Bộ lọc số qmf trong các hệ thống pr và ứng dụng trong kỹ thuật nén ảnh

Lọc tín hiệu là quá trình mà trong đó phổ tần số của tín hiệu có thể được biến điệu, phục hồi hình dạng hoặc được xử lý theo một vài đặc tính theo yêu cầu.. Sơ đồ khối của một hệ thống l

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGÔ LÊ VINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN QUỐC TRUNG

HÀ NỘI-2007

CH ương 1 Các vấn đề cơ bản về bộ lọc số

1.1 Giới thiệu chung về bộ lọc số

Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin Về mặt toán học tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến độc lập Tín hiệu được chia làm hai loại, đó là tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục là tín hiệu luôn được xác định tại mọi thời điểm trong thời gian tồn tại của nó Tín hiệu rời rạc là tín hiệu chỉ được xác định tại các thời điểm rời rạc cách biệt nhau Tín hiệu số cũng như tín hiệu tương tự có thể biểu diễn bằng hàm của tần số và được gọi là phổ tần số của tín hiệu, phổ tần số chính là sự mô tả ý nghĩa tần số của tín hiệu

Lọc tín hiệu là quá trình mà trong đó phổ tần

số của tín hiệu có thể được biến điệu, phục hồi hình dạng hoặc được xử lý theo một vài đặc tính theo yêu cầu Trong quá trình biến điệu đó các thành phần tần

số có thể được khuếch đại hoặc làm suy giảm, được tách ra hoặc loại bỏ Tóm lại bộ lọc như là một ống dẫn chỉ cho qua những tín hiệu có ích, còn những tín hiệu nhiễu do sự xâm nhập hoặc sinh ra trong quá trình xử lý cần phải loại bỏ Bộ lọc số là một hệ thống số dùng để lọc những tín hiệu rời rạc (tín

hiệu số) Sơ đồ nguyên lý của một quá trình lọc có thể được minh họa như trong sơ đồ 1.1

Tín hiệu vào tương tự x(t) được trích lấy mẫu theo nhịp thời gian T thành tín hiệu rời rạc x(nT), tín hiệu này được đưa qua bộ biến đổi tương tự số ADC (Analog to Digital Convert) Trong khối ADC này mỗi mẫu được lượng tử hoá và được chuyển thành từ mã

ở dạng mã nhị phân, từ mã càng dài thì sự chính xác của phép lấy mẫu càng lớn Dẫy mẫu đã mã hoá được đưa vào bộ lọc số DF (Digital Filter), ở đây các từ

mã được tính toán, xử lý theo một thuật toán nào đó gọi là thuật toán lọc Sau khi được thực hiện các thuật toán này thì các từ số mới sẽ xuất hiện ở đầu

ra của bộ lọc số DF Đó chính là tín hiệu số đã được lọc y(n) Số liệu này sẽ được đưa vào máy tính lưu trữ và xử lý hoặc đưa qua bộ biến đổi số tương tự DAC (Digital to Analog Convert) Sau đó được lọc bởi mạch lọc thông thấp để khôi phục hai tín hiệu tương

Bộ

AD

Lọc Khô

i

T.T điều khiể

Hình 1.1 Sơ đồ khối của một hệ thống lọc số

Như vậy theo quá trình trên thì tín hiệu vào bị tác động bởi nhiều yếu tố, bản chất của tín hiệu tự nhiên phần lớn là tín hiệu tương tự, theo như trên thì tín hiệu tương tự được biến đổi thành tín hiệu

số rồi được phân tích xử lý, sau đó mới được tái tạo lại thành tín hiệu tương tự Do đó mối quan hệ giữa tín hiệu số và tín hiệu tương tự trong hệ thống lọc phải được xác định một cách hài hoà và đồng nhất Bảng 1.1 cho ta thấy các phép toán cơ bản của bộ lọc

số

Bảng 1.1 Các phép toán cơ bản của bộ lọc số

y(

n)

x 1 (n )

x k (n )

+

α

y(n )

x 1 (n )

+

x 2 (n )

y(n )

x 1 (n )

Z -1

x(n )

y(n )

- Bộ lọc số có chuỗi đáp ứng xung hữu hạn gọi

là bộ lọc số hữu hạn FIR (Finite Impulse Response)

Bộ lọc có hàm truyền đạt trong miền n có dạng:

N n N nÕu 0 ) n (

) n ( x b a

1 ) n (

- Bộ lọc số có chuỗi đáp ứng xung vô hạn gọi là

bộ lọc số vô hạn IIR (InfiniteImpul Response) Bộ lọc IIR có phương trình:

M

0 r r

k y ( n k ) b x ( n )

- Bộ lọc không đệ quy là bộ lọc mà đáp ứng ra y(n) chỉ phụ thuộc vào tín hiệu kích thích đầu vào tại thời điểm hiện tại và quá khứ, có thể biểu diễn

bộ lọc số không đệ quy dưới dạng:

y (n) = F [x (n), x (n - 1), … , x (n - M)] (1.4)

- Bộ lọc đệ quy có đáp ứng ra y (n) không những phụ thuộc vào tín hiệu kích thích đầu vào tại thời điểm hiện tại, quá khứ, mà còn phụ thuộc vào cả đáp ứng ra ở thời điểm quá khứ Có thể biểu diễn bộ lọc

đệ quy dưới dạng:

y (n) = F [y (n -1), y (n-2), … y (n - N), x (n), x (n-1), , x(n-M)] (1.5)

Như vậy bộ lọc FIR là bộ lọc không đệ quy và bộ lọc FIR luôn ổn định Bộ lọc IIR là bộ lọc đệ quy,

bộ lọc IIR chưa chắc đã ổn định, mà bộ lọc IIR muốn

ổn định thì phải có điều kiện 2

1.3 Bộ lọc số đa nhịp và các băng lọc

Bộ lọc số có nhịp lấy mẫu đầu vào và đầu ra như nhau được gọi là bộ lọc số đơn nhịp (Single rate digital filter) Bộ lọc số có nhịp lấy mẫu thay đổi theo thời gian hoặc nhịp lấy mẫu giữa đầu ra và đầu vào khác nhau thì được gọi là bộ lọc số đa nhịp (Multirate Digital Filter) Trên thực tế tuỳ thuộc vào ứng dụng cụ thể mà người ta phân ra các loại cụ thể, như: bộ lọc thông thấp (Lowpass Digital Filtel), bộ lọc số thông tất (All - Pass Digital Filter), bộ lọc số dải hẹp (Narrow - band Digital Filter), bộ lọc số dải rộng (Wide - band Digital Filter) Phụ thuộc vào tính năng mà người ta phân thành bộ lọc số Wave DF, bộ lọc số tương thích (Adaptive DF) Phụ thuộc vào cách sử dụng hàm cửa số

và phương pháp xấp xỉ hoá đó là bộ lọc số Butter Worthe, bộ lọc số Chebyshev, bộ lọc số Flliptic, bộ lọc số Bassel…

Bộ lọc số được thể hiện bằng nhiều cách khác nhau như: thể hiện trực tiếp (Direct realization), không gian trạng thái (State space realization), hình bậc thang (Ladder), hình mắt lưới (Lattice), song song hoặc nối tiếp… Khi hệ thống lọc được phân chia thành các băng lọc như băng lọc gương cần phong (QMF banks), băng lọc biến đổi Fourier rời rạc đồng

dạng (Uniform DFT banks)… Ngoài ra phụ vào các tính năng và ứng dụng cụ thể bộ lọc số mà có tên gọi trực tiếp như bộ lọc phân chia Decimation), bộ lọc nội suy (Interpolation), và bộ lọc vi phân

Về mặt thiết kế, bộ lọc đệ quy và không đệ quy

có nhiều phương pháp thiết kế khác nhau Trên thực

tế bộ lọc số đệ quy thực hiện dễ dàng hơn nhưng chúng có độ ổn định không cao nên việc sử dụng bị hạn chế Các bộ lọc số không đệ quy tuy thực hiện phức tạp hơn, nhất là khi bậc lọc cao nhưng chúng được sử dụng rộng rãi vì những lý do sau đây:

- Có thể dễ dàng thiết bị bộ lọc FIR có đặc tuyến pha tuyến tính trong khi thực hiện đặc truyền biên độ theo chỉ tiêu cho trước Vì vậy trong hệ thống đòi hỏi nhất thiết phải có pha tuyến tính (như truyền số liệu, xử lý tiếng nói) thì bắt buộc phải dùng bộ lọc FIR

- Do sự liên quan chặt chẽ đến các thuật toán FFT, bộ lọc FIR được thực hiện có hiệu quả với tích chập nhanh Trong trường hợp bộ lọc FIR bậc cao,có thể dùng kỹ thuật đa nhịp và phân hoạch đa pha chia thành các dải con, mà kỹ thuật này không áp dụng cho

bộ lọc IIR

- Có thể thực hiện bộ lọc FIR bằng tích chập trực tiếp Các cấu trúc dù ở dạng số hoặc tương tự

rời rạc đều ổn định, không có nhánh phản hồi giữa đầu ra và đầu vào

- Trong các hệ thống rời rạc việc tăng hay giảm tần số lấy mẫu thường xảy ra Các quá trình nội suy, phân chia này lúc này cũng đòi hỏi phải lọc bổ sung, các bộ lọc này thực hiện theo FIR tiện lợi hơn nhiều

so với IIR

- Các lỗi sinh ra do thực hiện mạch không lý tưởng trong trường hợp lọc FIR có thể điều khiển dễ hơn nhiều, có nghĩa là trong khi thiết kế ta có thể

dễ dàng phát hiện nhiễu làm tròn khi thực hiện số hoá, cũng như các vấn đề tổn hao khi thực hiện bằng mạch tương tự, bởi vì nó không có nhánh phản hồi nên

- Thiết kế bộ lọc FIR là một vấn đề mới căn bản

so với các phương pháp đã biết, bởi vì các kết quả của bộ lọc tương tự không được dùng hoặc chỉ được dùng rất ít trong trường hợp này

- Thiết kế bộ lọc FIR đòi hỏi kỹ thuật tính toán khá lớn và tăng tuyến tính với bậc của bộ lọc

- Xấp xỉ bộ lọc FIR có độ chọn lọc cao khá khó, lúc ấy phải chọn bộ lọc khá cao, vì vậy việc thực hiện và thiết kế đều khó

- Trong bộ lọc FIR đòi hỏi bộ nhớ Ram và bộ ghi dịch tỷ lệ với bậc của bộ lọc và khá cao so với IIR, đổi lại điều này bộ lọc FIR có độ ổn định tốt và điều kiện logic đơn giản hơn

1.5 Một số phép toán và ký hiệu

Để nghiên cứu và tính toán bộ lọc số, người ta

sử dụng khái niệm hàng truyền đạt của bộ lọc số Sơ

đồ của bộ lọ số được biểu diễn theo hàm truyền đạt như sau:

- Biến đổi Z thuận (ZT):

Giả sử có tín hiệu x (n) thì biến đổi Z là:

Z (

Viết theo dạng toán tử:

ZT [x(n)] = X (Z) Trong đó Z là biến phức

Một trong những tính chất quan trọng của biến đổi Z là tính chất trễ

H (Z)

Nếu X (Z) là biến đổi Z của x (n) thì

ZT [x(n-n0)] = n 0

Z− X (Z) Và: ZT [δ(n-1)] = Z-1 đây chính là bộ trễ

- Biến đổi Z ngược (IZT)

π

j 2

1 ) n (

Trong đó C là đường cong khép kín bao quanh gốc toạ độ của mặt phẳng Z lấy theo chiều dương và nằm trong miền hội tụ

1.5.2 Biến đổi Fourier (FT)

- Biến đổi Fourier thuận:

n j

n

j

e ) n ( z )

E (

π

ω

= 2 f

- Biến đổi Fourier ngược (IFT):

1 ) n (

1.5.3 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

- Biến đổi Fourier rời rạc thuận:

Nếu chuối x(n) có M điểm [x0, x1, xM) thì biến đổi DFT của x(n) là:

kn M

2 j

e ) n ( x )

k ( X

(1.10) Với: 0 ≤ k ≤ M - 1

Ký hiệu: M

2 j

e W

kn

W ) n ( x )

k (

kn

W ) k ( X M

1 ) k ( x

(1.12) Chú ý rằng ta luôn có:

0 n

kn

i

¹ l cßn n 0

M cña sè béi lµ k nÕu M W

(1.13)

Để tính toán DFT và IDFT người ta có thể lập trình bằng máy tính Dựa vào (1.11) và (1.12) có thể biểu diễn các khối ma trận của DFT và IDFT lần lượt như sau:

Hình 1.3 Biểu diễn khối ma trận (a) DFT, (b) IDFT

DFT

M điể

1)

X(M-X(k)

.

.

IDFT

M điểm (a)

X(0) X(1)

1)

X(M-x(0) x(1)

1)

x(M-x(n)

.

.

(b) X(k)

Nếu biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:

) 1 (

) 2 (

) 1 (

) 0 (

1

.

.

.

.

.

1 1

1

) 1 (

) 2 (

) 1 (

) 0 (

) 1 )(

1 ( )

1 ( 2 ) 1 (

) 1 ( 2 4

2

) 1 ( 2

x x x

X

W W

W

W W

W

W W

W

M X

X X X

M M M

M

M M

Hình 1.4 Ma trận DFT M điểm của x(n)

) 1 (

) 2 (

) 1 (

) 0 (

1

.

.

.

.

.

.

1 1

1

) 1 (

) 2 (

) 1 (

) 0 (

) 1 )(

1 ( )

1 ( 2 ) 1 (

) 1 ( 2 4

2

) 1 ( 2

X X X

X

W W

W

W W

W

W W

W

M x

x x x

M M M

M

M M

Hình 1.5 Ma trận IDFT M điểm

Nhìn vào ma trận ta thấy để tính DFT trực tiếp

M điểm cho một hệ thống X(k) ta cần M phép nhân phức

và M - 1 phép cộng phức Để tính M hệ điển các phép được thực hiện theo số thực nên một phép nhân 2 số phức cần 4 phép nhân số thực và 4 phép công số thực

Vì vậy để thực hiện DFT M điểm cần (4M2-2M) phép nhân và (4M2-6M) phép cộng số thực Trong các ma trận trên có một hàng và một cột bằng nếu số phép nhân và cộng mỗi loại giảm đi 2M lần Cho dù số phép tính phức trong ma trận được giảm khi hệ số của nó bằng 0, 1, -1 thì mức độ phức tạp khi tính DFT trực tiếp vẫn tăng tỷ lệ theo M2, thêm vào đó trong khi thực hiện còn phải cất giữ, dịch chuyển dãy các hệ

số các hệ số Sin và Cosin của ej2pk/M khớp với các hệ

số của dãy vào Vì vậy khi tính DFT với số điểm quá

lớn (M > 1000) thì sẽ gặp rất nhiều khó khăn cả về thời gian và chi phí cho phần cứng

Để khắc phục những nhược điểm này người ta đã tìm ra thuật toán biến đổi Fourie nhanh (FFT: Fast Fourier Transfom) Sự ra đời của FFT đã nâng DFT lên một tầm cao mới và góp phần thúc đẩy sự phát triển của xử lý tín hiệu số, với thuật toán FFt số phép tính giảm xuống chỉ còn Mlog2M phép tính phức chocả phép tính nhân và cộng Nhìn vào ma trận ta thấy có rất nhiều thừa số giống nhau, mặt khác do tính chất của các hàm lượng giác nên sẽ có nhiều phép toán được lặp lại theo các hàng và cột của ma trận Vì vậy có khả năng tìm được thuật toán tính DFT với số lượng ít hơn hay nói cách khác là tìm thuật toán thực hiện DFT M điểm bằng cách DFT có số điểm nhỏ hơn M và do đó mà giảm bớt được số phép tính Đây chính là cơ sở của tư tưởng xây dựng thuật toán FFT

Có hai dạng thuật toán chính cho FFT đó là thuật toán phân chia theo thời gian và thuật toán phân chia theo tần số

1.6 Các chỉ tiêu thiết kế bộ lọc số

Hình 1.6 biểu diễn dạng tổng quát đáp ứng tần

số của bộ lọc thông thấp và dải chắn, đồng thời mô

tả các loại trục tần số dùng trong lọc số Đường nét đứt là đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng

Hình 1.6 Dạng các đáp ứng tần số của bộ lọc thông

thấp và các bộ lọc

δ - Là biên độ sóng cực đại

δ1- Là độ suy giảm tối thiểu của dải chắn

Trục tần số w lấy các giá trị đặc biệt 0, p, 2p

Trục tần số Ω được lấy chuẩn hoá theo chu kỳ lấy mẫu TS

ΩS = 2pfs = 2p/TS ứng với p sẽ là ΩS/2, ứng với 2p sẽ là ΩS

Trục tần số được chuẩn hoá với 2p nên tương ứng với 0,p, 2p sẽ là 0, 5, 1

Nếu Ap độ lớn biên độ dải thông và AS là độ suy giảm tối thiểu ở chắn thì ta có quan hệ sau:

AP = 20log[(1+δ)/(1 - δ)]

Dải hô

Dải

hắ

S C

P ω ω ω

S C

P Ω Ω Ω

π π

1/

2

π

ω / 2

AS= -20logδ Nguyên tắc chung để thiết kế bộ lọc số là từ hàm đáp ứng tần số, từ yêu cầu về độ gợn sóng, độ rộng dải quá độ và độ suy giảm ở dải chắn là dùng phương pháp thiết kế để tính các hệ số h (n)

Khi thiết kế các bộ lọc số cần đáp ứng các yêu cầu chính sau đây:

1 Tính các hệ số đáp ứng xung (n): Các mẫu đáp ứng tần số của bộ lọc sao cho đường đặc tuyến tần số nhận được gần với đường đặc tuyến tưởng, nghĩa là tối ưu hoá các hệ số

2 Xây dựng cấu trục hàm tuyến H(Z) sao cho thời gian là nhanh nhất mà không bị méo pha, méo biên độ, méo Aliasing, nghĩa là đảm bảo tính tái xây dựng hoàn chỉnh

Có ba phương pháp thiết kế chính, đó là: phương pháp dùng các hàm cửa sổ, phương pháp dùng DFT và phương pháp xấp xỉ tối ưu Cả ba phương pháp này đều không được đề cập đến ở đây

1.7 Kết luận

Như vậy trong chương này đã trình bày một số khái niệm về lọc số và những vấn đề liên quan, như lọc đa nhịp, băng lọc, một số phép toán cơ bản được dùng trong quá trình tính toán bộ lọc số Đồng thời cũng đề cập một vài khía cạnh liên quan đến vấn đề thiết kế

CH ƯƠNG 2: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA

BANK LỌC SỐ NHIỀU NHỊP

Trong chương này chúng ta sẽ đi xem xét các vấn

đề cơ bản của bank lọc số nhiều nhịp Từ đặc tính tần số của chúng, chúng ta sẽ đưa ra các sơ đồ kết nối để tạo thành các khối xử lý trong hệ thống nhiều bank lọc Thêm vào đó chúng ta sẽ xem xét các thuật toán để đưa ra các mô hình tối ưu và đơn giản trong thiết kế

là hệ thống nhiều nhịp khi và chỉ khi tần số (hoặc nhịp) lấy mẫu được thay đổi trong quá trình xử lý

lấy mẫu từ giá trị Fs về một giá trị Fs’ (Fs’ < Fs) được gọi là phép phân chia

Nếu Fs’ = Fs/M (M > 1 và nguyên dương) thì ta gọi phép phân chia theo hệ số M và M được gọi là hệ

[ ]

y ↓M(n) [Fs’]

* Phép nội suy: Việc tăng tần số (hoặc nhịp) lấy mẫu từ giá trị Fs đến một giá trị Fs’ (Fs’ > Fs) được gọi là phép nội suy

Nếu Fs’ = FsL (L > 1 và nguyên dương) thì ta gọi phép nội suy theo hệ số L và L được gọi là hệ số nội suy

* Bộ nội suy: Một hệ thống chỉ làm nhiệm vụ tăng tần số lấy mẫu được gọi là bộ nội suy và được

ký hiệu có dạng như hình 2.2

Hình 2.2 Hệ thống nội suy

2.2.1 Phép phân chia theo hệ số M

* Biểu diễn phép phân chia trong miền biến số n: Giả sử ta có bộ phân chia trong hình 2.1 thì ta thấy rằng tần số Fs của tín hiệu rời xạc x(n) sau khi đi qua bộ phân chia sẽ bị giảm đi M lần hoặc chu

kỳ lấy mẫu

s s

ư L x(n)

[ ]

y ↓L(n) [Fs’]

↓M x(nTs) x(nTs’) = x(nMTs) = y

Hình 2.3 Phép phân chia

Như vậy tín hiệu rời rạc trước khi vào bộ phận chia là x(nTs) và sau khi ra khỏi bộ phân chia là x(nTs’)

* Biểu diễn phép phân chia trong miền z hình 2.4

Hình 2.4 Phép phân chia trong miền z

M ( n ) z x ( nM ) z y

(2.1) Đổi biến số: m = nM và

M

m n= ta có:

y ↓M(z) = ∑∞

−∞

=

− m

M m

z ) m (

m 1 M

2 j 1

M

0

l

m 1 M

i

¹ l cßn m víi 0

n ª nguy sè : n , nM m

víi 1 e

M

1 W

M m

z ) m ( p ) m ( x

=

m 1

M

0 1

l M

2 j M 1

m

e z ) m ( x M

0 1

1 M M 1

) W Z ( X M

1

↓M

* Biểu diễn phép nhân chia trong miền tần số: Biểu diễn phép phân chia trong miền tần số tìm quan hệ giữa:

0 1

M l 2 j

) e ( X M

1

(2.4)

2.2.2 Bộ lọc phân chia

* Tổng quát:

ở phần trên ta đã nghiên cứu phép phân chia và

bộ phân chia, kết quả cho thấy tín hiệu x(n) khi qua

bộ phân chia ↓M, trong miền tần số sẽ tạo ra M-1 thành phần hư danh (aliasing), các thành phần hư danh này gây hiện tượng chồng phổ Nhưng nếu x(n)

có băng tần nằm trong khoảng

M M

Hình 2 5 Giản đồ tần số của bộ lọc phân chia

Để làm điều này chúng ta có thể đặt trước bộ phân chia ↓M một bộ lọc thông thấp (low pass filter)

có wC =

M

π Bộ lọc thông thấp này làm nhiệm vụ loại

1/2

y ↓2(ejw)

w 2p

p

0

-p -2p

1/2

y ↓↑2/3(ej

w)

w 2p

p

0

-p -2p

1

y ↑3(ejw)

w 2p

p

0

-p -2p

1/2

y ↓↑2/3(ej

w)

w 2p

p

0

-p -2p

ω < như vậy ta sẽ tránh được hiện tượng chồng phổ

Sơ đồ tổng quát của bộ lọc phân chia cho trên hình 2.6

n (

x H →↓M H↓M

) n ( y )

n ( y )

n (

n ( y

[x ( n ) * h ( n )] M[y ( n )]

M ) n (

yH↓M =↓ =↓ H (2.7) Cần lưu ý một điều là phép phân chia không có tính

chất phân phối vào phép chập tức là:

* Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền z

Trong miền z phép lọc phân chia được mô tả như

sau:

[Y ( z )]

M Y

) z ( Y )

z (

1 M M

1 1

M M 1

M

H X ( Z W ) H ( Z W )

M

1 ) z (

Cũng như trong miền số n, ta lưu ý một điều là

phép phân chia không có tính chất phân phối trong

miền z tức là:

[X ( z ) H ( z )] M[X ( z )] M[H ( z )]

↓

* Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền tần

số

Đánh giá X(z), H(z), YH(z), YH↓M (z) trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z ta sẽ có cách biểu diễn phép lọc phân chia trong miền tần số như sau:

) e ( Y )

e ( Y e

− ω ω

0 l

M 1 2 M

1 2 j

M

M

1 ) e ( Y

) e ( H ).

e ( X M

1 )

e (

Y jM jM

0 l j M H

ω ω

=

ω

Và nếu H(ejw) là bộ lọc thông thấp lý tưởng tức

là ở dải thông |H(ejw)| = 1, dải chắn |H(ejw)| = 0 thì

ta có thành phần đầu tiên (l = 0) như sau:

) e ( X M

1 )

e (

0 l j M H

1 M M 1

2 1 M M

1 1

M M 1

1 1 M M 1

M

H X ( Z W ) H ( Z W ) X ( Z W ) H ( Z W )

M

1 ) z ( Y

= ↓ M[X ( z ) H1( z )]+ ↓ M[X ( z ) H2( z )]

(2.11) Vậy phép phân chia có tính phân phối vào phép cộng

Ký hiệu toán tử để biểu diễn phép phân chia như sau:

) n ( y ) n ( y )

n (

s s

Để hiểu rõ bản chất của quá trình nội suy này

ta sẽ biểu diễn dãy vào và dãy ra của bộ chia ở dạng không chuẩn hoá như hình 2.7:

L

n: là số nguyên

ư L x(nTs) x(nTs’)

Hình 2.7 Phép nội suy

Như vậy tín hiệu rời rạc trước khi vào bộ nội suy là x(nTs) và sau khi ra khỏi bộ phân chia là x(nTs’)

* Biểu diễn phép phânchia trong miền z hình 2.8:

Hình 2.8 Phép nội suy trong miền z

L

n ( x z

) n ( y

m

mL

L ( z ) x ( m ) z x ( m )( z ) y

) z ( X ) z (

y↑L = L (2.12)

* Biểu diễn phép phân chia trong miền tần số: Biểu diễn phép phân chia trong miền tần số tìm quan hệ giữa:

[y ( n )]

FT ) e (

X jω =Nếu ta đánh giá Y↓M (z) và X(z) trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z thì ta sẽ tìm được quan hệ giữa Y↓M( ejω) và X ( ejω), tức là:

ư L

L

↑

) e (

X jω = X ( z ) z = e j ω

) e ( X ) e (

Y j j L L

ω ω

L

C

π

=

ω Trong miền biến biến số n

bộ lọc này làm nhiệm vụ nội suy ra các mẫu biên độ

0, còn trong miền tần số nó làm nhiệm vụ loại bỏ các ảnh phụ của phổ cơ bản

Sơ đồ tổng quát của bộ lọc nội suy cho trên hình 2.9

C

π

= ω

Hình 2 9 Bộ lọc nội suy

Chúng ta có thể dùng cách biểu diễn toán tử sau đây để biểu diễn một cách ngắn gọn phép lọc nội suy

) n ( y

n ( y

n ( y )

n (

(2.14)

[ ]x ( n ) y ( n ) L

) n (

L 2 , L , 0 n ) L

n ( x

(2.15)

) n ( y

* ) n ( h ) n ( h

* ) n ( y ) n (

k n ( h ) L

k ( x(2.16)

* Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền z

Chúng ta mô tả phép lọc nội suy trong miền z

bằng cách sau đây:

) z ( Y )

z ( Y

X(z) = ZT[h(n)]; Y↑LH(z) = ZT[y↑LH(n)]

* Biểu diễn phép nội suy trong miền tần số

Đánh giá X(z), H(z), Y↑LH(z) trên vòng tròn đơn

vị trong mặt phẳng z (tức là thay z = ejw) ta có

biểu diễn phép nội suy trong miền tần số như sau:

) e ( Y )

e ( Y )

e

(

X jω  →↑L ↑L jω H →(ejω) ↑LH jω

) e (

e ( X ) e ( H ).

e ( Y ) e (

Y↑LH jω = ↑L jω jω = jωL jω(2.17)

không nguyên

2.4.1 Thay đổi nhịp lấy mẫu với hệ số

L M

* Biểu diễn trong miền biến số n: Trong kỹ thuật nhiều khi để thực hiện một nhiệm vụ nào đó chúng ta cần phải thay đổi nhịp lấy mẫu với hệ số là phân số

L

M

Hình 2 10 Phép thay đổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L

Để thực hiện được nhiệm vụ này chúng ta cần phải ghép nối tiếp hai bộ nội suy và phân chia với nhau hoặc theo thứ tự ngược lại, bộ này được gọi là

bộ biến đổi nhịp với hệ số

thì tần số lấy mẫu sẽ thay đổi ML

s ''

n)

Fs F’s= LFs F’s= M

Chúng ta có thể dùng kí hiệu toán tử để biểu diễn phép biến đổi nhịp lấy mẫu hệ số M/L như sau:

L

M

L / M L

/ M L

/ M L

Sở dĩ phải phân biệt thứ tự trước sau giữa bộ phân chia và bộ nội suy bởi vì phép phân chia và phép nội suy không có tính giao hoán Bộ phân chia,

bộ nội suy và bộ biến đổi nhịp là hệ thống không phải bất biến theo biến số n, tức là, chúng là các

hệ thống thay đổi theo biến số n (nếu n là thời gian, thì là thay đổi theo thời gian)

Như vậy nói chung thì y↑↓M/L(x) ≠ y↓↑M/L(n) mặc dù

tỷ lệ thay đổi nhị lấy mẫu đều là ML Tuy nhiên cũng

có trường hợp y↑↓M/L(x) = y↓↑M/L(n) nếu quan hệ giữa M

và L thỏa mãn một số điều kiện

Nếu M > L thì bộ thay đổi nhịp làm nhiệm vụ nén tín hiệu theo tỉ lệ ML

Nếu M < L thì bộ thay đổi nhịp làm nhiệm vụ giãn tín hiệu theo tỉ lệ ML

b Bộ biến đổi nhịp [↓↑

L

M]

Hình 2.11 Bộ biến đổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L

b)

* Biểu diễn trong miền z: Trong phần này ta sẽ dùng biến đổi z để nghiên cứu quan hệ vào ra các bộ biến đổi nhị, và cũng từ đây chúng ta sẽ giải thích được tính chất của phép biến đổi nhịp lấy mẫu

Trước tiên ta xét quan hệ vào ra của bộ biến đổi nhịp ↑↓

L

M , ta đã xét phép biến đổi nhịp sau:

) n ( y )

n (

z (

l M

2 j M 1

M

1 ) z (

(2.20) Sau đó Y↓M(z) đi qua bộ nội suy ưL ta có:

ZT ) z ( y )

z (

0 l

l M M L

1 M

0 l

l M

2 j M 1

M L

/ M

) W z ( X M 1

) e z ( X M

1 ) z ( Y ) z ( y

Bây giờ ta xét quan hệ vào ra của bộ biến đổi nhịp ↑↓ML , ta có phép biến đổi nhịp như sau:

) n ( y )

n (

z (

(2.21)

[y ( z )]

ZT ) z ( Y )

z (

) z ( X ) z (

Sau đó YưL(z) đi qua bộ phận chia ↓M ta có:

ZT ) z ( Y )

z (

l M

2 j M 1

L L

/

M

1 ) z ( Y

∑−

=

π π

0 l

L l M

2 j M

1 l

M

2 j M 1

L ( z e ) X ( z e ) Y

M 1

Ll M

2 j M 1

L /

M

1 ) z ( Y

∑∞

=

=

0 l

Ll M M L

) W z ( X M 1

Ll M M L 1

M

0 l

l M M L

) W z ( X M

1 ) W z ( X M 1

Điều này có thể xảy ra nếu và chỉ nếu Ll

M l

M

W với 0 ≤ 1 ≤ M - 1

- Trong trường hợp l = M ta có:

) z ( Y )

z (

X ↓↑ →M/M ↑↓M/MVậy:

=

0 l

l M M

/

M

1 ) z ( YVà:

) z ( Y )

z (

/

M X ( z ) X ( z )

M

1 ) z ( Y

(2.23)

2.4.2 Bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L

Xây dựng bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu với hệ số không nguyên M/L, đưa vào các kết quả có được từ bộ lọc phân chia và bộ lọc nội suy và bộ biến đổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L Bộ lọc biến đổi nhịp đảm bảo biến đổi nhịp theo hệ số không nguyên M/L, không gây hiện tượng chồng phổ tức là không làm hư thông tin của chúng ta

Bộ lọc biến đổi nhịp hệ số M/L được xây dựng bằng cách ghép nối tiếp hai bộ lọc nội suy và bộ lọc phân chia (hình 2.12)

Bộ lọc nội suy Bộ lọc phân chia

Hình 2.12 Bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu với hệ số

s

F M L

Do ghép nối tiếp bộ lọc nội suy trước bộ lọc phân chia như hình 2.12 ta thấy rằng bộ lọc hL(n) được ghép nối tiếp với bộ lọc h(n), kết hợp hai bộ lọc thành một bộ lọc chung có đáp ứng xung h(n) Bộ lọc h(n) này phải làm nhiệm vụ đối với ghép nội suy

và ghép phân chia, do đó phải chọn bộ lọc h(n) sao cho cùng một lúc nó thực hiện được cả hai nhiệm vụ này

Hai bộ lọc này ghép nối tiếp vì vậy đáp ứng tần

số H(ejw) = FT[h(n)] sẽ là:

H(ejw) = HL(ejw) HM(ejw) Với:

HL(ejw) = FT[hL(n)] và HM(ejw) = FT[hM(n)]

Vậy có:

| H(ejw) | = |HL(ejw)| | HM(ejw) | Với HL(ejw) là bộ lọc thông thấp (giả sử là lý tưởng) có C L

) (

0

M

, L min 0

1 )

Hình 2.13 Đồ thị lựa chọn w C

Kết quả bộ lọc biến đổi nhịp hệ số M/L với chỉ một bộ lọc thông thấp có đáp ứng xung h(n) và đáp ứng tần số H(ejw) Hình2.14 là sơ đồ khối của bộ lọc nhiều nhịp này:

Hình 2.14 Sơ đồ bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu

y(n)

Dùng cách biểu diễn toán tử như sau:

) n ( y

) n ( y )

n ( y )

n (

x  →↑L ↑L  →H ↑LH ↓→M ↑H↓M/L

Ngắn gọn hơn:

) n ( y

) n (

) n ( y )

n ( y )

n (

x  →↑L ↑L H → (n) ↑LH ↓→M ↑H↓M/L

Với:

) n ( x L

L ,

L , 0 n )

L

n ( x

LH ( n ) y ( n ) * h ( n ) y ( k ) h ( n k ) y

x (2.24)

L / M

H ( n ) M y ( n ) * h ( n ) M x ( k ) h ( n kL ) y

(2.25)

* Biểu diễn phép lọc biến đổi nhịp trong miền

z

Trong miền z phép lọc biến đổi nhịp được mô tả như sau:

) z ( y

) z ( y )

z ( y )

z (

X  →↑L ↑L H → (z) ↑LH ↓→M ↑H↓M/L

Trong đó:

X(z) = ZT[x(n)], H(z) = ZT[h(n)]

Y↑H(z) = ZT[y↑L(n)], Y↑LH(z) = ZT[y↑LH(n)]

Y↑H↓M/L(z) = ZT[y↑H↓M(n)], Và:

l M M 1

LH ( z W ) Y

M 1

l M M

1 L

l M M 1

) W z ( H ) W z ( X M 1

l M M

1 Ll

M M L

) W z ( H ) W z ( X M

ejw) để biểu diễn phép lọc biến đổi nhịp trong miền tần số như sau:

) e ( y

) e ( y )

e ( y )

e

(

X jω  →↑L ↑L jω H → (z) ↑LH jω ↓→M ↑H↓M/L jω

M Ll 2 L j 1 M

0 l

1 M

0 l

M l 2 j LH

π

− ω π

− ω

(2.27)

2.5.1 Phân hoạch nhiều pha hai thành phần

* Phân hoạch hàm truyền đạt H(z)

Hệ thống tuyến tính có đáp ứng xung là:

h(n) n = - ∞, , + ∞ Hàm truyền đạt là H(z):

z ( HPhân dãy h(n) làm hai phần ứng với n chẵn và n lẻ:

h(n) → h(2r) và h(2r + 1) Vậy:

H(z) = ∑∞

−∞

=

− n

n

z ) n ( hPhân dẫy h(n) đ h(2r) và h(2r + 1)

r

r 2

z ) 1 r 2 ( h z

) 2 ( h )

z ( H

r

r 2

z ) 1 r 2 ( h z z ) 2 ( h )

z ( HGọi e0đ = h(2r) và e1r = h(2r + 1)

Đặt: