Phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian hilbert

Giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân tách trong không gianHilbert và một số bài toán có liên quan cùng với các phương pháp giảibài toán, trình bày một số kiến thức cơ bản cùng

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Phương pháp lặp giải một lớp

bất đẳng thức biến phân tách hai cấp

trong không gian Hilbert

PHẠM THỊ THƠMthom.pt211308m@sis.hust.edu.vn

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS NguyễnThị Thu Thủy, giảng viên Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đạihọc Bách khoa Hà Nội Cô đã tận tình và dành rất nhiều thời gian cũng nhưtâm huyết hướng dẫn nghiên cứu trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS Trịnh Ngọc Hải,giảng viên Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa HàNội, người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua nhữngkhó khăn trong quá trình nghiên cứu

Tóm tắt nội dung luận văn

1 Giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân tách trong không gianHilbert và một số bài toán có liên quan cùng với các phương pháp giảibài toán, trình bày một số kiến thức cơ bản cùng một số toán tử trongkhông gian này

2 Giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp trong không gianHilbert thực cùng phương pháp giải bài toán; trình bày một số phươngpháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp; chứng minh sựhội tụ của phương pháp

3 Trình bày một số áp dụng giải bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhấtcủa bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực; đưa ra các

ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của dãy lặp trong một số trường hợp đặcbiệt

Học viên

Phạm Thị Thơm

gradient 16

SVIP 24

Chương 2 Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tách hai

2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 30

2.1.1 Phát biểu bài toán 30

2.1.2 Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường 31

2.2 Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán BSVIP 32 2.2.1 Bài toán và giả thiết 32

2.2.2 Phương pháp và sự hội tụ 33

2.3 Phương pháp tự thích nghi giải bài toán BSVIP 34

2.3.1 Mô tả phương pháp 34

2.3.2 Sự hội tụ 36

Chương 3 Áp dụng và ví dụ minh họa 43 3.1 Nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách 43

3.2 Ví dụ minh họa 45

Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt

VIP(F, C) bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational

Inequal-ity Problem) với ánh xạ giá F và tập ràng buộc C

Varia-tional Inequality Problem)

Vari-ational Inequality Problem)

Split Variational Inequality Problem)

Danh sách bảng

3.1 Kết quả số cho Ví dụ 3.2.1 với αk = √1

k+3 473.2 Kết quả số cho Ví dụ 3.2.1 với αk = √3 1

(k+3) 2 47

giá trị x0 khác nhau trong Ví dụ 3.2.1 48

giá trị αk khác nhau trong Ví dụ 3.2.1 493.5 Kết quả số cho Ví dụ 3.2.2 với x0 = (13,12,12,13) 513.6 Kết quả số cho Ví dụ 3.2.2 với x0 = (1, 3, 1, 1) 51

giá trị x0 khác nhau trong Ví dụ 3.2.3 53

Danh sách hình vẽ

Mở đầu

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn

k · k, C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H và F : C → H là mộtánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem)trong không gian Hilbert thực H với ánh xạ F (thường gọi là ánh xạ giá hayánh xạ mục tiêu) và tập ràng buộc C được phát biểu như sau:

Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhà toán học người Italia, chia (Lions và Stampacchia, 1967 [25]; Stampacchia, 1964 [31]), nghiên cứu

Stampac-và đưa ra đầu tiên Stampac-vào cuối những năm 60 Stampac-và đầu những năm 70 của thế

kỷ trước Năm 1979, Smith [29] đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông

và năm 1980, Dafermos [18] chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài toán này lànghiệm của một bất đẳng thức biến phân Bất đẳng thức biến phân được chỉ

ra là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các bài toán cân bằng chẳng hạnnhư bài toán cân bằng mạng giao thông trong kỹ thuật [28], bài toán cânbằng thị trường độc quyền nhóm trong kinh tế, bài toán cân bằng tài chính[27] và bài toán cân bằng di cư [10, 22] Vì vai trò quan trọng của bất đẳngthức biến phân trong lý thuyết toán học cũng như trong nhiều ứng dụng thực

tế nên nó luôn là một đề tài thời sự, được nhiều nhà toán học trong và ngoàinước quan tâm nghiên cứu Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu sự

tồn tại nghiệm và xây dựng các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân

đã thu được nhiều kết quả hay, sâu sắc

Bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) là bài toán:

trong đó, C và Q lần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong cáckhông gian Hilbert thực H1 và H2, A : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính

bị chặn Bài toán này lần đầu tiên được Censor và Elfving đưa ra vào năm

1994 (xem [17]) khi nghiên cứu mô hình bài toán ngược Bài toán này đóngvai trò quan trọng trong khôi phục hình ảnh trong Y học, khôi phục tín hiệu(xem [11, 12]) hay có thể áp dụng cho việc giải các bài toán cân bằng trongkinh tế, lý thuyết trò chơi Một mở rộng của bài toán này là bài toán bấtđẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) Bài toánbất đẳng thức biến phân tách được phát biểu tường minh như sau:

và

ở đây F1 : H1 −→ H1 và F2 : H2 −→ H2 là các ánh xạ giá cho trước Ký hiệutập nghiệm của các bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP1) và (VIP2) lầnlượt là Sol(F1, C) và Sol(F2, Q), thì bài toán (VIP1) và (VIP2) có dạng:

Đề tài luận văn nghiên cứu một số phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bài toánbất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split Variational InequalityProblem) sau đây:

với F : H1 → H1 là một ánh xạ, Ω = {x∗ ∈ Sol(F1, C) | Ax∗ ∈ Sol(F2, Q)} làtập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách (SVIP).

Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương Chương 1 “Bàitoán bất đẳng thức biến phân tách trong không gian Hilbert” trình bày một

số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực cùng một số toán tử trongkhông gian này; giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bấtđẳng thức biến phân tách và một số phương pháp lặp giải các bài toán liênquan Chương 2 “Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân tách” trình bày một phương pháp lặpgiải bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp với toán tử giả đơn điệu

và một phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân tách haicấp với toán tử đơn điệu mạnh ngược; nghiên cứu sự hội tụ và chứng minh

sự hội tụ của các dãy lặp Chương 3 “Áp dụng và ví dụ minh họa” trình bàymột áp dụng giải bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấpnhận tách trong không gian Hilbert thực và đưa ra ví dụ số minh họa cho sựhội tụ của các dãy lặp trong một số trường hợp đặc biệt

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

tách trong không gian Hilbert

Chương này giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toánbất đẳng thức biến phân tách trong không gian Hilbert thực Nội dung củachương được viết trong hai mục Mục thứ nhất trình bày khái niệm và ví dụ

về toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử liên hợp, toán tử chiếu, toán tử đơnđiệu, toán tử giả đơn điệu và toán tử đơn điệu mạnh ngược trong không gianHilbert thực; giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân và phương phápchiếu gradient giải bài toán này cùng một ứng dụng thực tế của bất đẳngthức biến phân Mục thứ hai của chương giới thiệu về bài toán chấp nhậntách và phương pháp CQ, bài toán bất đẳng thức biến phân tách và phươngpháp chiếu giải bài toán Nội dung của chương được viết trên cơ sở thamkhảo các tài liệu [1, 2, 3, 4, 6, 7] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó

1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được

Định lý 1.1.3 (xem [4]) Trong không gian Hilbert thực H, nếu dãy {un}hội tụ yếu đến u∗ ∈ H và dãy {kunk} hội tụ đến ku∗k thì dãy {un} hội tụ

R Ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyếntính) nếu:

(i) A(x + y) = A(x) + A(y) với mọi x, y ∈ X;

(ii) A(αx) = αA(x) với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R

Hai điều kiện trên tương đương với A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) với mọi

x, y ∈ X và mọi α, β ∈ R

Định nghĩa 1.1.5 (xem [4]) (a) Toán tử tuyến tính A từ không gian Hilbert

H1 vào không gian Hilbert H2 được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng

số K > 0 sao cho:

(b) Hằng số K > 0 nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là chuẩn của toán tử

A, ký hiệu là kAk

(c) Toán tử liên hợp A∗ từ H2 vào H1 của toán tử tuyến tính bị chặn A :

H1 → H2 được xác định bởi:

hAx, yi = hx, A∗yi ∀x ∈ H1, y ∈ H2

A(x) = (x1 + 2x2, 3x1 − x2), x = (x1, x2)> ∈ R2.Lấy tùy ý x = (x1, x2)>, y = (y1, y2)> ∈ R2

và α, β ∈ R Xét:

A(αx + βy) = A(αx1 + βy1, αx2 + βy2)

= (αx1+ βy1+ 2(αx2 + βy2), 3(αx1 + βy1) − (αx2+ βy2))

= ((αx1+ 2αx2) + (βy1 + 2βy2), (3αx1 − αx2) + (3βy1 − βy2))

= (αx1+ 2αx2, 3αx1 − αx2) + (βy1+ 2βy2, 3βy1 − βy2)

=

q10x21+ 5x22 − 2x1x2

≤

q10x21 + 5x22 + x21 + x22

=

q11x21+ 6x22

≤

q11x21 + 11x22

det A>A − λI
= 0 ⇔ det 10 − λ −1

2 ,

λ2 = 15−

√ 29

A∗y = (y1+ 3y2, 2y1− y2), y = (y1, y2)> ∈ R2

Định nghĩa 1.1.7 (xem [20]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng

kx − PC(x)k = min

được gọi là toán tử chiếu (phép chiếu mêtric) lên C

Toán tử chiếu có một số tính chất sau

Bổ đề 1.1.8 (xem [20]) Với x ∈ H và y ∈ C cho trước:

(i) y = PC(x) khi và chỉ khi hx − y, z − yi ≤ 0 với mọi z ∈ C

(ii) kPC(x) − zk2 ≤ kx − zk2− kx − PC(x)k2 với mọi z ∈ C

Hình 1.1: Minh họa về phép chiếu mêtric

Ví dụ 1.1.9 Cho a ∈ Rn, b ∈ R, a 6= 0 Xét nửa không gian C ⊂ Rn cho bởi:

Hình 1.2: Minh họa về phép chiếu mêtric trong Ví dụ 1.1.9

Định nghĩa 1.1.10 (xem [23]) Cho H là một không gian Hilbert thực Ánh

xạ T : H → H được gọi là:

(i) Ánh xạ β-đơn điệu mạnh trên H nếu tồn tại hằng số β > 0 sao cho:

không giãn với λ ∈ (0, 2η]

(ii) Nếu L ∈ [0; 1) thì T là ánh xạ co và PCT cũng là ánh xạ co Nếu L = 1thì T là ánh xạ không giãn

(iii) Nếu T là ánh xạ đơn điệu trên H thì T giả đơn điệu trên H Chiều ngượclại nói chung không đúng

ánh xạ giả đơn điệu trên R Thật vậy, với x, y ∈ R, ta giả sử:

hφ(x), y − xi ≥ 0 hay x2(y − x) ≥ 0

Suy ra (y − x) ≥ 0 Do đó:

hφ(y), y − xi = y2(y − x) ≥ 0

Tuy nhiên ánh xạ φ không đơn điệu trên R

Toán tử chiếu còn có tính chất sau đây

(ii) PC(x) ∈ C với mọi x ∈ H và nếu x ∈ C thì PC(x) = x

Ký hiệu Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T , nghĩa là:

Fix(T ) := {x ∈ C T x = x}

Bổ đề 1.1.14 (xem [19]) Giả sử T : C → H là ánh xạ không giãn với C làtập con lồi, đóng trong không gian Hilbert thực H Khi đó, ánh xạ IH − T lànửa đóng trên C; nghĩa là, nếu dãy {xk} bất kỳ trong C hội tụ yếu tới u∗ ∈ C

và dãy {(IH − T )xk} hội tụ mạnh tới y, suy ra (IH − T )u∗ = y

Từ Bổ đề 1.1.14, nếu xk * u∗ và (IH − T )xk → 0, thì u∗ ∈ Fix(T )

nghĩa tồn tại một dãy con {skn} sao cho:

Bổ đề 1.1.16 (xem [34]) Cho {sk} là dãy không âm thỏa mãn điều kiệnsau:

sk+1 ≤ (1 − bk)sk+ bkck, k ≥ 0,với {bk} và {ck} là các dãy số thực thỏa mãn:

(i) {bk} ⊂ (0, 1) với mọi k ≥ 0 và P∞

k=1bk = ∞,(ii) lim supk→∞ck ≤ 0

C, ký hiệu là VIP(F, C), được phát biểu như sau:

Tập nghiệm của bài toán (1.4) được ký hiệu là Sol(F, C) Nếu F là ánh xạđơn điệu thì bài toán VIP(F, C) được gọi là bất đẳng thức biến phân đơnđiệu Nếu F là ánh xạ giả đơn điệu thì bài toán VIP(F, C) được gọi là bấtđẳng thức biến phân giả đơn điệu

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán VIP(F, C) được nêu trong bổ đềdưới đây

Định lý 1.1.17 (xem [23]) Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng củakhông gian Hilbert thực H Nếu F : C → H là ánh xạ β-đơn điệu mạnh và

L-liên tục Lipschitz trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C)

(ii) F liên tục Lipschitz trên C với hệ số Lipschitz L > 0

Giả sử tập nghiệm Sol(F, C) của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C)khác rỗng Khi đó Sol(F, C) là một tập lồi, đóng

Mối liên hệ giữa ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với ánh xạ không giãn, mốiliên hệ giữa bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phânđược nêu trong bổ đề dưới đây

Bổ đề 1.1.19 (xem [16]) Cho F : C → H là ánh xạ η-đơn điệu mạnh ngượctrên C và λ > 0 thỏa mãn điều kiện 0 < λ ≤ 2η Xác định ánh xạ T : C → Cbởi:

Khi đó, T là ánh xạ không giãn trên C, hơn nữa, Fix(T ) = Sol(F, C)

Phương pháp đơn giản nhất được biết để giải bài toán bất đẳng thức biến

phân VIP(F, C) là phương pháp chiếu gradient (projected gradient method):

trong đó, λ > 0 và F là ánh xạ đơn điệu mạnh (hoặc đơn điệu mạnh ngược)

Sự hội tụ của phương pháp (1.6) được phát biểu trong hai định lý sau Trướchết, ta cần giả thiết đặt lên ánh xạ giá F : C → H liên quan đến bài toánbất đẳng thức biến phân (1.4)

Định lý 1.1.20 (xem [5]) Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của khônggian Hilbert thực H và F : C → H là ánh xạ β-đơn điệu mạnh và L-liên tụcLipschitz Khi đó, dãy xk sinh bởi (1.6), với λ ∈ 0,2βL2

, hội tụ mạnh đếnnghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C)

Định lý 1.1.21 (xem [5]) Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của khônggian Hilbert thực H và F : C → H là ánh xạ η-đơn điệu mạnh ngược Giả

sử tập nghiệm Sol(F, C) của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) làkhác rỗng Khi đó, dãy xk sinh bởi (1.6), với λ ∈ (0, 2η), hội tụ mạnh đếnnghiệm ¯x ∈ Sol(F, C) của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C)

Mục này trình bày một ứng dụng thực tế của bài toán bất đẳng thức biếnphân, đó là việc áp dụng giải bài toán điều khiển tối ưu (xem [32])

Ký hiệu L2([0, T ], Rm) là không gian các hàm bình phương khả tích vớitích vô hướng hp, qi = R0Thp(t), q(t)idt và chuẩn kpk2 = php, pi Bài toánđiều khiển tối ưu được xác định như sau:

với V là tập các điều khiển chấp nhận được gồm m hàm liên tục từng khúc

có dạng sau:

V = p(t) ∈ L2([0, T ], Rm) | pi(t) ∈ p−

i , p+i  , i = 1, 2, , m , t ∈ [0, T ]

(1.8)Đặc biệt, điều khiển p(t) có thể là hàm bậc thang Hàm mục tiêu được xácđịnh bởi công thức sau:

ở đây, Φ là hàm lồi và khả vi trên tập chấp nhận được Giả sử, ta có quỹ đạox(t) ∈ L2([0, T ]) thỏa mãn các ràng buộc của hệ phương trình vi phân tuyếntính sau:

d

với Q(t) ∈ Rn×n, W (t) ∈ Rn×m là các ma trận liên tục (theo biến t) và phụthuộc vào t ∈ [0, T ] (khái niệm liên tục ở đây theo nghĩa toán tử tuyến tínhliên tục) Ta đánh giá hệ p∗(t) và quỹ đạo tương ứng x∗(t) sao cho giá trị tại

lý cực đại Pontryagin, tồn tại một hàm s∗ ∈ L2([0, T ]) sao cho (x∗, s∗, p∗) lànghiệm của hệ:

d

dtx

∗(t) = Q(t)x∗(t) + W (t)p∗(t), x∗(0) = x0, (1.11)d

Ký hiệu Gp(t) = W (t)>s(t), Khoroshilova [24] đã chỉ ra rằng Gp là gradient

thành bài toán bất đẳng thức biến phân sau:

hGp∗, q − p∗i ≥ 0 ∀q ∈ V

Để thuận tiện tính toán, ta rời rạc hóa hàm liên tục với cỡ bước h = T /N ,

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách

Ta phát biểu lại bài toán chấp nhận tách đã được đề cập ở phần Mở đầu:

ở đây, C và Q lần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong các khônggian Hilbert thực H1 và H2, A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn

Ký hiệu Γ là tập nghiệm của bài toán (SFP), nghĩa là:

Một trong những thuật toán phổ biến để giải bài toán (SFP) là phươngpháp CQ của Byrne trong không gian hữu hạn chiều (xem [11]):

xk+1 = PC(xk − τ A∗(IH2 − PQ)Axk), k ≥ 0 (1.15)

với τ ∈ (0, 2/L), ở đây, L là trị tuyệt đối của giá trị riêng lớn nhất của A∗A

được trong trường hợp các tập hợp C và Q có dạng đóng, để việc tính toánphép chiếu có thể thực hiện được Nếu đặt:

Ta cũng có thể dùng thuật toán chiếu gradient dưới đây để giải bài toán chấpnhận tách (SFP):

trong đó, τk thuộc 0,L2
, L là hằng số Lipschitz của ∇f Tuy nhiên, ta quansát thấy rằng việc xác định τk phụ thuộc vào chuẩn kAk của toán tử A (hoặcgiá trị riêng lớn nhất của A∗A) Điều này có nghĩa là để thực hiện thuật toán

CQ trước tiên ta phải tính kAk, nhìn chung đây không phải là một việc dễdàng trong các bài toán thực tế

Ta nhắc lại bài toán bất đẳng thức biến phân tách đã nêu ở phần Mở đầu:

trong đó Sol(C, F1) và Sol(Q, F2) lần lượt là ký hiệu tập nghiệm của các bàitoán bất đẳng thức biến phân:

và

y∗ = Ax∗ ∈ Q sao cho hF2(y∗), y − y∗i ≥ 0 ∀y ∈ Q, (1.22)

ở đây C và Q lần lượt là các tập con, lồi, đóng, khác rỗng trong các không

tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách (1.20) là Ω, nghĩa là:

Ω = {x ∈ Sol(C, F1) | Ax ∈ Sol(Q, F2)}

Ta có thuật toán chiếu CQ sau đây giải bài toán (1.20)

Thuật toán 1.2.1 (xem [16]) Chọn λ > 0 và điểm bất kỳ x0 ∈ H1 Đặt

T = PQ(I − λF2) và U = PC(I − λF1) Với mỗi k ≥ 0, ta tính:

với γ ∈ (0, 1/kAk)

Ta cần giả thiết sau đây đặt lên các ánh xạ giá F1 và F2

Giả thiết 1.2.2 (xem [16])

(M1) F1 : H1 → H1 là ánh xạ α1-đơn điệu mạnh ngược trên H1

(M2) F2 : H2 → H2 là ánh xạ α2-đơn điệu mạnh ngược trên H2

Định nghĩa 1.2.3 (xem [16]) Cho H là một không gian Hilbert thực, D là

điệu Fejér nếu với mọi u ∈ D,

F2 : H2 → H2 thỏa mãn Giả thiết 1.2.2 và Ω 6= ∅ Nếu λ = min {α1, α2}thì dãy xk ∞

k=0 sinh bởi Thuật toán 1.2.1 là dãy đơn điệu Fejér đối với tậpnghiệm Ω

Sự hội tụ của Thuật toán 1.2.1 được phát biểu trong định lý sau đây.Định lý 1.2.5 (xem [16]) Giả sử các giả thiết trong Bổ đề 1.2.4 được thỏamãn Nếu với mọi x∗ ∈ Sol(C, F1) thỏa mãn:

hF1(x), PC(I − λF1)(x) − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ H

thì dãy xk ∞

k=0 sinh bởi Thuật toán 1.2.1 hội tụ yếu đến nghiệm x∗ ∈ Ω

1.2.3 Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán SVIPDựa trên kết quả trong [7], tác giả luận văn và Phạm Thanh Hiếu đã trìnhbày phương pháp dưới đạo hàm tăng cường xấp xỉ nghiệm cho bài toán bấtđẳng thức biến phân tách (1.20) giả đơn điệu Trước hết, ta cần một số giảthiết đặt lên các ánh xạ giá F1 : H1 → H1, F2 : H2 → H2.

Giả thiết 1.2.6 (xem [7])

(E1) F1 : H1 → H1 là ánh xạ giả đơn điệu trên C và L1-liêp tục Lipschitztrên H1

(E2) lim sup

Từ các điều kiện (E1) – (E4) và Bổ đề 1.1.18, ta có Sol(C, F1) và Sol(Q, F2)

là các tập lồi, đóng Do đó Ω cũng là tập lồi, đóng Thuật toán dưới đây đượcviết lại trên cơ sở kết quả trong [7], trường hợp ánh xạ giá F = 0 trong khônggian Hilbert thực H1

dãy tham số {αk} ⊂ (0, 1), {δk}, {λk} và {µk} thỏa mãn:

k=0αk = ∞,(H2) {δk} ⊂ [a, b] với a, b ∈0, 1

kAk2 + 1

,

(H3) {λk} ⊂ [c, d] với c, d ∈0, 1

L1

,

(H4) {µk} ⊂ [e, f ] với e, f ∈ 0, 1

L2

.Bước 1 Đặt k := 0, ta tính:

Bước 4 Đặt k := k + 1 và quay lại Bước 1

Sự hội tụ mạnh của Thuật toán 1.2.7 được trình bày trong định lý sau đây

Bổ đề 1.2.8 (xem [7]) Giả sử tập nghiệm Ω của bài toán bất đẳng thức biếnphân tách (SVIP) là khác rỗng và các điều kiện (E1) – (E4) được thỏa mãn.Khi đó, dãy {xk}, yk và zk trong Thuật toán 1.2.7 thỏa mãn bất đẳngthức sau:

ở đây, x∗ là nghiệm duy nhất của bài toán SVIP thỏa mãn x∗ = PΩ x0

Định lý 1.2.9 (xem [7]) Giả sử tập nghiệm Ω của bài toán bài toán SVIP

trong Thuật toán 1.2.7 hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ ∈ Ω thỏa mãn x∗ = PΩ(x0)

Nhận xét 1.2.10 Từ tính liên tục của F1, F2, điều kiện (E2), (E4) là tựđộng được thỏa mãn trong không gian hữu hạn chiều Trong không gian vôhạn chiều, điều kiện (E2), (E4) là không cần thiết nếu F1, F2 là các ánh xạđơn điệu

Dưới đây là một ví dụ số minh họa cho sự hội tụ mạnh của Thuật toán1.2.7 với các điều kiện của Định lý 1.2.9 được thỏa mãn

Ví dụ 1.2.11 (xem [21]) Cho H1 = H2 = R4, xét toán tử tuyến tính:

kx∗k = min{kxk | x ∈ C} và y∗ = Ax∗ thỏa mãn ky∗k = min{kyk | y ∈ Q}

Dễ ràng tìm được nghiệm duy nhất của bài toán SVIP trong trường hợp này

là x∗ = (0, 0, 0, 0)>

Sử dụng Thuật toán 1.2.7 với αk = k+31 , µk = δk = λk = 0, 01, điểm xuấtphát x0 = (1; 3; 1; 1)> ∈ R4 với điều kiện dừng của dãy lặp kxk+1− x∗k ≤ err.Sau thời gian thực thi là 1.85s ta nhận được nghiệm xấp xỉ:

770 0.00047 0.00034 0.00051 0.00064 0.00101

771 0.00047 0.00033 0.00050 0.00063 0.00100

772 0.00046 0.00033 0.00050 0.00063 0.00098

Bảng 1.1: Kết quả số của Thuật toán 1.2.7 cho Ví dụ 1.2.11

Thay đổi hệ số αk = k+31 , µk = λk = 0.9, δk = 0.01 với điểm xuất phát banđầu x0 = (1; 3; 1; 1)> ∈ R4 với điều kiện dừng của dãy lặp kxk+1− x∗k ≤ err.Sau thời gian thực thi là 0.203s ta nhận được nghiệm xấp xỉ:

với sai số err = 10−3 Bảng 1.2 minh họa cho sự hội tụ mạnh của Thuật toán1.2.7

k x k x k x k x k x k − x ∗

1 0.5192 2.0388 1.1267 2.0388 2.79486

2 0.3387 1.6694 1.6327 1.6282 2.53703

3 0.2903 1.5602 1.6654 1.6622 2.34286

84 0.00024 0.00054 0.00074 0.00058 0.00111

85 0.00022 0.00049 0.00068 0.00052 0.00101

86 0.00020 0.00044 0.00061 0.00047 0.00092

Bảng 1.2: Kết quả số của Thuật toán 1.2.7 cho Ví dụ 1.2.11

Nhận xét 1.2.12 Từ Bảng 1.1, Bảng 1.2 ta có thể thấy rằng, với xấp xỉ banđầu x0 và các dãy αk, µk, λk ⊂ (0, 1) và {δk} ⊂ (0, 0.125) thì dãy lặp (1.25)hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phântách Khi ta thay đổi dãy tham số {αk} và {µk} thì sẽ ảnh hưởng đến số lầnlặp để đạt được nghiệm xấp xỉ của bài toán với sai số cho trước

Ta nhắc lại toán bất đẳng thức biến phân tách nêu phần Mở đầu:

trong Sol(C, F1) Sol(Q, F2) ký hiệu tập nghiệm bàitoán bất đẳng thức biến phân:

và

y∗... data-page="28">

1.2.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán SVIPDựa kết [7], tác giả luận văn Phạm Thanh Hiếu trìnhbày phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ nghiệm cho toán bất? ?ẳng thức biến phân tách (1.20)... data-page="25">

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách< /h3>

Ta phát biểu lại toán chấp nhận tách đề cập phần Mở đầu:

ở đây, C Q tập lồi, đóng khác rỗng khônggian Hilbert thực H1