SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ LỚP 8, LỚP 9

Để tìm GTNN (GTLN) của biểu thức A ta cần chứng minh A k ( hoặc A k) với k là hằng số với mọi giá trị của biến và chỉ ra trường hợp xẩy ra đẳng thức PHẦN I MỞ ĐẦU I Lí do chọn đề tài 1 Cơ sở lí luận Bài toán tìm GTLN, GTNN là một dạng toán nâng cao khá phổ biến trong chương trình THCS Để giải những bài toán dạng này đòi hỏi HS phải nghiên cứu và làm nhiều lần mới có thể làm quen được 2 Cơ sở thực tiễn Thực tế hiện nay khi gặp những bài toán về tìm GTNN, GTLN, HS thường bối rối và không biết hướn.

2 Cơ sở thực tiễn:

Thực tế hiện nay khi gặp những bài toán về tìm GTNN, GTLN, HS thường bối rối

và không biết hướng giải Mặc dù hiện nay có nhiều tài liệu viết về chủ đề này

nhưng tôi thấy phần kiến thức này cần phải nghiên cứu nhiều hơn

Chính vì lẽ đó tôi chọn đề tài : “Một số dạng toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức

đại số”

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Môn Đại Số lớp 8; lớp 9

III Mục đích nghiên cứu:

Giúp HS giải được bài toán “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số” IV.

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:

Bài toán “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số” đã được nhiều tài liệu đề cập đến

nhưng chỉ là kiến thức một phần trong đề tài và chưa cụ thể Điểm mới ở đề tài này là đưa những kiến thức cơ bản vào trước và phát triển nó để nâng cao những bài tập khó hơn và làm rõ những sai lầm hay mắc phải của HS

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -1-

PHẦN II: NỘI DUNG.

I LÍ THUYẾT:

1 Cho biểu thức f(x,y,…)

Ta nói a là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x,y, ) kí hiệu là Max f(x,y,…) = a nếu đồng thời có 2 điều kiện sau được thõa mãn :

- Với mọi x, y,… để f(x, y,…) xác định thì : f(x,y,…)  a ( a là hằng số) -

Tồn tại x0 , y0,… Sao cho f(x0,y0, ) = a

2 Cho biểu thức f(x,y,…)

Ta nói b là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y, )kí hiệu là Min f(x,y,…) = b nếu đồng thời có 2 điều kiện sau được thõa mãn :

- Với mọi x, y,… để f(x, y,…) xác định thì : f(x,y,…)  b ( b là hằng số)

- Tồn tại x0 , y0,… Sao cho f(x0,y0, ) = b.

* Chú ý : Nếu chỉ xảy ra 1 trong 2 điều kiện trên thì không kết luận được về GTNN

hay GTLN

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -2-

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN :

Dạng 1: Tìm GTNN (GTLN) của tam thức bậc hai

A Lí thuyết: Xét tam thức bậc hai A = ax2 + bx + c (a  0) Khi đó:

Vì 2(x + )2

 0 với mọi x nên A  2 với mọi x 2

Do đó Min A = 2 khi và chỉ khi x = - 2 * Tuy

nhiên ở VD này ta có thể biến đổi như sau:

A = 2x2 + 2 2 x + 3 = ( 2 x )2 + 2 2 x 1 + 1 + 2 = ( 2 x + 1)2 + 2  2 Do đó Min A = 2 khi và chỉ khi x = - 2

Vì - 2(x - )2  0 với mọi x Do đó B  4 với mọi x

Do đó MaxB = 4 khi và chỉ khi x =

2

*Ở dạng này cần lưu ý cho HS phải biến đổi A(x)  k hoặc A(x)  k ( k là hằng số)

Tránh sai sót: biến đổi A(x)  B(x) hoặc A(x)  B(x) rồi kết luận

Ví dụ: Tìm GTNN của A = x2 + 1

Bài giải sai: Ta có: (x - 1)2

0 với mọi x

x2 - 2x + 1 0 x2 + 1  2x Rồi kết luận Min A =

2x C.Bài tập: 1 Tìm GTNN của các biểu thức:

2

Bài toán đưa được về dạng 1.

Dạng 2:Tìm GTNN (GTLN) của đa thức bậc cao:

Phương pháp: Biến đổi đa thức đó về dạng tam thức bậc hai

Ví dụ 1: Tìm GTNN của f(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1

( Đề thi KSCL GV năm học 2009 - 2010 Huyện Cẩm Xuyên)

HD: - Trường hợp 1: Nếu x = 0  f(x) = 1

- Trường hợp 2: Nếu x  0 , chia 2 vế cho x2 ta được:

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -5-

Vậy Min f(x) = khi và chỉ khi x =

*Lưu ý: - Tránh sai sót : Khi ta biến đổi f(x) = x2  x 1 2 ta kết luận:

Vìx2  x 1 2

 0 với mọi x nên Min f(x) = 0(Bài giải sai.Vì dấu “ = ” không xảy ra)

* Có những khi ta cần đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Dạng 3: Tìm GTNN( GTLN) của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

A Lí thuyết: Với A là một biểu thức tùy ý, ta có:  A neáu A A A neáu A neáu A neáu A A A neáu A  0

A A neáu A 

  A A neáu A neáu A neáu A A A neáu A  0

Một số chú ý:

A  B  A B dấu “ = ” xảy ra  A.B  0

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -6-

A  B  A B dấu “ = ” xảy ra  A  B  0 hoặc A B  0

A  B  A  B dấu “ = ” xảy ra  A.B  0

A  B  A B dấu “ = ” xảy ra  A.B  0 A  A với

mọi A, dấu “ = ” xảy ra  A  0

A2  A2 với mọi A

A 0 với mọi A.dấu “ = ” xảy ra  A = 0 - A  A  A

với mọi A dấu “ = ” xảy ra  A = 0

HD: Ta có: 3x 1 0 với mọi x  - 2 3x 1 0 với mọi x  4 - 2 3x 1 4

Vậy Max B = 4  3x - 1 = 0 hay x =

Tìm GTNN của A = 2x 2001 + 2004 2x

(Đề thi HSG Toán 7 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2003- 2004)

HD: C/1: Áp dụng kiến thức: A  B  A B dấu “ = ” xảy ra  A.B  0 Ta có: A =

Đến đây ta giải tương tự như VD 1

2.Phân thức có tử là nhị thức bậc nhất, mẫu là tam thức bậc hai:

HD : Ta thấy A = 3x x2   28x x  19 = 3x2x  81x 2  9 do đó Đặt y = x1 1Khi đó : x = 1y - 1

A = 3( 1  1) 2  8  1y  1 9 .y2 = ………….= 4y2  y22 y 3 = 4y2  2.14 y 161

Vậy Min A = khi x = - 5

C/3: Dùng công thức nghiệm để giải

* Ngoài ra với những bài tập dạng này ta có thể viết

biểu thức A thành tổng của một số với một phân

thức không âm

Chú ý: Tất cả những dạng trên đều có chung một phương pháp là dùng điều kiện có

nghiệm của phương trình bậc hai để giải ( như VD 1 ) với cách giải này ta có thể tìm được GTLN và GTNN của biểu thức

Tức là: f(x,y) = g(x, y)2  k hoặc f(x,y) = -g(x, y)2  m C/2: Sử dụng tính

chất có nghiệm của tam thức bậc hai để đánh giá ẩn

Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy Biết x + y = 1

HD: A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = … = x2 + y2 Đến đây ta có các cách giải :

C/1 : Sử dụng điều kiện đã cho để làm xuất hiện một biểu thức có chứa A

C/2 : Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x

Thay y = 1 - x vào A ta được tam thức bậc hai đối với x Từ đó giải tiếp như dạng 1 C/3 : Sử dụng điều kiện có nghiệm để đổi biến

1 Cho các số thực x, y thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 8(x + y) + 7 = 0(1) Tìm

Max, Min của S = x + y

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2008 - 2009 Tỉnh Hà

Vậy Min S = - 7 x  y 7  x7

( Với x + y = - 7 thay vào (1) tính được y = 0)

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -15-

- 7  x + y  - 1 Đến đây ta giải tiếp như C/1

2 Cho biểu thức M = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2011 Với giá trị nào của x và y thì M đạtGTNN

(Đề thi HSG Toán 8 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2010 - 2011)

3 Cho x2 + 2y2 + 2xy + 4x - y + = 0 (1) Tìm Min S = x+ y

4 Tìm GTNN của biểu thức P = 2x2 + y2 - 2xy - 4x + 6y - 5

5 Tìm x để y lớn nhất thõa mãn : x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y + 13 = 0(1)

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010 - 2011)

HD : Biến đổi ta được : (1)  (x + y - 4)2 + (y + 1)2 = 4

 (y + 1)2

 4 ( do (x + y - 4)2  0 )  - 2  y + 1 2 Đến đây ta giải tiếp như BT 1

Dạng 6 : Dùng Bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN A.Lí

thuyết :

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -16-

1 Một số BĐT quen thuộc : a , a2 + b2

 2ab với mọi a, b Dấu “ =

” xảy ra khi và chỉ khi a = b b, - Với ab > 0 ta có : a b 2 Dấu “ = ”

xảy ra khi và chỉ khi a = b

  2 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b =

2ab a  b 2ab a  b a b

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b =

Vậy Min M = 14 khi a = b =

2 BĐT Côsi : Cho các số không âm a1; a2; ;an ta có: a1 + a2 + + an  n.n

a1.a2 a n Dấu “ = ” xẩy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến mệnh đề sau;

+ Nếu 2 số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

+ Nếu 2 số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau

Vậy minA = 8 khi x=2

* Ngoài ra ta có thể áp dụng 2 mệnh đề trên để làm một số bài tập

Ví dụ 2 : Tìm GTNN của biểu thức D = 1  1 với x > 0 ; y > 0 và x + y = 3

HD : D = 1  1 = x  y = 3 x y

Vì x + y = 3 (kđ) nên D đạt giá trị nhỏ nhất khi xy lớn nhất Theo mệnh đề trên ta có

xy lớn nhất khi x = y Mà x + y = 3  x = y = 3 Vậy Min D = 3 4

* Chú ý : - Ta có thể sử dụng nhiều BĐT trong 1 bài toán

Ví dụ 3 :Cho x, y là các số dương thõa mãn : x + y  1 Tìm GTNN của biểu thức :

M = 2

1

HD : Ta có : M = x2  1 y2  xy1 = x2  1 y2  21xy    42xy

Do đó : M  4 2 + 2 2 = 6 2  6 ( vì x + y  1)

(x  y) (x  y) (x  y)

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ x = y =

Chú ý : - Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem

chúng có đồng thời xẩy ra dấu bằng hay không

Ví dụ 4 :Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTNN của

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm y, Ta có: y+  2 y  2

Ta lại có: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  1 - = (1) (do xy )

4 BĐT Sa- Vac : Cho các số a1, a2, ,an bất kì và b1, b2, , bn > 0 Ta có :

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -21-

y x

2.Cho a > 2 ; b > 2 Tìm GTNN của biểu thức: A =  b  2 a  2

3.Cho x2 + y2 = 136 Tìm GTLN của B = 3x + 5y HD :

Áp dụng BĐT Bunhia- Copxki

4.Cho a > 0 ; b > 0 ; c > 0 Tìm GTNN của C = a  b  c

b c c a a b

5.Tìm GTNN của M = x y  2  y x 3 với x  3; y  2 xy

6.Tìm GTLN của biểu thức : N = (2 - x)(2x + y)(2 - y) với x , y 0;2

HD : Nhân 2 vế của biểu thức trên với 2 và áp dụng mệnh đề trên

I Bài học kinh nghiệm :Trong quá trình áp dụng đề tài tôi thấy :

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -23-

- Đối với người dạy : Cần bắt đầu từ những kiến thức cơ bản ở SGK để từ đó khai thác, phát triển sâu hơn Khi dạy HS cần làm kĩ từng dạng cụ thể và đặc biệt là chú ý những sai lầm của HS

được cách làm Tăng cường làm bài tập, chú ý nghe giảng Biết khai thác giả thiết và

phát hiện vấn đề II Kiến nghị :

trên đồng thời tìm ra những phương pháp giải khác cho những dạng tiếp theo

- Đối với tổ và nhà trường : Cần triển khai trong tổ để đồng nghiệp nghiên cứu và phát triển thêm để triển khai ở cấp cao hơn ( Cấp cụm)

Trên đây là những dạng toán Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số Với những lí do

mà tôi đã nêu ở phần đặt vấn đề, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn còn có nhiều điều thiếu sót, tôi mong được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và bạn đọc để

đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm -24-