BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN Z MỞ ĐẦU Biến đổi trong xử lý tín hiệu § Phương pháp phổ biến trong xử lý tín hiệu: biến đổi tín hiệu từ không gian tự nhiên của nó miền
Trang 1Bài giảng môn học
Xử Lý Tín Hiệu Số
Giảng viên: Lã Thế Vinh
Email:
vinhlt@soict.hut.edu.vn
Chú ý: bài giảng có sử dụng các học liệu được từ bài giảng của Giảng
viên Lê Duy Minh, Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên.
Trang 2BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
MỞ ĐẦU
Biến đổi trong xử lý tín hiệu
§ Phương pháp phổ biến trong xử lý tín hiệu: biến đổi tín
hiệu từ không gian tự nhiên của nó (miền thời gian)
sang không gian (miền) khác
§ Ví dụ: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần
số
x(n) = sin 2 f0n m(f) = 1 nếu f = f0, 0 nếu f f0.
§ x(n) = asin 2 f1n + bsin 2 f2n m(f) = a nếu f = f1, b nếu f = f2, 0 còn lại.
Trang 3MỞ ĐẦU
Lựa chọn biến đổi
§ Tín hi u sau khi đệ ược bi n đ i s h i t trong m t vài vùng ế ổ ẽ ộ ụ ộ
c a mi n bi n đ i ủ ề ế ổ thu n ti n cho vi c kh o sát các đ c ậ ệ ệ ả ặ
tr ng.ư
§ Ph i t n t i bi n đ i ngả ồ ạ ế ổ ược có th th c hi n vi c ch nh ể ự ệ ệ ỉ
s a tín hi u trong mi n bi n đ i và thu l i đử ệ ề ế ổ ạ ược tín hi u đã ệ
ch nh s a trong không gian t nhiên (mi n th i gian) c a tín ỉ ử ự ề ờ ủ
hi u.ệ
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Trang 4BIẾN ĐỔI Z
Định nghĩa biến đổi Z hai phía và một phía
Biến đổi Z hai phía
§ Định nghĩa : Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) là chuỗi lũy
thừa của biến số phức z :
§ Miền xác định của hàm X(z) là các giá trị của z để chuỗi trên hội tụ
§ Ký hiệu như sau hay
§ Dãy x(n) được g i là hàm g c, còn ọ ố X(z) được g i là hàm nh ọ ả
Z.
§ Bi n đ i ế ổ Z hai phía thường được g i v n t t là bi n đ i ọ ắ ắ ế ổ Z.
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
n
n
z n x z
) ( )]
( [x n z
Trang 5BIẾN ĐỔI Z
Định nghĩa biến đổi Z hai phía và một phía
Biến đổi Z hai phía
Hãy xác định biến đổi Z hai phía của các dãy sau :
a xác định với mọi z
b xác định với mọi z khác 0
c xác định với mọi z khác vô cùng
d
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
)
(n (n k) (n k) x(n) {3 , 2 , 5 , 1}
)
(n
n
n
z n n
ZT[ ( )] ( ) 1
k n
z n
n
ZT[ ( k)] ( k).
k n
n z z
n n
ZT[ ( k)] ( k).
2 1
1 2
1
.
).
( ).
( )
n
n n
n
X
Trang 6BIẾN ĐỔI Z
Định nghĩa biến đổi Z hai phía và một phía
Biến đổi Z hai phía
e
f
g
h
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
) (
) (
).
( )]
(
[
1 1
1
1
z z
z z
n u n
u
ZT
n
n n
) (
) (
).
( )]
(
[
1
1 1
3
0
) 3 (
z z
z z
z n
u n
u
ZT
m
m n
n n
n
) (
) (
).
( )]
(
[
1 1
3 3
4 3
0
) 3 (
z z
z z
z z
z n
u n
u
ZT
m
m n
n n
n
) (
).
( ).
( ).
( )]
(
[
1
1
0 0
0
z
z z
m u z
n u z
n u n
u
ZT
m
m m
m n
n n
Trang 7BIẾN ĐỔI Z
Định nghĩa biến đổi Z hai phía và một phía
Biến đổi Z một phía
§ Định nghĩa : Biến đổi Z một phía của dãy x(n) là chuỗi lũy
thừa của biến số phức z :
§ Miền xác định của hàm X1(z) là các giá trị của z để chuỗi trên hội tụ
§ Ký hiệu như sau hay
§ Dãy x(n) được g i là hàm g c, còn ọ ố X1(z) được g i là hàm nh ọ ả
Z.
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
0
1( ) ( )
n
n
z n x z
X
) ( )]
(
1 x n z
Trang 8BIẾN ĐỔI Z
Định nghĩa biến đổi Z hai phía và một phía
Biến đổi Z một phía
Hãy xác định biến đổi Z một phía của các dãy sau :
a xác định với mọi z
b xác định với mọi z khác 0
c
d
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
)
(n (n k) (n k) x(n) {3 , 2 , 5 , 1}
)
(n
0
1 [ ( )] ( ) 1
n
n
z n n
ZT
k n
z n
n
0
0
0
0 0
n
n n
z n
n
2 1
2 0 0
1 (z) x(n).z x(n).z 2 5 z z
n
n n
n
X
Trang 9BIẾN ĐỔI Z
Định nghĩa biến đổi Z hai phía và một phía
Biến đổi Z hai phía
e
f
g
h
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
1
z >
1 1
1
1 0
0
1 [ ( )] ( ).
z
z z
z z
n u n
u
ZT
n
n n
n
) 1
1 1
3
3
(
).
( )]
(
0
3 3
0
1
z z z
z z
z z
z n
u n
u
ZT
m
m n
n n
n
1
3
3
0 0
1[ ( )] ( )
z
z z
z n
u n
u
ZT
n
n n
n
0
0
0 0
1[ ( )] ( )
n
n n
z n u
n u
ZT
Trang 10BIẾN ĐỔI Z
Định nghĩa biến đổi Z hai phía và một phía
So sánh biến đổi Z một phía và hai phía
§ Với biến đổi Z một phía tổng theo n chỉ chạy từ 0 đến ∞
§ Biến đổi Z một phía không biểu diễn được tín hiệu x(n) với
miền biến số độc lập âm
§ Biến đổi Z một phía và hai phái của tín hiệu nhân quả là
như nhau
§ Đối với tín hiệu nhân quả, biến đổi Z một phía là duy nhất
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Trang 11BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
r=1 0
0
Im[Z]
Re[Z]
Im[Z]
Re[Z]
Định nghĩa biến đổi Z hai phía và
một phía
Mặt phẳng Z
Trang 12BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Sự tồn tại của biến đổi Z
Miền hội tụ của biến đổi Z
§ Tập hợp tất cả các giá trị của biến số phức z mà tại đó
các chuỗi X(Z) hội tụ được gọi là miền hội tụ của biến đổi
Z
§ Miền hội tụ của biến đổi Z được ký hiệu là : RC[X(z)] hoặc RC
§ Xét trường hợp x(n) là dãy không nhân quả vô hạn xác
định trong khoảng (- , ), biến đổi Z hai phía của x(n)
§ Để tìm miền hội tụ của chuỗi trên cần sử dụng tiêu chuẩn
hội tụ của Cauchy
n
n
z n x z
X ( ) ( )
Trang 13BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Sự tồn tại của biến đổi Z
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy : Xét chuỗi số vô hạn
Nếu thì chuỗi hội tụ khi l < 1 , phân kỳ khi l > 1
Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy xác định miền hội tụ ta tách X(z):
0
)
(
n
n x
l n
x n n
1
) ( lim
) ( )
( ).
( ).
( )
0
1
z z
z n x z
n x
X
n
n n
n
) ( ).
( ).
( )
0 1
n
n n
n
X
0
n
n
z n x z
X
Trang 14BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Sự tồn tại của biến đổi Z
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy :
Sẽ hội tụ nếu thỏa mãn điều kiện :
Nếu tồn tại Rx-:
)
(
2 z
X
1
| ) (
| lim |
| 1
) ( lim
1 1
1
n n
n n
x
n n
R
n x
1
) ( lim
1
|
x
0
n
n
z n x z
X
Trang 15BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Sự tồn tại của biến đổi Z
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy :
Với X1(Z) đổi biến đặt m = - n ta có :
Nếu tồn tại Rx+:
) ( ).
( )
0
m
m
X
1
| ) (
| lim
|
| 1
) (
lim
1 1
m m
m m
x
m
1
) ( lim
1
|
|
1
z
x
R
n n
R
1
) (
) ( ).
( ).
( )
0 1
n
n n
n
X
m m
x
m x
) (
lim
1
Trang 16BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Sự tồn tại của biến đổi Z
là giao các miền hội tụ của và
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy :
Nếu thì
Dãy không nhân quả Dãy nhân quả Dãy phản nhân quả
)]
(
x
R RC [X ( z )] : R x | z | R x
Trang 17BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Sự tồn tại của biến đổi Z
Bài tập ví dụ
Trang 18BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Sự tồn tại của biến đổi Z Bài tập ví dụ
Trang 19BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Sự tồn tại của biến đổi Z Bài tập ví dụ
Trang 20BIẾN ĐỔI Z
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
TRÊN MIỀN Z
Sự tồn tại của biến đổi Z Bài tập ví dụ