Chuyên đề trắc nghiệm vị trí tương đối, góc và khoảng cách

Câu 54:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng P song song và cách đều hai đường thẳng d1 :... Thể tích khối lập phương đó là?[r]

CHỦ ĐỀ 14: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI, GÓC, KHOẢNG CÁCH

Ngược lại vectơ pháp tuyến n( )Q của mặt phẳng (Q) cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

− do không tồn tại giá trị của tham số m

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :3P x+3y z− + =1 0 và hai mặt phẳng ( ) : (Q m−1)x y m+ −( −2)z+ =5 0 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai mặt phẳng ( ),( )P Q vuông góc với nhau

2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc x x o y y o z z o ,

= = phương trình tham số

∆ = = Tìm tất cả các giá trị của tham số m để cho mặt phẳng

( ) :10P x+2y mz+ + =11 0 vuông góc với đường thẳng ∆

A d cắt và không vuông góc với (P) B d vuông góc với (P)

C d song song với (P) D d nằm trong (P)

Lời giải

Đáp án: Chọn A

Ta có u n = + − ≠ d ( )P 3 9 2 0 mà ud ≠k n.( )P ⇒d

cắt và không vuông góc với (P)

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x−3y z+ − =1 0 và đường thẳng

− Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A d cắt và không vuông góc với (P) B d song song với (P)

C d vuông góc với (P) D d nằm trên (P)

Hơn nữa d qua A(1;0; 1)− mà A P∈( )⇒ ⊂d ( ).P

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

3) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho 2 đường thẳng d (đi qua điểm 1 M và có vecto chỉ phương 1 u1) và đường thẳng d (đi qua điểm 2 M2

và có vecto chỉ phương u2) Khi đó:

Chú ý: Khi giải bài tập, nếu biết phương trình của 2 đường thẳng d và 1 d ta có thể xét vị trí tương đối 2

của chúng bằng cách giải hệ phương trình để tìm giao điểm

- Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì d và 1 d cắt nhau 2

- Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d1/ /d hoặc 2 d và 1 d chéo nhau, lúc đó cần xét thêm vecto 2

chỉ phương của chúng (hai đường thẳng chéo nhau khi 2 vecto chỉ phương của chúng không cùng phương)

- Nếu d1/ /d hoặc 2 d1≡d2 thì vecto chỉ phương u1 của đường thẳng d cũng là vecto chỉ phương của 1

đường thẳng d và ngược lại vecto chỉ phương của 2 u2 của đường thẳng d cũng là vecto chỉ phương của 2

cắt nhau

b) Đường thẳng d qua 1 M1(1;2;0) và có VTCP u =1 (2; 2;1)−

Đường thẳng d qua 2 M2(0; 8;4)− và có VTCP u = −2 ( 2;3;1)

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2 3 4

d và d song song hoặc trùng nhau 2

Mà điểm A(0;1;2)∈d2, thay đổi tọa độ điểm A vào d thì 1 A d∈ 1 nên d d1≡ 2

Cho 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương 1 u1 =(a ; ; )1 b c1 2

và đường thẳng d có vecto chỉ phương 2

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng ( ) :P mx+2y mz+ −12 0= và ( ) :Q x my z+ + + =3 0 Có bao nhiêu giá trị của

m sao cho góc giữa hai mặt phẳng ( )P và (Q) bằng 45o

Suy ra có 4 giá trị của m

Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng ( ) : 4P x my mz+ + + =1 0 và ( ) :Q x y− − =3 0 Có bao nhiêu giá trị của m sao

cho góc giữa hai mặt phẳng ( )P và (Q) bằng 60o

Ví dụ 9: Cho hai đường thẳng 1

3) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Công thức khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 1 ∆ (đi qua điểm M o và có vecto chỉ phương u) là

Ngoài ra ta còn có thể tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng 1 ∆ và khi đó d M( 1;∆ =) M H1

4) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d (đi qua điểm 1 M và có vecto chỉ phương 1 u1)

và đường thẳng d2 (đi qua điểm M2 và có vecto chỉ phương u2) là:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với 2 d Khi đó (P) xác định, đi qua điểm 1 M và có một vecto 2

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC) là:

3.0 6.0 2.0 6 6:

d d

b) Ta có: (3;3;1)A ∈ ⇒d AM( 2; 3; 1); (1;2;1)− − − ud ⇒ AM u; d= −( 1;1; 1)−

26

d d

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với 1 d ta có: 2 n( )P =u u 1; 2=(6;0; 9) 3(2;0; 3)− = −

Do đó ( ; ) ; 4 16 64 14.

6

d d

d − = = + Tọa độ điểm A thuộc

Ox sao cho A cách đều d và (P) là

AM u t

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

Câu 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 1

A d song song với (P) B d chứa trong (P)

C d vuông góc với (P) D d cắt (P) và không vuông góc với (P)

Câu 2:Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :3 2 P x− y− =5 0 và đường thẳng : 2 1 1

d + = − = +Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A.n = (4;6;2) là một vecto chỉ phương của d B (P) cắt cả ba trục tọa độ

A d trùng d’ B d cắt d’ C d và d chéo nhau D d song song với d’

Câu 4:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giá trị của m để hai mặt phẳng ( ) : 7α x−3y mz+ − =3 0 và ( ) :β x−3y+4 5 0z+ = vuông góc với nhau là

Câu 8:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ) : 2 1

d + = − = nằm trên mặt phẳng ( ) :P mx ny+ +3 5 0z+ = (m, n là các tham số) Khi đó giá trị của n là

A Chéo nhau B Trùng nhau C Cắt nhau D Song song nhau

Câu 10:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,, cho mặt phẳng ( ) : 2 P x z+ + =1 0.Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

( ) :P x+3y z+ + =1 0 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.(d) cắt và không vuông góc với (P) B.(d) nằm trong (P)

C.(d) vuông góc với (P) D.(d) song song (P)

Câu 14:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :α x+2y+3 6 0z− = và đường thẳng

Câu 15:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

( ) :P x+2y z− + =3 0 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.d song song với (P) B.d vuông góc với (P)

C.d và 1 d chéo nhau 2 D.d và 1 d song song với nhau 2

Câu 17:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 5 1

d − = = +

− và mặt phẳng ( ) :P x−3y z− + =6 0 Khẳng định nào sau đây đúng?

A.d cắt và không vuông góc với (P) B.d song song với (P)

Câu 18:Cho 2 đường thẳng : 1 3 7

của hai đường thẳng d và d’

A.d và d’ cắt nhau B.d và d’ chéo nhau C.d song song với d’ D.d vuông góc với d’

Câu 19:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường thẳng d’

A.d song song với d’ B.d trùng d’ C.d cắt d’ D.d và d’ chéo nhau

Câu 20:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ( ) :1 1 1 ,

− − Vị trí tương đối của ( )∆1 và ( )∆2 là

Câu 21:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng: : 4

A.d cắt và vuông góc với (P) B.d vuông góc với (P)

C.d song song với (P) D.d nằm trong (P)

Câu 23:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình là

Câu 25:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : (α m2−1)x+2y mz m− + − =1 0 Xác định

m biết ( )α song song với Ox

A.d ⊥ α ( ) B.d ⊂ α ( )

C.d cắt và không vuông góc với ( ).α D / /( ).d α

Câu 27:Cho 4 điểm (1; 3;2), (2; 3;1), C(3;2;1), D(1;2;3).A − B − Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB, song song với đường thẳng CD Vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến (P)?

A.n = −1 (1; 1;1) B.n =2 (1;1; 1).−

C.n =3 (1;1;1) D.n =4 (5; 1;5).−

Câu 28:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm (2;6; 3) I − và các mặt phẳng ( ) :α x− =2 0,( ) :β y− =6 0, ( ) :γ z+ =3 0 Khẳng định nào sau đây là sai?

C ( )γ song song với Oz D ( )β song song với (Oxz)

Câu 29:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm ( ;0; ), (0; ; ), ( ; ;0). A a a B a a C a a Mặt phẳng

(ABC) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P Tính thể tích khối tứ diện OMNP

Câu 32:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :3 P x+4y+5 8 0z+ = và đường thẳng d là

giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) :α x−2y+ =1 0 và ( ) : x 2 3 0.β − z− = Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) Tính ϕ

Câu 36:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét giao tuyến d của hai mặt phẳng có phương trình theo thứ

tự là 2x y z− + + =1 0, x y z+ − − =2 0 Tìm số đo độ của góc α giữa d và Oz

A.α =0 o B.α =30 o C.α =45 o D.α =60 o

Câu 37:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tất cả các giá trị thực của tham số m để hai mặt

phẳng ( ) : 2α x my+ +2mz+ =4 0 và ( ) : 6β x y z− − + =3 0 vuông góc với nhau

Câu 46:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :α x ay bz+ + − =1 0 và đường thẳng

1:

Câu 61:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng có phương trình là

3 6x− y+12 3 0z− = và 2x my− +8z+ =2 0, với m là tham số thực Tìm m để mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và khi đó tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)

∆ = = với m là tham số thực khác 0 Tìm m để đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P)

và khi đó tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P)

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Chọn C

d P P

u n

d P n

n

n u u

α

α

αα

d

d P P

u n

d P n

1 0

m

m m

Câu 26: Chọn B

Ta có ud =(2; 1;3),− n( )α =(1;5;1)→u n d ( )α =0

Lại có (1; 1;0) ( )M − ∈ P → Đường thẳng d nằm trong ( )α

d P

d P P

u n u

u n n

(2; 1;2)

d P d

P

u n u

d P

u n n

.( 1;1;1)

u u u

Ta có (Q) nhận n Q =IM =(3;1;0)

là một VTPT

Lại có ( 2;1; 5) cos ( );( )( ) . 1 (( );( )) 60

2

Ox Ox Ox

Oz Oz

Oz

n u Ox

α α α

và đi qua điểm A −(0; 1;1)

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’ có VTPT là: n =u u d; d'= −( 1;2; 1)−

VTCP của đường thẳng ∆1 và ∆2 lần lượt là u =1 (1;2;3) và u = −2 ( 1;1;1)

Đường thẳng ∆1 và ∆2 lần lượt đi qua các điểm A(1;2;3) và B(1;0;1)

Phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và song song với ∆2 có VTPT là: n=u u 1; 2= − −( 1; 4;3)

Do ∆ có VTCP là u = − (1; 1;1) và đi qua điểm (3; 2;0)A −

d ∆ P =d M P = − − =