Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 1

Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập dùng làm tài liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên hệ chính quy, hệ tại chức và những thí sinh cần ôn luyện về toán kinh tế để dự tuyển hệ cao học kinh tế. Phần 1 của tài liệu gồm 3 chương đầu, trình bày về: cơ sở toán của quy hoạch tuyến tính; bài toán quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình; lý thuyết đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính;... Mời các bạn cùng tham khảo!

HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP

PGS TS ĐẶNG VĂN THOAN

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

NHÀ XUẤT BẨN THỐNG KÊ - 2003

Ị-LỜI NÓI ĐẦU

Tài liệu “Hướng dẫn giải bài tập Toán Kinh tế” được biên soạn dựa trên chương trình môn học “Các phương pháp Toán kinh tê” hiện đang giảng dạy cho sinh viên hệ chính quy của Trường Đại học Thương Mại trong những năm gần đây, mà cơ sở lý thuyết của môn học này đã được trình bày trong cuốn “Các phương pháp Toán kinh tế” xuất bản năm 1998 của cùng tác giả.

Nội dung của tài liệu hướng dẫn này gồm 6 chương:

Chương I đưa vào phần “Bổ túc về đại số tuyến tính”, nhắc lại một sô' kiến thức cần thiết cho các chương sau.

Chương II, III, IV trình bày những nội dung cơ bản nhất và có hệ thống các phương pháp tốỉ ưu hoá của quy hoạch tuyến tính Trong các chương này hệ thông bài tập được dẫn ra khá đa dạng, bổ ích được chọn lọc từ dễ đến khó Một số dạng bài tập lý thuyết cũng được giới thiệu, nhằm giúp sinh viên hiểu cơ sở

lý thuyết của môn học sâu sắc hơn.

Chương V, VI dẫn ra một scrbài toán ứng dụng trong kinh tế của lý thuyết quy hoạch động và quản

lý dự trữ.

Trong mỗi chương được chia thành các đề mục, trong mỗi đề mục thường có 3 phần: tóm tắt lý

thuyết, một sô bài giái mẫu và một sô bài tự luyện tập Nội dung cúa các chương mục được trình bày ngắn gọn, rõ ràng, chính xác và đễ hiểu Hy vọng tài liệu hưởng dẫn này sẽ tao điểu kiện thuận lợi cho sinh viên trong quá trình học ! ập, góp phần nâng cao chất lượng đào tao.

Sách có thể dùng iàm ràì liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên hệ chính quy, hệ tại chức và những thí sinh cần ôn luyện vê toan kinh tê đê dự tuyển hệ cao học kinh tế.

Trong lần tái bản này, một sô' nội dung đã được

bổ sung vào chương II, III và đặc biệt có đưa thêm mục “Hưóng dẫn gỉải một số đê thi tuyển sinh cao học (phần quy hoạch tuyến tính)” trong một sô' năm gần đây của trường Đại học Thương mại và một sô' trường đại học kinh tế khác.

Trong quá trình biên soạn, tác giả đã nhận được những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp ở bộ môn Toán trường Đại học Thương mại và các bạn hữu khác Tác giá chân thành cảm ơn tất cả những góp ý chân tình đó.

Mặc dù đã rất cô' gắng nhưng không thể tránh được những thiểu sót, mong nhận được những ý kiến đóng góp bô’ ích của bạn đọc.

Hà Nội 2003 Tác giả

4

Chương I

Cơ SỜ TOÁN CỦA

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

§1 VÉCTƠ N CHIÊU VÀ CÁCPHEP TÍNH

I CÁC ĐINH NGHĨA

Ta gọi một tập hợp n sê thực đươc sấp xếp theo một thứ 'ự nhất đinh là một vét tơ n chiều, ký hiệu lắ một mẫu tự, chẳng hạn X, Y, z

Nnư vậy X = [x1.x2, xI,l Mỗi số Xj(] = L, 2 li) đươí gọi

ìà thanh phần (hay toạ độ) thứ j củã vécto X

- Cac véctơ được- viết theo hàng gọi là các véctơ hàng, cac véctơ được- vi ít theo cột được gọi là các véctơ cột, ví dụ

■ 3'

-2

5

- Véctơ mà tâ't cà các thành phần của nó đểu bàng không, ta gọi là véctơ không, ký hiệu o = [0,0, ,0]

- Đối với hai véctơ n chiều:

X = [x!,x2, ,x11], Y - Ta ký hiệu X > Y (đọc là_

X lớn hơn Y) nếu Xị > y, (Ví = l,n), X > Y nếu Xj > Yi (V/ = l,rt)

- Véctơ đơn vị Ta gọi véctơ có một thành phần bằng 1, còn các thành phần còn lại đểu bằng không, là một véctơ đơn vị Véctơ đơn vị có thành phần thứ i bằng 1, gọi là véctơ đơn vị thứ i, ký hiệu Ej

Như vậy có tất cả n véc tơ đơn vị như sau:

z = X+Y <=> Zj = Xị+Vị (/• = Ẹrt)b) Phép nhân véctơ với một số: Ta gọi tích của một véctơ n chiều X vởi một sô a là một véctơ n chiểu, ký hiệu

aX mà các thành phần của nó là các thành phần tương ứng của X được nhân lên với a Như vậy

aX = [axH ax2, , ax„J

- Nếu ta nhân véctơ X với -1, ta nhận được véctơ -X, được gọi là véctơ đối của véctơ X

Các tính chất của phép cộng và phép nhân véctơ vởi

a(X+Y) =aX+aY , (a+p)X = ax+px

c) Tích vô hướng của hai véctơ: Ta gọi tích vô hướng của

2 véctơ n chiều X và Y là một số thực, được xác định bải tông các tích của các thành phần tương ứng của X và Y, ký hiệu (X,Y) hạy X.Y

- Nếu đẳng thức trên chỉ xẩy ra khi a, - Q(Vz = \,m) thì

hệ véctơ Ai ụ - I,zn) gọi là độc lập tuyến tính.

- Cho hệ m véctơ: A|,A2, ,A11, và véctơ A Nếu có đẳng thức

A = k1A1+k2A2+ +kniA111trong đó kị (i = l,m)là các hằng số xác định, thì ta nói A

là tô hợp tuyến tính của các véctơ Aj(z = 1,/n), hay A biểu diễn tuyến tính qua các véctơ A, (i = l,w)

Ví dụ: Cho Aị = [-2,1,0 ], A2 = [1,3,2], A3 = [4,-1,1] thì

A = 2Aj+5A2-3A3 = [-11,20,7] là một tổ hợp tuyến tính của Aj,'A2 và A3

Về sự biểu hiện của hệ véctơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính, ta có các mệnh đề sau:

- Một hệ véctơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véctơ của hệ biểu diễn tuyến tính qua các véctợ còn lại

Vi dụ Hệ ba véctơ A = [3,2,-4], B = [2,-1.3], c = [0.-7 17] là phụ thuộc tuyến tính vì c = -2A+3B

- Một hệ véctơ là độc lập’ tuyến tính khi và chỉ khi bất

kỳ véctơ nào của hệ cũng không thể biểu diễn tuyến tính qua những véctơ còn lại

Ví dụ Hệ ba véctơ A = [3,2, -4], B = [2, -1,3], D = [2,2,2] là độc lập tuyến tính vì không có véctơ nào trong chúng có thể biểu diễn tuyến tính qua hai véctơ kia

- Một hệ véctơ là phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ chứa

nó cũng phụ thuộc tuyến tính,

- Một hệ véctơ là độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của

nó cũng độc lập tuyến tính

§3 HẠNG CỦA HỆ VÉCTƠ

1 Hệ con độc lập tuyến tính cực đại: Cho một hệ véctơ (có thê gồm một sô hữu hạn hay vô hạn các véctơ).Giả sử hệ này có một hệ con gồm h véctơ độc -lập tuyến tính, sao cho nếu thêm vào hệ đó bất kỳ một véctơ nào của

hệ đã cho, ta đểu được hệ (h+l) véctơ phụ thuộc tuyến tính Khi đó ta nói hệ h véctơ ấy là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véctơ đã cho

Ví dụ Xét hệ gồm ba véctơ A = [1,-2,3], B = [4,2,-1], c

= [6,-2,5]

A,B là 2 véctơ độc lập tuyến tính, c có thể biểu diễn tuyến tính qua 2 véctơ A và B: c = 2A+B, nên hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ ba véctơ đã cho gồm hai véctơ

- Nếu hạng của hệ véctơ bằng h, thì mỗi véctơ của hệ đểu có thể biểu diễn dưới dạng tô hợp tuyến tính của h véctơ độc lập tuyến tính bất kỳ của hệ và cách biểu diễn đó

là duy nhất

§4. KHÔNG GIAN VÉCTƠ

1 Định nghĩa 1: Tập hợp tất cả các véctơ n chiều vối hai phép tính cộng và nhân véctơ với một số đã nêu ở phần 1.2 được gọi là không gian véctơ n chiều trên trường sô thực (còn gọi là không gian tuyến tính n chiểu), ký hiệu R"

b) Tích của ma trận vói một hằng sô: Ta gọi tích cùa

ma trận A cấp m.n với một hằng sô a là ma trận cấp m.n

ký hiệu là aA, mà các phẩn tử của nó là các phẩn tử tương ứng của A được nhân lên vói a:

aA = [aa,)],,, „Hai phép tính trên có các tính chất sau:

- Tính giao hoán: A+B = B+A; aA = Aa

- Tính kết hợp: (A+B)+C = A+(B+C);

a(PA) = (aP)A

- Phân bô': a(A+B) =*aA+aB

(a+P)A = aA+pAc) Phép nhân hai ma trận

Cho ma trận A cấp m.n và ma trận B cấp n,p, thì tích A.B = c là ma trận cấp m.p, mà phầntử nằm ở hàng i cột j của nó được xác định bởi tổng các tích của các phần tử nằm trên l)àììg i của ma trận A (đứug trưốc) vôi các phần tu nằm trên cột j của ma trận B (đứpg sau), nghĩa là

Ả=I

Rõ ràng phép nhân ma trận có diều kiện, dó là sô cột của ma trận dứng trưốc phải bằng số hậng của ma trận đứng sau, nên phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán

Đối với phép nhân ma trận vẫn có tính chất kết hợp và phân bô khi các ma trận tham gia phép tính thỏa mãn điều kiện nhân được

Nếu A cấp m.n B cấp n.p c cấp p.q thì A(B.C) - (AB)C Nêu A cấp m.n B cấp m.n, c câp n.p thì (A+B)C - AC+BC

Các ví dụ:

'1 -1-1 2 3’

Nôi các phần tử của sô hạng đó với nhau bằng những đoạn thẳng Nếu sô các đoạn thẳng có đầu mút phải cao hơn đầu mút trái là chẵn (kể cả bằng 0), thì sô hạng đó mang thêm dấu + ngược lại sô các đoạn thẳng như thê là

lẻ, thì sô hạng đó mang thêm dấu

Chẳng hạn:

- Nếu tất cà các phắn tử cúa một hàng nào dó (hoặc một cột nào dó) đểu bằng 0 thì định thức bằng 0.

- Định thức có hai hàng (hoặc hai cột) tỳ lệ thì bằng 0

- Nếu nhân tất cả các phần tử của một hàng (hoặc một cột) vói cùng một số rồi cộng vào các phần tử tương ứng của một hàng (hoặc một cột) khác, thì định thức không thay đổi

3 Định thức con và phần phụ đại sô của phần tử a,j

- Nếu trong định thức cấp n ta bỏ đi hàng i và cột j (hàng và cột chứa phần tử ay), thì các phần tử còn lại tạo nên 11101 định thức cấp (n-1) Định thức này gọi là định thức con của phần tử ajj, ký hiệu là Mir

- Phần phụ đại sô của phần tử a,j, ký hiệu là A,J và

■

4 Khai triển định thức theo hàng (hoặc cột)

Định lý: Định thức bằng tông các tích giữa các phần tử của một hàng (hoặc một cột) bất kỳ’với các phần phụ đại sô tương ứng của chúng

Như vậy, nêu D là một định thức cập n, thì

■2 Định thức cặiícửa ma trận A:

Từ ma trận A cấp m.n/ta lấy ra một cách tùy ý k hàng

và k cột (1 < k < min{m,n} Các phần tử nằm ở giao của k hàng và k cột ấy tạo ra thành một ma trận vuông cấp k và định thức cua nó gọi là định thức con cấp k của ma trận A

- Nếu ta chọn k hàng và k cột theo tất cả các cách khác nhau, ta sẽ được tất cả các định thức con cấp k của ma trận A

Ta có thể chứng minh được rằng: Nêu tai cả các định thức con cấp k của ma trận A đều bằng không, thì tất cả các định thức con cấp cao hơn k của A cũng bằng 0

3 Định lý vể hạng của ma trận: Cấp cao nhất của định thức con khác không của ma trận A đã cho bằng hạng của ma trận ấy.

Chú ý: Có nhiều cách tính hạng của ma trận, nhưng một trong những cách đó là tìm định thức con cấp cao nhất khác không của các ma trận có cấu tạo đặc biệt, mà ta sẽ thấy ở Chương II và III

20

1

Định thức con cấp cao nhất khác không của A là định thức cấp bốn, nên hạng của A bằng 4

- Nhân một hàng (cột) với một sô khác không.

- Nhân một hàng (cột) với một sô khác không, rồi cộng vào một hàng (cột) khác

Ta biến đổi sao cho A trở thành E khi đó E sẽ trở thành A’1

Chú ý ràng nếu A không thể biến đổi thành E thì ma trận A suy biến và A 1 không tồn tại

aĩtxt + ơ,,x2 + + CI1IIXII = h,

"mlXl + am2Xĩ + - + “nIHXll = bm

ở đây ta sử dụng các ký hiệu:

a;j là hệ sô của ẩn Xj trong phương trình thứ i, ụ _ Ị m

j = 1,")

A = [a^lm.n là ma trận hệ số của phương trình,

b = [bị, b2, , bin]T - véctơ vê phải của hệ phương trình, X - [x1,x2, x11]T - véctơ ẩn số của hệ phương trình,

Aj = [aJa2j, ,ainj]T - véctơ cột thứ j của ma trận A

- Một hệ có một nghiệm duy nhất gọi hệ xác định.

- Một hệ có hơn hiột nghiệm (sẽ có vó sô nghiệm) gọi là

hệ vô định

- Một hệ không có nghiệm gọi là hệ vô nghiệm

- Hai hệ phương trình tuyến tĩnh được gọi là tương đương với nhau nếu mọi nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại, hoặc hai hệ đểu vô nghiệm

2 Các phép biến đối sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính

a) Đôi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau

b) Nhân hai vê của phương trình của hệ vối cùng một

sô khác không

c) Cộng vào hai vế của một phương trình hai vê tương1 ứng của một phương trìnhkhảc sau khi đã nhân với một sô.Các phép biến dổi sơ cấp chuyển hệ phương trình dã cho về hệ phương trình tương đương vói nó

3 Phương pháp khử dần các ấn (phương pháp Gauss) giải hệ phương trình tuyến tinh

Sử dụng các phép biến đôi sơ cấp, ta loại X| ra khỏi mọi phương trình kể từ phương trình thứ hai trở đi nếu hệ sô a,! #0 Sau đó loại ẩn x2 ra khỏi mọi phương trình, trừ phương trình thứ hai nếu hệ sô của x2 khác không

Quá trình tiếp tục chừng nào còn có thể Bằng cách như vậy, ta chuyển hệ phương trình đã cho về hệ phương trình tương đương với nó Đốì vối hệ phương trình mới này, ta dễ dàng có thể chỉ ra hệ vô nghiệm, có một nghiệm duy nhất hay hệ có vô sô nghiệm, tuỳ thuộc vào các trường hợp cụ thê của hệ được xét

Trong tính toán để thực hiện phương pháp khử dần, ta chỉ cần viết ma trận mỏ rộng [AI b], sau đó thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận biến đổi.

Ví dụ 1 Giải các hệ phương trình sau:

Định lý Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng A = [A| b] Hệ vô nghiệm nếu hạng của A lởn hơn hạng của A.

§11 BÀI TẬP1.1 Cho ba véctò:

23 giờ trong ngày

Đe sản xuất một sản phẩm theo phương pháp thứ nhất cần 20 phút làm việc của máy một 22 phút làm việc cùa máy hai và 21 phút làm việc của máy ba Để sản xuất một sản phẩm theo phương pháp hai cần 18phút làm việc của máy một va 20 phút làm việc của máy ba Đe sản xuất một sản phàm theo phương pháp thứ ba cần 22 phút làm việc của máy hai và 19 phút làm việc của mảy ba Hãy kiêm tra (dùng tồ hợp Tuyến tính không âm) xem có thể thực hiện

kê hoạch sàn xuất hàng n'gày sau: sản xuất 60 sản phẩm theo phương pháp một 10 sàn phẩm theo phương pháp hai và 40 sản phẩm theo phương pháp ba

1.3 Các véctơ sau đây là phụ thuộc tuyến tính hay không?

a) A = [.'>.6.7.91 B = [4.3.2.11

c = [2,-3.4,-5|, Đ = [1.5.1,61

b) E| = 11.0.0.0.01 Eư = [0.1.0.0.01 E, = [0.0.1.0.01

E, = [0.0.0.1.0|, E, = [0.0.0.0.11

1.5 Một nhà máy sản xuất bốn loại thực phẩm (P) từ

ba loại nguyên liệu (S) Yêu cầu về các loại nguyên liệu đối vối một sản phẩm mỗi loại và lượng các chất dinh duỡng có trong mỗi đơn vị nguyên liệu mỗi loại được cho ở bảng la

Lượng chất dinh dưỡng

trong một đơn vị nguyên liệu

a) Viết hệ phương trình dưới dạng véctơ.

b) Biểu diễn các véẹtơ hệ sô của biến X|, x5 dưới dạng tô hợp tuyên tính của các véctơ hệ số của các biến Xị x2, x:(.c) Tìm nghiệm tông quát của hệ

Định nghĩa 2.2 Bài toán, trong đó cần tìm cực tiểu của hàm tuyến tính

29

thì bài toán (2.5), (2.6), (2.7) có thể viết dưỏi dạng ma trận như sau:

f(X) = cx -> min (2.5’)

AX > bX>0

(2.6’)(2.7')Định nghĩa 2.3 Bài toán, trong đó cần tìm cực tiểucủa hàm tuyến tính

f(X) - cx -> min

AX = bX>0

(2.8’)(2.9')(2.10’)Định nghĩa 2.4 Véc tơ X = (X|, x2, , Xn)T thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính, được gọi

là một phương án của nó

Định nghĩa 2.5 Phương ánX = (x1,x2, ,xH)/ làm cực tiểu hàm tuyến tính, được gọi là phương án tốì ưu hay nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính

Định nghĩa 2.6 Các véctơ cột Aj(j = 1, 2, , n) của ma trận A gọi là các véctơ điều kiện, và b gọi là véctơ ràng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính

Định nghĩa 2.7 Bài toán quy hoạch tuyến tính gọi là

có phương án nếu tập các phượng án của nó không trống,

và được gọi là giải được nểu tập các phương án tối ưu của

nó không trống

Chú ý: Khi cần thiết, ta có thể chuyển bài toán quy

hoạch tuyến tính dạng tổng quát hay dạng chuẩn về dạng chính tắc

Dưói đây ta xét một số ví dụ đơn giản

Ví dụ 2.1. Chuyển vể dạng chính tắc bài toán sau:X! +x2 -> min

>0x2 = x2'-x2", ỏ đây x2', x2"

Sau các phép biến đổi trên, bài toán đã cho được viết dưới dạng chính tắc như sau:

Ta khử trong hệ phương trình hai biến Xj và x2 không

có ràng buộc về dấu Để làm được điểu này ta xét hệ

í-x,-x2 + x3-x4 = -1

[2x( +ar2 +x3 = 2

ở đây có thể xảy ra hai trường hợp

Trường hợp 1 Nếu a * 2 Các biến xt và x2 xác định duy nhất qua x3 và x4:

2-a

]

Sau khi thay các giá trị này vào hàm mục tiêu, bài toán

Xj = 1 - x2 + x3 - x4Nếu thay biểu thức tìm được trên đối với Xj vào hàm mục tiêư và ràng buộc còn lại, thì bài tcán có dạng:

-l-x2 + x3 + x4 _> min

3x3 - 2x4 = 0x3 > 0, x4 > 0

Bài toán nhận được dưói dạng chính tắc không giải được,

vì x.z có mặt trong hàm mục tiêu với hệ số âm, nhưng không

có mặt trong các ràng buộc Điều này có nghĩa bài toán đã cho không giải được (hàm mục tiêu có thể giảm vô hạn).2.1.Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn

(ở đây E-ma trận đơn vị cấp m)

Chứng minh rằng nếu (X, Y) là lòi giải tối ưu của bài toán (P), thì (%)là lòi giải tôì ưu của bài toán (a)

2.2 Cho bài toán

Chứng minh rằng nếụ

(xl,x2, ,x/,,xp+i, ,x„,xp+i, ,x„,ỹl,ỹ2, ,ỹ,) là phương

án tối ưu của bài toán (P), thì

X = (jq,x^, ,x7,xp+i — Xp+|, , Xn -x„)là phương án tối ưu của bài toán (a)

2.3 Chuyển bài toán dạng chính tắc sau:

về bài toán cực đại tương đương

Chuyển các bài toán 2.5-2.14 về dạng chính tắc, bằng cách đưa vào các biến phụ không âm và thay các biến không ràng buộc về dấu bỏi hiệu của hai biến không âm.2.5 f(X) = x1+x2-> max 2.6 f(X) = xrx2 -> max

2xj+x2 >1 X! > 1X|- x2 < 0 x2 < 1

Xj > 0, x2 > 0 •2.7 f(x) = x^Xíị+Xg -> min 2.8 f(X) = X!-x2+x3 -> max

X! -x3 < 1 x2+x3 >1

Xj >0

xrx2 = 0x2 < 1x3 > 0

2.9 f(X) = x1+x2+3x3—>max 2.10 f(X) = xt-x2-x3-x4-> min

2xi+x2+x3 <1

x2+x3 > 0x2 > 0, x3 > 0

Xj+x2 -x4 <1-Xy+x2 +x4 < 1x2+x3 = 1

Xị > 0, x2 > 02.11 f(X) = Xj - x2 - 2x3 - 3x4 -> min

xr x2+ x3+x4 = 1-X! -x4 < 5x2 +x3 > 10X| > 0, x2 > 0, x3 > 02.12 f(X) = x1-x2-x3+10x4 -> max

X!+x2+x3+x4 = 1x2+x3+x4 = 1

x3+x4 = 12*13 f(X) = xl+x2+ +x„.l+xll -> max’

xn-i+x.> =1

Chuyển các bài toán 2.15 - 2.25 vể dạng chính tắc bằng phương pháp khử các ẩn Phân tích số chiểu của các bài toán trong các trường hợp, khi khử các ẩn không ràng buộc

vê dấu không còn có thể thực hiện được

2.15 f(X) = x1+2x3 +x4 ->

max-2x!+x2+x3+x4 = 1

x1-2x2-x3-x4 = 0x3 > 0, x4 > 02.16 f(X) = X]+x2 -> max

3xj+x2 < 12xrx2< 22.17 f(X) = x1+ax2+x3 -> min

X!-3x2+ x3 = 12X|-6x2+7x3= 2

x3 > 02.18 f(X) = xrx2-x3 -> max

xr2x2+ x3 = 1x1-4x2+ax3< 1

X! > 02.19 f(X) =Xị +x4 -> max

x1+x2+ x3+ x4 = 1

x1+x2+3x3+2x4 < 4

-x1+x2+9x3+4x4 = 16

X! > 02.20 f(X) = x2 +x4-> min

-x1+2x2+x3+x1 = 1-2Xị+x2+x3+x4 = 2

3x2 +2x< = 3

X, > 0

2.21 f(X) = xl-x2+ax3+x1 -> max

xl + x3+x4 = 1ax2+ x3+x4 = 2x3-x4 =1

X! > 02.22 f(X) = x1+ax2 -> max

xrx2 -x3 < 1

■ -X|+x2-2x3 < 2

x1-x2-2x3 < 32.23 f(X) = X!+ax2 -> max

Xxj+ x2 = 1Xj+Xx2 < X2.24 f(X) = cuq+Ị^ “> max

X!+ax2 < 1PX;+ X2 < 12.25 f(X) = x3-x4 -> max

ax1+x2+x3+x1 = 1ax2+x3+x4 = 1ax3+x4 < 1x4 > 0

QUYHOẠCH TUYẾN TÍNH

Định lý 2.1 Điều kiện cần và đủ để bài toán quy hoạch tuyến tính (2.1) - (2.4) giải được là các điều kiện sau đây đựỢc thỏa mãn:

1) Tập phương ân của bài toán không trông

2) Hàm mục tiêu bị chặn dưới trên tập phương án này

Để phân biệt tính chất của các ràng buộc đối vớimột phương án, ta đưa ra khái niệm ràng buộc chặt và lỏng

- Nếu đối vối phương án X mà fàng buộc thứ i thoả mãn với dấu đẳng thức, nghĩa là: '^laịixi thì ta nói phương ân X thoả mãn chặt ràng bu(xi i hay ràng buộc i là chặt đôì với phương án X

- Nếu đốì với phương án X mà ràng buộc thứ i thoả mãn vối dấu bất đẳng thức thực sự, nghĩa là:

^Laịixi >^i(^ay^laiixi <^i)thì ta nói phương ân X thỏa

lirần lỏng ràng bữọc thứ i, hay ràng buộc i là lỏng đối với phương án X

Định nghĩa 2.8 Phương ấn X của bài toán (2.1) - (2.4) thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính, được gọi là phương ân cực biên

Phương án cực biên thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc gọi là phương án cực biên không suy biến, thoả mãn chặt hơn n ràng buộc gọi là phương án cực biên suy biến

Định nghĩa 2.9 Nếu một phương án tối ưu là phương

án cực biên, thì nó được gọi là phương án cực biên tối ưu.Định lý 2.2 Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính giải được và hệ ràng buộc có hạng bằng n, thì bài toán có ít nhất một phương án cực biên tối ưu

Định lý 2.2 có thể dùng để giải bài toán quy hoạch tuyến tính, khi số phương án cực biên cựa nó không quá lớn

Ví dụ 2.3 Tìm phương án tối ưu của bài toán

Theo định lý 2.1 bài toán đã cho là giải được.

Ta gọi D là ma trận của hệ ràng buộc, thì

1 11

0

-1010

11001

Dễ thấy hạng của D bằng 3 (số chiểu của không gian các biến của bài toán) Như vậy tất cả các điều kiện 'của định lý 2.2 đv thỏa mãn Ta tìm tất cả các phương án cực biên của bài toan Dễ dàng có thể chỉ ra đó là các phương

án X) = (1,0,0) và X2 = (0,0,1) Như vậy theo, định lý 2.2, thì phương án tối ưu của bài toán sẽ là một trong hai phương

án Xj, X2 Ta so sánh giá trị của hàm mục tiêu tại X! và X2: f(Xt) = 3, f(X2) = 1 Điều này có nghĩa: phương án tôì ưu của bài toán là x = (1,0,0) và f(X) = 3-

2.26 Xét bài toán

(C, X) —> max

AX = b <a)