Phương pháp tự thích nghi giải bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan

Giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert và một số bài toán có liên quan, trình bày một số kiến thức cơ bản vềkhông gian Hilbert thực cùng một số toán tử t

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Phương pháp tự thích nghi

giải bài toán bất đẳng thức biến phân

và một số bài toán liên quan

NGUYỄN THỊ DINHdinh.nt211309m@sis.hust.edu.vn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô PGS TS Nguyễn ThịThu Thủy và các thầy cô viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại họcBách khoa Hà Nội, cùng gia đình, bạn bè đã đồng hành cùng tôi để tôi cóthể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.

Tóm tắt nội dung luận văn

1 Giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

và một số bài toán có liên quan, trình bày một số kiến thức cơ bản vềkhông gian Hilbert thực cùng một số toán tử trong không gian này

2 Trình bày một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phântrên tập điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệumạnh; chứng minh sự hội tụ mạnh của các phương pháp; đưa ra các ví

dụ số minh họa trong không gian Hilbert thực hữu hạn chiều

3 Trình bày một phương pháp giải bài toán không điểm chung tách và mộtphương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân; chứng minh sự hội

tụ mạnh của các phương pháp; đưa ra các ví dụ số minh họa trong khônggian Hilbert thực hữu hạn chiều

HỌC VIÊN

Nguyễn Thị Dinh

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản 12

1.1.1 Sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh 13

1.1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn Toán tử liên hợp 14

1.1.3 Toán tử liên tục Lipschitz Toán tử chiếu 16

1.1.4 Toán tử đơn điệu 20

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 22

1.2.1 Phát biểu bài toán 22

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm 24

1.2.3 Mối liên hệ với những bài toán khác 27

Chương 2 Phương pháp tự thích nghi giải bài toán bất đẳng

phân trên tập điểm bất động 372.1.1 Thuật toán 37

phân giả đơn điệu mạnh 502.2.1 Thuật toán 50

Chương 3 Phương pháp giải bài toán không điểm chung tách vàbài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 603.1 Giới thiệu bài toán 603.2 Thuật toán 633.3 Ví dụ số minh họa 71

Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt

tập ràng buộc C

Danh sách bảng

3.1 Bảng kết quả minh họa phương pháp lặp (3.2) với x0 = (−2, 1)T, u =(−1/100, −1/100)T, δ = 0.05, γnA = γnB = 1, βn = 12, αn = n+11 72

(−2, 1)T, δ = 0.05, γnA = γnB = 1, βn = 12, αn = n+11 72

Danh sách hình vẽ

MỞ ĐẦU

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được

ký hiệu tương ứng là h., i và k.k, với C là tập lồi, đóng, khác rỗng của H vàánh xạ A : C → H Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán bất đẳng thứcbiến phân VIP(A, C) sau đây

tìm x∗ ∈ C sao cho hAx∗, y − x∗i ≥ 0 ∀y ∈ C

Bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(A, C) được nhà toán học ngườiItalia là Stampacchia (xem [15]) và các đồng sự đưa ra lần đầu tiên vàonhững năm đầu của thập niên 60, thế kỷ XX, khi nghiên cứu về bài toánbiên tự do Nó bao hàm các lớp bài toán quan trọng như bài toán tối ưu hóa,bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm bất độngv.v Chính vì vậy, bài toán bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụngtrong thực tế, chẳng hạn trong lý thuyết trò chơi, trong vận tải, kinh tế, hệthống mạng v.v

Các nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân có thể chia thành haihướng: hướng nghiên cứu định tính (về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, về cấutrúc của tập nghiệm, về tính ổn định của nghiệm ) và hướng nghiên cứuđịnh lượng (đề xuất các thuật giải, nghiên cứu tốc độ hội tụ của các phươngpháp giải cũng như đánh giá các sai số của chúng) Đề tài của luận văn thuộchướng nghiên cứu thứ hai Cụ thể, chúng tôi đề xuất một số phương pháp tựthích nghi giải bài toán bất đẳng thức biến phân và các dạng liên quan.Một trong những phương pháp đơn giản nhất để giải bài toán bất đẳng

thức biến phân là phương pháp chiếu:

điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz, λk ∈ 0, 2 γ

L2

, thuật toán hội tụ mạnh

đơn điệu mạnh, phương pháp một lần chiếu nói trên không hội tụ Để khắcphục điều này, nhà toán học Korpelevich đề xuất phương pháp đạo hàm tăngcường:

đề xuất, cỡ bước tại mỗi bước lặp của thuật toán không được chọn trước từđầu mà được xây dựng dựa trên thông tin của các bước lặp trước đó Đây làcách tiếp cận hiện đại, giúp phương pháp mới của chúng tôi khắc phục đượcmột số nhược điểm của các phương pháp hiện có và đồng thời tăng được tốc

độ hội tụ của thuật toán

Ngoài ra, một số mô hình thực tế được mô phỏng bởi bài toán bất đẳngthức biến phân với tập ràng buộc được cho dưới dạng ẩn (xem [17], [18])

Trong trường hợp này, các phương pháp giải hiện có không thể áp dụngđược Để khắc phục, ta thường phải xây dựng một ánh xạ không giãn có tậpđiểm bất động trùng với tập ràng buộc của bài toán đã cho và nghiên cứuphương pháp giải cho bài toán hai cấp thu được Đây là lớp bài toán khó, cócấu trúc phức tạp, các phương pháp giải còn rất hạn chế Trong luận văn củamình, chúng tôi đề xuất một phương pháp mới cho lớp bài toán này Điểmđặc biệt của phương pháp mới, phân biệt nó với các phương pháp hiện có,

là tại mỗi bước lặp, chúng ta không cần thực hiện bất cứ phép chiếu nào lêncác tập lồi, đóng, vốn là một thao tác đắt về mặt tính toán và là tác nhânchính ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ của thuật toán Các thử nghiệm số chứng

tỏ trong một số trường hợp, phương pháp mới tỏ ra hiệu quả hơn so với cácphương pháp đã có

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, luận văn gồm ba chương: Chương 1 “Kiếnthức chuẩn bị” trình bày cơ sở toán học về không gian Hilbert và giới thiệubài toán bất đẳng thức biến phân cùng một số bài toán liên quan Cụ thể,trình bày một số tính chất của không gian Hilbert thực; khái niệm và ví dụ

về toán tử đơn điệu, toán tử chiếu trong không gian Hilbert thực; bài toánbất đẳng thức biến phân và mối liên hệ của bài toán bất đẳng thức biếnphân với các bài toán khác Chương 2 “Phương pháp tự thích nghi giải bàitoán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan” trình bày một sốphương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động

và bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh; chứng minh sự hội

tụ mạnh của các phương pháp; đưa ra các ví dụ số minh họa trong khônggian Hilbert thực hữu hạn chiều Chương trình thực nghiệm được viết bằngngôn ngữ MATLAB Chương 3 “Phương pháp lặp giải bài toán không điểmchung tách và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert”trình bày một phương pháp giải bài toán không điểm chung tách và mộtphương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân; chứng minh sự hội tụmạnh của các phương pháp; đưa ra các ví dụ số minh họa trong không gian

Hilbert thực hữu hạn chiều Chương trình thực nghiệm được viết bằng ngônngữ MATLAB.

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Một không gian véc tơ thực H được trang bị tích vô hướng h., i và đầy đủđối với chuẩn

được gọi là không gian Hilbert thực Từ đây đến hết luận văn, ta luôn ký

(hữu hạn chiều) với tích vô hướng

với mọi x = (x1, , xn) , y = (y1, , yn) ∈ Rn.

chiều) với tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Cho H là một không gian Hilbert thực.(a) Dãy {xn} trong H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu với mọi

hội tụ yếu đến x∗ ∈ H và dãy {kxnk} hội tụ đến kx∗k thì dãy {xn} hội tụ

Thật vậy, với mọi n, ta có

kxn− x∗k2 = hxn − x∗, xn− x∗i

= kxnk2− hx∗, xni − hxn, x∗i + kx∗k2

Từ giả thiết, suy ra:

Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường số thực R

Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) toán tử A : X → Y được gọi là toán tử tuyếntính (hay ánh xạ tuyến tính) nếu

(i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X;

(ii) A(αx) = αAx với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ R

Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.1.3 tương đương với

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) với mọi x, y ∈ X và mọi α, β ∈ R

Định nghĩa 1.1.4 (xem [1]) (a) Toán tử tuyến tính A từ không gian địnhchuẩn X vào không gian định chuẩn Y được gọi là bị chặn nếu tồn tạimột hằng số M > 0 sao cho

(b) Hằng số M > 0 nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là chuẩn của toán tử

A, ký hiệu là kAk

Định nghĩa 1.1.5 (xem [1]) Cho A : X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn

hAx, yi = hx, A∗yi, ∀x ∈ X, y ∈ Y

Ví dụ 1.1.6 Cho toán tử A : R2 → R3 được xác định như sau

A∗(y1, y2, y3) = (y1− y2 + 0y3, y1 + y2 + 0y3), ∀y = (y1, y2, y3) ∈ R3.Thật vậy, ta có:

Định nghĩa 1.1.7 (xem [1]) Cho C là một tập con khác rỗng của khônggian Hilbert thực H.

(i) Toán tử T : C → H được gọi là toán tử L-liên tục Lipschitz trên C nếutồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho

Hình 1.1: Minh họa phép chiếu lên một tập lồi, đóng

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

z∈Ckx − zk Khi đó, tồn tại dãy {zn} ⊂ C

Suy ra z = v Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC(x) ∈ C sao cho

kx − PC(x)k = min

z∈C kx − zk

Trong trường hợp C có dạng đặc biệt (nửa không gian, hình cầu, hìnhhộp), ta có thể tính được tường minh công thức của hình chiếu lên C

C = {u ∈ RN : ha, u − bi ≤ 0}

Ví dụ 1.1.10 Cho tập C = u ∈ RN : ku − ak ≤ r , r > 0 Khi đó toán tử

đi qua x và tâm I của mặt cầu ký hiệu là d

Toán tử chiếu có các tính chất sau

Mệnh đề 1.1.12 (xem [3]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng củakhông gian Hilbert thực H Khi đó,

(i) hx − PC(x), y − PC(x)i ≤ 0 với mọi y ∈ C, x ∈ H;

(ii) kPC(x) − PC(y)k2 ≤ hPC(x) − PC(y), x − yi với mọi x, y ∈ H;

(iii) kPC(x) − PC(y)k ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ H

Định nghĩa 1.1.13 (xem [3]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗngtrong không gian Hilbert thực H, F : C → H là một toán tử từ C vào H.Toán tử F được gọi là

(i) đơn điệu trên C nếu

(iv) đơn điệu cực đại nếu nó đơn điệu và đồ thị

G(A) = {(x, y) ∈ H × H : x ∈ D(A), y ∈ A(x)}

của A không được chứa trọn trong đồ thị của bất kỳ toán tử đơn điệunào khác trên D(A), với D(A) = {x ∈ H : A(x) 6= ∅}

(v) giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C, ta có

hF (y), x − yi ≥ 0 ⇒ hF (x), x − yi ≥ 0

(vi) γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số γ ∈ (0, ∞) thỏamãn với mọi x, y ∈ C,

hF (y), x − yi ≥ 0 ⇒ hF (x), x − yi ≥ γkx − yk2.(vii) para đơn điệu trên C nếu F đơn điệu và với mọi x, y ∈ C, ta có

hF (x) − F (y), x − yi = 0 ⇒ F (x) = F (y)

Ví dụ 1.1.14 Hàm f : R2 → R, f(x) = ax1+ bx2 với a, b ∈ R là hằng số Vớimọi 0 ≤ t ≤ 1 và với mọi x = (x1, x2)>, y = (y1, y2)> ∈ R2

f (tx + (1 − t)y) = a [tx1 + (1 − t)y1] + b [tx2 + (1 − t)y2]

h∇f (x) − ∇f (y), x − yi =

*"

ab

#

−

"

ab

#, x − y

+

= 0

Suy ra ∇f có tính đơn điệu trên R2

Ví dụ 1.1.15 Cho H là không gian Hilbert thực, C = {x ∈ H : kxk ≤ 1},ánh xạ F : C → H được xác định bởi

12

Thật vậy

• Nếu y = 0, do hx, y − xi ≥ 0, ta có x = 0, do đó, bất đẳng thức

hF (y), y − xi ≥ γky − xk2 thỏa mãn với bất kỳ γ > 0

• Với mọi x, y ∈ C thỏa mãn hF (x), y − xi ≥ 0, ta được hx, y − xi ≥ 0 Tacó

hF (y), y − xi =

1

12



hy, y − xi

≥

1

12

(hy, y − x) − hx, y − xi)

2ky − xk2.Tiếp theo, cho x ∈ C là một điểm ngẫu nhiên thỏa mãn kxk = 12 và y = 12x.Khi đó,

hF (x) − F (y), x − yi = −kxk2 < 0

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Đầu tiên, chúng tôi phát biểu khái niệm về bài toán bất đẳng thức biếnphân Sau đó là phát biểu sự tồn tại nghiệm và mối liện hệ của bài toán bấtđẳng thức biến phân với những bài toán khác

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong một không gian Hilbert thực

H và ánh xạ F : C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân (VariationalInequality Problem) xác định bởi miền ràng buộc C và ánh xạ giá F là bàitoán

Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) được ký hiệu làSol(F, C).

Định nghĩa 1.2.1 (xem [19]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗngtrong không gian Rn, x0 ∈ C Nón pháp tuyến của C tại x0, ký hiệu NC x0
,được cho bởi:

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm

Định lý 1.2.2 (xem [19]) Cho C là môt tập con, lồi, đóng, khác rỗng củakhông gian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục F : C → H Khi đó bàitoán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) có nghiệm

ánh xạ không giãn trên C Do vậy, với mỗi λ > 0, phép chiếu PC(I − λF ) :

C → C là một ánh xạ liên tục Từ C là một tập lồi, compact, khác rỗng

và PC(I − λF ) liên tục, tồn tại duy nhất điểm bất động x∗ ∈ C của ánh xạ

PC(I − λF )

Với mỗi x∗, ta có

hx − PC(x∗ − λF (x∗)) , x∗ − λF (x∗) − PC(x∗ − λF (x∗))i ≤ 0, ∀x ∈ C.Kết hợp điều này với PC(I − λF ) (x∗) = x∗ suy ra

hx − x∗, x∗ − λF (x∗) − x∗i ≤ 0

Với giả thiết λ > 0, ta có

hF (x∗) , x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việc giải bài toán bấtđẳng thức biến phân VIP(F, C) rất gần với việc giải bài toán sau (ký hiệuDVI(F, C):

Định lý 1.2.3 Cho C là một tâp con lồi, đóng, khác rỗng của một khônggian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục F : C → H Khi đó, bài toán bấtđẳng thức biến phân VIP(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R > 0 sao

thỏa mãn kxRk < R, với B(0, R) là hình cầu tâm 0 bán kính R

Chứng minh Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) có mộtnghiệm x∗ ∈ C Chọn R thỏa mãn R > kx∗k Khi đó

hF (x∗) , x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

Do đó x∗ ∈ C ∩ B(0, R) và

hF (x∗) , x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C ∩ B(0, R)

Như vậy, bài toán VIP(F, C ∩ B(0, R)) có nghiệm x∗

a) Nếu F giả đơn điệu mạnh thì VIP(F, C) có tối đa một nghiệm

b) Nếu F giả đơn điệu thì Sol(F, C) là một tập lồi

thì hF (v∗) , u∗− v∗i ≥ 0 và hF (v∗) , v∗− u∗i ≥ γ kv∗ − u∗k2 Cộng từng vếcủa hai bất đẳng thức ta được γ kv∗− u∗k2 ≤ 0 Suy ra u∗ = v∗

Cho F liên tục và giả đơn điệu Để chứng minh Sol(F, C) là một tập lồi tachỉ cần chứng minh rằng

u∈C

{u∗ ∈ C : hF (u), u − u∗i ≥ 0}

Thật vậy, nếu u∗ ∈ Sol(F, C) thì hF (u∗) , u − u∗i ≥ 0 với mọi u ∈ C Do hàm

F giả đơn điệu nên hF (u), u − u∗i ≥ 0 với mọi u ∈ C Do vậy u∗ thuộc vế phảicủa đẳng thức trên Ngược lại, giả sử u∗ ∈ T

u∈C{u∗ ∈ C : hF (u), u − u∗i ≥ 0}.Cho u ∈ C tùy ý, vectơ u = τ u∗ + (1 − τ )v ∈ C với mọi τ ∈ (0, 1), u∗, v ∈ C

Do đó, ta có:

hF (τ u∗ + (1 − τ )v) , u − u∗i ≥ 0, ∀τ ∈ (0, 1)

Cho τ → 1 thì hF (u∗) , u − u∗i ≥ 0 Do đó, u∗ ∈ Sol(F, C) Vì với mỗi u ∈ C,tập {u∗ ∈ C : hF (u), u − u∗i ≥ 0} là lồi và giao của các tập lồi là một tập lồi

Bổ đề 1.2.5 Giả sử C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gianHilbert H Cho F : C → H là một toán tử sao cho hF (x), y − xi là nửa liêntục trên với mỗi y ∈ C Giả sử

tồn tại tập compact W : ∀x ∈ C\W, ∃y ∈ C : hF (x), y − xi < 0

Thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) có một nghiệm

Mệnh đề 1.2.6 (xem [19]) Giả sử F là β-giả đơn điệu mạnh trên C Nếu

hF (x), y − xi là nửa liên tục trên với mỗi y ∈ C thì bài toán bất đẳng thứcbiến phân (VIP) có một nghiệm duy nhất

Chứng minh Giả sử C không bị chặn Theo Bổ đề 1.2.5 ta có:

tồn tại hình cầu đóng B : ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C ∩ B : hF (x), y − xi < 0

(1.4)

Thật vậy, nếu không, với mọi hình cầu đóng Br tâm O, bán kính r, tồn tại

xr ∈ C\Br sao cho r) , y0 − x ≥ 0, ∀y ∈ C ∩ Br

Cố định r0 > 0, thì ∀r > r0, tồn tại xr ∈ C\Br sao cho r) , y0 − xr ≥ 0,với y0 ∈ C ∩ Br0 Do đó, vì F là β−giả đơn điệu mạnh, ta có:

a) Bài toán giải hệ phương trình toán tử

Ví dụ đơn giản nhất của (VIP) là bài toán giải hệ phương trình toán tử

toán bất đẳng thức biến phân tương đương với bài toán tìm điểm x∗ ∈ Rn thỏa

x∗ cũng là nghiệm của bài toán (1.6) Thật vậy, x∗ thỏa mãn (VIP), ta đặt

x = x∗ − F (x∗) Thay vào (VIP), suy ra

hF (x∗) , x∗ − F (x∗) − x∗i = hF (x∗) , −F (x∗)i = − kF (x∗)k ≥ 0

Khi đó, F (x∗) = 0 Do đó x∗ là nghiệm của bài toán (1.6)

Ta dễ dàng chứng minh được chiều ngược lại, x∗ là nghiệm của bài toán (1.6)thì x∗ cũng là nghiệm của bài toán (VIP) Vì x∗ thỏa mãn (1.6), suy ra

hF (x∗) , x − x∗i = h0, x − x∗i = 0

Nếu ánh xạ F là affin, tức là F (x) = M x + q, thì bài toán nêu trên tươngđương với hệ phương trình tuyến tính cổ điển

Nhận xét 1.2.8 Chú ý rằng không phải mọi bài toán hệ phương trình đềubiểu diễn được dưới dạng bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn trong trườnghợp các giả thiết không âm đặt lên một số biến xác định thí dụ như giá cảthị trường

b) Bài toán bù

Đặt C là nón lồi trong Rn Bài toán bù (viết tắt là CP) là tìm điểm x∗ ∈ Cthỏa mãn

với C0 là nón đối ngẫu với C,

C0 = {y ∈ Rn | hx, yi ≥ 0, ∀x ∈ C} Trong nhiều lớp bài toán (CP), bài toán trên được nghiên cứu nhiều nhất

toán bù tuyến tính (viết tắt là (LCP)) tương ứng với trường hợp U = Rn+ và

F affin, F (x) = M x + q trong (1.7) Bài toán này được xem là trường hợpđặc biệt của bài toán (VIP), đề cập dưới đây

Mệnh đề 1.2.9 (xem [19]) Cho C là một nón lồi Khi đó, bài toán (VIP)tương đương với bài toán (1.7)

thì x∗ cũng là nghiệm bài toán (1.7) Thật vậy, x∗ thỏa mãn (VIP), ta thay

Như vậy, suy ra hF (x∗) , x∗i = 0, tức là x∗ là nghiệm bài toán (1.7)

Tiếp theo, cho C là một tập lồi, đóng bất kỳ trong Rn, F là ánh xạ liên tục

Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.8) tương đương với việc giảiphương trình toán tử:

Ký hiệu tập điểm bất động của toán tử F là Fix(F )

F (x) = (2x1− 1, 3x2− 2), với x = (x1, x2) ∈ R2.Khi đó tập điểm bất động của toán tử F có được bằng cách giải hệ phươngtrình sau

Khi đó ta được x = (1, 1)> ∈ R2 là điểm bất động của toán tử F

Bài toán điểm bất động có thể biến đổi thành bài toán (VIP)

F (x) = x − T (x), với T là ánh xạ không giãn thì bài toán (VIP) trùng với bàitoán (1.8)

Chứng minh Tương tự cách chứng minh Mệnh đề 1.2.7, ta dễ dàng có

Bất đẳng thức biến phân cũng có thể được biểu diễn dưới dạng bài toánđiểm bất động dựa trên phép chiếu mêtric Mối quan hệ giữa bài toán điểmbất động(1.8) và bất đẳng thúc biến phân (VIP) được phát biểu trong định

lý sau

Mệnh đề 1.2.12 (xem [19]) Giả sử C là một tập con lồi, đóng, khác rỗngcủa không gian Hilbert thực H Khi đó x∗ là nghiệm của bài toán (VIP) khi vàchỉ khi với mỗi λ > 0, x∗ là điểm bất động của toán tử PC(I − λF ) : C → C,tức là

d) Bài toán tối ưu

Trước hết, ta có khái niệm của hàm giả lồi

Định nghĩa 1.2.13 Hàm F là giả lồi trên C nếu với mỗi cặp điểm x, y ∈ C

và với mọi α ∈ [0, 1],

h∇ϕ(y), x − yi ≥ 0 suy ra ϕ(x) ≥ ϕ(y)

Bây giờ, ta xét các bài toán tối ưu phổ biến Cho f : C → R là hàm thực.

f (x∗) ≤ f (x) ∀x ∈ C,nói cách khác

phổ biến cho bài toán (1.11)

Định lý 1.2.14 Giả sử f : C → R là hàm khả vi, khi đó

(i) xf ⊆ x∗, tức là mỗi nghiệm của bài toán (1.11) cũng là nghiệm của bàitoán (VIP), ở đây

Kết luận

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số khái niệm và kết quả cơbản của giải tích lồi phục vụ cho các chương tiếp theo Các nét khái quát vềbài toán bất đẳng thức biến phân cũng đã được giới thiệu Để thấy được ýnghĩa của bài toán này, chúng tôi xét một số ví dụ, là các bài toán liên quantrong tối ưu và giải tích phi tuyến Có thể thấy, các bài toán trên đều có thểđược phát biểu dưới dạng bài toán bất đẳng thức biến phân

Chương 2

Phương pháp tự thích nghi giải bài toán bất đẳng thức biến phân và một

số bài toán liên quan

Chương này trình bày về phương pháp lặp giải bài toán bất đẳng thức biếnphân trên tập điểm bất động và phương pháp lặp giải bài toán bất đẳng thứcbiến phân giả đơn điệu mạnh dựa trên các kết quả đã được các tác giả công

dưới các điều kiện:

• F là γ-giả đơn điệu mạnh, L-liên tục Lipchitz trên C;

• λk ∈ (0, 2Lγ2)

Khi đó, dãy {xk} tạo bởi (2.1) hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bàitoán (VIP)

Nếu ánh xạ F là đơn điệu thay vì đơn điệu mạnh ngược, thuật toán (2.1)nhìn chung không hội tụ Khi đó thuật toán Extragradient là một trong cácthuật toán phổ biến để giải quyết (VIP) [20]:

với các điều kiện:

• F là giả đơn điệu, L-liên tục Lipchitz trên C;

• λk ∈ (0,L1);

thì dãy {xk} được tạo bởi (2.2) hội tụ tới một nghiệm của (VIP)

thuật toán (2.1) nhìn chung không hội tụ Trong trường hợp này, chúng tacần sử dụng cỡ bước dần tới 0 Năm 2010, Bello Cruz và đồng tác giả [6] đã

đề xuất thuật toán tự thích nghi như sau

• F là para đơn điệu mạnh;

Khi đó, dãy {xk} được tạo bởi (2.3) hội tụ tới một nghiệm của (VIP) Tuy

k=0βk2 < ∞ làm cho cỡ bước của (2.3) tiến tới 0 rất nhanh, do đólàm giảm tốc độ hội tụ của thuật toán và làm tăng chi phí tính toán củathuật toán

Năm 2010, TS Trịnh Ngọc Hải [14] đã đưa ra phương pháp tự thích nghi

ký hiệu Sol(F, Fix(T )) là tập nghiệm của (2.5) Để giải bài toán này, tác giả

đã đề xuất thuật toán Ergodic [18]:

i=0λ2i < ∞ làm cho cỡbước của (2.6) giảm rất nhanh, do đó, thuật toán sẽ hội tụ chậm.

2.1 Phương pháp tự thích nghi giải bài toán bất đẳng thức

biến phân trên tập điểm bất động

Để tiện cho việc theo dõi, chúng tôi xin nhắc lại về bài toán bất đẳng thứcbiến phân trên tập điểm bất động được phát biểu như sau

Giả thiết 2.1.1 Xét bài toán (2.7) dưới các điều kiện sau:

(A1) Ánh xạ A là giả đơn điệu trên Rm;

Lipschitz);

(A3) Ánh xạ T là ánh xạ không giãn;

(A4) Sol(A, Fix(T )) 6= ∅

Để giải bài toán (2.7), chúng tôi đề xuất hai thuật toán sau đây:

Thuật toán 2.1.2

Bước 0 Chọn x0 ∈ Rm; {λk} ⊂ (0, ∞) thỏa mãn limk→∞λk = 0 Đặt k = 0

Định lý 2.1.3 (xem [11]) Giả sử rằng các điều kiện (A1)-(A3) thỏa mãn

và dãy {xk} được tạo bởi Thuật toán 2.1.2 bị chặn Hơn nữa, giả sử rằng

với o (λk) là vô cùng bé của λk

Khi đó, bài toán (2.7) có ít nhất một nghiệm và mỗi điểm tụ của {xk} là mộtnghiệm của bài toán trên

các dãy {yk} và {zk} cũng bị chặn Lấy ρ ∈ (0, 1) tùy ý Do A là liên tụcLipschitz và λk → 0, không mất tính tổng quát, có thể giả sử rằng

(2.12)Kết hợp (2.10), (2.11) và (2.12), ta có