Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát các ngôn ngữ cô lập có vị nhóm cú pháp là một nhóm và mô tả ôtômát của lớp ngồn ngữ này.. Đó là những ngôn ngữ nghịch ảnh của đơn vi qua đồng cấu củ
Trang 1NGÔN NGỮ NHÓM CÔ LẬP
LÊ QUỐC HÁN, NGUYÊN THỊ BÍCH
khoa Toán - Tìm, Trường Dai hoc Vinh
Abstract On isolate languages having a group as syntactic monoid Languages mentioned in the title are considered We describe syntactic monoids of such languages and when they are regular we provide different characterizations in terms of automata, grammars and so on
Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát các ngôn ngữ cô lập có vị nhóm cú pháp là một nhóm và mô tả ôtômát của lớp ngồn ngữ này Trong trường hợp chúng là ngôn ngữ chính qul, chúng tôi đã mô tả được ôtômát, văn phạm sinh ra ngôn ngữ đó
1 MỞ ĐẦU
Khái niệm ngôn ngữ nhóm duoc dua ra béi A.V Aniximov ({1]) vao nam 1971 Đó là
những ngôn ngữ nghịch ảnh của đơn vi qua đồng cấu của vị nhóm các từ hữu hạn vào một nhóm Trong bài báo này, chúng tôi sẽ thay “đơn vị nhóm” bởi “nhóm con rời rạc của nhóm” Lớp ngôn ngữ này thực sự chứa lớp ngôn ngữ trong [H|
Giả sử Š là một nửa nhóm Quan hệ ø trên Š được gọi là ổn định phải (irá¿) nếu
Va, b,c € 5, từ apb suy ra aepbe (hoặc capcb) Một quan hệ tương đương (phản xạ, đối xứng
và bắc cầu), ổn định phải (trái) trên 9 được gọi là một tương đẳng phải (trái) Quan hệ p
trên Ø được gọi là một tương đăng nếu ø vừa tương đẳng phải, vừa tương đẳng trái
Giá sử 5 là một nửa nhóm và # là tập con của S Ta xét quan hé gy C S x Š như sau:
øØn — {(œ,U) € S x S|uu € H => uụu €CH, Vu,uc< S}
Khi đó øz được gọi là tương đăng chính hay tương đẳng cú pháp của H và vị nhóm thương S/@ø„ được gọi là ø¿ nhớm cú pháp của H trong S Tập con H được gọi la roi rac
trong Š nếu tương đẳng ø„ là tương đẳng đồng nhất, nghĩa là (z,) € Ø © # = ÿ
Ta còn xét fưrơng đẳng một phía trên S như sau:
f —= {(œ,) < Sx S|eu € H => yu € H, Vụ c S}
Khi đó #z là tương đăng phải trên $ va duoc gọi là tương đẳng chính phải Đuybrâu sinh bởi
H trong S
Gia su X la mot tap hợp tùy ý và X* là vị nhóm tự do sinh bởi X với đơn vị là từ A,
khi đó mỗi phần tử khác đơn vị của X* biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tích của hữu hạn các phần tử của X
Theo tiêu chuẩn Suytstxenbejee (|2]), vi nhóm con Y của X* là vị nhóm con tự do khi và
chỉ khi Vz € X*, từ các điều kiện zY nY Z Ø và YznY 7 Ø suy ra z€ Y
_ Giả sử X là một bảng chữ cái hữu hạn và X* là vị nhóm con tự do sinh bởi X Khi đó
moi tap con bat ky L cia X* được gọi là một ngôn ngữ trên X, còn vị nhóm cú pháp của L trong X* sẽ được gọi là ø¿ nhớm cú pháp của E và được ký hiệu là ,(U) Ngôn ngữ E được gọi
là ngôn ngữ nhớm nếu g(Ù) là một nhóm Theo |4|, b là một ngôn ngữ có vị nhóm cú pháp
đăng cấu với nhóm Œ khi và chỉ khi tổn tại một toàn cấu ¿: X* — Œ sao cho L = ¿-1(H),
Trang 2trong đĩ jƒ là tập con rời rạc của Œ Trong bài báo này, ba xét ngơn ngữ Ù tương ứng với H
là nhĩm con rời rac cua G
2 NGƠN NGỮ NHĨM CƠ LẬP
Ngơn ngữ L trên X được gọi là cơ lập bên trái (hay bên phải) nếu Vu,ø € X*, từ uc
và uœ € L (hay tương ứng zw € L) kéo theo z € L Ngơn ngữ L được gọi là cơ lập nếu nĩ cơ lập ca bên trái và bên phải
Tập con # của nửa nhĩm Š được gọi là tập cơn mạnh theo nghĩa Duybray, néu Va, b, x,y €
S, từ àœ, a, ba € HH kéo theo bụ € H Ngơn ngữ L trên X được gọi là ngơn ngữ mạnh theo nghĩa Juybrâu, nếu L là tập con mạnh của vị nhĩm X*
Bổ đề 2.1 Giá sử Œ là nhớm va H là tập con khác rỗng của Œ Khả đĩ các khẳng định sau
là tương đương:
(i) H là tập con mạnh theo nghĩa Đuybrâu của G
(l1) Nếu hạ, hạ, hạ € HH thì hịhg Thạ € TH
(iii) H la lép ghép phải (trái) theo một nhớm con của G,
Chitng minh
(i) => (ii) Vì hị,hạ, hạ CH nên hyhythe © H, hohyths © H, hyhy'ho = hy ¢ H; ma H 1a tap con mạnh của G nên hịhạha” c H (ở đây ta sử dụng định nghĩa trên với a = hạh;”, b = hịh ”, œ = hạ và = hạ)
(ii) = (i) Gia str ax, ay, bx € H Khi dé (6x)(ax) tay © H > by © H => H 1a tap con manh cla
G
(ii) > (iii) Vi H 4 @ nén dg € H Giả sử K = {zc G|gzc H} Do ec K nên K Z Ø Nếu
a,b € K thi ga, gb,g € H nén ga~'b = g(ga).gb €C H > ab! © K = K la nhém con cua G Vi
G la nhém nén theo cach xac dinh K, ta suy ra H = gk
(iii) > (i) Gid st H = øK, trong đĩ K là nhĩm con của ŒG và hị,hạ,hạ € H lhi đĩ
hị — gk, hạ — gka, hạ — gk3 voi ky, ko, k3 € K, Tir dé
hịh; hg = gki(gk2) | gks = g.kị.kạ 1g ”.gks — gkiky ‘ks = gk = H "
Hệ quả 2.1 Giá sứ G là nhớm ồ H là tập con mạnh chứa don vi cia G Khi dé H la nhĩm con của G
Chứng mành — Trong chứng mình Bổ đề 21, (ii) = (1), ta chỉ cần lấy g = e Khi đĩ
H =eK =K trong dé K 1a nhém con cua G
Dinh ly 2.1 Gid se L la ngơn ngữ nhớm trén X Khi dé các khẳng định sau dâu là tương đương:
() b là ngơn ngữ cơ lập
(ii) b=w~1(H), trong đĩ H là nhĩm con của G à : X* ¬ G là tồn cấu từ X* lên G ~& p(L) (iii) Ù là wt nhém con tu do ctia X*
(iv) L chita te réng A va la ngơn ngữ mạnh theo nghĩa Puybréy
Chitng minh
(i) > (ii) Gia st D=y"1(H) Khi dé L 1a cé lap nén L chita A Suy ra e = ¿(A) cụ(H) Gia
str a,b © H Khi đĩ ton tai u,v € L sao cho y(u) =a, y(v) = b ViG la nhém nén ton tai w © X*
Trang 3sao cho y(w) =a-t Khi dé y(wu) =e € H nénww € L,maue Lnénwée L>at = yw) € H
Ta lại có ¿(euu) = @(0).@(0).@(0) = a 1a.b = bC H nên tơớu € Ù = tro € Ủ = ab —=
@(u).@(0) = @(uø) € @(L) = H Vậy H là nhóm con của G
(ii) > (i) Gia stt L = y!(H), trong dé H 1a nhém con cia G Thé thi tir ue L, we b=
@(u) € H, (6) = @(u).@(0) € H > y(w) € H vì H là nhóm con cla G > w € L Vay L cd lập bên trái Tương tự, L co lap bén phai nén tir dé suy ra L la cé lap trén X*
(ii) = (1) Từ giả thiết L = y-!(H) và H là nhóm con của G ta suy ra L 1a vi nhém con cla X* Ta chứng minh 7 là vị nhóm con tự do của X* Thật vậy, giả sử œ € X* thoả mãn các
điều kiện œøEn E Z Ø và Han L z 9 Khi đó tốn tại các từ z, € Ù sao cho søz —= và do đó
@() = @(z) = y(w).y(~) € H, mà z € Ùb nên ¿(z) € A, do dé y(w) € H, vi H 1a nhóm con của
Œ, suy ra + E Theo tiêu chuẩn Suytxenbécje ([2]), ta có L là vị nhóm tự do của X*
(iii) > (ii) Vi L 1A vi nhóm tự do của X* nên A € = e = g(A) c 77 Sử dụng tiêu chuẩn vị
nhóm tự do nêu trên, ta chứng mỉinh được: Va,bc H thì a 1€ H và ab€ H nên H là nhóm
con của G
(ñ) = (iv) Vì b = ¿-1(H), trong đó H là nhóm con cia G néne € H > A € L Giả sử
ux, uy,ve © L Khi dé @(u).@(°), @(0).@(0),@(6)@(ø) € H va H là nhóm con nên ¿(oy) —
ov) ely) = [y(v).e()]-e@).e@)|*.[e@).ey)] © H Suy ra vy € L Vậy L là ngôn ngữ mạnh
theo nghĩa Duybray
(iv) = (i) Vì L chứa từ rỗng A nên ec H
Giả sử ae, ad, be € H, trong dé a,b,c,d € G Khi dé tén tai u,v,2,y € X* sao cho y(u) =
a, pv) =b, v(x) =e, oly) =d Vi L = y!(A) nén tit ac, bd, be € H suy ra ux, uy, vx € L Do
dé vy € L Vi L la ngon ngtr manh theo nghia Duybray => bd € H Vay A la tap con mạnh theo nghĩa Duybray va chtta don vi cia nhém G nén theo Bổ đề 2.1 ta có #7 là nhóm con của
3 ÔTÔMÁT CỦA NGÔN NGỮ NHÓM CÔ LẬP
Giả sử L là ngôn ngữ trên X và #z là tương đăng chính phải Đuybrây sinh béi L trong X* Ta định nghĩa ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L, ky hiéu w(L) là:
ằ@(L) :— {X*/8u, X, KX, 6, {wlw € L}},
mà tác dụng của X* lên X*/#z như sau: ø.ƒ = wƒ, trong đó ø là lớp tương đẳng (theo modun
#r) chứa bừ œ; ao = A 1A trang thái ban dau va {w|w € L} được gọi là tập trạng thái cuối
cùng Ta sẽ ký hiệu X*/#%¿ là A va tap {w]w € L} là A’; con ham chuyển trạng thái là ổ, cụ thể ta viết ð(ø, ƒ) — b thay cho ø.ƒ — uƒ, trong đó a — ø và b = 5
Như vậy, ôtômát đoán nhận L sé là:
w(L) = {A, X, ao, é, AT,
trong dé L = {w € X*|6(ao, w) € 4} Rõ ràng mỗi từ w€ X* xác định một ánh xạ ở, : A — 4, còn từ rồng sinh ra ánh xạ đồng nhất Tập hợp các ánh xạ đó là một vị nhóm con của vị nhóm các phép biến đổi của tập 4 và được ký hiệu là 74)
Mệnh đề 3.1 (|6|) Với mỗi ngôn ngữ b trên X, ta có n(L) * T19)
Một ngôn ngữ Ƒ trên X được gọi là ngôn ngữ chính quy nếu nó là ngôn ngữ hữu hạn, hoặc thu được từ các tập con hữu hạn của X* bằng cách áp dụng một số hữu hạn các phép toán hợp, tích và lặp
Sử dụng định lý Klecne (4|) chứng minh được mệnh đề sau:
Trang 4Mệnh đề 3.2 (|4d|) Giá sử L là ngôn ngữ trên X Khi đó, các khẳng định sau đâu tương
đương:
(i) L la ngôn ngữ chính quy
(ii) Ôtômát œ(L) đoán nhận ngôn ngữ L là hữu hạn
(H) V‡ nhóm cú pháp n(L) là hữu hạn
Chú ý rằng sự tương đương giữa (ï) và (ii) có thể suy ra trực tiếp từ định lý Mylhill - Norode ([12])
Giả sử là ngôn ngữ trên X Khi đó ôtômát œä(7) được gọi là ¿tách được nếu Va, b € A, tir 6(a,x) = 6(b,x) kéo theo a = bVx € X Otomat w(L) được gọi là đầy đủ, nếu Vz€ A, Va€ X, ton tai b ¢ A sao cho 6(b, x) =a
Định lý 3.1 Giá sử L la ngén ngit chinh qui trên X Khi đó các khẳng định sau đâu là tương đương:
(i) L la ngôn ngữ nhóm cô lập
() Ôtômátœ(L) = (A, X, ao, 6, A') là tách được oà A' = {ao}
(iii) Otémdt w(L) = (A, X, ao, ð, A) là đầu đủ va Al = {ao}
Chúng mình Tà sẽ chứng mình sự tương đương giữa (i) va (ii), con su tuong duong gitra (i) va (iii) duoc lap luận tương tự
(i) > (ii) Vi w(L) la mot nhém va T(A) & (LZ) nên 74) cũng là một nhóm, do đó mọi phan tir cla T(A) khả nghich Mat khdc, T(A) lA nhém con cla vị nhóm các phép biến đổi của tập 4, nên mọi phần tử của 74) đều là đơn ánh Nói riêng ra, Vz€ X, ta có 6p: A A
la don anh Do dé ttr 6, (a) = 6,(6) suy ra a = b Do dé w(Z) la tách được
Ta lại có Ù là ngôn ngir co lap nen A €¢ L = ao € A/ Hơn nữa, Vu € L thhuwe Leaec
L, Vx € X* vì L cô lap, do dé w= A nén A’ = {ao}
(ii) + (i) Vi LE 1a ngon ngtr chinh qui nén theo Ménh dé 3.2 ta có: 4 hữu hạn > T(A)
hữu hạn Ta chứng minh rằng Vỏ, € T(A), ta cé 6, là đơn ánh That vay, néu uw = A thi khẳng định đó là hiển nhiên
Giá sử uz A Khi đó w = z1.za z„ nên bừ
6(a, u) = 6(b, u) = Ô(q,312 n) —= Ô(b, 818a n) > O((a, 21% 9 %y—1), Ln) —= Ô((b, 813 n— 1); Bn)
=> Ô(q,1a2 8,_ 1) —= Ö(b, 8183 0n— 1) > > O(a, 21) = 6(b, 21) >a =b,
trong đó z1,z2, ,ø„ € X Vi A là hữu hạn nên đơn ánh ôu: 4 — 4 cũng là toàn ánh và do đó ở„ là song ánh Suy ra 74) là vị nhóm con của nhóm hữu hạn (gồm tất cả các phép thế của
tập 4), nên bản thân 74) cũng là một nhóm (hữu hạn), mà ,(U) > T49 nên ¿(U) là nhóm (hữu hạn) = 7 là ngôn ngữ nhóm (chính qui)
AT ={ao} nên € Ù © tứ — ao ©®ứ— A ©® (uzc€ Ù©œc L, Vze€e X*) Vậy L là cô lập
Giả sử U là ngôn ngữ trên X Khi đó ôtômát œ(E) = (A, X, ao, 6, A’) duoc gọi là liên thông mạnh nếu Va,b € A, ton tai u,v € X* sao cho 6(a,u) — b và 6(b,v) = a Otomat w(L) được gọi là ổn đính nếu từ ð(ao, u) — ð(ao, 0), ta suy ra 6(a,u) = d(a,v) Va € A
Ta thu được kết quả sau:
Định lý 3.2 Giả sử L la ngôn ngữ trên X Khi dó ba khang dinh sau la tương dương:
() b là ngôn ngữ cô lập oà phản œạ mạnh theo nghĩa L có bốn tính chất:
Trang 51) Vu,v € X*, w, wEL Sve L
2) Vu,v E X*, welbLsowe L
3) Vu,v E X*, u, vELSwel
4) Mỗi từ thudc X* la mot doan ban đầu của một từ nao dé thudc L
(ii) w(L) la mét nhom va L = {[ullu € L} la don vi ctia pL)
(iii) Ot6mat w(L) = (A, X, ao, 6, A’) dodn nhén ngén ngit L là liên thông mạnh, ổn định va A! = {ao}
Chitng minh
(i) > (ii) Vu € X*, Jv € X* sao cho wu € L (tinh chat 4) Khi đó Vz,y € X* ta có auuu Ù = vuyx € L (tinh chat 2) > yx € L (tinh chat 1) > aye Low Aye L
Đảo lại, nếu zự € Ù = yx € L > vuye € L => xvuy € L Do dé (vu, A) € er = [vu] = [A] =>
[ej[¿] = [A] = le] là nghịch đảo của [u| trong vị nhóm p(L) > p(L) là một nhóm
Ta lại có b # Ø theo tính chất 1, do đó nếu w € E thì từ u.A,uc Ù=AcbE>= £ chứa
đơn vị của ,(L) Giá sử u € L, theo chứng mình trên, ta có uy € ©® z€ L, Vz,€ X* nên [u] = [A] > £ la đơn vị của n(L)
(ii) = (i) Gia sử (ZL) la mot nhém va £ 1a don vi cia ,(P) Khi đó wø € L, uc b = [ul.[v] =
[ue] = [A] va [au] = [A] => [ev] = [A] vi [A] 1& don vị cla p(L) > v € L va £ = [A]
Tà lại có we € L => [ul.[v] = [we] = [A] = [x] [u] = [A] = [vu] = [A] > vu € E
uy, oC b [ul] =[A]
[eo] = [A] > [we] = [u].fo] = [A] > we © LD
Mat khac, Va € X*, dy © X* sao cho [z]./y] = [A], vi w(Z) la nhom => ay € L
(ii) > (iii) Vi £ là đơn vị của p(L) nén Vu € L, ta cé [u] = [A] > (uz Ee LS Ax € L, Va €
X*) SUu=A= A! = {ao} Va,b,€ A, a=U, b=B, Izx,y sao cho [u].[z] = [v] va [e].[y] = fu] >
{waa ~ shy) ca
Ta lai cé: gp, C Ry, ta can ching minh Kz C gz
Gia str (u,v) € Rp va cuy € L => [zx][ul-[y] = [A] > [eullyl[z] = [A] > uy € L => vy € L, vì (u,v) € Rp => [e[y|[z] = [A] = [z][e][y] = [A] > vey © L Tương tự zuụ € Ù => vcuy © L, Va, ye X* => [ul] = [v] > (u,v) € er
Do đó Rr = OL
Ta chứng mỉnh tính ổn định của w(L) Giả sử ð(ao,) = ô(ao,) = = Ø = [u] = |ø], vì
Rr =p, => (auyEe LS voy EL, Va,y € L) Dat ZT =a, ta c6 d(a,u) = d(a,v), Va € A nén w(L)
là ổn định
= ở là liên thông mạnh
(iii) + (ii) Tw tinh 6n định của œ(7) ta suy ra #z C ø, mà ta luôn luôn có ø; C #z„ nên
Ry, = py Vi A’ = {ao} nén £ là phần tử đơn vị của ,¿(P) Ta chứng mình ,(P) là một nhóm
Thật vậy, vu c X*, do tính liên thông mạnh cia w(L), Jv € X* sao cho ð(ø, 0) = ao, trong
đó ø =1 = 8 = A = [wl = [A], vi Rp = er = [u].[v] = [A] => [x] 1a nghịch dao cua [u] trong
HT) => n(TL) là một nhóm
Chứng minh định lý kết thúc
Trang 64 VĂN PHẠM CỦA NGÔN NGỮ NHÓM CÔ LẬP
Van phạm là một danh sách G = (N, X,P,ơ), trong đó:
(i) N là bảng chữ cái phu, N = {p1, po, , pe}
(ii) X la tap hop hữu hạn các phần tử, gọi là bảng chữ cái chính, thoả mãn điều kiện XnaN=ø, khi đó V= NU X được gọi là báng chữ cái hỗn hợp
(iii) P là tập hữu hạn các cặp từ (œ,ø), trong đó uc N*— {A}, øc V* Nếu (u,v) € P thi ta
dùng ký hiệu ¡ — ø Khi đó P được gọi là tập các qui tắc thế
(iv) ø là ký hiệu bổ trợ, ơ c N, gọi là ký hiệu ban đầu
Ta nói z sinh ra (trực tiếp) z, ký hiệu = z nếu 3uq,ua,u,ø €C V* sao cho ứ — v va
— 00a, 2 — uUzvug Da ký hiệu =>” z nếu 3z, z2, , z„ sao cho
— Z1 — QS Ply — Z2
Ngôn ngữ Ƒ được gọi là ngôn ngữ sinh bởi văn phạm G, nếu:
L={we X*|o =* wh
Khi dé ta ky hiéu £ = L(G)
Khái niệm văn phạm trên đưa ra bởi Chomsky lần đầu tiên vào năm 1959, và đã tỏ ra
có nhiều ứng dụng trong máy tính, chẳng hạn máy Agôn (|4|) Chúng tôi đưa vào loại văn phạm sau đây để mô tả các ngôn ngữ nhóm chính quy
Văn phạm Œ được gọi là thuần tuý bên phải, nếu G gồm các quy tắc sau:
(i) p; + aq; sao cho véi mỗi x € X,p; chay khap ẤN và {z¡} là một hoán vị của {p}
(ii) p> A véi ft nhat mot p € N
Néu diéu kién (ii) duoc thay bang diéu kién (ii’)
(ii)’ p > A khi va chi khi p =o thi van pham G duoc goi la thudn tuiy bên phái chất
Tương tự như chứng mỉnh Định lý 3.1, ta có thể chứng minh được mệnh đề sau (xem
[5))
Ménh dé 4.1 Gid su L là ngôn ngữ chính quy trên X Khi dó các không định sau dâu là tương đương:
() u() là một nhóm
(ii) w(L) = (A, X, a0, 6, A’) tách được
(ili) w(L) = (A, X, a0, 6, A’) Ady au
Từ Định lý 3.1, ta mô tả được văn phạm của ngôn ngữ nhóm chính quy
Dinh lý 4.1 Ngôn ngữ chinh quy L là ngôn ngữ nhóm khả uà chả khí L dược sinh boi van
phạm thuần túu bên phái
Chitng minh
Diéu kién can:
Gia st L c X* Ja ngôn ngữ nhóm chính quy được đoán nhận bởi ôtômát œ(1) = (A, X, ao, 6, A’) htru han va tach duoc Ta xay dung van pham như sau:
G = (N, X, P, Ø),
trong đó N= A, ơ = ao, các quy tắc thuộc P là:
we
© a, > xa, neu aj, a,c A, « € X sao cho d(a;, x) — dị
Trang 7e@¿z— A nếu øc A'
Thế thì:
+ R6 rang a; chay khắp N, va do E là ngôn ngữ nhóm nên mọi z € X, ä„ là song ánh từ
4 lên chính nó Do đó {a¿} = {a¿}
+ Tôn tại ø€ 4 sao cho ổ(ø, A) € A/ (hiển nhiên) Do đó tổn tại ít nhất á € N sao cho
aA
Nhu vay, G thuần túy bên phải Ta hãy chứng minh (+) = L(G), tức là văn phạm xây dựng như trên sinh ra È
Trước hết ta chitng minh L(G) c LW)
Giả sử u € L(G), khi dé o =* w Hai trường hợp có thể sảy ra:
e Nếu ¡== A và ơ =>* u„ thì do tổn tại z¡, zs, , zy sao cho
2i —Ø— t(|P1ĐI, VƠI ƒỊ —> đỊ
Z2 — 11101, (u1,91,P1,01 € V* =(NUX)*
2k—-1 = Uk—-1Pk—-1Vk-1
Zk = Uk—-19k-1Uk-1, VOl Pr—1 — đQg—1
(Ta ky hiéu p;,q; thay cho a;,a/) Thé thi z, = u—= A, nén tir dang thite cudi cing và định
nghĩa vị nhóm tự do, ta phải có:
t1 =đp—1— Up 1= Â, 'Theo cách xây dựng các quy tác của P, ta thấy pp_, € A! Va zp_1 = pr—1, VOipp_1 € A’, A'INX =
Ø mà z_s = z„ ¡ nên phải có zs_¡ — zg-a— —=Ø
Từ đó ơ = A.p„_i.A = ao € A/, Vì pẹg ¡ € A?, mà (ap, A) = ao € A’ nén A € L(w), hay
ué Dw)
e Nếu w = zizs a„, với x¿ c X thì tổn tại z¡, zs, , z, sao cho ơ = z¡ = z2 —> > z =u, nên
Ø — 2| — 1191 — đo, 22 — 1ịđi0., VỚI pị,ao CN mà V* là vị nhóm tự do sinh bởi NÙ X, với
WnX=ø, nên từ đẳng thức đầu ta phải có:
tị =0 = Â, ĐỊ = dọ
Giả sử gi = A, thế thì øo = øị — A, nên ao € A’ va 29 =A
Theo cách xây dựng P, ta phải có zg = 23 = = 2 = u, nen u= A Va do ap € A’, nén phai c6 u= A € L(w)
Néu qi # A, thé thi gq, = yra1, vi yy © X, a, © N Khi do tt 29 = uspove = yay, 23 = usgov2, VOI po,a, € N; v1,02 € V*, y € X và NnX = Ø, nên từ đẳng thức đầu, suy ra
ve =A, po =a1, U2 =y (theo định nghĩa của vị nhém tu do trén V = NU X) Khi đó:
Hoae qo = A, suy ra 23 = 24 = = zp = u (theo quy tac xay dung P) và từ đó ứ = ị, ai =
po € A’, MA ap = pi F yay nen tir d(ao,y1) = a1 € A’, suy ra yy, © Lw) hay wu € LW)
Hoae qo = yeas, voi yo € X, ag € N, thé thi tt 23 = ugp3v3 = yyyeas, z4 = u3q3v3 VOI D3 > 93, Viz Yo © X; p3,ag EN; NOX =@ vaus,v3 © V* =(NUX)*
Suy ra v3 = A, ps = a2 Va ug = yiyo Do dd, hoac gg = A thi u = 24 = = zp, trong dé Z4 — WIU2À. — 1a, d2 =P = a1y1, nNEn d(a0, y1) = a1; a1 > yeas n€n d(a1, yo) = a2 = pg € A’,
Vi p3 > 93 = A
Do đó ô(ao, u) — ð(đo, 91a) = 6(a1, y2) = ag € A’ Suy ra we L(w)
Nếu q3 = y3a3, VOi yg € X, a3 € N, thi ly luan tiép, sau khong quá k bước, ta đi đến: 1) Hoặc là uw € L(w)
Trang 82) Hoặc là z¿ = #Ia z.ay — #1#a Zm, VỚI #¿ € ÄX, ay CN và theo định nghĩa của vị nhóm tự do trên (VU X)* ta suy ra k+l=m Và 1= ø¿ (1 < ¿ < k, ay = #„ VỚI ay„ € N và
#„>„€ X, trong đó Nm X = ø Mẫu thuần
Như vậy, từ uc E(G), ta suy ra w€ Lo) Hay L(G) C L()
Bây giờ ta chứng minh L(w) c L(G)
That vay, gid stru € L(w), suy ra 6(ao,u) = a’ € A’ thi hoặc u = A, suy ra ð(œo, A) = ao € AI, nên øo — Â; mà øơ = ao = À.ao.Â, w=— Á = A.A.A, nên từ ao — A, ba có ơ =* u, vay u € L(G) Hoặc u = #1za œ¿, VỚI #¿ € ÄÃ, (¿ = 1,2, ,k) và ô(ao, #1) = a1, Ô(@1, 8a) — aa, , Ô(Gp—1, 8p) =
a, =a’ € A’, (viue L(w)) nén
dọ — 101, dị — #a2da, ,dy_¡ — #pdũy, VỚI day — A
Thế thì, vì o = ap = A.ay.A, x10, = A.ayay.A, nén o > đi VÌ ao — #11
Vi wa, = x1 a1.A, 418301 — 1#203.Â, nên wa, > x1 Xoaq Vi a, XoGo
VÌ Z1 2g_ 1đb_— 1 — 122 2g_ 1dp_—1.Â, tap — 1 0,dạ.Â, HIẾN 1 2, 10,1 => URGp—1 Vi Œg—1 — Wkpũk
Vi ua, = vay A, u=u.A.A, nén uag > u, Vi ag A
Do đó ø >* u, hay u € L(G) Vay LWw) c L(G)
Ta da chitng minh L(w) = L(G)
Điều kiện đủ:
Giả sử E sinh bởi văn phạm G = (N,X,P,ø) thuần túy bên phải Ta xây dựng ôtômát w(B,X, P, bo, B’) nhwu sau:
B=N, B={peEN|p— A}
Theo 2) ta có ! # Ø, bọ = øơ và ø(p,#) = gø¡ nếu pị — z4 Vì pị chạy khắp N va {qi} la một hoán vị của {p;} nên ø„ là một hàm chuyển trạng thái từ Ø lên chính nó
Lập luận như chứng minh điều kiện cần, ta có L(B) = L(G)
Gia stt w(L) = (A, X,ao,ở, A') là ôtômát đoán nhận E (trong đó 4 = X*/#¿) Xét tương
ứng:
p: BoA,
b E> tr với p(bo, u) = bo va p(bo, u) = p(bo, v) kéo theo
P(bo, wv) = P((bo, u), w) = P((bo, v), w) = A(bo, w) nên + © uc L, Vw e X*, tức là tứ = 0
Do đó ¿ là một ánh xạ, hơn nữa nó là một ánh xạ lên Vì #¿ là tương đẳng phải nên
WU — t0u, SUY Ta (bo, +0u) — @Íbo, t).u hay @(bu) — @(b).u với plbo, w) = bow = b Vay œ là một
toàn cấu ôtômát
Giả sử œc X, thế thì Vac€ A, a =@, Jb € B sao cho ¿(b) = a mà Œ thuần túy phải, nên
db’ < B': p(b',x) =b (tite 1a b’ — xb) hay b’x = b Suy ra ¢(b')x = (bd)
Gia str y(b’!) = a’ Thé thi d(a’, x) =a hay a’dy =a, suy ra 6, la toan Anh ttr A lén A Mat
khác, » la toan anh ttr B lén A nén cardB > cardA, ma B hữu hạn nên 4 hữu han
Do dé w(L) = (A,X, ao, 6, A’) 1a 6tOmat hiru han va day đủ
Trang 9Từ Định lý 3.2 và Định lý 4.1, với chú ý: Ngôn ngữ nhóm chính quy L la ngon ngtr cdo lập khi và chỉ khi 4 = {ao}, trong dé w(L) = (A, X,a0,6, A’) là ôtômát tối tiểu đoán nhận 7,
ba cd:
Hệ quả 4.1 Ngôn ngữ chánh quụ L là ngôn ngữ nhóm cô lập khá 0à chả khả L dược sinh bởi
ăn phạm thuần túu bên phái chặt
5 KẾT LUẬN
Bài báo đã đề cập đến các điều kiện để một ngôn ngữ nhóm là ngôn ngữ cô lập và mô
tả đáng điệu ôtômát của các ngôn ngừ nhóm cô lập chính qui hay phản xạ mạnh Việc khảo sát ôtômát của các ngôn ngữ nhóm cô lập tổng quát là một bài toán mở và hứa hẹn nhiều kết quả thú vị Trên cơ sở đó đã mô tả văn phạm của các ngôn ngữ nhóm chính quy cô lập
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A.V.Aniximov, Vé các ngôn ngữ nhóm (tiếng Nga), Điều khiển học (4) (1971) 18-24
[2| A H Clphớt và Œ B Prestơn, Lý thuyết nứa nhóm, 2 tập, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1979
[5| Phan Đình Diệu, ý (huyết Otémat va thuật toán, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1977
|4| S Eilenberg, Automata, Languages and Machines, Vol B., Academic Press, New York,
1976
[5] Lé Quéc Han va Trần Văn Hạo, “Về ngôn ngữ nhóm”, Tuyển tập Hội thảo cơ sở tin học
va bao vé tin, Viện Toán học Việt Nam, Hà Nội, 1987, 46-49
[6| Lê Quốc Hán, Ngôn ngữ nhóm Aben, Tap chi Tin hoc va Điều khiển học, (3) (2001)
[7J D.5 Jonhson and M.R Carey, Cơmputer and Intractabilu, W.H Ereeman and Company,
1989
[8] B Le Saec, Saturating right congruences, Theoretical Informatics and Application, 24 (6) (1990)
[9] B Le Saec B., Dare V.R., Seromony R., “Strong recognition of rational w-languages,” International conference on Mathematical Foundation of Informatics, Ha Noi, 1999 [10] J.B Pecuchet, On the complementation of Buchi automata, Theoretical Computer Sci-
ence, 47 (1986) 95-98
[11] A Prasad Sistla, Y- Moshe, Pierre Wolper, The complementation problem for Buchi automata with applications to temporal logic, Theoretical Computer Science, 49 (1987) 217-237
[12] Dang Huy Ruan, Ly thuyét ngén ngtt hinh thitc va ôtômát, NXB Đại học Quốc gia Ha
Nội, 2002
Nhận bài ngày 1 - ð -2002