Tài liệu ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013- 2014 Môn thi: TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ppt

Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC.. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.. 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp ta

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức P x ( ) (3  x  2)3 (1 2 )  x 3  (1  x )3 thành nhân tử.

2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c    abc  4

Tính giá trị của biểu thức:

A a  b  c  b  c  a  c  a  b  abc

Câu II ( 2,0 điểm)

1) Giải phương trình 4  x2   6 2 2  x  3 2  x

2) Giải hệ phương trình

5

xy x y





Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện x2  4 xy  5 y2  2( x y  )

2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 1 p p2 p3 p4 là số hữu tỷ.

Câu IV (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các đường cao AD,

BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

2) Chứng minh AO EF .

3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.

Câu V (1,0 điểm)

Cho x, y, z là ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S

-Hết -Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn thi: TOÁN (chuyên)

( ) (3  2) (1 2 ) (1 )

P x x x x thành nhân tử 1,00

Đặt a3x 2,b 1 2 ,x c 1 x a b c   0 P a 3b3c3 0,25

3 3

 a b c   a b  a b c c    ab a b 0,25

I 2 A a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc 1,00

 a a b c abc  b c bc  a a abc bc 0,25

2

Tương tự b(4 c)(4 a) 2 b abc, c(4 a)(4 b) 2 c abc

 A a b c   abc abc  a b c   abc  0,25

ĐK: 2  x 2 Pt  (2 x)(2x) 3 2  x2 3  2x 0 0,25



x

x

0,25

2 2

5







x y

Hệ

5

x xy y xy

x y

xy x y x y x xy y xy

Đặt a x 2 xy b, y2xy ta được hệ 5

6

 









a b ab

0,25

Giải hệ pt này ta được





 

0,25

TH 1

2

2

2

3







x xy

y xy

2

2



0,25

TH 2

2

2

3

2







x xy

y xy

2

2







Vậy hệ pt có tám nghiệm là

0,25

III 1 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2 2

2

2

2

Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (0;0), (2;0), (4;2), (6;2)

0,25

1 p p  p  p là số hữu tỷ 1,00

1 p p  p  p là số hữu tỷ  1 p p 2 p3 p4 n n2,   0,25

0,25

2

 n p  p Thế vào (1) ta được

4 4 p4p 4p 4p (2p  p1)  p  2p 3 0 0,25 Giải pt tìm được p1 (loại) và p3

Với p 3 1 p p 2 p3 p4 11 Vậy p3 0,25

IV 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 1,00

Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra  HCE HBF   HDE HDF 

Tương tự EH là tia phân giác của góc DEF Vậy H là tâm đường tròn

Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A

Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra  AFE AHE 

Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra  AHE DCE 

0,25

DCE xAB (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng

AO  EF  SAEOF = 1AO.EF

Tương tự

ABC AEOF BDOF CDOE

1

2 1

= R(EF DF+ DE)

2



0,25

Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất  SABC lớn nhất  khoảng cách từ

A đến BC lớn nhất  A là điểm chính giữa của cung lớn BC 0,25

x xy y y yz z z zx x S

Tương tự suy ra 2

S

Đặt

2

a x y z b y z x a z x y

b c a c a b a b c S

0,25

S

0,25

Do đó 3

4



S Đẳng thức xảy ra  x y z Vậy GTNN của S là 3

4

H F

E

D

H

F

E

D

A

A

X

Y

Chú ý Học sinh có cách giải khác với cách giải nêu trong đáp án nhưng đúng giáo viên vẫn cho đủ số điểm tương ứng.