Chuyên đề trắc nghiệm mặt nón, hình nón và khối nón

Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của một hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn Thể tích của khối nón là giới hạn của th[r]

 S gọi là đỉnh của hình nón

 Đường tròn (C) gọi là đường tròn đáy của hình nón

 Với mỗi điểm M nằm trên đường tròn (C), đoạn thẳng SM gọi là đường sinh của hình nón

 Đoạn thẳng SI gọi là trục của hình nón (đó chính là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy)

 Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài của nó Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón

III KHÁI NIỆM VỀ DIỆN TÍCH HÌNH NÓN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NÓN

Một hình chóp gọi là nội tiếp hình nón nếu:

- Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón

2 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón

Diện tích xung quanh: S xq =πRl

4 Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy

Tam giác SAO vuông tại A, có SA2 =SO2+OA2

Do đó l2 =h2+R2 (tham khảo hình vẽ bên)

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HÌNH NÓN VỚI MỘT MẶT PHẲNG QUA ĐỈNH CỦA NÓ

Cho một hình nón (N) và một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S của hình nón

Có ba vị trí tương đối giữa (P) và (N)

 (P) và (N) có một điểm chung duy nhất

 (P) và (N) có chung một đường sinh duy nhất Khi đó (P) tiếp xúc với (N) và (P) gọi là tiếp diện của (N)

 (P) và (N) có chung hai đường sinh (Hình 1) Nếu (P) chứa trục của hình nón thì thiết diện của (P) và hình nón gọi là thiết diện qua trục (Hình 2)

 Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB = 2R

B CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 Bài toán liên quan đến công thức diện tích, thể tích

Ví dụ 1: Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R = 3, chiều cao h = 4 bằng

Lời giải

Độ dài đường sinh l= R2+h2 = 32+42 =5

Vậy diện tích xung quanh hình nón là S xq =πRl=15π Chọn C

Ví dụ 2: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 4, diện tích xung quanh bằng 20π Thể tích khối nón đã

420

4

l

R Rl

R S

13

=

R l h l

R Rl

R R

Chọn B

Ví dụ 5: Trong không gian, cho tam giác AC vuông tại A, AB = a và AC = a 3 Độ dài đường sinh l của

hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng

Ví dụ 6: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, góc ABC = 60°, BC = 4a Thể tích khối nón

nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC bằng

Tam giác ABC vuông tại A, có sin ˆ AC 2a 3

BC

AC C B

Ví dụ 7: Trong không gian, cho tam giác ABC đều cạnh 2a Gọi H là trung điểm của BC Thể tích của khối

nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH bằng

R

V = π = π

Chọn C

Ví dụ 8: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3a, BC = 5a Thể tích khối tròn xoay

nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục BC bằng

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC

Tam giác ABC vuông tại A, có AC= BC2−AB2 =4a

124

13

11

1

1

2 2

2 2

2

a AH a

a AC

Ví dụ 9: Trong không gian, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a Thể tích khối

tròn xoay nhận được khi quay hình thang ABCD xung quanh trục AD bằng

Quay hình thang ABCD quanh trục AD, ta được khối nón cụt có hai bán kính đáy lần lượt là

CD R

Chọn A

Ví dụ 10: Trong không gian, cho hình thang ABCD có AB//CD và AB = AD = BC =a, CD = 2a Thể tích

khối tròn xoay nhận được khi quay hình thang ABCD xung quanh trục AB bằng

DA DN

Ví dụ 11: Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miêng tôn hình tròn với bán kính 60

cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miệng tôn đó để được ba cái phễu hình nón Thể tích của mỗi cái phễu bằng

Khi quấn hình quạt để tạo thành một hình nón, ta được

 Đường sinh hình nón bằng bán kính hình quạt l=R=60cm

 Chu vi đáy hình nón bằng độ dài cung hình quạt 2 60 20

Do đó, chiều cao của hình nón là h= l2−r2 = 602−202 =40 2cm

Vậy thể tích của mỗi cái phễu là

3

2

163

216002

40.20.3

13

Gọi K là trung điểm của BC Người ta dùng compa có tâm là A và bán kính AK vạch ra cung tròn MN (M,

N theo thứ tự thuộc cạnh AB và AC) rồi cắt miếng tôn theo cung tròn đó Lấy phần hình quạt người ta gò sao cho cạnh AM và AN' trùng nhau thành một cái phếu hình nón không đáy với đỉnh A Tính thể tích V của cái phễu

Ví dụ 13: Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4 dm, người ta cắt ra hình quạt tâm A bán kính AB = AD =

4 dm (xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó AB trùng với AD) Chiều cao của chiếc phễu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là

Lời giải

Chu vi của đáy hình nón có độ dài bằng cung BD

P , người ta gò tấm kim loại đó thành những chiếc phễu hình nón theo hai cách:

Cách 1: Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu

Cách 2: Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu

Gọi V1 là thể tích của cái phễu ở cách 1, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2 Tính tỉ số

2

1

V V

1 =

V V

Quy ra

160

133

2102

1332

V

V

Chọn D

Ví dụ 15: Một cái phễu có dạng hình nón Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của

lượng nước trong phễu bằng

Gọi bán kính đáy của phễu là R, chiều cao của phễu là h = l5 em

Vì chiều cao nước trong phễu ban đầu bằng h

3

1

Suy ra bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là R

31

1 2 2

27

53

.33

1,53

13027

R V

V

Gọi h’ và r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước

3 3

3 3

3

27

2615

''' = ⇒ = = h = →h =

h

h V

phễu hình nón Khi đó bạn Hùng phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể) Gọi x là góc ở tâm hình quạt dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?

22.4

2

.2

3 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

R R R

l R R R

3

227

3

R = − ⇔ = ⇔ = (1)

Hình nón nhận được là có đường sinh l = OA, chu vi đáy là độ dài cung AB

Vì x AOB=⇒độ dài cung

l

R x lx R lx

x OA

2.2

Ví dụ 17: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, kí hiệu A là đường thắng vuông góc với AB tại B

Trên nửa đường tròn lấy điểm E di động, tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E và cắt tia đối của tia AB tại D

và cắt ∆ tại C (như hình vẽ dưới) Khi quay tam giác BCD quanh trục AB ta được khối tròn xoay có thể tích nhỏ nhất là ?

tan 3

22tan 3

.3

3

2

4 3 2

Dạng 2 Bài toán về thiết diện qua đỉnh nón

Ví dụ 1: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác có cạnh huyền bằng

a

6

63

a

2

63

a

V =π

Lời giải

Thiệt diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB = 2R

Theo bài ra, ta có SA2+SB2 = AB2 ⇔2l2 =4R2 ⇔l =R 2

2 2

Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB =2R

2

2 2

a l a l SA S

Ví dụ 3: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a Thể tích

của khối nón đã cho là

a

24

33

a

12

33

a AB

R= =

Vậy thể tích cần tính là

24

32

3.2

.33

Theo bài ra, tacó AB=2 =R 18 và SAO 30= o

Tam giác SAO vuông tại O, có SO OA.tanSAO 9.tan 30= = o =3 3

Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB

Suy ra diện tích cần tính là 3 3.18 27 3 2

2

1

52

55

2

55

22.21

1022

2

2 R l R

R l

R h

R l R

13

Vì góc ở đỉnh bằng o R l SA OA R

3

3

23

323

2

Gọi H là trung điểm của AB⇒OH ⊥ AB mà SO ⊥ OH

Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của AB và SO => OH =3

Tam giác OAH vuông tại H, có AH = OA2 −OH2 = R2−9

Tam giác SAB vuông tại S, có SA2+SB2 = AB2

3

49

43

Ví dụ 7: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R Dựng hai đường sinh SA và SB, biết

AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60°, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng

Theo giả thiết, ta có tam giác OAB đều cạnh R

Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE ⊥ ABvà

Tam giác SEO vuông tại O, có

4

63

81

1

1

2 2 2

2

R SO R

OE OH

Chọn B

Ví dụ 8: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác

SAB vuông và có diện tích bằng 4a2 Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30o Đường cao

Theo giả thiết, ta có tam giác SAB vuông cân tại S

Gọi E là trung điểm AB, suy ra

AB SE

14

.2

OE AB

Từ đó suy ra OH⊥(SAB)⇒( SO; SAB( ) )=OSH 30= o

Tam giác SEO vuông tại O, có SO SE.cosOSE a 3=  =

Chọn D

Ví dụ 9: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao

cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO 30 ,SAB 60= o  = o Độ dài đường sinh l của hình nón bằng

Lời giải

Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI ⊥AB,SI ⊥ AB và OI = a

Tam giác SAO vuông tại O, có OA SA.cosSAO SA 3

4

14

3SA2 =a2+ SA2 ⇔SA2 = a2⇒SA=a

⇔

Vậy độ dài đường sinh cần tìm là l = a 2 Chọn C

Ví dụ 10: Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60° Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy

một cung có số đo 90° Diện tích của thiết diện là

R

Lời giải

Vì góc ở đỉnh là 60o nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R ⇒ Đường cao của hình nón là

AB IM

2

1AB SM R2

S∆SAB = = Chọn A

Dạng 3 Hình nón nội — ngoại tiếp khối chóp đều

Hình nón nội tiếp hình chóp tam

giác đều

 Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp

 Bán kính đáy OE là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đáy

 Đường sinh l = SE

Hình nón ngoại tiếp hình chóp

tam giác đều

 Chiều cao SO là chiều cao của hình chóp

 Bán kính đáy OA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy

 Đường sinh l = SA

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒AO ⊥(BCD)

Dễ thấy, bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BCD là

Tam giác ABO vuông tại O, có

3

62

h= =

Vậy thể tích cần tính là

27

63

6.3

3.3

13

R = ; đường sinh l 4= a(xem mô hình ở lý thuyết)

Vậy diện tích xung quanh cần tính là 4 2 2 2

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = AB = a Thể tích khối nón đỉnh S và có đường tròn

đáy nội tiếp tam giác ABC bằng

R= ∆ABC = =

Tam giác SAO vuông tại O, có

3

62

6.6

3.33

a

4

73

a

2

73

a AB OM

Tam giác SMO vuông tại M, có

2

732

3.2

.33

Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Theo bài ra, đáy hình nón là đường tròn ngoại tiếp ABCD

22

AC OA R

⇒

Diện tích xung quanh hình nón là S xq =πRl =2πa2⇒l=2a

Hình nón (N) có đường sinh l =SA=2a

Tam giác SAO vuông tại O, có SO= SA2−OA2 =a 3

3

322.3

3

Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và

(ABC) bằng 60o Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC⇒SO⊥(ABC)

Bán kính đáy hình nón là

3

3

a OA R

R= ∆ABC = =

Gọi M là trung điểm AB AB (SMO)

SO AB

OM AB

SM

OM O M

Tam giác SBM vuông tại M, có

6

212

a

l = → sq =π = π

Chọn A

Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = BC = 10a, AC = 12a, góc tạo bởi hai mặt phẳng

(SAB) và (ABC) bằng 45o Thể tích khối nón đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC bằng

A 3 aπ 3 B 9 aπ 3 C 27 aπ 3 D 12 aπ 3

Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC SO ⊥(ABC)

Kẻ OM ⊥AB⇒OM là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC

Diện tích ∆ABC là S∆ABC = p(p−a)(p−b)(p−c)=48a2

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp a

p

S r

Ta có AB⊥(SMO)⇒( (SAB ; ABC) ( ) )=SMO 45= o

Tam giác SMO vuông tại O, có SO=OM =r∆ABC =3a

Vậy thể tích khôi nón cần tính là 2 ( )3 2.3 9 3

33

Chọn B

Ví dụ 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC đến một mặt bên là

Gọi M là trung điểm BC ⇒BC⊥AM ⇒BC⊥(SAM)

Kẻ OH ⊥ SM mà BC⊥OH ⇒OH ⊥(ABC)

Tacó

3

32

.2

3.3

12

3.3

13

OM SO

OH2 = 2 + 2 ⇒ =

11

32.33

Dạng 4 Hình nón nội - ngoại tiếp hình trụ, hình cầu

Hình nón ngoại tiếp hình cầu

Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp đường tròn

Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón

SI h IB r

~

r h

R

h r

R SB

SO IB

OE SIB

Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn

Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón

Ta có x2+r2 =R2 mà x=h−R⇒(h−R)2+r2 =R2

Vậy mối liên hệ cần tìm là R= h22h+r2 = +h r2 2h2

Hình nón ngoại tiếp hình trụ

Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp hình chữ nhật, cụ thể là tam giác

SAB (thiết diện qua trục hình nón) và hình chữ nhật MNPO (thiết diện qua trục hình trụ)

Bài toán: Gọi R, h, R’, H’ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình nón; bán kính đáy và chiều cao hình

IN

R SI

h AI

AN SI

MN ASI

AMN ~∆ ⇒ = ⇒ '= − '

∆

Vậy mối liên hệ cần tìm là h ' R R 'h = −R

Ví dụ 1: Cho hình cầu bán kính bằng 5 cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo

thành là một đường tròn đường kính 4 cm Tính thể tích khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm của hình cầu đã cho

A ≈19 cm,18 3 B ≈19 cm,20 3 C ≈19 cm,21 3 D ≈19 cm,19 3

Lời giải

Theo bài ra, ta có R = 5 cm, r = 2 cm

Chiều cao của khối nón là h= R2−r2 = 21cm

Vậy thể tích khối nón là 2 19,20 3

3

21

43

Chọn B

Ví dụ 2: Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R (không đổi) Mặt phẳng (P) cách O một khoảng bằng x, (x< R)

và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H Gọi T là giao điểm của tia HO với (S) Thể tích của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn (C) bằng

Ví dụ 3: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8 Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với

tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón Tìm bán kính của mặt cầu

đó

Lời giải

Bài toán: Hình nón ngoại tiếp hình cầu R rh2 2 6.82 2 3

Chọn D

Ví dụ 4: Cho khối cầu tâm O, bán kính R =2 Mặt phẳng (P) cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một

hình tròn (C) Một khối nón (N) có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C) Biết khối nón (N) có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng

22.6

.22

6

3

x R x R x R x

R x R x R

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

3

232

2R− x=R+x⇔x= R =

Chọn A

Ví dụ 5: Cho hình nón tròn xoay (N) có đỉnh là S, có đáy là đường tròn tâm O bán kính R Đường cao SO =

h Tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho ?

h R x R

Ta có: ( )

3 3

4 R3 R2h

R

h

V ≤π = π Dấu = xảy ra khi

33

2''2

R = − ⇒ = ⇒ =

Chọn A

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Một khối nón tròn xoay có chiều cao h = 4, bán kính đáy r = 5 Tính thể tích của khối nón

A

3

325π

Câu 2: Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón (N) Diện tích xung

5

5cot =ϕ

Câu 7: Cho hình nón có bán kính đáy là 6a, chiều cao là 8a Tính diện tích xung quanh của hình nón

Câu 11: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a π và bán kính đáy bằng a Tính độ dài đường sinh l 2của hình nón đã cho

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại C, BC = a, AC = b Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay

tam giác ABC quanh AC

Câu 15: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A với AC = 3a, AB = 4a Tính theo a diện tích

xung quanh S của hình nón khi quay tam giác ABC quanh trục AC

A S = 30a2π B S = 40a2π C S = 20a2π D S = 15a2π

Câu 16: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, đường cao AH Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành khi

quay hình tam giác ABC quanh AH

3

33

a

6

33

a

4

33

a

π

Câu 17: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5 Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay tam

giác ABC quanh cạnh AC

6

33

Câu 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = 3cm Cho tam giác ABC quay quanh trục AB ta

nhận được khối tròn xoay (T) Tính thể tích của (T)

A 18 cmπ( )3 B 9 cmπ( )3 C 27 cmπ( )3 D 3 cmπ( )3

Câu 22: Gọi S là diện tích hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thắng AC’ của hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay quanh trục CC’ Diện tích xung quanh S là

Câu 23: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy là 6 cm và diện tích hình tròn đáy bằng diện tích xung

quanh của hình nón Tính thể tích V của khối nón đã cho

A V =48 cmπ( )3 B V =64 cmπ( )3 C V =96 cmπ( )3 D V = 288 cm( )3

Câu 24: Một khối nón có thể tích bằng 25 cmπ 3, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng

A 100 cmπ 3 B 150 cmπ 3 C 200 cmπ 3 D 50 cmπ 3

Câu 25: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 150o Trên đường tròn đáy lấy điểm

A cố định Có bao nhiêu vị trí của điểm M trên đường tròn đáy của hình nón để diện tích tam giác SMA đạt giá trị lớn nhất?

Câu 26: Cho hình thang ABCD (AB//CD) vuông tại A có AB = 8, CD = 5 và BC = 5 Tính thể tích V của

hình tròn xoay tạo thành khi quay đường gấp khúc ADC quanh trục AB