Chuyên đề trắc nghiệm mặt cầu, hình cầu và khối cầu

Ví dụ 8: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất A... Dạng 6: Hình chóp bất kì bài toán Tổng quát –[r]

CHỦ ĐỀ 10 MẶT CẦU - HÌNH CẦU - KHỐI CẦU

Định lí: Cho điểm cố định A, B Tập hợp các điểm M trong không gian sao

cho AMB =900 là mặt cầu đường kính AB

• A S O R∈ ( ; )⇔OA R=

• OA R1< ⇔A1 nằm trong mặt cầu

• OA2 > ⇔R A2 nằm ngoài mặt cầu

3 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện ( )H được gọi

là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ( )H và khi đó ( )H được gọi là nội tiếp

mặt cầu đó

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó

là một đa giác nội tiếp một đường tròn

Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp

4 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

a Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với với tất các mặt của hình chóp

b Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp

5 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S O R và mặt phẳng ( ; ) ( )P , gọi d là khoảng cách từ O đến ( )P và H là hình chiếu vuông góc của O trên ( )P Khi đó

• Nếu d R< thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S O R theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt ( ; )phẳng ( )P có tâm là H và có bán kính r = R d2− 2

Khi d = thì mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao 0

tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là dường tròn có tâm O và bán kính R, đường tròn đó gọi là đường

tròn lớn của mặt cầu

• Nếu d R= thì mặt phẳng ( )P và mặt cầu S O R có một điểm chung duy nhất H ( ; )

Khi đó ta nói ( )P tiếp xúc với S O R tại H và ( ; ) ( )P gọi là tiếp diện của mặt cầu, H gọi là tiếp diện

Chú ý Cho H là một điểm thuộc mặt cầu S O R và mặt phẳng ( ; ) ( )P qua H Thế thì ( )P tiếp xúc với ( ; ) ( )

S O R ⇔OH ⊥ P

• Nếu d R> thì mặt phẳng ( )P và mặt cầu S O R không có điểm chung ( ; )

6 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S O R( ; ) và đường thẳng ∆ Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆ và d OH= là

khoảng cách từ O đến ∆ Khi đó:

• Nếu d R< thì ∆ cắt S O R tại hai điểm ( ; ) A B, và H là trung điểm của AB

• Nếu d R= thì ∆ và S O R chỉ có một điểm chung H, trong trường hợp này ( ; ) ∆ được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu S O R hay ( ; ) ∆ tiếp xúc với S O R và H là tiếp điểm ( ; )

• Nếu d R> thì ∆ và S O R không có điểm chung ( ; )

7 Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Gọi R là bán kính của mặt cầu thì

• Diện tích mặt cầu: S=4πR2

• Thể tích khối cầu: 4 2.

3

V = πR

8 Một số công thức tính nhanh bán kính đường tròn ngoại tiếp

Tam giác đều cạnh

32

a

a→ =R

Hình vuông cạnh

22

a

a→ =R Tam giác vuông cạnh huyền

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ MẶT CẦU

 Dạng 1: Những bài toán vận dụng mức cơ bản

Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu có diện tích bằng diện tích xung quanh của hình lập phương cạnh a

R Khi đó thiết diện

tạo bởi mặt phẳng ( )α với S O R là một đường tròn đường kính bằng ( ; )

Gọi H là hình chiếu của O xuống mp( )α Ta có ( ;( ) )

Gọi H là hình chiếu của O lên BC

Ta có OB OC R= = , suy ra H là trung điểm của BC nên 3

Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có d2 =R r2− 2

Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ( )P thì

• H là tâm của đường tròn giao tuyến của ( )P và ( )S

Ví dụ 7: Cho mặt cầu S I R , mặt phẳng ( ; ) ( )P cắt mặt cầu( )S theo giao tuyến là một đường tròn tâm O

Hai điểm A B O, ∈ sao cho tam giác OAB đều, góc giữa hai mặt phẳng (IAB và ) (OAB bằng ) 60 , diện 0

tích tam giác IAB bằng 3

Đặt OA OB x= = Tam giác OAB là tam giác đều

Gọi , ,a b c lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ) ( ) ( )P Q R , ,

Gọi r r r lần lượt là bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu 1 2 3, , ( )S với ( ) ( ) ( )P Q R , ,

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC BC a, = 3,AC=2 a Cạnh bên SA vuông góc với

đáy và SA a= Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 45 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp 0

hình chóp S ABC bằng

Vì SA⊥(ABC) nên (SB ABC;( ))=(AB AB; )=SBA=45 0

Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A→SA AB a= =

AB +BC =a + a = a =AC ⇒ ∆ABC vuông tại B

Do đó AB BC⊥ mà BC SA⊥ ⇔BC⊥(SAB)⇒BC SB⊥

Khi đó, hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tính là 5

AB a= Mặt phẳng ( )α đi qua C và vuông góc với SA,( )α cắt SA SB, lần lượt tại D E, Diện tích mặt

cầu ngoại tiếp khối đa diện ECDAB bằng

Do đó các điểm B D E, , nhìn AC dưới một góc vuông

⇒ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là trung điểm AC

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O BD a, = Hình chiếu vuông góc của S

trên mặt đáy (ABCD) là trung điểm của OC Đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 60 0 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng

Gọi H là trung điểm của ( ),

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2 Cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và SA = Mặt phẳng qua A và vuông góc SC với cắt các cạnh 3 SB SC SD, , lần lượt tại các điểm , , M N P Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện C MNP

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy (ABCD Mặt phẳng ) ( )α qua A và vuông góc với SC, cắt các cạnh SB SC SD, , lần lượt tại các điểm M N P, , Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện C MNP , biết khoảng cách từ A đến mặt

 Dạng 3: Bài toán mặt cầu v ớ i chóp có cạnh bên vuông góc đáy

Xét khối chóp S ABC có SA⊥(ABC) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

 Dựng tâm Dựng trục đường tròn ngoại tiếp d của tam

giác ABC , thì d SA/ /

Trong mặt phẳng (SA d , dựng đường trung trực ; ) ∆ của

SA Tâm I của mặt cầu là giao điểm của d và ∆

 Tính bán kính R của mặt cầu

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆

Gọi E là trung điểm của SA

Xét AOI∆ vuông tại O

Khi đó:

2 2

 Tổng quát: Cho khối chóp S A A A có 1 2 n SA AA A⊥ 1 2 Gọi R d là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa

giác AA A A thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp 1 2 n S A A A được tính theo công thức: 1 2 n

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , , 3 A AB a AC a= = Cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC bằng ) 60 0 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

 Ta có  SB ABC;( )=SBA=600 ⇒SA=tan 60 0 AB a= 3

Tam giác ABC vuông tại A⇒AB2+AC2 =BC2 ⇒BC=2a

 Hình chóp S ABC có chiều cao h a= 3; bán kính

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA= 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng

A 4 3

Lời giải

 Đặt AB x= →BD x= 2 và SB= SA2+AB2 = x2+2a2

Tam giác SBD đều ⇒SB BD= → =x 2= x2+2a2 x a 2

 Hình chóp S ABCD có chiều cao h a= 2; bán kính R day =a

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt

phẳng (SAB một góc ) 30 0 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng

Ta có SA⊥(ABC)⇒(SB ABC;( ))=(SB AB; )=SBA =45 0

Tam giác SAB vuông tại A, có SBA=450 ⇒SA AB a= =

Tam giác ABC vuông tại A, có sinACB AB AC 2 a

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

Góc giữa hai mặt phẳng (SCD và ) (ABCD bằng ) 45 0 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD

Vì CD⊥(SAD)⇒( (SCD) (; ABCD) )=(SD AD; )=SDA=45 0

Tam giác SAD vuông tại A, có  SDA=450 ⇒SA AD x= =

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD là 2

Vì A B C D, , , thuộc ( ) ( )S ⇒ S ngoại tiếp tứ diện ABCD

Tứ diện ABCD có chiều cao h AD= ; đáy là tam giác ABC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OACB ( OA OB OC, , đôi một vuông góc) là

ABC A B C hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ' A ABC

Sử dụng công thức tính nhanh, ta được 2 2 ( )2 ' 2

a

π

D 3 3 3.8

Vậy thể tích khối cầu cần tính là

 Dạng 4: Bài toán về mặt cầu với hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Xét khối chóp S ABC có (SAB) (⊥ ABC) Tìm tâm và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

 Dựng tâm Gọi O O1, 2 lần lượt là tâm của đường tròn

ngoại tiếp các tam giác ABC và SAB, E là trung điểm của

Qua O dựng đường thẳng 1 d vuông góc với 1 (ABC thì ) d là trục của tam giác ABC và 1 d O E 1/ / 2

Qua O dựng đường thẳng 2 d vuông góc với 2 (SAB thì ) d là trục của tam giác SAB và 2 d2 / /O E 1

Tâm I của mặt cầu là giao điểm của d và 1 d 2

 Tính bán kính R của mặt cầu

Tứ giác EO IO là hình chữ nhật, suy ra 1 2 2 2 2

IE =O E O E+ Gọi R R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, SAB 1, 2

 Tổng quát: Cho khối chóp S A A A có 1 2 n (SA A1 2) (⊥ A A A1 2 n) Đặt R là bán kính đường tròn ngoại 1

tiếp tam giác S A A 1 2, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy 2 A A A và 1 2 n A A GT1 2 = (gọi là giao tuyến) thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp S A A A được tính theo công thức: 1 2 n

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có SA a= , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng

Gọi H là trung điểm AB⇒SH AB⊥ ⇒SH ⊥(ABC)

Tam giác SAB có  30 ,0 

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 30 0 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng

Gọi H là trung điểm AD⇒SH AD⊥ ⇒SH ⊥(ABCD)

Gọi M là trung điểm BC⇒HM BC⊥ ⇒BC⊥(SHM)

Gọi H là trung điểm CD⇒BH CD⊥ ⇒BH ⊥(ACD)

Mà BA BC BD= = ⇒H là tâm đường tròn ngoại tiếp ACD∆

Chọn C

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB cân và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Góc giữa hai mặt phẳng (SCD và ) (ABCD bằng ) 45 Bán kính mặt cầu ngoại 0

SH AB⊥ mà (SAB) (⊥ ABCD)⇒SH ⊥(ABCD)⇒SH CD⊥

Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy là tam giác đều Tam giác SAB đều và thuộc mặt phẳng vuông

góc với đáy Biết rằng SC=2 3,a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là

Gọi H là trung điểm của AB Khi đó SH ⊥ AB

Mặt khác (SAB) (⊥ ABC) Do vậy SH ⊥(ABC)

 Dạng 5: Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Xét khối chóp S ABC có SA SB SC= = Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

S ABC (Hình chóp đều là một trường hợp đặc biệt của dạng toán này)

 Dựng tâm Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta có SO⊥(ABC) Trong mặt phẳng (SAO dựng đường trung trực của SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ) S ABC

 Tính bán kính R của mặt cầu

Gọi E là trung điểm của AB

Hai tam giác vuông SOA và SEI đồng dạng

 Tổng quát: Cho khối chóp S A A A có 1 2 n S A SA SA 1= 2 n = 

và có chiều cao SO h= thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối

chóp S A A A được tính theo công thức: 1 2 n 2 2

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC→SO⊥(ABC)

Mở rộng với bài toán hình chóp tam giác đều Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a,

với giả thiết

• Cạnh bên SA b= thì 3.2 2 2

2 3

b R

ϕ ϕ

=

−

Tam giác ABC vuông cân tại A→BC AB= 2 2= a

Tam giác SAO vuông cân tại

2

BC

O→SO OA= = =a Vậy SO a SA OA= ; = 2=a 2→ =R a

Ví dụ 4: Cho ba tia Sx Sy Sz, , không đồng phẳng và xSy=120 ;0 ySz=60 ;0 zSx=90 0 Trên các tia , ,

Sx Sy Sz lấy lần lượt các điểm , , A B C sao cho SA SB SC a= = = Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Tam giác SAB có Ab= SA2+SB2−2 cosSA SB ASB a= 3

Tam giác SAC vuông cân tại S→AC SA= 2=a 2

Suy ra AC2+BC2 = AB2→∆ABC vuông tại C

Gọi O là trung điểm của AB→SO⊥(ABC)

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 0

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có AC=2 ,a mặt bên (SBC tạo với mặt đáy ) (ABCD một góc ) 45 0

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng

Ví dụ 7: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD

bằng 3 a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng

Gọi O là tâm hình vuông ABCD→SO⊥(ABCD)

Gọi M là trung điểm BC; kẻ OH SM H SM⊥ ( ∈ )

Xét mặt cầu ( )S ngoại tiếp hình chóp S ABCD .

Gọi O là tâm hình vuông ABCD→SO⊥(ABCD)

Dạng 6: Hình chóp bất kì (bài toán Tổng quát – Nâng cao)

Công thức tìm nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R= x r2+ 2 với

• r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Vì C là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD nên r BC a= =

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)⇒H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆

Tam giác SHC vuông tại H, có 2 3; 3 2 2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D AB AD a, = = và CD=2 a Cạnh

bên SD vuông góc với đáy, SD a= Gọi E là trung điểm của CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Vì E là trung điểm DC⇒ ∆EBC vuông tại E

Gọi M là trung điểm của BC

M

⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC

Xét hình chóp S BCE có S là đỉnh, M là tâm đáy, chiều

cao h SD= và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy

⇒ ⊥ Gọi E là trung điểm của MN, dựng

đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao

cho IS IC= ⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

S CMN⇒IS IC IM IN R= = = =

Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d

qua E song song với SA, trên d lấy điểm I sao cho

IS IC= ⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

Gọi H là trung điểm của AD⇒SH AD⊥

⇒ ⊥ Gọi E là trung điểm của MN, dựng

đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I

sao cho IS IC= ⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt

phẳng (ABC là điểm đối xứng của C qua AB và mặt bên ) (SAB) tạo với đáy góc 60 0 Tính bán kính R mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

Gọi H là đối xứng của C qua AB⇒CH AB⊥

O là trung điểm của CH

Gọi E là trọng tâm tam giác ABC, dựng đường thẳng d

qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho

IS IC= ⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

Chọn B

Dạng 7: Bài toán mặt cầu của một số tứ diện đặc biệt

Khi đó MN CD⊥ , tương tự MN AB⊥ suy ra O là tâm mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB CD= =3,AC BD= =5,AD BC= =6 Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ

diện ABCD thuộc khoảng nào dưới đây?

V = πR = π   = π

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB CD x AC BD y AD BC= = , = = , = =2 3 Bán kính khối cầu ngoại tiếp

tứ diện ABCD bằng 2 Giá trị lớn nhất của xy bằng

 Mẫu 2: Cho tứ diện ABCD có

AB x CD y AD BC AC BD z= = = = = = Tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và CD ta có:

∆ = ∆ ⇒ = suy ra NM là trung trực của AB,

tương tự MN là trung trực của DC

Khi đó I MN∈ sao cho ID IA=

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB=4 ;a CD=6 ,a các cạnh còn lại đều bằng a 22 Tính diện tích mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD