nghiệm ổn định của một lớp trình vi phân bậc phân số luận văn toán giải tích

Một trong những bài toán quan trọng và thú vị nhất của lý thuyếtphương trình vi tích phân là nghiên cứu tính ổn định nghiệm.. Trongkhi những nghiên cứu về ổn định nghiệm cho các hệ vi ph

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————– * ———————

PHAN VĂN LỢI

NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Đình Kế

Thanh Hóa, 2013

1 Kiến thức chuẩn bị 41.1 Giải tích bậc phân số 41.2 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén 7

2.1 Tính giải được trong trường hợp tổng quát 102.2 Tính giải được trong trường hợp hàm phi tuyến không

chứa trễ 152.3 Tính ổn định tiệm cận 192.4 Ví dụ áp dụng 23

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân bậc phân số thu hút sự quan tân của nhiều nhànghiên cứu trong những năm gần đây do tính ứng dụng cao của nótrong khoa học và công nghệ Phương trình vi phân bậc phân số chophép mô hình hóa nhiều bài toán trong lưu biến học, điện hóa học,mạng điện tử, nhớt đàn hồi, Chi tiết về các vấn đề cơ sở của phươngtrình vi phân bậc phân số có thể tìm thấy trong các cuốn sách chuyênkhảo của Miller & Ross [21], Podlubny [23], và Kilbas et al [17] Ngoài

ra có thể kể đến những nghiên cứu gần đây [3, 7, 8, 13, 22, 26, 28, 29].Tuy nhiên, hầu hết các kết quả đã đạt được tập trung vào tính giảiđược duy nhất nghiệm

Một trong những bài toán quan trọng và thú vị nhất của lý thuyếtphương trình vi tích phân là nghiên cứu tính ổn định nghiệm Trongkhi những nghiên cứu về ổn định nghiệm cho các hệ vi phân với đạohàm bậc nguyên (không trễ/có trễ) đã có quá trình phát triển lâu dài

và đạt được những thành tựu quan trọng (xem, chẳng hạn [9, 10] vàcác tài liệu tham khảo liên quan), thì vấn đề tương tự với phươngtrình vi phân bậc phân số còn ít được biết đến, đặc biệt là trong cáckhông gian vô hạn chiều

Trong bản luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính giải được vàtính ổn định tiệm cận nghiệm của hệ vi phân sau

CD0αu(t) = Au(t) + f (t, u(t), ut), t > 0, (1)

u(s) + g(u)(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (2)trong đó hàm u lấy giá trị trong không gian Banach X, ut là trạng tháilịch sử của hệ tính đến thời điểm t, tức là ut(s) = u(t+s), ∀s ∈ [−h, 0],

CDα0, α ∈ (0, 1], là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A là mộttoán tử tuyến tính đóng và là phần tử sinh của một C0-nửa nhóm trên

X, f và g là các hàm phi tuyến sẽ được mô tả trong mục 3 Bài toán(1)-(2) là mô hình tổng quát của nhiều lớp bài toán Cô-si quan trọng

không cục bộ) đối với phương trình vi phân bậc nhất được nghiên cứuđầu tiên bởi Byszewski [6] Chủ đề này sau đó đã được nghiên cứurộng rãi do dạng bài toán không cục bộ cho phép mô tả chính xáchơn các bài toán thực tế so với bài toán Cô-si cổ điển Chúng tôi giớithiệu một số kết quả tiêu biểu theo hướng này, trong các công trình[12, 14, 16, 18, 19, 20, 22, 28].

Có một số khó khăn khi nghiên cứu bài toán dạng này do ta phảilàm việc với đạo hàm bậc phân số cũng như phải xử lý điều kiện banđầu không tuyến tính Để vượt qua khó khăn này, ta có thể sử dụng lýthuyết điểm bất động để tìm nghiệm và chứng minh tính ổn định tiệmcận của nó Việc sử dụng phương pháp điểm bất động để nghiên cứutính ổn định nghiệm cho các phương trình vi phân thường/vi phânhàm đã được đề xuất bởi Burton và Furumochi trong [4, 5] và sau đóđược phát triển cho một số lớp phương trình đạo hàm riêng (ví dụ[2, 13]) Ý tưởng chính của phương pháp này là xây dựng một tập con

ổn định mà trong đó toán tử nghiệm có điểm bất động

Với mục tiêu cải tiến các điều kiện tồn tại nghiệm, chúng tôi sửdụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén Có thể nói đây là lýthuyết điểm bất động có tính khái quát, nó bao gồm nguyên lý ánh xạ

co và định lý điểm bất động Krasnoselkii.Từ đó, các kết quả về tínhgiải được là mở rộng của các kết quả trước đó cho phương trình viphân bậc phân số trong các công trình [8, 22, 27, 28] Một khó khăn

về mặt kỹ thuật ở đây là xây dựng các độ đo không compact (MNC)phù hợp và thực hiện các ước lượng qua MNC để chứng minh tính néncủa toán tử nghiệm Để chứng minh nghiệm ổn định tiệm cận, chúngtôi sẽ sử dụng tính ổn định của các giải thức sinh bởi bài toán tuyếntính

Định nghĩa 1.1.2 Với f ∈ CN([0, T ]; X), đạo hàm Caputo bậc α ∈(N − 1, N] xác định bởi

CDα0f(t) = 1

Γ(N − α)

Z t

0 (t − s)N −α−1f(N )(s)ds

Chú ý rằng có một số khái niệm khác nhau về đạo hàm bậc phân

số, trong đó có hai khái niệm được sử dụng nhiều là đạo hàm bậcphân số Riemann-Liouville và đạo hàm bậc phân số Caputo Do cácbài toán ứng dụng thường gắn với những điệu kiện ban đầu liên quanđến u(0), u′(0), nên đạo hàm Caputo được cho là thích hợp để mô

tả các bài toán này Với u ∈ CN([0, T ]; X), ta có các công thức sau

CD0αI0αu(t) = u(t),

I0α CDα0u(t) = u(t) −

N −1Xk=0

u(k)(0)k! t

k

Xét bài toán tuyến tính

L(Sα)(λ) = λα−1(λαI − A)−1,L((·)α−1Pα)(λ) = (λαI − A)−1,

ở đây L là phép biến đổi Laplace Theo nguyên lý phụ thuộc (xem [3]),

Sα và Pα, α ∈ (0, 1], tồn tại nếu A sinh ra một C0-nửa nhóm {T (t)}t≥0.Biểu diễn của Sα và Pα đã được thiết lập trong bài báo [29]:

Sα(t)x =

Z ∞ 0

φα(θ)T (tαθ)xdθ,

Pα(t)x = α

Z ∞ 0

(−1)n−1θ−αn−1Γ(nα + 1)

n! sin(nπα).

Bây giờ ta nhắc lại một số kết quả sẽ dùng cho phần sau

Bổ đề 1.1.1 Giả sử A sinh ra một C0-nửa nhóm {T (t)}t≥0 trên X.i) Nếu T (t) là compact với t > 0, thì Sα(t) và Pα(t) cũng compactvới t > 0;

ii) Nếu T (t) liên tục theo chuẩn với t > 0, thì Sα(t) và Pα(t) cũngliên tục theo chuẩn với t > 0

Kiến thức chuẩn bị

Khẳng định thức nhất đã được chứng minh trong bài báo [29], cònkhẳng định thứ hai có trong bài báo [26]

Cho Φ(t, s) là một họ các toán tử tuyến tính bị chặn trong X với

t, s ∈ [0, T ], s ≤ t Kết quả sau đây đã được chứng minh trong bài báo[24, Bổ đề 1]

Bổ đề 1.1.2 Giả sử Φ thỏa mãn các điều kiện:

(Φ1) Tồn tại hàm ρ ∈ Lq(J), q ≥ 1 sao cho kΦ(t, s)k ≤ ρ(t − s) với

biến các tập bị chặn thành các tập liên tục đồng bậc, ở đây q′ là số mũliên hợp của q (q′ = +∞ nếu q = 1)

Sử dụng hai bổ đề vừa nêu, ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.1.3 Giả sử A sinh ra một C0-nửa nhóm {T (t)}t≥0 trong

X Khi đó với mỗi tập bị chặn Ω ⊂ L1(0, T ; X), Qα(Ω) là một tập liêntục đồng bậc trong C([0, T ]; X) nếu nửa nhóm {T (t)}t≥0 liên tục theochuẩn với t > 0

Chứng minh Do T (t) liên tục theo chuẩn với t > 0, nên Pα(t) cũng cótính chất này bởi Bổ đề 1.1.1 Khi đó ta có Φ(t, s) = (t−s)α−1Pα(t−s)thỏa mãn các điều kiện (Φ1) − (Φ2) nêu trong Bổ đề 1.1.2 Do vậy ta

có kết luận của mệnh đề

1.2 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén

Giả sử E là một không gian Banach Ký hiệu B(E) là tập các tập conkhác rỗng, bị chặn của E Ta sử dụng định nghĩa sau đây về độ đokhông compact

Định nghĩa 1.2.1 Hàm β : B(E) → R+ được gọi là một độ đo khôngcompact (MNC) trong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ B(E),trong đó co Ω là ký hiệu bao lồi đóng của Ω MNC β được gọi lài) đơn điệu nếu Ω0,Ω1 ∈ B(E), Ω0 ⊂ Ω1 suy ra β(Ω0) ≤ β(Ω1);ii) không kỳ dị nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E, Ω ∈ B(E);iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tậpcompact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ B(E);

iv) nửa cộng tính nếu β(Ω0 + Ω1) ≤ β(Ω0) + β(Ω1) với mọi Ω0,Ω1 ∈B(E);

v) chính quy nếu đẳng thức β(Ω) = 0 tương đương với tính compacttương đối củaΩ

Một ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không compact Hausdorff

χ(·), xác định như sau

χ(Ω) = inf{ε : Ω có ε-lưới hữu hạn}

Độ đo không compact Hausdorff còn có các tính chất sau:

• nửa thuần nhất: χ(tΩ) ≤ |t|χ(Ω) với mọi Ω ∈ B(E) và t ∈ R;

• Nếu E tách được, χ(Ω) = lim

m→∞supx∈Ω

d(x, Em), trong đó {Em} là dãycác không gian con hữu hạn chiều của E sao cho Em ⊂ Em+1, m =

1, 2, và

∞[m=1

Em = E

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử χ là độ đo không compact Hausdorff trong E

và Ω ⊂ E là một tập bị chặn Khi đó với ǫ > 0, tồn tại dãy {xn} ⊂ Ωsao cho

χ(Ω) ≤ 2χ({xn}) + ǫ

Ta cũng cần kết quả sau đây (xem [15])

Mệnh đề 1.2.2 Nếu {wn} ⊂ L1(0, T ; E) thỏa mãn

||wn(t)||E ≤ ν(t), for a.e t ∈ [0, T ],với ν ∈ L1(0, T ), thì ta có

χ({

Z t 0

wn(s)ds}) ≤ 2

Z t 0

χ({wn(s)})dsvới mọi t ∈ [0, T ]

Giả sử J là một đoạn (compact) của R và χC là độ đo khôngcompact Hausdorff trong C(J; E) Ta có kết quả sau (see [1]): với mỗitập bị chặn D ⊂ C(J; E),

• χ(D(t)) ≤ χC(D), với mọi t ∈ J, ở đó D(t) := {x(t) : x ∈ D}

• Nếu tập D là liên tục đồng bậc thì

χC(D) = sup

t∈Jχ(D(t))

Cho T ∈ L(E), tức T là một toán tử tuyến tính bị chặn từ E vàochính nó Ta có định nghĩa χ-chuẩn của toán tử T (xem [1]) như sau:

kT kχ := inf{M : χ(T Ω) ≤ Mχ(Ω), Ω ⊂ E là tập bị chặn} (1.7)

χ-chuẩn của T có thể xác định bởi

kT kχ = χ(T S1) = χ(T B1),trong đó S1 và B1 tương ứng là hình cầu đơn vị và mặt cầu đơn vịtrong E Hiển nhiên, ta có

Định nghĩa 1.2.2 Một ánh xạ liên tục F : Z ⊆ E → E được gọi lànén ứng với độ đo không compact β (còn gọi là β-nén) nếu với mọitập bị chặn Ω ⊂ Z, bất đẳng thức

β(Ω) ≤ β(F(Ω))suy ra tính compact tương đối của Ω

Cho β là một độ đo không compact có tính đơn điệu và không kỳ

dị trong E Ứng dụng của lý thuyết bậc tô-pô cho ánh xạ nén cho tanguyên lý điểm bất động sau đây (xem [1, 15])

Định lý 1.2.3 [15, Bổ đề 3.3.1] Giả sử M là một tập con lồi, đóng

và bị chặn của E và F : M → M là một ánh xạ có tính chất β-nén.Khi đó tập các điểm bất động của F, FixF := {x = F(x)} là tập khácrỗng và compact

Chương 2

Tính giải được và tính ổn định

nghiệm

Cố định T > 0 Ký hiệu CT = C([−h, T ]; X), Ch = C([−h, 0]; X)

2.1 Tính giải được trong trường hợp tổng quát

Ta đưa ra điều kiện cho bài toán (1)-(2) như sau:

(A) Nửa nhóm {T (t)}t≥0 sinh bởi A là liên tục theo chuẩn với t > 0.(F) Hàm phi tuyến f : R+× X × Ch → X thỏa mãn:

(1) f(·, v, w) đo được với mỗi (v, w) ∈ X × Ch, f(t, ·, ·) liên tụcvới hầu khắp t ∈ [0, T ] và

||f(t, v, w)||X ≤ m(t)Ψf(||v||X + ||w||C h),với mọi (v, w) ∈ X × Ch, trong đó m ∈ Lp

loc(R+), p > α1 và Ψf

là một hàm thực, liên tục và không giảm;

(2) tồn tại hàm k : R2

+ → R+ sao cho k(t, ·) ∈ Lp(0, t), t > 0, vàvới mọi tập bị chặn V ⊂ X, W ⊂ Ch, ta có

χ(Pα(t − s)f(s, V, W )) ≤ k(t, s)[χ(V ) + ϑ(W )],với hầu khắp t, s ∈ [0, T ], s ≤ t, ở đây χ và ϑ lần lượt là các

độ đo không compact Hausdorff trong X và Ch

(G) Hàm cục bộ g : CT → Ch thỏa mãn các điều kiện:

(1) g liên tục và

||g(u)||C h ≤ Ψg(||u||C T),với mọi u ∈ CT, ở đó Ψg là một hàm liên tục và không giảmtrên R+;

(2) tồn tại số η ≥ 0 sao cho với mọi tập bị chặn D ⊂ CT, ta có

ϑ(g(D)) ≤ ηχC(D),trong đó χC là độ đo không compact Hausdorff trong CT.Nhận xét 2.1.1 Ta đưa ra các trường hợp đặc biệt cho điều kiện(F)(2) và (G)(2)

1 Nếu f(t, ·, ·) thỏa mãn điều kiện Lipschitz,

||f(t, v1, w1) − f(t, v2, w2)||X ≤ kf(t)(||v1 − v2||X + ||w1 − w2||C h),với kf ∈ Lp

loc(R+), thì (F)(2) được thỏa mãn với k(t, s) = ||Pα(t −

s)||kf(s) Mặt khác, nếu Pα(t), t > 0, compact hoặc f (t, ·, ·) hoàntoàn liên tục (với mỗi t cố định) thì (F)(2) được thỏa mãn với

k = 0

2 Tương tự với điều kiện (G)(2), nếu g thỏa mãn điều kiện chitz:

Lips-||g(u) − g(v)||C h ≤ η||u − v||C T,thì (G)(2) được kiểm tra Điều kiện này cũng được thỏa mãn với

η = 0 nếu g là hoàn toàn liên tục

Theo công thức (1.3), ta có định nghĩa sau cho nghiệm tích phân củabài toán (1)-(2)

Định nghĩa 2.1.1 Hàm u ∈ CT được gọi là nghiệm tích phân củabài toán (1)-(2) trên khoảng (0, T ) nếu u(t) = ϕ(t) − g(u)(t) với t ∈[−h, 0], và

u(t) = Sα(t)[ϕ(0) − g(u)(0)] +

Z t

0 (t − s)α−1Pα(t − s)f(s, u(s), us)dsvới mỗi t ∈ [0, T ]

Tính giải được và tính ổn định nghiệm

là điểm bất động của toán tử nghiệm F Từ các giả thiết áp đặt cho

f và g, ta thấy F liên tục trên CT

Chú ý rằng, do f và g nói chung không thỏa mãn điều kiện Lipschitz,nên sự tồn tại nghiệm của (1)-(2) không thể có được nhờ nguyên lýánh xạ co Ở đây, chúng tôi sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh

xạ nén bằng cách thiết lập các ước lượng theo độ đo (MNC) để chứngminh tính nén của F

Ta có bổ đề quan trọng sau đây

Bổ đề 2.1.1 Giả sử các điều kiện (A), (F) và (G) được thỏa mãn.Khi đó toán tử nghiệm F xác định bởi (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức

Chứng minh Giả sử D ⊂ CT là một tập bị chặn Ta có

F(D) = F1(D) + F2(D),trong đó

Với z1, z2 ∈ F1(D), tồn tại u1, u2 ∈ D sao cho

z1(t) = Sα(t)[ϕ(0) − g(u1)(0)], z2(t) = Sα(t)[ϕ(0) − g(u2)(0)] nếu t > 0,

z1(t) = ϕ(t) − g(u1)(t), z2(t) = ϕ(t) − g(u2)(t) nếu t ∈ [−h, 0]

Z t

0 (t − s)α−1χ Pα(t − s)f(s, un(s), (un)s)
ds

≤ 2 supt∈[0,T ]

Tính giải được và tính ổn định nghiệm

CT có tâm tại 0 và bán kính R Giả sử ngược lại, ta tìm được dãy{un} ⊂ CT sao cho ||un||C T ≤ n nhưng ||F(un)||C T > n Từ cách xácđịnh F, ta có ước lượng

||F(un)(t)||X ≤ ||ϕ||C h + Ψg(||un||BC) ≤ ||ϕ||C h + Ψg(n) với t ∈ [−h, 0],trong khi với t > 0, ta có

||F(un)(t)||X ≤ (||ϕ||C h + Ψ(||un||C T)) sup

Nhận xét 2.1.2 Xét trường hợp Ψf(r) = Cf(1 + rβ), Ψg(r) = Cg(1 +

rγ) với β, γ ∈ [0, 1] Nếu β, γ < 1 (trường hợp dưới tuyến tính), điềukiện (2.5) rõ ràng được thỏa mãn Nếu β = γ = 1, thì (2.5) đượcchuyển thành

ωC(D) = lim

δ→0supy∈D

max

|t 1 −t 2 |<δky(t1) − y(t2)k, D ∈ CT (2.6)Khi đó, như đã chứng minh trong [15], độ đo không compact χ∗ xácđịnh bởi

Trong trường hợp không có trễ, bài toán (1)-(2) chuyển thành

CD0αu(t) = Au(t) + f (t, u(t)), t > 0, (2.8)

Tính giải được và tính ổn định nghiệm

với ϕ ∈ X cho trước Các giả thiết (F) and (G) chuyển thành:

(Fa) Hàm f : R+× X → X thỏa mãn:

(1) f(·, v) đo được với mỗi v ∈ X, f(t, ·) liên tục với hầu khắp

t ∈ [0, T ] và

||f(t, v)||X ≤ m(t)Ψf(||v||X),với mọi v ∈ X, trong đó m ∈ Lp

loc(R+), p > α1, Ψf là mộthàm liên tục và không giảm;

(2) tồn tại hàm k : R2

+ → R+ sao cho k(t, ·) ∈ Lp(0, t), t > 0, vàvới mọi tập bị chặn V ⊂ X, ta có

χ(Pα(t − s)f(s, V )) ≤ k(t, s)χ(V ),với hầu khắp t, s ∈ [0, T ], s ≤ t

(Ga) Hàm g : CT → X thỏa mãn các điều kiện:

(1) g liên tục và

||g(u)||X ≤ Ψg(||u||C T),với mọi u ∈ CT Ở đây Ψg là một hàm liên tục và không giảm;(2) tồn tại số không âm η sao cho

χ(g(D)) ≤ ηχC(D),với mọi tập bị chặn D ⊂ CT

Chọn L trong công thức (2.7) sao cho

4 supt∈[0,T ]

Z t 0

e−L(t−s)(t − s)α−1k(t, s)ds < 1,

ta sẽ chứng minh rằng toán tử nghiệm có tính nén ứng với độ đo khôngcompact χ∗

Mệnh đề 2.2.1 Giả sử (A), (Fa) và (Ga) được thỏa mãn Nếu hàm

g hoàn toàn liên tục, thì F có tính chất χ∗-nén

Chứng minh Giả sử D là một tập bị chặn trong CT Khi đó ta có

F(D)(t) = Sα(t)[ϕ − g(D)] + Qα(D)(t),trong đó Qα được các định trong (1.4) Do g(D) compact tương đốitrong X, ta có

ωC(Sα(·)[ϕ − g(D)]) = 0 (2.10)Mặt khác, Qα(D) là tập liên tục đồng bậc trong CT bởi Mệnh đề 1.1.3

e−L(t−s)(t−s)α−1k(t, s)ds sup

t∈[0,T ]

e−Ltχ(D(t))

(2.13)Kết hợp các đánh giá (2.10)-(2.13), ta đi đến bất đẳng thức

χ∗(F(D)) ≤  sup

t∈[0,T ]4

Z t 0

e−L(t−s)(t − s)α−1k(t, s)dsχ∗(D)

Mệnh đề được chứng minh

Tính giải được và tính ổn định nghiệm

Trong trường hợp hệ không có trễ, ta có thể loại bỏ điều kiện (2.5)nếu hàm cục bộ g bị chặn đều và hàm phi tuyến f có độ tăng khôngquá tuyến tính, tức là, Ψg(r) = Cg và Ψf(r) = Cf(1 + r)

Đặt Mψ = {u ∈ CT : ||u(t)||p ≤ ψ(t), t ∈ [0, T ]}, trong đó ψ lànghiệm của phương trình tích phân

Mψ bất biến với toán tử nghiệm của bài toán (2.8)-(2.9)

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử g bị chặn đều và f có độ tăng tuyến tính, tức

là, Ψg(r) = Cg,Ψf(r) = Cf(1 + r) với mọi r ∈ R+ Với F là toán tửnghiệm của bài toán (2.8)-(2.9), ta có F(Mψ) ⊂ Mψ

Chứng minh Toán tử nghiệm của bài toán (2.8)-(2.9) xác định bởi

Tpα−1p

hZ t

0 |m(s)|p(1 + ||u(s)||p)dsi

1 p

,

nhờ sử dụng bất đẳng thức H¨older inequality Vậy

||F(u)(t)||p ≤ (||ϕ|| + Cg)p sup

t∈[0,T ]||Sα(t)||p+ 2pCfp sup

Ta có kết quả sau đây là hệ quả của Mệnh đề 2.2.1, 2.2.2 và Định

lý 1.2.3

Định lý 2.2.3 Giả sử các giả thiết (A), (Fa) và (Ga) được thỏa mãn.Nếu hàm g hoàn toàn liên tục và bị chặn đều, hàm f có độ tăng tuyếntính, thì tập nghiệm của bài toán (2.8)-(2.9) là khác rỗng và compact

2.3 Tính ổn định tiệm cận

Để thiết lập các kết quả ổn định cho bài toán (1)-(2), ta xét bài toánnày trong không gian các hàm liên tục và bị chặn trên nửa khoảng vôhạn [−h, +∞):

BC = {u ∈ C([−h, +∞); X) : sup

t≥−h||u(t)|| < +∞},với chuẩn

||u||BC = sup

t≥−h||u(t)||

Ký hiệu πT, T > 0, là hàm cắt trên BC, tức là, với D ⊂ BC, πT(D) làhạn chế của D trên đoạn [−h, T ] Khi đó độ đo không compact χBCtrê BC xác định bởi

χBC(D) = sup

T >0

χC(πT(D))thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trong Định nghĩa 1.2.1 Sử dung

Bổ đề 2.1.1, ta có tính chất nén của toán tử nghiệm F trên BC

Bổ đề 2.3.1 Giả sử (A), (F) và (G) được thỏa mãn với mọi T > 0.Khi đó toán tử nghiệm F xác định trên BC là χBC-nén nếu