Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 2

Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập dùng làm tài liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên hệ chính quy, hệ tại chức và những thí sinh cần ôn luyện về toán kinh tế để dự tuyển hệ cao học kinh tế. Phần 2 của tài liệu gồm 3 chương sau, trình bày về: bài toán vận tải; một số bài toán ứng dụng của quy hoạch động; một số mô hình của lý thuyết điều khiển dự trữ;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương IV

§1 MÓ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢITìm mn sô thực 'X,)} thoả mãn các điểu kiện sau:

(4.2)

ỉxu =bpj = l,n

1=1

(4.3) X.Ị > 0. i = l,m; j - l.n (4.4)

Ta có thể mô tả bài toán vận tải dưói dạng bản như sau:

Ta xây dựng một bảng gồm m hàng, n cột Mỗi hàng đặc trưng cho một trạm phát, còn mỗi cột đặc trưng cho một trạm thu

182

- Hàng trên cùng ghi tên các trạm thu B,và nhu cẩu b, tương ứng (i = l.w).

- Cột đầu ghi tên các trạm phát A, và khả năng cung cấp a, tương ứng (i - ỉ.m ).

- Trong bảng, giao của hàng i và cột j gọi là ô (i, j) - đặc trưng cho đoạn đường nối trạm phát A, tới trạm thu Bj, nên

ở góc trên bên trái mỗi ô này ta ghi c,j (tính theo km hoặc cước phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ trạm phát A, đến trạm thu Bj) Mỗi ô (i,j) còn tương ứng với một biến X,J (lượng hàng cần xác định để vận chuyển từ Aj đến Bj ), đồng thời tương ứng VỚI một vectơ Aị/hệ sô của biến Xịj) trong hệ ràng buộc (4.2) và (4.3) Như vậy mọi dữ liệu của bài toán vận tải đều được thể hiện trên bảng 4.1, gọi là bảng vận tải

Bảng 4.1

\^Thu

hát

B, (b|)

B,

B„ 1 (b„)

A, (ã,) c„

X,,

c,2x12

Cũx,i

c,nx,„A2 (a2) C21

X’2I

C22x.„

C2jx,i

Cux.i

cHi.lxm

r

X ±1X111

Ta ký hiệu A là ma trận hệ số của các ẩn trong hệ (4.2)

Dịnh lý 4.1 Bài toán vận tải cần bằng thu phát bao

giò cũng có phương án cực biên tôi ưu

DỊnh lý 4.2 Ma trận hệ sô A cùa hệ ràng buộc (4.2) va (4.3) có hạng bằng (m+n-1).

Nóị cách khác hệ (4.2) và (4.3) có m-ì- n- 1 ráng buộc độc lập tuyên tính

Từ đây liên hệ với phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính ta suy ra:

- Phương án cực biên của bài toán vận tải có không quá (m + n - 1) thành phấn dương

- Phương án cực biên của bài toán vận tải gọi là không suy biến nếu nó có dũng (ni+n-1) thành phần dương và gọi

là suy biến nếu nó cỏ it hơn (m+n-1) thành phần dương

- Mỗi phương rán cực biên đểu ứng vơi ít nhất một cơ sở gồm (m+n-1) véctơ A„ độc lập tuyến tính Nếu X = {x,jl là phương án cực biên không suy biến, thì chi’ có một cơ sở duy nhất, đó là hệ |A,.:Xij > OỊ gồm (m+n-l) vec tơ độc lập tuyên tính

Trò' lại bảng vận tải, ta tháy giữa các ô (1 j) và các véctơ A„ của an xi; có sự tương ứng (1-1)

- O(i,j) dược gọi là ớ chọn nếu có lượng hàng phân phối x„ > (ì và gọi la ô loại nếu xh = 0 Như vậy một'phương án cực biên có không quá (m+n-1) ó chọn

- Phương án cực bièn dược gọi là không suy biến nếu nó

có dũng (m+n-1) ô chọn và là suy biến nếu nó có ít hơn (m+n-1) ỏ chọn

Đê thay rỏ hơn tinh dộc lập hay phụ ihuộc của hệ véctơ

|A„| gắn với sự phan bò cùa các ô tương ứng với chúng trong bảng vặn tải ta xét hệ vec tơ:

trong (16 tất ca các chi số thứ nhất (chí hàng) và các chỉ

sô thứ hai (chi cột) chi xuất hiện đúng 2 lần

Nếu ta nôi những ô tương ứng cúa báng vơi hệ véctơ trên bơi những đoạn nằm ngang và thang đứng, chúng ta sẽ nhận ra được một chu trình khép kín hay còn gọi là vòng.Một sô ví dụ về vòng được chỉ ra trên hình 4.1,2,3

Hệ quả 4.2 Một phương án của bài toán vận tải là

phương án cực biên khi và chỉ khi tập hợp ô chọn của nó không chứa vòng

Định lý 4.4 Một phương án cực biên của bài toán vận

tài có đủ sô tôì đa (m+n-1) ô chọn, thì một ô loại bất kỳ sẽ tạo nên một vòng duy nhất vâi một sô ô chọn

§3 XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN cực BIÊN

I PHƯƠNG PHÁP GIÁ CƯỚC BÉ NHẤT

Nguyên tắc phân phối: ưu tiên phân phôi hàng vối mức tôi đa vào ô có giá cưâc c,j nhỏ nhất trong phạm vi các ô còn xét

Ban đầu tất cả các ô (i,j) trong bảng đều thuộc vào các ô còn xét Giả sử c,.k = min {Cự V(i,j), ta phân cho ô (r,k) một lượng x,.k lớn nhất có thể được, tức là xrk = min {a,., bk}

- Nếu x,.k = bk thì nhu cầu của trạm Bk được thỏa mãn,

ta loại các ô ở cột Bk ra khỏi phạm vi các ô còn xét và sửa lại khả năng của trạm phát A,:

a’r = ar - x,.k = a, - bk > 0

- Nếu x,.k = a,., thì ở trạm A, đã phát hết hàng, ta loại các ô trên hàng A, ra khỏi phạm vi các ô còn xét và sửa lại nhu cầu của trạm thu Bk:

X = ix,,Ị (/= l.m; / = l.n) xây dựng theo phương pháp giá cước bé nhất là một phương án cực biên

2 PHƯƠNG 1 HÁP PHỎGHEN

Ta gọi hiện c,r cùa ô có giá cước thấp nhi và ô có giá cứức thấp nhất cùa một hàng (cột) là giá cữỏc chênh lệch cua hàng (cột) ày

Nguyên tắc phàn phối: Phân vào ô có giá cưởc thấp

nhất của hàng hay cột có giá cước chênh lệch lớn nhất và phân với lượng tôi đa có thể Sau khi phân vào một ô ta tính lại giá cước chênh lệch của các hàng và các cột trong phạm vi còn xét để phân phối tiếp Khi tất cả các hàng và các cột đều thoả mãn, ta được một phương án cực biên

Chú ý: Nếu dùng một trong hai phương pháp trẽn (lê

tìm phương án cực biên xuất phát mà sô ô chọn (ứng VÓI x„

>Ó) chưa đủ số tối đa (m+n-1) ô thì ta phải bô sưng thêm cho đủ (m+n-1) ô vôi điều kiện các õ ấy không tạo vòng Những ô bô sung thêm, ta ghi lượng hàng phân phôi bằng

0 và được gọi là ô chọn bô sung Tất nhiên có nhiều cách chọn ô chọn bỏ sung, nhưng thõng í hường í a chọn những ô

có giá cước thấp

§4 PHƯƠNG PHÁP THỂ VỊ GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI

l TIÊU CHUẨN TỐI ƯU

Khi đó bài toán đối ngẫu có dạng:

G(U,V) = ^a,Uị + ^bJvJ —>max (4.6)

u, 4-v, <cij,(i = l,m;j = l n) (4.7)Trong hai bà) toán đôi ngẫu này, có m.n cặp ràng buộc dôi ngẫu:

x,, >0 và U| + V, < Cỹ.(i = l,m;j = l,n)

Theo định lý đối ngẫu hai thì điều kiện cần và đủ để hai phương án X = iXịị} và (U, V) = (Uị, Vị} của cặp bài toán đôi ngẫu tương, ứng tốt nhất là: nếu X|j > 0 thì u,.+ Vị = Cjj hoặc nếu u, + Vị< C.ịthì Xịj - 0, (i = l,m;j = l,n)

Từ đó ta có the suy ra tiêu chuẩn tôi ưu sau:

Định lý 4.5 Điều kiện cẩn và đủ dể phương án X = {x,,} của bài toán vận lải tối ưu là tồn tại hệ thông sô ỊU, V,} thoả mãn

a u, + V, < cir V (i.j)

b Uj + V, = c„ nếu Xjj > 0

2 THUẬT TOÁN CỦA PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ

Gia sừ bằng phương pháp gia cước bé nhất hav phương

I 'ú'- ĩ'11'ghen ta có một phương án t.ưc biên X - ỊXị)} có đủ

1 • )-<)-1) ô chọn (kê cả ô chọn bô sungi

Bước 1 Xâ> dựng hệ thông thê vị.

Xét hệ phương trình:

Uị + Vj = c„ vôi (i,j) là các ô chọn (4.8)

' Hệ này gồm m+n-1 phương trình độc lập với m+n ẩn, nên hệ vô định Vì vậy ta có thể cho bất cứ ẩn nào làm ẩn

tự do

Quả trình xây dựng hệ thống thế vị được thực hiện như sạu:

Cho một hàng hay một cột nào đó một thê vị tuỳ ý (tức

là chọn u, hay Vj tương ứng làm ân tự do) chẳng hạn cho hàng i một thế vị u, = 0 Sau đó ta xác định thê vị của cáchàng, cột khác theo điều kiện b) của tiêu chuẩn tối ưu, tức

•là

1 Vị = Cjj - u, vởi u, đã biết, (4.9)

u, = c,) - Vj với Vj đã biết, (4.10)

đối với (i,j) là các ô chọn

Thê vị u, ghi ở bên phải hàng i, thê vị Vị ghi phía dưới cột j

Vì hệ (4.8) gồm(m-t-n-l) phương trình độc lập, nên ta tính được (m+n-1) thế vị khác nhau theo (4.9),và (4.10) cùng vâi thê vị u, cho trưởc, ta được toàn bộ thê vị của câc hàng, cột

Sau đó ta chuyển sang bưóc hai

Bước 2 Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu.

Hệ thông kê vị xây dựng ở bước 1 đã thoả mãn điểu kiện b) của tiêu chuẩn tôi ưu, nên ta chỉ cần kiểm tra điều kiện a) đôi vói các ô loại

- Nếu u, + V, < Cu đôi với mọi ô loại, thì phương án đang xét X tương ứng là tôi ưu

- Nếu tồn tại ít nhất một ô loại mà u, + Vj> c,|, thì phương án X chưa tối ưu Ta gọi những ô này là những ô vi phạm Tính Ajj = Uị+v,- c,j đôi với tất cả những ô vi phạm (hiển nhiên Aịj >0) Chuyển sang bưổc 3.

Bước 3 Điều chỉnh phương án.

Giả sử maxAij = Ark, (Aij > 0) ta gọi (r,k) là ô điểu chỉnh.Theo định lý 4.3, ô loại (r,k) sẽ tạo nến một vòng duy nhất với một số ô chọn Phát hiện vòng này, rồi đánh dấu

lẻ, chẵn cho các ô trên vòng bắt đầu từ ô điểu chỉnh

Gọi 0 = min {Xij} đối vói (i,j) là các ô chẵn trên vòng Điều.chỉnh từ X sang phương án mới X' như sau:

Xịj - 0 với (i, j)là ô chẵn trê n vòng

X d với (i, j) không thuộc vòng

Như vậỵ ô điều chỉnh (r.k) trở thành ô chọn với x’lk= 0 còn ô chẵn trên vòng có X,) =0, sẽ trở thành ô loại với x’,) = 0.Nếu có nhiều ô chẵn trên vòng cùng có Xij = 0, thì

ta chỉ đưa một trong các ô đó làm ô loại, còn các ô khác vẫn xem là'ô chọn mặc dầu x’,j = 0 Làm như vậy X' = {x\jỉ vẫn có đủ (m+n-1) ô chọn

Ta có các khẳng định sau:

1 X' ={x’ij} là phương án cực hiên có đủ (m+n-1) ô chọn

2 f(X')= f(X) - GArk Như vậy từ X chuyển sang X' thì giá trị của hàm f(X) giảm đi một lượng 0.Ark>0 nếu 0 > 0.Đôi với phương án cực biên mới X', ta quay lại bước 1

và lặp lại quá trình

3 Nếu bài toán vận tải không suy biến (tức là mọi phương án cực biên của nó đều không suy biến), thì áp

dụng phương pháp thê vị sau một sô hữu hạn bước lập, ta

sẽ nhận được phương án tôi ưu của bài toán

Một sô chú ý:

1 JỚ mỗi bước lặp, nếu có nhiều ô loại vi phạm tiêu chuẩn tối ưu, tức là Ajj >0 ở nhiều ô loại Đối với mỗi ô vi phạm có thể tính tích Aij0(ij) tương ứng và chọn max Aịj0"J- Ark.0, thì ô (r, k) được chọn là ô điều chỉnh Khi đó hàm mục tiêu sẽ giảm nhanh hơn

2 Trường hợp bài toán suy biến thì 0 có thể bằng 0 Khi 6 = 0, ta vẫn thực hiện thuật toán một cách bình thường,, nghĩa là ô điều chỉnh sẽ trở thành ô chọn với lượng hàng bằng 0, còn ô ứng với Xjj = 0 ở trên vòng sẽ trở thành ô loại trong phương án mởi Tuy nhiên kết quả điều chỉnh không làm thay đổi phương án cực biên mà chỉ thay đổi tập véctơ cơ sở ứng với phương án cực biên

Dấu hiệu xuất hiện phương án cực biên suy biến là: Trong quá trình điều chỉnh 0 đạt tại nhiều ô khác nhau, những ô này đều có thể loại khỏi tập ô chọn Nhưng theo chuật toán, khi đó ta có thể chỉ loại một trong những ô ứng với 0 theo qui tắc ngẫu nhiên, những ô còn lại ứng với 0 vẫn nằm trong tập ô chọn Vối tư cách là các ô chọn bô sung ( với x\j = 0 trong phương án cực biên mới)

3 Khi phương án cực biên X không suy biến thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu:

Ui+Vj < Cij đối với mọi ô loại

thì phương án tối ưu X tìm được là duy nhất

Còn nếu u, + Vj = Cịj đối với ít nhất một ô loại, thì phương án tốì ưu tìm được không duy nhất Trong trường hợp này, nếu cần thiết ta có thể tìm các phương án cực biên tối ưu khấc và cả tập phương án tối ưu

Ví dụ 4.1 Giải bài toán vận tải sau:

Giải Dùng phương pháp giá cước bé nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát Đó là phương án cực biên không suy biến cho ở bảng 4.3

Cho U| = 0 lần lượt tính câc thê vị hàng và cột khác theo (4.9) và (4.10) Kiểm tra tiêu chuẩn tốì ưu đôi vâi các ô loại Đối vói các ô vi phạm, tính Ay = új + Vj - c,) >0 và ghi

nó vào ô tương ứng với dấu + ở phía trước, cụ thể A21 = +4, A31 = +1, max Ajj = A2l = +4 (Ad> 0)

0 (2,1) được chọn là ô điểu chỉnh Vòng tạo bởi ô điểu chỉnh vối các ô chọn đó là (2,1), (1,1), (1,4), (2,4) ở đây 0

= min {40,10} = 10 Thực hiện phép biến đổi (4.11) cho các

ô trên vòng, kết quả thu được phương án cực biên mới ghi trong bảng 4.4

[25]

10+1

6+4

i

9[10]

Để tìm một phương án cực biên khác, ta chọn ô (2,4) làm ô,điều chỉnh Vòng tạo bỏi ô (2,4) và cảc ô chọn đi qua các ô: (2,4), (1,4), (1,2), (3,2),(3,3), (2,3) Ở đây e = min {25,

35, 15} = 15 Điều chỉnh vòng này ta được phương án cực biên toi ưu mới cho ờ bảng 4.6

Do đó trong bảng vận tải khi đã đưa thêm trạm thu giả B11+1 ta ghi ci l)+1=o ơ = !,/») ”

BÀI TOÁN CÓ DẠNG cực ĐẠI

Mô hình bài toán có dạng:

Để giải bài toán này ta có thể chuyển vê giải bài toán

min vôi hàm z = - f -> min hoặc có thể giải trực tiếp.

+ Đe xây dựng phương án cực biên xuất phát, ta có thể dùng phương pháp "C,) lớn nhất", nghĩa là ưu tiên phàn phối với mức tôi đa vào ô có hiệu quả lớn nhất trong phạm

vi các ô đang xét

+ Việc xây dựng hệ thống thê VỊ giông như đôi với bài toán min bằng cách giải hệ: u+v, = Cjj đối với (m+n-1) ô chọn+ Kiểm tra tiêu chuẩn tốì ưu:

Ui + Vj > Cịj đối với các ô loại

- Nếu thoả mãn với mọi ô loại thì thuật toán dừng

- Nếu chưa thoả mãn, tức là tồn tại ít nhất một ô loại (i,j) mà Uị+V) < c„ hay Ajj = Uị + Vj - Cij <0, thì chọn ô (r,k)' ứng với Ark =minAjj (Ajj<0) làní ô điểu chỉnh Sau đó xác định vòng điều chỉnh, còn cách điểu chỉnh giông như đối với bài toán niiri

III BÀI TOÁN CỒ Ò CẤM VÀ CÁC GIÁ THIẾT PHỤTrong thực tê ta có thể gặp các bài toán vận tải, trong

dó có cấm vận ở một sô nơi, nghĩa là do những điều kiện thực tê đặt ra mà hàng từ A, khống chuyển tới Bj khi đó gọi

ô (i,j) là ô cấm

Sau đâv ta xét một sô trường hợp và cách xử lý

1 Nếu A, không chuyển hàng cho B,, thì trong bảng vận tải ở ô(i,j) thay cho cước phí co ta ghi cước phí cấm M (trong đó M là một số dương lớn tuỳ ý khi cần so sánh) Làm như vậy khác nào ta đánh cước rất nặng ở ô (i, j), khiến cho trong phương án tối ưu ô (i,j) không thể được phân phối hàng

2 Nếu Xịị > a (0 < a <min {aờ bj})

Như vậv Aj chuyển cho Bj ít nhất a tấn (hoặc đơn vị) hàng

Vì vậy trước khi lập bảng vận tải ta trừ trước vào khả năng cung cấp của A, và nhu cầu của Bj một lượng a Đối vối hai trạm này trong bảng vận tải ta ghi (ai - a) và (b, - a), còn ở ô (i.j) ta vẫn ghi CM như đã có

3 Nếu 0 s y < p (0 < p <min {aj,bj})

tức là A, chuyển cho Bj không quá lượng p

Trong trường hợp này khi lập bảng vận tải, tá tách Aị (hoặc Bj) thành hai trạm: A’ị với khả năng phát p, A”j với khả năng phát a, - p Ghi cưốc phí Cij vào ô tương ứng giữa A\ và Bj, cước phí cấm M vào ô tương ứng giữa A”, và Bj

4 Nếu a < x,j < p

<=> 0 < X|| - a < p - a

Như vậy sau khi trừ trưởc vào khả năng phát và thu của 2 trạm A,và B, một lượng CL ta trở lại trường hợp 3, tức

là lượng hàng vận chuyển tiếp từ A, đến B, không vượt quá (P - à).

5 Nếu X,, = a tức là A, chuyên cho B, đúng lượng a.Trước khi lập bảng, ta trừ trước vào khả nàng phát và thu của hai trạm Aj, Bj một lượng a Trong bảng vận tải ta ghi cựâc phí cấm M và ô (i,j) tương ứng

8 Khi mà A, chuyển đi đúng a, tức là

X* =a (a<a l '>

■;=.T

Như vậy lượng (a, - a) không tham gia vào quá trình vận chuyển Trong bảng khả năng cung cấp của A, ta ghi a thay cho a, và ghi CÍIỚC phí cấm M vào ô tương ứng giữa A,

và thu giả Bll+I

9 Khi > mà A, chuyển đi ít nhất a Như vậylượng còn lái' (a, - đ) vẫn có thể chuyển cho các trạm thu thật hoặc tồn kho Vì vậy trong bảng ta tách A, thành hai

trạm: A’, vói khả năng phát a và A”, vởi khả năng phát (a, -

a) Ta ghi cưâc phí cấm M vào ô tương ứng giữa A’, và thu giả Bn+I, cước ghí 0 giữa A”i và B11+1

10 Khi nià lượng hàng A, để tồn khonằm trong kirốảng ['à1, p], tức là

a < xi H^ < [3 <=> 0 < X i,n+ĩ -a< p -a

-ta trở về trường hợp 3 Như vậy sau khi đã bớt đi một lượng a mà chắc chắn Aị phải để tồn kho, trong bảng ta tách Aj thành hai trạm: A’i vói khả năng phát (a, - P) và A”i với khả năng phát (P - a) ta ghi cước phí cấm M vào ô tương ứng giữa A’i và Bn+l.(/cưỏc phí 0 giữa A” và BI1+|

Tương tự khi mà có thêm các giá thiếtsau:'

a Bj được ưu tiên nhận đủ hàng

- Khi xuất hiện các giả thiết, thì ta phải xử lý các giả thiết trước khi tính tông lượng phát và thu để chuyển vể bài toán cân bằng thu phát.

- Đối vối bài toán f(X) -> max, khi xuất hiện ô cấm, ta ghi cước phí cấm - M (với M là một số dương lớn tuỳ ý)

- Khi -xây dựng phương án cực biên xuất phát, ta nên tránh phân vào ô cấm, để hy vọng bớt bưóc lặp trong thuật toán

Ví dụ 4.2 Cho bài toán vận tải dạng bảng (cưóc phí tính theo đơn vị nghìn đồng/tấn)

- B, nhận thiếu không qúa 20 nén ta tách B| thành hai trạm:

B'| vơi nhu cầu 300 và B”| với nhu cầu 20 Trong bảng ta ghi cưốc phí cấm giữa Ạ-, và B’|, cước phí 0 giữa Ạ-, và B”r

Ta tính tổng lượng thu, phát saụ khi đã xử lý giả thiết

z a, = 180 + 220 + 360 + 140 = 900,

z bj = 320 + 400 + 260 = 980 Ta đưa thêm trạm phát giả A5 với khả nàng cung cấp 80 tấn

Dùng phương pháp giá cưỏc bé nhất, ta được phương án cực biên cho trong bảng 4.7

Chọn ô (2,4) là ô điều chỉnh Vòng tạo bơi ô này với các

B”,20

Bảng 4.8.

Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu, ta thấy

u,+ Vj < Cị, V(i.j), nên phương án cực biên ở bảng 4.8 là tối ưu

1800

0160

ơ đây A, (/ = 1,4) là các nguồn vốn khác nhau

Bj (/■ = 1.4) là các mặt hàng cấn đầu tư vốn để sản xuất, kinh doanh Đơn vị vốn tính theo triệu đồng Hiệu quả thu được khi đầu tư một triệu đồng vốn tù nguộn A, vào kinh doanh mặt hàng B, được cho trong bảng (đơn vị tính nghìn đồng)

Biết rằng: A:: đầu tư hết sô vôn hiện cós A2 đê tồn vôn không quá 120 triệu

Hãy lập kê hoạch phân phôi vôn đẩu tư, sao cho tông hiệu quả thu được là lớn nhất;

GIÁ1+ Xử lý già thiết:

- A2 để tồn vốn không quá 120 triệu, nên ta tách Aư thành hai trạm: A’,(120) và A"., (200) Trong bảng ta ghi -

M vào ô tương ứng giữa A'\ và thu.giả B, và hiệu quâ 0 vào

ô tương ửng giữa và B;,

- Ạ; đầu tư hết vốn, nên trong bảng ta ghi - M vào ô tương ứng giữa Ạ; và B-,

Dùng phương pháp "hỉệu quả lớn nhất" để tìm phương

án cực biên xuất phát, ta dược phương án ở bảng 1.9

15

Ị5Ơ1

27rì^oi

10]

0[70]

15

1100]

271100]

§6 BÀI TẬP1.1 (''hứng minh rằng, nêu thực hiện phép biến dổi

+ d (vii)thì lời giải của bài toàn vận tải không thay đổi

4.2 Cho X là một phương án cực biên với tập ô chọn s.(i,j) là một ô loại

Chứng minh: II, +v, -c,' = 2/-,, -^c,z

trong đó c - chỉ ô chẵn, 1 - chỉ ô lẻ trên vòng tạo bởi

ô (i,j) với các ô chọn, còn (i,j) là ô lẻ

4.3 Giả sử đối vói phương án cực biên tốỉ ưu X với tập ô chọn s, tồn tại (i,j) Ễ s mà Aj, = 0, hãy phân tich lời giải của bài toán Khi tồn tại một phương ân cực biên tối ưu khác, hãy chỉ ra cách tìm một phương án tối ưu không cực biên

4.4 ,Viết bài toán đối ngầu cùa bài toán vận tải không cân bàng thu phát trong hai trường hợp Phát biểu tiêu chuẩn tối ưu đối với mỗi phương án tương ứng cho từng trường hợp

4.5 Giải các bài toán vận'tải

4.6 Giải các bài toán vận tải sau và tính tông chi phí tôi

Biết rằng: B3 nhận tôi đa 260

B! nhận thiếu không quâ 20

B2 được ưu tiên nhận đủ hàng

B1( B:i nếu nhận thiếu 1 đơn vị hàng phải chịu thiệt hại tương ứng 5; 7

A|, Ạị, A^nếu để hàhg tồn kho, thì mỗi đơn vị hàng tồn

kho chịu chi phí bảo quản tương ứng 16, 15,14

Biết rằng:

A2 nếu không đầu tư hết, thì tồn tối đa 170

A|, A-2 nếu để đọng vốn thì phải chịu thiệt hại tương ứng 52, 56 đối với một đơn vị vốn đọng 0 đây đơn vị vốn tính theo triệu đồng, tiền lãi tính theo đơn vị ngàn đồng.b

Biết rằng:

A2 đầu tư hết vốn hiện có

A;( đầu tư vào B| không quá 30

Biết ràng: A| đầu tư vào B2 không quá 80, A2 đẩu tư hết vốn.

Biết rằng: B! được nhận đủ sô vốn yêu cầu, B;J được nhận từ 50 đến 70.

Aj được đầu tư ít nhất 150

4.8 Lãnh đạo một cửa hàng muốn bố trí bốn nhóm nhăn viên bán hàng (mỗi nhóm 6 thành viên) vào bốn quầy khác nhau, sao cho doanh thu củacửa hàng là lón nhất Các nhóm này khi bán thừ ở các quầy khác nhau, có các doanh thu trung bình tính theo đầu người cho ở bảng sau:

Hãy lập mô hình và giải bài toán trên.

4.9 Có ba máy cày kết thúc việc cày đất cho ba hợp tác

xã nông nghiệp A, B, c Ba máy này sẽ tiếp tục đến cày cho

ba hợp tác xã D,E, F Biết thòi gian di chuyển cửa mỗi mảy

từ mỗi hợp tác xã thuộc nhóm một sang mỗi hợp tác xã thuộc nhóm hai như sau:

Hãy lập kế hoạch di chuyển để xác định mỗi máy từ hợp tác xã nào đến hợptác xã nào, sao cho tổng thời gian dùng cho việc di chuyển là ít nhất

Thời gian di chuyển tính theo giờ

Lập mô hình và giải bài toán

4.10Í Từ ba gạra của xí nghiệp vận tải cần diều ba xe tảị (mỗi xe ở một ga ra) tới ba nơi có hợp đồng vân chuyển hàng, Biết khoảng cách từ mỗi ga ra tới nơi đặt hàng:

Chương V

MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

Để giải các bài toán bằng công cụ quy hoạch động, ta phải xây dựng các hệ thức truy hồi thích hợp dựa trên nguyên lý tôi ưu Bellman sau đây:

"Dù cho trạng thái ban đầu và quyết định ban đầu như thê nào, các quyết định tiếp sau phải lập thành một sách lược tôì ưu đổi với trạng thái hình thành do quyết định ban đầu"

1 BÀITOÁN PHÀN BỐ TỐI Ưu MỘTLOẠITÀI NGUYÊN

Giả sử có X đơn vị tài nguyên kinh tế (chẳng hạn là vốn, nguyên liệu, nhiên liệu, nhân lực, ) Loại tài nguyên này có thể sử dụng vào các quá trình (hay hành vi) kinh tế khác nhau Nếu sử dụng Xj đơn vị tài nguyên vào quá trình thứ i (i = 1, 2 , ,N) sẽ mang lại một hiệu quả đo được bởi hàm gj(Xj) Giả thiết câc hàm hiệu quả này có cùng một loại đơn vị đo (chẳng hạn có thể quy về giá trị) và hiệu quả thu được khi sử dụng một lượng tài nguyên vào một quá trình chỉ phụ thuộc vào lượng tài nguyên phân cho quá trình đó chứ không phụ thuộc vào lượng tài nguyên còn lại phân bổ cho các quá trình khác Bài toán đặt ra là: với lượng tài nguyên hiện có X đơn vị, cần phân bổ cho từng quả trình

bao nhiêu đơn vị tài nguyên, để tổng hiệu quả thu được đối vổi cả N quá trình là lổn nhất.

Ta ký hiệu R (x„ X2, ,XN) là hàm tổng hiệu quả , thì bài toán đã cho có thể phát biểu như sau:

Bảng 5.2