d x =2x 1 ln+ x e−2∫e xdx=4e − −2 x e
4e 2 e 1 3e 1 a 3;b 1 M ab 4 a b 5
2
a= − b= c= ⇒ a+ b c+ = Chọn A
cos x
π
Do đó suy ra a=4,b= − ⇒ = + =4 P a b 0 Chọn C
3
xe dx= xd e = xe − e dx= e − e = e − e + = e +
b = d = ⇒ + =b d Chọn A
Câu 20: 1 ( 2) 1 ( 2) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1 1
1
2
0
0 0
3
ln 3 1
dx du
x
=
∫
8
b
=
= −
Chọn D
Trang 17Câu 22: Đặt 3 3 ( )
3 0
2
cos 3
dv cos x
π
=
3 0
π
= π + = π + = π − ⇒ = ⇒ phần nguyên của a −1 là −1 Chọn D
2 4 2
sin cos
cot
cot
π π
−
2 4
π π
Do đó P=2m n+ =1Chọn A
2 1 1
1 1
dx
x
+
=
Câu 25: Đặt u x dv f x dx1( ) du dx v f x( )
0
x+ f x dx′ = x+ f x − f x dx
10 2 1f f 0 I I 2 1f f 0 10 2 10 8
Câu 26: Ta có 1 ( ) 1 ( )
1 3
sin 2 x f sinx dx 2 sin cosx.x f sinx dx 2 sin x f sinx d sinx
sin
1 1 0 0
1 2
3 3
0
4 sin 2 sin
3
π
Câu 27: Theo giả thiết ta có F x′( )= f x( )
2 2 1 1
1
Trang 18Câu 28: Đặt ( ) ( )
dv f x dx v f x
( )2 2 ( ) ( ) ( )
1 1
I x f x f x dx f f
1 16 1 7
2
= − = Chọn D
1 0
Suy ra ( ) 1 ( )
0
Câu 31: Đặt
1
0
2
u x
v f x
dv f x dx
=
1 12
2
f
Đặt
1 0
2
u x
v f x
dv f x dx
=
f f x dx f x dx f
2 12 5
2
− +
= = Chọn D
Câu 32: Ta có e f x( )′=e f x( ).f x′( )
Đặt
( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 ( )
0
=
( ) 3 ln3
8 3e f 3e I 9 I I 1
Câu 33: Giả sử F t( )=∫cos tdt⇒F t′( )=cos t
0
x
G x = ∫cos tdt F x= −F ⇒G x′ =F x ′ = x F x′
Trang 192 x cos x 2xcos x
Câu 34: Đặt t= x ⇔ = ⇔t2 x dx=2tdt và 0 1
= → =
= → =
Do đó 2 ( )
0
2
I =∫ t f t dt′ Đặt u t dv f t dt( ) du dt v f t( )
( )2 2 ( ) ( ) 2 ( )
0
b a
b f b a f a′ ′ f x b a f b f a a b u v
P
+
Câu 36: Ta có ( )
( )
( ) ( ) ( )
f x
dv f x dx v f x
′
′
=
1
I =∫ f x′ f x dx f x = f x −∫ f x dx′
( )2 ln ( )2 ( )1 ln 1( ) ( )2 ( )1 ( )2 ln ( )2 ( )2 1
Mà I = →1 f ( )2 lnf ( )2 − f ( )2 = ⇔0 f ( )2 =e Chọn C
3 2
3
du f x dx
u f x
x
dv x dx v
′
=
x f x dx= f x − f x dx′
x
Ta chọn k sao cho: 2 ( ) 3 2 2 ( ) 2 2 ( ) 3 22 6
1
3 0
0
x
Trang 20Câu 38: Đặt ( ) ( )
4 3
4
du f x dx
u f x
x
dv x dx v
′
=
4
81 3
Ta có: 3 ( ) 4 2 3 ( ) 2 3 ( ) 4 23 8
2
0
x
Chọn B
2
2
du f x dx
u f x
x
dv xdx v
′
=
=
1
2
1
f x f x dx′ x f x dx′
Ta chọn k sao cho: 1 ( ) 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 21 4
1
0
0
1 1
x
f = ⇒ = ⇒C f x = + ⇒∫ f x dx= Chọn B
3 2
3
du f x dx
u f x
x
dv x dx v
′
=
x
Ta chọn k sao cho: 2 ( ) 3 2 2 ( ) 2 2 ( ) 3 22 6
1
3 0
0
x
f = ⇒ = ⇒C f x = + ⇒∫ f x dx= Chọn C