ĐỘ PHỨC TẠP ĐOÁN NHẬN LỚP SIÊU NGÔN NGỮ CHÍNH QUY SINH BỞI SIÊU SƠ ĐỒ SINH SUY RỘNG PHUNG VAN ON Trưng tâm tín học, Bộ Giao thông Vận tải Abstract.. Trong bài báo này chúng tôi mở rộng
Trang 1ĐỘ PHỨC TẠP ĐOÁN NHẬN LỚP SIÊU NGÔN NGỮ CHÍNH QUY
SINH BỞI SIÊU SƠ ĐỒ SINH SUY RỘNG
PHUNG VAN ON
Trưng tâm tín học, Bộ Giao thông Vận tải
Abstract In [1] we have the following results: for any hyper-generating schema G', the complexity
of a finite automation of L(G) is PL(G) < h(d(G) + 1,|G|) + 1 In this paper we consider the hyper-generating graph with adding a set of infinitive words Mc(t) and we have the result: PL„(G) < h(d(G) + 1,|G) + 1
Tóm tắt Trong [1| chúng tôi đã có kết quả là với mỗi siêu sơ đồ sinh Œ, độ phức tạp ôtômát hữu hạn đoán nhận siêu ngôn ngữ chính qui L(G) sinh béi G 1a PL(G) < h(d(G) + 1, |G]) +1 Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu việc bổ sung tập từ vô hạn Ä⁄¿(£) lên các cung £ của siêu đồ thị sinh Œ và nhận được kết quả: P(L„(G)) < h(d(G) + 1,|G|) + 1
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong [1|, chúng tôi đã nêu khái niệm siêu sơ đồ sinh và đánh giá độ phức tạp đoán nhận siêu ngôn ngữ chính quy sinh bởi siêu sơ đồ sinh
Trong bài báo này chúng tôi mở rộng việc xét tập từ ghi trên các cung của siêu đồ thị sinh có thể là tập các siêu từ Siêu sơ đồ sinh xây dựng trên các siêu đồ thị sinh như vậy gọi
là siêu sơ đồ sinh suy rộng
Kết quả thu nhận được là ước lượng trên của số trạng thái của siêu ôtômát đoán nhận lớp siêu ngôn ngữ chính quy sinh bởi siêu sơ đồ sinh suy rộng
2 CÁC ĐỊNH NGHĨA 2.1 Siêu đồ thị sinh Cho bảng chữ cái hữu hạn 3 = {ai, đa, , a„} Siêu đồ thị sinh trên
bảng chữ cái Đ là một đồ thị định hướng hữu hạn Œ với tập các đỉnh là W, có một đỉnh khởi
đầu 7œ € W, một tập không rỗng các đỉnh kết thúc #@ = {?, 0ạ, , „} C V Trên mỗi cung
£ được ghi một tập các từ hữu hạn hoặc một tập các siêu từ, là một siêu ngôn ngữ chính quy
Ma() nào đó trên 3 Cung £ mà trên đó tập:
1) Me(t) = {e} goi là cưng rỗng
2) Me(t) = {a} voi a € © gọi là cưng cốt yếu Đỉnh mà có cung cốt yếu đi tới gọi là đỉnh cốt yếu
3) Mo() = { tập các từ hữu hạn }, gọi là cưng hữu hạn
4) Me(t) = {tập các từ v6 hạn}, gọi là cưng cuối (hay cưng oô hạn) Từ đỉnh cuối của
cung cuối không có cung nào đi ra
Trang 2Số các đỉnh cốt yếu của siêu đồ thị sinh Œ được ký hiệu bởi |GI
Day httu han (hay v6 han) 7 = wy, t), 0a, Éa, trong đó ¿,¿ —= 1,2, là các đỉnh của
Œ, f¡ là cung đi từ đỉnh w; dén đỉnh w;+, được gọi là đường hữu hạn (hay vô hạn) trong siêu
đồ thị sinh Œ Đường z lập nên tập các từ (hay siêu từ) |z| = ta với a; € ÁMfo(;),
trong đó 7 = 1,2, ; từ (hay siêu từ) [x| được gọi là nhấn của m
Siêu từ œ € »* được gọi là sinh bởi siêu đồ th; sinh G, nếu:
1) Hoặc œ là nhãn của một đường vô hạn z nào đó xuất phát từ đỉnh khởi đầu 7œ và
có lim(x)fn†' z Ú
2) Hoặc œ có dạng z#.Ø, trong đó z là nhãn của một đường hữu hạn xuất phát từ đỉnh
khởi đầu 7¿ đến đỉnh đầu 72)(7) của cung cuối ý nào đó và ở € Me(t)
Tập các siêu từ œ sinh bởi siêu đồ thị sinh Œ, ký hiệu bằng 7„„(G), được gọi là siêu ngôn ngữ sinh bởi siêu đồ thị sinh G
Nhân xét 2.1 Nếu mọi cung £ của Œ mà Mfo(f) = {=} hoặc Mœo() = {a},ac€ © thì đồ thị
sinh Œ là một nguồn
2.2 Phép ¿-thế
Giả sử Ới, Gs là hai siêu đồ thị sinh không có đỉnh chung và # là một cung nào đó của G¡ nối từ đỉnh +; tới œ¿
Ta xây dựng siêu đồ thị sinh Œ từ G, Œs bằng cách cắt bỏ cung £ khỏi Ới; rồi từ đỉnh +¿ ta vẽ một cung rồng tới đỉnh khởi đầu của G¿; từ mỗi đỉnh kết của Gs ta vẽ các cung rồng tới đỉnh +; của G Khi đó ta nói rằng đồ thị sinh Œ được xây dựng bằng cách thế cung £ của Ới bởi đồ thị sinh Ga
Trong quá trình thế, đỉnh khởi đầu của Ớ¡ được lấy làm đỉnh khởi đầu của Œ; các đỉnh kết của Ới và Gs được lấy làm đỉnh kết của Œ thì việc thay cung # trong siêu đồ thị sinh Ớ bởi siêu đồ thị sinh Ga như trên được gọi là phép ¿-thế và được ký hiệu bang G = [GI]*!Ga
Bổ đề 2.1 Giả sử G,GI,Ga, Œ, là các siêu đồ thị sinh từng đôi một không có đỉnh
chung; ty, ta, .,tn la cdc cưng của Œ mà oới mỗi ?, —= 1,2, n, có Mo(t;) = L(G;) hoặc
Me(ti) = Lx(G;) Ta xdy dung d6 thi sinh Œ' bằng cách thế các cung tị của Œ bởi các đồ thi sinh G;, ¿ —= 1,2, n Khi đó ta co:
Lo(G") = Lo(G) va |G"|= |G) +S 2 |G
i=l
2.3 Siêu sơ đồ sinh
Cho một dãy các siêu đồ thị sinh Œ —= (GŒ1,Ga, ,„) trên », trong đó G\, Ga, .,Gn từng đôi một không có đỉnh chung Œ = (GŒ1,Ga, ,Œ„) được gọi là một siêu sơ đồ sinh sưu rộng trên bảng chữ cái > nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:
1) Có ít nhất một cung cuối trong các siêu đồ thi sinh G1, Go, ., Gn
2) Với mỗi cung £ của siêu đồ thị sinh G;,¿ — 1,2, m, một trong các hệ thức sau được thỏa mẫn:
a) M@;() = {e}
b) Äfœ¡() = {a},a €3.
Trang 3c) Me(t) = {tập các từ hữu hạn trên 3`}
đ) Mœ() = CLx(G;),1 < 7 < ¡, trường hợp này cung ¿ được gọi là cưng cuối bù, phụ
thuộc vào đồ thị sinh G;
e) Mai(t A Lx ), trường hợp này cung £ được gọi là cưng cuối giao, phụ thuộc
vào các đồ thị sinh Gi, Gia, ., Gis, trong d6 1 <a, <tg + ig <i
3) Đối với mỗi siêu đồ thị sinh Ớ,Ga, ,„_¡ có một và chỉ một cung trong G, phu thuộc nó
Siêu đồ thị sinh Œ¿ được gọi là phụ thuộc vào siêu đồ thị sinh Œ;, nếu nó chứa một cung nào đó phụ thuộc Œ; hoặc nó phụ thuộc vào siêu đồ thị sinh khác chứa cung phụ thudc G; Nếu siêu sơ đồ sinh Œ chỉ gồm một siêu đồ thị sinh G thì nó được gọi là sơ đồ sinh đơn giản và dùng ngay Ớ; để ký hiệu siêu sơ đồ sinh này
Tập các siêu từ U„(G„) sinh bởi siêu đồ thị sinh Œ„ được gọi là siêu ngôn ngữ sinh bởi siêu sơ đồ sinh Œ và ký hiéu bang Lo(G) : Lx(G) = Lx(Gp)
Hai siêu sơ đồ sinh được gọi là tương đương, nếu chúng cùng sinh một siêu ngôn ngữ
Số đỉnh cốt yếu của Œ (ký hiệu bằng |G|) được lấy bằng tổng số đỉnh cốt yếu của tất
cả các siêu đồ thị sinh trong Œ: |đ| = |G| + |G›| + + |Ga|
2.4 Độ sâu của phép đặt dấu lấy phần bù
Độ sâu của phép đặt dấu lấy phần bù của siêu sơ đồ sinh Œ, ký hiệu bằng đ(GŒ), được
định nghĩa như sau:
1) Giả sử £ là một cung của siêu do thi sinh G; nado đó, ta định nghĩa đại lượng d(t) va d(GŒ;) như sau:
a) Nếu ứ là cung rỗng, cung cốt yếu hoặc cung hữu hạn thì d(t) = 0
b) Nếu ¿ là cung cuối giao phu thudc vao Gj, Giz, ., Gis, trong dé 1 <i, < tg
¿4 <¿ và đ(G¡;)(1 < 7 < s) đã được xác dinh thi d(t) = max(d(G,), d(G¡;,), , d(G¿,
c) Nếu £ là cung cuối bù phụ thuộc vào Œ; và đ(GŒ;) đã xác định thì đ(£) = d(G;
d) d(G;) = max{d(t)}, t € Gj
2) d(G) = d(G,)
2.5 Ot6mat Buchi ({4])
Ôtômát Buchi là bộ Ag = (“,Q,q0,¢, F), trong dé ¥ 1A bang hitu hạn các chữ cái, Q
là tap các trạng thai, go 1a trang thái khởi đầu, ' C @ là tập các trạng thái két thic, ¢ 1a
hàm chuyển, tác động trên các siêu từ, được xác định như sau:
Với siêu từ œ = aiaa C 3”
(4o; œ) = #(qo, aiaa ) —= {4i4 € Q*|q; € (@—1, 4j), 2 —= 1,2, }
Nếu ¿ là hàm chuyển đơn định, thì 4p được gọi là ô(ôêmát Buchi đơn đánh
Siêu từ œ € 2“ là đoán nhận được bởi ôtômát Buchi 4p nếu ton tại một siêu bừ trạng
thai ¢ € @(qo, œ), thỏa mãn limgf1# z# Ú
Tập các siêu từ đoán nhận được bởi ôtômát Buchi Ág được gọi là siêu ngôn ngữ dodn
Trang 4nhận được bởi ôtômát Buchi Ag (hay Buchi đoán nhận), ký hiệu bằng L.(Ap)
Độ phức tạp ôtômát hữu hạn đoán nhận một siêu ngôn ngữ chính quy là số trạng thái tối thiểu của ôtômát Buchi đơn định đoán nhận siêu ngôn ngữ chính quy đó và ký hiệu
bang P(L)
2.6 Ôtômát Muller (|4])
Otomat Muller 1A b6 Ay = (©, Q, 40, ¢, T), trong dé:
1) Hàm chuyển ¢ 14 đơn định, ¿ : Q x 5 — Q*
2) T = {T,, To, ., Te} trong đó 7; € 29,2 — 1,2, ,k
Siéu ttr a € UX 1a đoán nhận được bởi ôtômát Muller 4a; nếu tồn bại một siêu từ trạng
thái q € ¿(qo, œ), thỏa mãn lim q € 7
Siêu ngôn ngữ x„(Ax) = {ola € 3“, limw(go, œ) € 7} gọi là Muller dodn nhén
Định lý Mc Naughton ([4|) Siêu ngôn ngữ L dược đoán nhận bởi ôtômát Buchi nếu va chi néu L la Muller đoán nhân
Kết quả của định lý trên cho thấy, nếu ôtômát Muller don dinh Ajy = (%, Q, 90, ¢, T) đoán nhận siêu ngôn ngữ x„(Azz) thi w—otomat don định 4A1; = (©, Q, 90, ¿28 — T) đoán nhận siêu ngôn ngữ 3“ — E„(Ar), tức là đoán nhận phần bù của L(Ar)
Dinh lý Safra (3|) Nếu siêu ngôn ngữ L dược đoán nhận bởi ôkômát Buchi Áp có số
trạng thái là n thì tốn tại một 6témdt Muller Ayy don dinh uới số trạng thái không vuot qua
2?” doán nhận L
3 CAC KET QUÁ CHÍNH
Dé tién trinh bay, ta ding ky hiéu sau:
Qe
2
`"
h(t,a) =2 — tiền
Định lý 3.1 Với mỗi siêu sơ đồ sinh suy rộng tuỳ Ú Œ, ta luôn xây dựng được một sơ đồ
sinh don gidn GŒ' tương đương oới nó, sao cho |G'| < h(24(G), |G|), trong đó d(G) là độ sâu của phép dat dấu lấy phần bù của siêu sơ đồ sinh Œ, còn |G| là số đỉnh cốt yéu của Œ va
|Œ| là số đỉnh cốt yéu cia G"
Chứng mãnh: 'Ta chứng mình quy nạp theo số các siêu đồ thị sinh trong G
Giả sử n = 1, khi dé G = (G;) là sơ đồ sinh đơn giản nên Œ“ được lấy bang G va d(G) = 0, như vậy |G’| = |G, dong thoi L(G’) = L(G)
Giả sử điều khang định đúng với mọi siêu sơ đồ sinh có số siêu đồ thị sinh nhỏ hơn hoặc bằng ø — 1, ta chứng minh điều khẳng định đúng với n
Gia stt G = (Gi, Go, , Gn), n > 2 va gid str trong G, có p cung cuối giao: g1, ga, - , Gp
và q cung cuối bù: bị, ba, , bạ (trong đó p, g < n)
1) Với mỗi 2(1 < ? < p), ø; là cung cuối giao phụ thuộc vào các đồ thị sinh G¡¡, Œ¡„, Œ¿
Trang 5(im > 2) va Me, (gi) = fa TL (G1)
j=l
Đối với mỗi 7(1 < 7 < m;) :
- Ta lay cdc do thi sinh trong G mà G;; phụ thuộc, kể cả chính nó để lập sơ đồ sinh
tương ứng G1 ij Nhu vay Lx(G1i;) = Lx(Gi)
- Do số đồ thị sinh trong so do sinh G1, nhd hon hoc bang p(p < n) nén théa mãn giả
thiết quy nạp, và ta có thể xây dựng được một sơ đồ sinh đơn giản G1 tương đương với
|GŒ1¿;| < h(24(G1„,),|Gi¿j|), với L<2<pvà 1<7<mị
Từ các sơ đồ sinh đơn gian vita xay dung G4 in? G' vgn G1 ta xây dựng sơ đồ sinh don gidn Wj; 1a giao của chúng
Theo [2| ta có:
«(Wij) = ñ L (G1) = ( La(Giạj) = Ma, (0i)
j=l
[Wil < I] IG | < II (24(G1z,), |Œi¿;|) < lu (2d(G), [G1 4,1) (3.1)
2) Véi moi i(1 < 7 < q), 0; 1A cung cudi bu phu thudc vao d6 thi G; va Mg, (bi) = CLx(G;)
Lấy các đồ thị sinh trong Œ mà Œ; phụ thuộc, kể cả chính nó Lập sơ đồ sinh tương tng Go; = (Gi,, Gin, , Ginn) 2 >m; > 1 Nhu vay Lo(Go;) = Lx(G;) Do sé 46 thi sinh trong so do sinh Gy; nhé hon ho&c bang n—1 nén théa man gia thiét quy nạp, và ta có thể
xây dựng được một sơ đồ sinh đơn giản G5, tuong duong: Lx(G4;) = Lx(Gai) = Lx(Gi)
và |Gi„| < h(2d(G»;), |Gail)
Với sơ đồ sinh đơn giản G?„ và theo định lý Safra, ta xây dựng được sơ đồ sinh đơn gian Wo; sao cho:
Lo(W2i) = CLo(G);) = CLoc(G2i) = Ma,, (bi) voi |Wail < hỢ, |Gai|)-
Kết hợp với kết quả trên, ta có: |W2;| < h(2(4(G»;) + 1), |Gail)
Vì b¿ là cung cuối bù phụ thuộc G; nên d(b;) = d(G;) +1 = d(G2;) + 1, dẫn téi d(G2;) = d(b;) — 1 < d(G) — 1 Thay vào biểu thức trên ta được:
3) Thế các sơ đồ sinh đơn giản W¡, Wo; voit = 1 p,7 = 1 g vào đồ thị sinh G,, bang phép œ-thế thay cho các cung cuối tương ứng ø;,b; Khi đó ta nhận được sơ đồ sinh đơn
giản Œ' mà L(Œ') = Lx(GŒ„) = E„(Œ) Theo Bổ đề 2.1 ta có:
|| = [Gn] + $2 [Waal + ` IM5j]:
i=l j=l
Thế các kết quả (3.1) và (3.2) vào biểu thức trên, ta được:
Trang 6Pm g Iớ1 <|Gal+ `] [ 524G), |Gi„jl) + 3 ` h@4(6), |Gai)) (3.3)
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết các sơ đồ sinh hi Odi đều có ft nhất một đỉnh cốt yếu (vì trong trường hợp ngược lai, cdc tap từ tương ứng của chúng
Me, (9:3); Ma, (b;) sé 1a tap rong hoac chi gom một từ trống, khi đó ta có thể đơn giản sơ
đồ sinh G bằng cách bỏ đi các cung tương ứng hoặc thay chúng bằng các cung rỗng) Khi
đó ta có:
|Giz; > 1= 1 p,7 = 1 m); |Gz;| > 1 = 1 4) (3.4) Trường hợp trong Œ có ít nhất một cung bù, khi đó đ(GŒ) > 1 nên từ (3.4) ba có:
3`] [5@a(G).lGi¿;Ð < h(24(),3 2 J] 1G: ¿j))-
Tương tự ta có:
4
À `h(2d(G), |ŒGz¡|) )< h( 2d(G > |Gz;¡|)
i=l
Từ (3.3) và các kết quả trên ta có:
Pm
|Œ1 < |ớa| + h@4(G),À ` | Gr a,|) + h(2a(đ Yo [ead
=1 7=I
Pm
< h(2d G), |Gnl) © DL TMleial + Plea )<h( (2d(Œ ), |G)
=1 7=I
Trường hợp trong Œ không có cung bù, khi đó ue) =0 Ta có:
Dinh lý 3.2 Với mỗi siêu sơ đồ sinh suy rộng Œ, độ phúc tạp ôtômát hữu hạn doán nhận
siêu ngôn ngữ chính quụ Lx(G) thỏa man:
P(Lo(G)) < h(2(d(G) +1), |G|) + 1
trong đó d(G) là độ sâu của phép dặt dấu lấy phần bù của siêu sơ đồ sinh suy réng G, con
|G| là số định cốt yéu cia G
Ching minh:
Với mỗi siêu sơ đồ sinh suy rộng Œ, theo Định lý 3.1, ta luôn xây dựng được một sơ đồ
sinh đơn giản Œ” thỏa mãn: Ứx„(G”) = L„(G) và |G"| < h(2d(G), |G)
Theo định lý Safra, ta có thể xây dựng được ôtômát Muller đơn định 4 đoán nhận
L(G’) với số trạng thái không vượt quá 221 h nghĩa là:
P(„(G)) <3?“ <h((4(@) +1), |@|) +1
Trang 74 KẾT LUẬN
Với việc đưa vào tập các siêu từ ghi trên cung của siêu đồ thị sinh, kết quả đã chỉ ra được ước lượng trên của số các trạng thái ôtômát Muller đơn định đoán nhận siêu ngôn ngữ chính quy sinh bởi siêu sơ đồ sinh suy rộng Hướng nghiên cứu tiếp theo là xét trường hợp các tập từ vô hạn ghi trên các cung của đồ thị sinh không chỉ nằm tại cung cuối, mà
ở vị trí bất kỳ thì độ phức tạp đoán nhận lớp siêu ngôn ngữ chính quy sinh bởi siêu sơ đồ sinh suy rộng sẽ như thế nào
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Dang Huy Ruận, Phùng Văn Ổn, Độ phức tạp ôtômát hữu hạn đoán nhận siêu ngôn
ngữ chính quy, 7p ch Tin học tà Điều khiển 14 (4) (1998)
[2| Dang Huy Ruan, Phung Van Ôn, Some results of regular hyper languages, VWU, JOUR- NAL OF SCIENCE, Nat Sci XV (1) (1999)
[3] S Safra, On the complexity of w-automata, Proc 29th Ann IEEE Symp on Foundations
of Computer Science (1988) 319-327
[4] W Thomas, Automata on infinitive words.Formal model and semantics, Handbook of
Theorical Computer Science Vol B (1990)
Nhân bài ngàu 05 - 8 - 2003