(LUẬN văn THẠC sĩ) sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất xúc tác ức chế

Chương 1 nói về một số không gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach,những nét khái quát nhất về các không gian Sobolev, về toán tử tuyến tính, khônggian liên hợp và toán tử li

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2011

Mục lục

1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach 1

1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục 1

1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder 3

1.1.3 Không gian các hàm liên tục Holder có trọng 3

1.1.4 Không gian các hàm giải tích 4

1.2 Toán tử tuyến tính 4

1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính 5

1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford 5

1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh 6

1.2.4 Nửa nhóm giải tích 7

1.3 Nội suy không gian Banach 8

1.4 Không gian và các toán tử liên hợp 9

1.4.1 Không gian đối ngẫu 9

1.4.2 Không gian liên hợp 9

1.4.3 Toán tử liên hợp 10

1.5 Ngoại suy không gian Banach 11

1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính 12

1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết 12

1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp 13

1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue 14

1.7.1 Biên của miền 14

1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên 15

1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn 15

1.7.4 Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn + hoặc trong một miền bị chặn 16

1.7.5 Các định lí nhúng 17

1.7.6 Vết 17

1.7.7 Không gian ˚Hs p(Ω) và H−sp (Ω) 18

1.7.8 Không gian tích 19

2 Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa 20 2.1 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản 20

2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt 20

2.1.2 Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính 21

2.1.3 Toán tử quạt trong không gian L2 23

2.1.4 Tính chất chuyển trong L2 25

2.2 Hàm mũ 26

2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh bởi một toán tử quạt 26

2.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính 29

2.3 Toán tử lũy thừa 30

2.3.1 Toán tử lũy thừa và nửa nhóm giải tích 31

2.3.2 Miền của một toán tử elliptic lũy thừa trong L2 32

2.3.3 Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 33

3 Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế 36 3.1 Đặt bài toán 37

3.2 Nghiệm địa phương 38

3.3 Nghiệm địa phương không âm 39

3.4 Nghiệm toàn cục 40

3.4.1 Uớc lượng dưới 40

3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm 42

3.4.3 Nghiệm toàn cục 46

3.4.4 Ước lượng toàn cục 46

Lời mở đầu

Một trong những cách tiếp cận hệ thống để nghiên cứu các phương trình, hệ phươngtrình vi phân với biến thời gian là lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết này dựa trên nhữngkết quả về nửa nhóm giải tích được phát triển vào những năm 50 của thế kỉ trước Điểmnổi bật trong cách tiếp cận này là cho công thức tổng quát biểu diễn nghiệm Chẳnghạn, nửa nhóm giải tích e−tA sinh bởi toán tử tuyến tính −A là một nghiệm cơ bảncủa Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính ô-tô-nôm, dU

dt + AU =

F (t), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0 và nghiệm tổng quát của nó được cho bởi công thức

U (t) = e−tAU0 +Rt

đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, dU

dt + AU = F (U ), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0cũng là một nghiệm của phương trình tích phân U (t) = e−tAU0+Rt

Những công thức nghiệm như thế cung cấp cho ta nhiều thông tin quan trọng về cácnghiệm như tính duy nhất, tính chính quy tối đại, tính trơn v.v Đặc biệt đối vớicác bài toán phi tuyến, ta có thể suy ra tính liên tục Lipchitz hoặc thậm trí đạo hàmFrechet của nghiệm theo giá trị ban đầu Từ đó xây dựng được hệ động lực xác địnhbởi Bài toán Cauchy; nghiên cứu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm; chỉ ra sự tồntại của tập hút; nghiên cứu được tính ổn định hoặc không ổn định của nghiệm dừng;xây dựng được đa tạp trơn ổn định hoặc không ổn định v.v thậm trí bằng phươngpháp giải gần đúng ta có thể thu được lời giải số của nghiệm

Luận văn này sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn tạinghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế Chúng tôi chia luận văn ra làm

ba chương

Chương 1 nói về một số không gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach,những nét khái quát nhất về các không gian Sobolev, về toán tử tuyến tính, khônggian liên hợp và toán tử liên hợp Chúng tôi cũng giới thiệu ở đây khái niệm và một

số tính chất nội suy, ngoại suy của một không gian Banach

Chương 2 giành để nói về toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa Chúng tôi đềcập đến ở đây khái niệm toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính và nghiêncứu tính chất chuyển của toán tử này trong L2 Ngoài ra sự tồn tại nghiệm của Bàitoán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính cũng được phátbiểu

Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu mới về sự tồn tại nghiệm toàn cụccủa một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhómgiải tích, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ phản ứng

các chất Xúc tác-Ức chế trong một trường hợp riêng.

Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn có thể cònthiếu xót Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô cũng như củacác bạn đồng nghiệp

Hà nội, tháng 04 năm 2011

Hoàng Thế Tuấn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

không gian Banach

Cho X là một không gian Banach với chuẩn || || Ta sẽ giới thiệu một số khônggian các hàm nhận giá trị trong X, xác định trên một khoảng của R hoặc một miềncủa C

Không gian các hàm bị chặn đều

Cho [a, b] là một đoạn trong R Xét không gian các hàm bị chặn đều trên [a, b], kíhiệu là B([a, b]; X) Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum

kF k = sup

a≤t≤b

kF (t)k

Với chuẩn này B([a, b]; X) là một không gian Banach

Cho [a, b] là một đoạn trong R và m = 0, 1, 2, là số nguyên không âm Kí hiệu

Cm([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên [a, b] Khi m = 0,

C0([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục và thường được kí hiệu một cách đơn giản

làC([a, b]; X) Trên Cm([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau

Định lý 1.1.1 Cho A là một toán tử tuyến tính đóng trong X Nếu F ∈C([a, b]; X)

và AF ∈C([a, b]; X), thì

A

Z b a

F (t)dt =

Z b a

u(t) ≤ e−R0ta(τ )dτu(0) +

Z t 0

f (s)e−Rsta(τ )dτds

Từ (1.1) chúng ta có

u(t) ≤ e−R0ta(τ )dτu(0) +

Z t 0

Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 thì

u(t) ≤ e−δtu(0) +

Z t 0

Thêm vào đó, nếu f (t) ≡ f > 0 thì

u(t) ≤ e−δtu(0) + f δ−1, 0 < t ≤ T

1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder

Với m = 0, 1, 2, và một số mũ σ ∈ (0, 1), kí hiệu Cm+σ([a, b]; X) là không giancác hàm khả vi liên tục m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder trên [a, b] với số mũ

σ Trên Cm+σ([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn

kF kCm+σ = kF kCm + sup

a≤s<t≤b

kF(m)(t) − F(m)(s)k

|t − s|σ Với chuẩn này,Cm+σ([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [3, Tr 241])

Khi σ = 1, gọi Cm,1([a, b]; X) là tập tất cả các hàm khả vi liên tục tới cấp m, cóđạo hàm cấp m liên tục Lipchitz trên [a, b] Trên lớp hàm này ta đưa vào chuẩn sau

kF kCm,1 = kF kCm + sup

a≤t<s≤b

kF(m)(t) − F(m)(s)k

|t − s| .Tương tự như trong trường hợp trên, với chuẩn vừa chỉ raCm,1([a, b]; X) là một khônggian Banach (xem [1, Tr 10])

Cho hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, kí hiệu Fβ, σ((a, b]; X) là không gian các hàm liêntục trên (a, b] (tương ứng trên [a, b]) khi 0 < β < 1 (tương ứng khi β = 1) với các tínhchất sau

1 Khi β < 1, (t − a)1−βF (t) có giới hạn khi t → a;

2 F liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β+σ, tức là:

1.1.4 Không gian các hàm giải tích

Cho D là một miền trong mặt phẳng phức C Một hàm f (λ) xác định trên D, nhậngiá trị trong X được gọi là giải tích trong D nếu f khai triển được thành chuỗi Taylortại mọi điểm trong D Tất cả các tính chất của các hàm giải tích phức thông thườngđều có thể được mở rộng cho hàm giải tích nhận giá trị trong X Chẳng hạn ta có côngthức Tích phân Cauchy

f (λ) = 1

2πiZ

C

f (µ)

µ − λdµđúng cho mọi đường cong Jordan C trơn, hoặc trơn từng khúc bao quanh λ trong D

Toán tử tuyến tính bị chặn

Cho X, Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là || ||X, || ||Y Khônggian các toán tử tuyến tính từ X vào Y được kí hiệu bởi L(X, Y ) Không gian L(X, Y )được trang bị chuẩn

kAU kY

Với chuẩn này, L(X, Y ) là một không gian Banach Khi X = Y, L(X, Y ) được viết gọn

là L(X) Kết quả sau đây được gọi là Định lý bị chặn đều

Định lý 1.2.1 ([15], Tr 69) Giả sử X và Y là các không gian Banach Cho {Aα}α∈I

là một họ các toán tử bị chặn từ X vào Y với tập chỉ số I Nếu supα∈IkAαU kY < ∞với mọi U ∈ X, thì supα∈IkAαkL(X, Y )< ∞

Dễ thấy rằng với mỗi U ∈ X, phiếm hàm pU(.) xác định bởi pU(A) = kAU kY,

A ∈ L(X, Y ) là một nửa chuẩn trên L(X, Y ) Rõ ràng họ các nửa chuẩn pU(.), U ∈ Xthỏa mãn tính chất tách, tức là pU(A) = 0 với mọi pU kéo theo A = 0 Cho trước một

số tự nhiên n khác 0, xét n phần tử bất kì trong X mà ta kí hiệu là U1, , Un và một

bộ n số thực dương nhỏ tùy ý 1, , n Ta định nghĩa một lân cận của toán tử 0 trongL(X, Y ) là tập U có dạng

tô-pô này được kí hiệu là Ls(X, Y ) Đây là tô-pô mạnh trên L(X, Y ) Trong khi đó,tô-pô xác định bởi chuẩn toán tử được gọi là tô-pô đều trên L(X, Y ) Chú ý, theo Định

lý 1.2.1 vừa phát biểu Ls(X, Y ) là không gian đủ

Xét một dãy {An} trong L(X, Y ) Ta nói rằng {An} hội tụ mạnh tới một toán tử

bị chặn A nếu An hội tụ tới A theo tô-pô mạnh, tức là AnU → AU trong Y với mọi

U ∈ X Một cách tương tự, xét hàm A(ω) xác định trên tập Ω ⊂ Rd (d là một sốnguyên dương) và nhận giá trị trong L(X, Y ) Ta nói A(ω) liên tục mạnh tại ω0 ∈ Ωnếu A(ω) liên tục tại ω0 theo tô-pô mạnh, nói cách khác A(ω) liên tục mạnh tại ω0 khichỉ khi A(ω)U → A(ω0)U trong Y khi ω → ω0 với mọi U ∈ X

Cho X là một không gian Banach và cho A là một toán tử tuyến tính từ X vàochính nó Miền xác định của A sẽ được kí hiệu là D(A) còn miền giá trị của nó được

kí hiệu bởi R(A) Cho Y là một không gian con của X Toán tử A|Y xác định trênD(A|Y) = {U ∈ D(A) ∩ Y : AU ∈ Y } bằng công thức A|YU = AU được gọi là Hạnchế của A trong Y Dễ dàng kiểm tra rằng A|Y là một toán tử tuyến tính từ Y vào Y Khi D(A) ⊂ Y, D(A|Y) = {U ∈ D(A) : AU ∈ Y }

Cho A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không gian Banach

X Tập ρ(A) chứa các số phức λ sao cho (λ − A) có toán tử ngược (λ − A)−1 ∈ L(X)được gọi là tập giải thức của A Ta biết rằng ρ(A) là tập mở trong C còn (λ − A)−1 làmột hàm giải tích xác định trên ρ(A), nhận giá trị trong L(X) (xem [2, Tr 158]) Vìvậy với mỗi λ0 ∈ ρ(A) ta có

Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong X và σ(A) là phổ của nó Lấy

f (λ) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D chứa σ(A) và đặt

f (A) = 1

2πiZ

C

f (λ) (λ − A)−1dλ,

ở đây C là đường cong Jordan trơn, hoặc trơn từng khúc nằm trong D bao quanhσ(A) Tích phân này xác định trong L(X), không phụ thuộc vào cách chọn đường congJordan C Người ta gọi nó là Tích phân Dunford Trong khi đó toán tử f (A) được gọi

là Tích phân hàm liên kết với f (λ)

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là một không gian Banach Một họ {T (t)}t≥0 các toán tử

bị chặn trong X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh hoặc C0-nửa nhóm nếu cáctính chất sau được thỏa mãn

1 T (t + s) = T (t)T (s);

2 T (0) = I;

3 Với mỗi x ∈ X, ánh xạ: [0, ∞) 3 t 7→ T (t)x ∈ X liên tục theo t

Định nghĩa 1.2.2 Cho {T (t)}t≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử bị chặntrên không gian Banach X Toán tử A định nghĩa bởi

Ax = lim

T (h)x − xhđược gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {T (t)}t≥0 Miền xác định D(A) của A là tậptất cả các x ∈ X sao cho giới hạn trong vế phải của đẳng thức vừa nêu tồn tại

Sau đây ta phát biểu một định lý quan trọng trong lý thuyết toán tử tuyến tính

Định lý 1.2.2 (Lumer-Phillips) Giả sử H là một không gian Hilbert với tích trongh., i Cho A là một toán tử tuyến tính trong H thỏa mãn các điều kiện sau

1 D(A) trù mật trong X;

2 Tồn tại một số thực ω sao cho Re hx, Axi ≤ ωhx, xi với mọi x ∈ D(A);

3 Tồn tại số thực λ0 > ω sao cho A − λ0I là toán ánh

Khi đó A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh {etA}t≥0 và ketAk ≤ eωt

Chứng minh Xem chứng minh trong [10, Tr 407]

1 U (z) là một hàm giải tích trong Σφ;

2 U (z) thỏa mãn tính chất nửa nhóm U (z + z0) = U (z)U (z0) với mọi z, z0 ∈ Σφ;

3 Với bất kì φ0 sao cho 0 < φ0 < φ, U (z) hội tụ mạnh tới toán tử 1 trong X khi

Σφ0 \ {0} 3 z → 0

Do tính chất thứ ba ở trên, ta định nghĩa được U (0) = 1 Vì nửa nhóm giải tích U (z)trong Σφ có thể mở rộng được lên một miền quạt rộng hơn (có góc φ lớn hơn), nênmột cách tự nhiên ta xét supremum tập tất cả các góc của những hình quạt mà U (z)

có thể mở rộng lên được Ta gọi giá trị này là góc của nửa nhóm U (z) và kí hiệu nó là

Định lý 1.2.3 Cho A là toán tử đóng, xác định trù mật trong X, thỏa mãn (1.4)

và (1.5) Khi đó, e−zA là một nửa nhóm giải tích xác định trong Σπ

2 −ω, thỏa mãn ướclượng

ke−zAk ≤ Cφe−(β+δφ )|z|, z ∈ Σφ, 0 < φ < π

với các hằng số δφ > 0 và Cφ≥ 1 chỉ phụ thuộc vào φ

Chứng minh Xem trong [14, Tr 119]

1.3 Nội suy không gian Banach

Với X0, X1 là hai không gian Banach với các chuẩn tương ứng là k kX0, k kX1.Giả sử X1 được nhúng trù mật và liên tục vào X0 Cho S là dải

S = {z : 0 < Rez < 1}

trong mặt phẳng phức C Ta kí hiệu H(X0, X1) là không gian tất cả các hàm giải tíchnhư sau

1 F (z) là một hàm giải tích trong S, nhận giá trị trong X0;

2 F (z) là một hàm bị chặn, liên tục trong ¯S, nhận giá trị trong X0;

3 F (z) là một hàm bị chặn, liên tục theo biến z = 1 + iy, nhận giá trị trong X1

Trên H(X0, X1) ta đưa vào chuẩn

Với chuẩn này H(X0, X1) là một không gian Banach (xem [13, Định lý 1.9.1])

Cho θ là một số không âm thỏa mãn 0 ≤ θ ≤ 1, ta định nghĩa không gian [X0, X1]θnhư sau

[X0, X1]θ = {U ∈ X0 : tồn tại hàm F ∈ H(X0, X1) sao cho U = F (θ)}

Trên [X0, X1]θ ta đưa vào chuẩn

kU kθ = inf

Khi đó [X0, X1]θ là một không gian Banach và được gọi là Không gian nội suy từ X1,

X0 (xem [13, Định lý 1.9.2]) Sau đây là vài tính chất cơ bản của các Không gian nộisuy, chứng minh chi tiết xem [13, Định lý 1.9.3]

1 [X0, X1]0 = X0 và [X0, X1]1 = X1;

2 Với 0 < θ < 1, X1 ⊂ [X0, X1]θ ⊂ X0, các phép nhúng ở đây là liên tục, trù mật;

3 Với 0 < θ < 1, bất đẳng thức ||U ||θ ≤ ||U ||1−θX0 ||U ||θ

X 1 đúng cho mọi U ∈ X1;

4 Với 0 ≤ θ < eθ ≤ 1, [X0, X1]θe⊂ [X0, X1]θ, phép nhúng ở đây là liên tục

1.4 Không gian và các toán tử liên hợp

Cho X là một không gian Banach với chuẩn k k Coi C như một không gian Banachvới chuẩn thông thường, xét không gian Banach L(X, C) với chuẩn

Vì X0 là một không gian Banach, ta có thể xét không gian đối ngẫu X00 của X0 Khi

đó toán tử ι từ X vào X00 xác định bởi

(ι F )(Φ) = Φ(F ), F ∈ X, Φ ∈ X0

là một ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn từ X vào X00 Khi ι là toàn ánh, tức làι(X) = X00, X được gọi là không gian Banach phản xạ Kết quả sau đây là một hệ quảcủa Định lý Hahn-Banach mở rộng Nó được sử dụng để xây dựng không gian liên hợpcủa X Chứng minh chi tiết có trong [15, Tr 108]

Định lý 1.4.1 Giả sử X là một không gian Banach Khi đó với mọi F ∈ X, F 6= 0tồn tại một phiếm hàm Φ ∈ X0 sao cho Φ(F ) = kF k và ||Φ|| = 1

Giả sử X và Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là k kX, k kY.Một hàm nhận giá trị phức h., iX×Y xác định trên không gian tích X × Y được gọi làmột dạng tựa tuyến tính nếu nó thỏa mãn

(

hαF + β eF , GiX×Y = αhF, GiX×Y + βh eF , GiX×Y, α, β ∈ C, F, eF ∈ X, G ∈ Y,

hF, αG + β eGiX×Y = ¯αhF, GiX×Y + ¯βhF, eGiX×Y, α, β ∈ C, F ∈ X, G, eG ∈ Y

Dạng tựa tuyến tính h., iX×Y này được gọi là một tích đối ngẫu nếu nó thỏa mãn

1 |hF, GiX×Y| ≤ kF kXkGkY, F ∈ X, G ∈ Y ;

2 kF kX = supkGkY≤1|hF, GiX×Y|, F ∈ X;

3 kGkY = supkF kX≤1|hF, GiX×Y|, G ∈ Y

Khi có tích đối ngẫu h., iX×Y giữa X và Y, thì Y được gọi là không gian liên hợp của

X với tích đối ngẫu h., iX×Y và được ký hiệu là X∗ Dễ thấy nếu Y là không gian liênhợp của X với tích đối ngẫu h., iX×Y thì X cũng là không gian liên hợp của Y với tíchđối ngẫu h., iY ×X

Cho {X, X∗} (tương ứng {Y, Y∗}) là một cặp không gian Banach liên hợp với tíchđối ngẫu h., iX×X∗ (tương ứng h., iY ×Y∗) Giả sử A là một toán tử tuyến tính xác địnhtrù mật từ không gian con D(A) ⊂ X vào Y Lấy một toán tử A∗ xác định trongD(A∗) ⊂ Y∗ và nhận giá trị trong X∗ như sau Một véctơ Ψ ∈ Y∗ nằm trong D(A∗)khi và chỉ khi tồn tại một véctơ Φ ∈ X∗ sao cho hAU, ΨiY ×Y ∗ = hU, ΦiX×X ∗ với mọi

U ∈ D(A) Vì D(A) trù mật trong X nên Φ như vậy được chọn một cách duy nhất.Với mỗi Ψ ∈ D(A∗), chúng ta đặt A∗Ψ = Φ Từ đây,

hU, A∗ΨiX×X∗ = hAU, ΨiY ×Y∗ với mọi U ∈ D(A), Ψ ∈ D(A∗)

Dễ dàng kiểm tra được rằng D(A∗) là một không gian con tuyến tính của Y∗ và A∗ làmột toán tử tuyến tính Toán tử A∗ này được gọi là liên hợp của A đối với các cặp liênhợp {X, X∗} và {Y, Y∗} Nếu A bị chặn thì A∗ cũng bị chặn, hơn nữa kAk = kA∗k.Ngoài ra nếu X và Y là các không gian Banach phản xạ, ta có định lý sau

Định lý 1.4.2 ([14], Tr 21) Giả sử X, Y là các không gian Banach phản xạ và cáccặp liên hợp {X, X∗}, {Y, Y∗} Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào

Y , thì A∗ là một toán tử tuyến tính liên tục từ Y∗ vào X∗ Hơn nữa kA∗k = kAk và

A∗∗= A

Trong trường hợp X = Y , X∗ = Y∗ và cặp liên hợp là {X, X∗} với tích đối ngẫuh., i, ta có kết quả sau

Định lý 1.4.3 ([14], Tr 21-22) Cho X là một không gian Banach phản xạ và {X, X∗}

là một cặp liên hợp Nếu A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X,thì A∗ cũng là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X∗ Hơn nữa A và

A∗ thỏa mãn các tính chất sau

1 A∗∗= A;

2 λ ∈ ρ(A∗) khi và chỉ khi ¯λ ∈ ρ(A);

3 Nếu λ ∈ ρ(A∗), thì (λ − A∗)−1 = [(¯λ − A)−1]∗

Chú ý khi A∗ = A, A được gọi là toán tử tự liên hợp

Xét hai không gian Hilbert Z và X với các tích trong ((., )), (., ) và các chuẩntương ứng k k, | | Giả sử rằng Z được nhúng trù mật, liên tục vào X Kết quả trong[14, Tr 23] chỉ ra sự tồn tại duy nhất của một không gian Banach, kí hiệu là Z∗, thỏamãn các điều kiện sau

1 Z ⊂ X ⊂ Z∗ với các phép nhúng trù mật và liên tục;

2 {Z, Z∗} tạo thành một cặp liên hợp với tích đối ngẫu h., i;

3 Tích đối ngẫu h., i thỏa mãn

hU, F i = (U, F ) với mọi U ∈ Z, F ∈ X

Ta gọi không gian Z∗ này là Không gian ngoại suy từ Z ⊂ X và bộ ba không gian

Z ⊂ X ⊂ Z∗ là một Bộ ba Theo định nghĩa của tích đối ngẫu, tích trong h., i phảithỏa mãn

ở đây k k∗ là chuẩn trên Z∗ Ngoài ra, ta cũng thấy rằng với U, V ∈ Z

hU, V iZ∗ ×Z = hV, U iZ×Z∗ = (V, U ) = (U, V ) = hU, V iZ×Z∗,

tức là

hU, V iZ×Z∗ = (U, V ) = hU, V iZ∗ ×Z, U, V ∈ Z (1.7)Liên quan đến tính chất ngoại suy của không gian Hilbert, ta có định lý sau.Định lý 1.5.1 Cho Z ⊂ X ⊂ Z∗ là một Bộ ba không gian Nếu A là một toán tử tựliên hợp bị chặn trên X và là một toán tử tuyến tính bị chặn trên Z, thì A mở rộngđược trên Z∗ thành một toán tử tuyến tính bị chặn với ước lượng kAkL(Z ∗ ) ≤ kAkL(Z)

Cho Z ⊂ X ⊂ Z∗ là một Bộ ba Theo định nghĩa {Z, Z∗} là một cặp liên hợp Trongmục này ta sử dụng tích đối ngẫu h., iZ∗ ×Z thay vì h., iZ×Z∗, tất nhiên h., iZ∗ ×Z =h., iZ×Z∗ Xét dạng tựa tuyến tính a(U, V ) trên Z × Z.

Nếu với mọi U, V ∈ Z, tồn tại hằng số dương M sao cho

thì a(U, V ) được gọi là một dạng liên tục Rõ ràng (1.8) suy ra a(Un, Vn) → a(U, V )nếu Un → U và Vn → V đồng thời trong Z Giả sử a(U, V ) là một dạng liên tục trên

Z Với mỗi U ∈ Z, a(U, ) là phiếm hàm liên tục trong Z Theo Định lý 1.17 trong [14]

ta tìm được duy nhất Φ ∈ Z∗ sao cho a(U, V ) = hV, ΦiZ×Z∗, tức là tìm được duy nhất

Φ ∈ Z∗ để a(U, V ) = hΦ, V i với mọi V ∈ Z Như vậy tương ứng A : U 7→ Φ là mộttoán tử tuyến tính từ Z vào Z∗ Tương ứng này được gọi là toán tử liên kết với dạnga(U, V ) Nó thỏa mãn

Định lý 1.6.1 Cho a(U, V ) là một dạng liên tục và bức trên Z Khi đó với bất kì

Ψ ∈ Z0, tồn tại duy nhất phần tử V ∈ Z sao cho Ψ(U ) = a(U, V ) với mọi U ∈ Z

Sử dụng Định lý Lax-Milgram ta chứng minh được rằng toán tử liên kết A là mộtđẳng cấu từ Z tới Z∗

Định lý 1.6.2 ([14], Tr 26) Cho a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính thỏa mãn (1.8),(1.10) Gọi A là toán tử liên kết với dạng này Khi đó A là một đẳng cấu từ Z tới Z∗với đánh giá δkU k ≤ kAU k∗ ≤ M kU k Ngoài ra, A là toán tử tuyến tính đóng và xácđịnh trù mật trong Z∗

Cuối cùng ta nói về Hạn chế của A lần lượt trên X và Z Theo định nghĩa, doD(A) ⊂ X, Hạn chế của toán tử A trong X được cho bởi

(D(A|X) = {U ∈ Z, AU ∈ X},

A|XU = AU

Từ định nghĩa của Không gian ngoại suy, ta thấy rằng nếu U ∈ D(A|X) thì a(U, V ) liêntục theo V đối với chuẩn trong X Hơn nữa, nếu U ∈ D(A|X) thì a(U, V ) = (A|XU, V )với mọi V ∈ Z Một cách tương tự, vì Z = D(A), Hạn chế của A trong Z được cho bởi

(D(A|Z) = {U ∈ Z, AU ∈ Z},

A|ZU = AU

Từ (1.7), ta thấy rằng nếu U ∈ D(A|Z) thì a(U, V ) liên tục theo V đối với chuẩn trong

Z∗ Hơn nữa khi U ∈ D(A|Z), ta có a(U, V ) = hU, V iZ×Z∗ với mọi V ∈ Z

Khi a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính liên tục và bức, các Hạn chế A|X và A|Z

của toán tử liên kết A đối với dạng này là các toán tử đóng, xác định trù mật tươngứng trong X và Z Thật vậy, xét dạng tựa tuyến tính a∗(U, V ) như sau

a∗(U, V ) = a(V, U ), (U, V ) ∈ Z × Z

Ta gọi a∗(U, V ) là dạng liên hợp của a(U, V ) Rõ ràng a∗(U, V ) cũng liên tục và bứctrên Z Gỉa sử B là toán tử liên kết với a∗(U, V ) Như đã chỉ ra trong mục trước,dưới các Giả thiết (1.8) và (1.10), B là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mậttrong Z∗ và thỏa mãn a(U, V ) = a∗(V, U ) = hBV, U i với mọi U, V ∈ Z Hơn nữa,hAU, V i = a(U, V ) = hU, BV i với mọi U, V ∈ Z Theo (1.7), rõ ràng A|Z là toán tửliên hợp B∗ của B ứng với cặp đối ngẫu {Z, Z∗} Thật vậy, U = B∗

e

U khi và chỉ khi

hU, V iZ×Z∗ = h eU , BV i với mọi V ∈ Z; tuy nhiên theo tính chất của toán tử B vừađịnh nghĩa ở trên, U = B∗U khi và chỉ khi hU, V ie Z∗ ×Z = hA eU , V i với mọi V ∈ Z; tómlại, U = B∗U khi và chỉ khi U = A ee U ∈ Z và ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.6.3 Cho A là toán tử tuyến tính liên kết với a(U, V ) Giả sử các Điềukiện (1.8) và (1.10) được thỏa mãn Khi đó A|X, A|Z là các toán tử đóng, xác địnhtrù mật tương ứng trong X và Z Ngoài ra các toán tử liên hợp A∗ và (A|Z)∗ ứng vớicặp {Z, Z∗} tương ứng là B|Z và B Trong khi đó, toán tử liên hợp (A|X)∗ ứng với cặp{X, X} là B|X

Chứng minh Vì A|Z = B∗, tính trù mật của D(A|Z) trong Z thu được trực tiếp từĐịnh lý 1.4.3 Mặt khác, D(A|Z) ⊂ D(A|X) và Z trù mật trong X nên D(A|X) trù mậttrong X

Lập luận tương tự như đối với A|Z = B∗, ta thấy A|X là toán tử liên hợp (B|X)∗của B|X đối với cặp liên hợp {X, X} Khẳng định còn lại suy ra trực tiếp từ (1) trongĐịnh lý 1.4.3

Cho Ω là một tập mở trong Rn Ta nói rằng Ω có biên ∂Ω liên tục (tương ứngLipschitz, thuộc lớp Cm (m = 1, 2, 3, )) nếu với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận Vcủa x trong Rn và một hệ tọa độ trực giao mới (y1, , yn) sao cho

1 V là một hình hộp trong hệ tọa độ mới:

1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên

Cho Ω là một tập mở trong Rn Với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, , kí hiệu Hk

p(Ω) làkhông gian các hàm u thuộc lớp Lp(Ω) sao cho các đạo hàm riêng Dαu đến cấp k đềuthuộc Lp(Ω) theo nghĩa phân bố, ở đây α = (α1, α2, , αn) là một đa chỉ số và cấpcủa đạo hàm riêng Dαu là số |α| = α1+ α2+ + αn Ta trang bị cho Hpk(Ω) chuẩn

Với chuẩn này Hpk(Ω) là một không gian Banach Đặc biệt khi p = 2, H2k(Ω) là mộtkhông gian Hilbert với tích trong

+ hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz.Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính C biến các hàm trong Ω thành các hàm trong Rnvới các tính chất sau

1 (Cu)|Ω = u;

2 C là một toán tử liên tục từ Hpk(Ω) vào Hk

p(Rn) (1 ≤ p ≤ ∞, k = 0, 1, 2, ) thỏamãn

kCukHk (R n ) ≤ Ap,kkukHk (Ω),

ở đây Ap,k> 0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và k

Khi 1 < p < ∞, không gian Sobolev Hpk(Ω) có thể được mở rộng cho trường hợpcác cấp k không nguyên Trong mục này, chúng ta xét Ω = Rn Giả sử s ≥ 0, kí hiệu

Hps(Rn) là không gian các hàm có tính chất như sau

Hps(Rn) = {u ∈ S(Rn)0 : F−1[(1 + |ξ|2)s2F u] ∈ Lp(Rn)},

ở đây S(Rn)0 là không gian các hàm suy rộng tăng chậm, F , F−1 tương ứng là phépbiến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier ngược trên S(Rn)0 Hs

p(Rn) là một không gianBanach với chuẩn

kukHs

p = kF−1[(1 + |ξ|2)sF u]kLp, u ∈ Hps(Rn)

Khi s nguyên, không âm, người ta chứng minh được rằng hai định nghĩa của Hpk(Rn)

(xem [13, Tr 15])

miền bị chặn

Giả sử Ω là Rn

+hoặc là một miền bị chặn trong Rnvới biên Lipschitz Với 1 < p < ∞

và s ≥ 0, Hps(Ω) được định nghĩa là tập tất cả các hạn chế u của các hàm trong Hs

trên Ω, tức là một hàm u ∈ Lp(Ω) nằm trong Hps(Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm

U ∈ Hps(Rn) sao cho U|Ω = u hầu khắp nơi trong Ω Với u ∈ Hps(Ω), chuẩn trong Hpscủa nó được định nghĩa là

U = 0 trong Ω là một không gian con đóng của Hs

p(Rn), nên Hps(Ω) thực chất làkhông gian thương Hs

p(Rn)/K Theo Định lý 1.7.1, ta thấy định nghĩa này là phù hợpvới định nghĩa của chuẩn ở phần trước khi s là một số nguyên

Khi p = 2 và s = k + σ, trong đó k = [s] là phần nguyên của s và 0 < σ < 1, chuẩncủa Hs

2(Ω) tương đương với

p(Ω) này được gọi bằng các tên khác nhau Khi bậc k nguyên,

Hpk(Ω) được gọi là không gian Sobolev Khi p = 2, H2s(Ω) thường được viết gọn là

Hs(Ω) và cũng được gọi là không gian Sobolev Khi 1 < p < ∞, p 6= 2, Hps(Ω) đượcgọi là không gian Lebesgue

Trong mục này ta sẽ giới thiệu một số mở rộng của những kết quả trên khi Ω là

Rn+ hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz Chứng minh những kết quả có trong[14, Tr 46] Nhắc lại rằng D(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compacttrong Ω

Định lý 1.7.3 Cho Ω là Rn+ hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz Giả sử 1 <

p < ∞ Nếu s > 1

p, thì vết γ : f 7→ f|∂Ω là một toán tử bị chặn từ H

s

p(Ω) lên Lp(∂Ω).Định lý 1.7.4 Cho Ω là Rn+ hoặc là một miền bị chặn với biên Lipchitz và 1 < p < ∞.Nếu 0 ≤ s ≤ 1

p, không gian D(Ω) trù mật trong H

s

Định lý 1.7.5 Cho Ω là miền như trong Định lý 1.7.4 và 1 < p < ∞ Với 0 ≤ s < 1

p,tương ứng f 7→ ef , ở đây ef = f trong Ω và ef = 0 trong Rn− Ω, là một toán tử bị chặn

từ Hps(Ω) vào Hps(Rn)

Khi 1

p < s ≤ 1, theo Định lý 1.42 trong [14], ta có kết quả sau.

Định lý 1.7.6 Cho Ω là miền như trong hai định lý trên và 1 < p < ∞ Nếu1

p(Ω) là bao đóng của tập D(Ω) trong không gian

Hps(Ω) Ta thấy u ∈ ˚Hps(Ω) khi và chi khi có một dãy {un} ⊂ D(Ω) sao cho un → utrong Hps(Ω) Khi Ω = Rn, ˚Hps(Rn) = Hps(Rn) với mọi 0 ≤ s < ∞ Khi Ω là Rn+ hoặc

là một miền bị chặn với biên Lipchitz thì theo Định lý 1.7.4

2(Ω) được viết gọn là ˚Hs(Ω) Khi s ≥ 0, không gian đốingẫu của ˚Hs

p0 ×H−sp trên ˚Hps0(Ω) × H−sp (Ω) Mặtkhác do D(Ω) được nhúng trù mật trong ˚Hps0(Ω) nên H−sp (Ω) = ˚Hps0(Ω)0 ⊂ D(Ω)0 Nhưvậy ta có Lp(Ω) ⊂ H−sp (Ω) theo quan hệ

hu, f i˚ s

p0 ×H−sp = hu, f iL

p0 ×Lp, u ∈ ˚Hps0(Ω), f ∈ Lp(Ω) (1.17)Khi p = p0 = 2, H−s2 (Ω) được viết gọn là H−s(Ω) Chú ý rằng ba không gian

p0 = 1

Những kết quả liên quan đến Lp(Ω) và Hps(Ω) một cách tự nhiên cũng đúng cho

Lp(Ω) và Hsp(Ω) Ví dụ khi p = 2, L2(Ω) và Hs(Ω) = Hs2(Ω) là các không gian Hilbert

Chương 2

Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa

Cho X là không gian Banach với chuẩn k k, A là toán tử tuyến tính đóng, xácđịnh trù mật trong X Giả sử rằng tập phổ của A được chứa trong miền quạt mở

σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C : |argλ| < ω}, 0 < ω ≤ π, (2.1)

và giải thức của nó thỏa mãn ước lượng

k(λ − A)−1k ≤ M

với hằng số M ≥ 1 Khi đó A được gọi là toán tử quạt trong X Điều kiện (2.1) suy

ra 0 /∈ σ(A), hay nói cách khác A có nghịch đảo bị chặn trong X Theo (1.2), ta có

k(λ − A)−1k ≤ Mω0

|λ| , λ /∈ Σω0, Mω0 > M. (2.5)Chẳng hạn có thể lấy Mω0 = M cos(ω − ω

1 − M sin(ω − ω0) Làm theo cách này chúng ta thấyrằng các Điều kiện (2.1), (2.2) cũng đúng đối với các góc ω0 nhỏ hơn ω Một cách tựnhiên ta đi xét infimum của tập tất cả các góc ω0 như vậy và gọi giá trị này là góc của

A, kí hiệu là ωA

Cho Z ⊂ X ⊂ Z∗ là một Bộ ba các không gian với các chuẩn tương ứng k k, | |

và k k∗ Giả sử (., ) là tích trong trên X và h., i là tích đối ngẫu trên Z∗× Z Xétmột dạng tựa tuyến tính liên tục và bức a(U, V ) trên Z × Z, tức là

|a(U, V )| ≤ M kU k kV k, U, V ∈ Z (2.6)

với các hằng số M > δ > 0 Gọi A là toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyếntính này và A|X, A|Z là các Hạn chế của nó tương ứng trên các không gian X và Z.Như đã biết (xem Mục 1.6), A, A|X và A|Z là các toán tử tuyến tính đóng, xác địnhtrù mật tương ứng trong Z∗, X và Z

Với mỗi Re λ ≤ 0, xét dạng tựa tuyến tính

a(U, V ) − λ(U, V ), U, V ∈ Z

Hiển nhiên dạng này cũng liên tục và bức trên Z Theo Định lý 1.6.2, toán tử liên kếtvới nó là A − λ, là một đẳng cấu từ Z vào Z∗ Nói riêng, λ ∈ ρ(A) nếu A được coi nhưmột toán tử xác định trên Z∗

Tiếp theo, ta sẽ thiết lập vài ước lượng của giải thức (λ − A)−1 ứng với Re λ ≤ 0.Giả sử U ∈ Z, ta có

δkU k2 ≤ Re a(U, U ) − Re λ|U |2 = Re h(A − λ)U, U i ≤ kU kk(A − λ)U k∗

Đặt Φ = (λ − A)U , khi đó

k(λ − A)−1Φk ≤ δ−1kΦk∗ (2.8)

Vì

λ(λ − A)−1Φ = A(λ − A)−1Φ + Φ,

ta có

|λ|k(λ − A)−1Φk∗ ≤ kAkL(Z, Z∗ )k(λ − A)−1Φk + kΦk∗ ≤ (M δ−1+ 1)kΦk∗

Do đó,

|λ|k(λ − A)−1Φk∗ ≤ (M δ−1+ 1)kΦk∗, Φ ∈ Z∗.Bây giờ giả sử U ∈ D(A|X) Với Re λ ≤ 0,

δkU k2 ≤ Re a(U, U ) − Re λ|U |2 = Re ((A − λ)U, U ) ≤ |(A − λ)U ||U |

Tổng kết những điều trên ta có định lý sau

Định lý 2.1.1 Giả sử A là toán tử liên kết với một dạng tựa tuyến tính a (U, V ) thỏamãn (2.6) và (2.7) Khi đó A, A|X và A|Z là các toán tử quạt với các góc nhỏ hơn π

2trong các không gian tương ứng là Z∗, X và Z Cụ thể hơn, chúng thoả mãn (2.1) và(2.2) với góc ω = π

2 và hằng số

M + δ

δ .