(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn001

-MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG P

-MAI THỊ THU NHÀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-MAI THỊ THU NHÀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHẠM VĂN QUỐC

Hà Nội – Năm 2015

Mở đầu 3

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Một số công thức cần nhớ 5

1.2 Ví dụ mở đầu 8

2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 11 2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 11

2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp 13

2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 20

2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới 21

2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích, phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba 28

2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn" 32

2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 37

2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa 43

2.4 Phương pháp 4 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 46

2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức 51

2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa 51

2.5.2 Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc so sánh các vế của phương trình 55

3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 59 3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương 59

3.2 Xây dựng từ các nghiệm chọn sẵn và phương pháp nhân liên hợp 60 3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai 62

3.4 Xây dựng từ phương trình tích, các đẳng thức 64

3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích 64

3.4.2 Xây dựng từ các đẳng thức 64

3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" 66

3.6 Xây dựng từ hệ phương trình 67

3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 69 3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu 71

3.8.1 Dựa theo tính chất của hàm đơn điệu 71

3.8.2 Dựa vào các ước lượng của hàm đơn điệu 72Kết luận 76Tài liệu tham khảo 77

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là một lớp các bài toán có vị trí đặcbiệt quan trọng trong chương trình toán học bậc phổ thông Nó xuất hiện nhiềutrong các đề thi học sinh giỏi cũng như kỳ thi tuyển sinh vào đại học Học sinhphải đối mặt với rất nhều dạng toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn màphương pháp giải chúng lại chưa được liệt kê trong sách giáo khoa Đó là cácdạng toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giải bằng phương pháp đặt ẩnphụ không hoàn toàn, dạng ẩn phụ lượng giác hóa,

Việc tìm phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là niềm say mêcủa không ít người, đặc biệt là những người đang trực tiếp dạy toán Chính vìvậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giả đã chọn đề tài

"Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn"

Đề tài nhằm một phần nào đáp ứng nhu cầu mong muốn của bản thân vềmột đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy củamình trong nhà trường phổ thông Luận văn được hoản thành dưới sự hướngdẫn trực tiếp của TS Phạm Văn Quốc.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chânthành và sâu sắc đến người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉbảo và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đàotạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học QuốcGia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, cùng toàn thể các họcviên khóa 2013-1015 đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học và hoàn thành bản luậnvăn này

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệutham khảo

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong quá trình nghiên cứu,nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên kết quả đạt được trong luậnvăn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu xót Vì vậy tác giả mong nhậnđược nhiều ý kiến đóng góp, chỉ bảo quý báu của quý thầy cô, các bạn học viên

để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 08 năm 2015.Học viên thực hiện

Mai Thị Thu Nhàn

13 Phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùngmột tập nghiệm Nếu phương trình f1(x) = g1(x) tương đương với phươngtrình f2(x) = g2(x) thì ta viết

f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x).

Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng tập xác định D (hay cócùng điều kiện xác định mà ta cũng kí hiệu là D) và tương đương với nhau,

ta nói

- Hai phương trình tương đương với nhau trên D, hoặc

- Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với nhau

Chẳng hạn với x > 0, hai phương trình x2 = 1 và x = 1 tương đương vớinhau

Trong các phép biến đổi phương trình, đáng chú ý nhất là các phép biếnđổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình Ta gọi chúng là cácphép biến đổi tương đương Như vậy, phép biến đổi tương đương biến mộtphương trình thành phương trình tương đương với nó.Chẳng hạn, việc thựchiện các phép biến đổi đồng nhất ở mỗi vế của một phương trình và khôngthay đổi tập xác định của nó là một phép biến đổi tương đương

y = f (x) đơn điệu trên (a,b)

Định lý Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trong (a,b) Khi đó :

- Hàm số y = f (x)đồng biến trong (a,b) ⇔ f,(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) và f,(x) = 0

chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b)

- Hàm số y = f (x)đồng biến trong (a,b) ⇔ f , (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) và f,(x) = 0

chỉ xảy ra tại một số hữu hãn điểm trong (a,b)

- Nếuf,(x) > 0, ∀x ∈ (a, b)và f liên tục trên [a, b] thìy = f (x) đồng biến trên

nghiệm với S, P đơn giản

16 Hệ phương trình đối xứng loại II

Khi đó giải hai trường hợp

Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ đã cho

17 Một số công thức lượng giác hay dùng

cos 2x = cos2x − sin2x = 2 cos2x − 1 = 1 − 2 sin2x sin 2x = 2 sin x cos x

cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x sin 3x = 3 sin x − 4 sin3x cos2x = 1 + cos 2x

2 sin2x = 1 − cos 2x

Ví dụ 1.1 Giải phương trình

1 + 23

p

x − x 2 = √

x + √

1 − x.

rõ ràng ta sẽ tìm cách làm mất căn thức Có nhiều cách để làm mất cănthức

Cách 1 Đầu tiên ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế Vì hai vế của phươngtrình đã cho luôn không âm với điều kiện xác định nên ta có thể bìnhphương hai vế để thu được phương trình tương đương sau

1 + 23

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x = 1, x = 27 ±

√ 473

Từ đó ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Với cách giải thứ 2 là ta đặt ẩn phụ hợp lý để làm mất căn thức Đặt biểuthức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới sao cho phương trình

ẩn mới có kết cấu đơn giản hơn phương trình ban đầu là bước quan trọng

Nó quyết định đến việc ta có lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở

Để chọn được cách đặt ẩn thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệcủa các biểu thức tham gia trong phương trình Có nhiều cách tạo ra mốiquan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình Ví dụ ngoài cáchđặt ẩn như cách 2, ta còn có mối quan hệ giữa các biểu thức trong phươngtrình ở cách 3 sau

Cách 3 Ta có

1 + 23

cách giải phương trình bằng cách đặt x = sin2t, t ∈ h0;π

2

i.Khi đó phương trình đã cho trở thành

1 + 2

3sin t cos t = sin t + cos t

⇔ 3(1 − sin t)p(1 − sin t) (1 + sin t) (2 sin t − 3) = 0



x = 1 sin t 4 sin2t − 6 sin t + 8
= 0.

Từ đó ta có nghiệm của phương trình đã cho

Qua ví dụ trên, ta thấy rằng có thể có nhiều cách để giải một phươngtrình chứa ẩn dưới dấu căn nào đó Mọi phương pháp đều có chung mộtmục đích, đó là tìm cách loại bỏ căn thức và đưa phương trình đã cho vềphương trình mà ta đã biết cách giải

Một số phương pháp giải phương

trình chứa ẩn dưới dấu căn

Nội dung chính của phương pháp này là lũy thừa hai vế với số mũ phù hợp.Một số phép biến đổi tương đương thường gặp

2 2np

f (x) = g(x) ⇔



f (x) = g2n(x) g(x) ≥ 0.

Thay x = 19

a + √3b)( 3

√

a 2 −√3ab + 3

√

b 2 ) = a + b ( √ 3

a − √3b)( √3

a 2 + √3

ab + √3

b 2 ) = a − b

an− bn = (a − b)(an−1+ an−2b + + abn−2+ bn−1).

Ta đã biết nếu x = x0 là nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì điều đó có nghĩa

là x0 ∈ Df và f (x0) = 0

Nếu x = a là nghiệm của đa thức P (x) thì P (x) = (x − a)P1(x), trong đó P1(x) là

đa thức với degP1= degP − 1.

Nếu x0 là một nghiệm của phương trình f (x) = 0thì ta có thể đưa phương trình

f (x) = 0 về dạng (x − x0)f1(x) = 0 và khi đó việc giải phương trìnhf (x) = 0 quy

về giải phương trình f1(x) = 0.

Ví dụ 2.7 (Đề thi Đại học Khối B, năm 2010)

Giải phương trình

√ 3x + 1 − √

6 − x + 3x2− 14x − 8 = 0.

Giải Điều kiện −1

3 ≤ x ≤ 6

nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (x − 5) hoặc bội của nó Vì vậy,

ta cần tìm hai số a, b > 0 sao cho thỏa mãn đồng nhất

Nên ta có lời giải sau

Phương trình đã cho tương đương

( √ 3x + 1 − 4) + (1 − √

6 − x) + 3x2− 14x − 5 = 0

⇔ √3x + 1 − 143x + 1 + 4+

Suy ra, vế trái của (2.1)< 0 ⇒(2.1) vô nghiệm.

Ví dụ 2.9 (Đề thi Đại học Khối A, năm 2007)

Giải phương trình

√ 2x − 3 − √

x = 2x − 6.

( √ 2x − 3 − √

x)( √ 2x − 3 + √

x)

√ 2x − 3 + √

⇔ √2x − 3 − x2x − 3 + √

x = −4

√ 2 3

2p2(4 − x 2 ) + x + 8 = 0.

Ta có −2 ≤ x ≤ 2, suy ra 2p2(4 − x 2 ) + x + 8 > 0

√ 2

3

Ví dụ 2.13 (Toán học Tuổi trẻ số 454, tháng 4 năm 2015)

Giải phương trình

√ 3x + 1 + √

5x + 4 = 3x2− x + 3.

3 Ta thấy x = 0, x = 1 la nghiệm của phương trình trên

Mà x = 0, x = 1 la nghiệm của đa thức x2− x = 0 hoặc −x 2 + x = 0

Cách 1 Ta cần xác địnha, bsao cho√3x − 1−(ax+b) = 0có nghiệmx = 0, x = 1.

Thay x = 0, x = 1 vào ta được hệ phương trình

2

√ 3x − 1 + (ax + b)

Cho 3x + 1 − (ax + b)2 = −x2+ x ta được

Nên ta có lời giải sau.

√ 3x + 1 + √

−x2+ x

√ 5x + 4 + (x + 2) = 3(x

1x

√ 5x + 4 + (x + 2) + 3

1x

√ 5x + 4 + (x + 2)+ 3 = 0

Ví dụ 2.15 (Toán học Tuổi trẻ số 454, tháng 4 năm 2015)

√ 5

2 Nhận xét Tại sao chúng ta lại nhận ra x2− x − 1 là nhân tử chung

Đầu tiên ta dùng máy tính bỏ túi để thử nghiệm, ta thấy phương trình đã cho cónghiệm làx = 1 +

√ 5

2 Mà x = 1 +

√ 5

hoặc −x2+ x + 1 = 0 Như vậy, chúng ta cần làm xuất hiện đại lượng x2− x − 1

hoặc −x2+ x + 1 để làm nhân tử chung

Nhận xét Phương trình đã cho tương đương

√

2 − x 3x2− 5x − 6 − α

Để có nhân tử chung, ta cần có

3x2− x 6 − α2
− 5 − 2α2 = 3x2− 5x − 6 − α

Đồng nhất hệ số của hai vế ta được α = 1

Khi đó, ta có lời giải sau

Phương trình đã cho tương đương

√ 3x 2 − 6x − 5 =√2 − x 3x2− 5x − 6

x = 5 +

√ 109

√ 109

Nội dung của phương pháp này là đặt một biểu thức chứa căn thức bằng mộtbiểu thức theo ẩn mới mà ta gọi là ẩn phụ, rồi chuyển phương trình đã cho vềphương trình với ẩn phụ vừa đặt Giải phương trình theo ẩn phụ để tìm nghiệmrồi thay vào biểu thức vừa đặt để tìm nghiệm theo ẩn ban đầu Với phương phápnày ta tiến hành theo các bước sau

Bước 1 Chọn ẩn phụ và tìm điều kiện xác định của ẩn phụ

Đây là bước quan trọng nhất, ta cần chọn biểu thức thích hợp để đặt làm

ẩn phụ Để làm tốt bước này ta cần phải xác định được mối quan hệ của các

biểu thức có mặt trong phương trình Cụ thể là, phải xác định được sự biểu diễntường minh của một biểu thức qua một biểu thức khác trong phương trình đãcho.

Bước 2 Chuyển phương trình ban đầu về phương trình (hệ phương trình) theo

ẩn phụ vừa đặt và giải phương trình (hệ phương trình ) này

Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì những phương trình thu được là nhữngphương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải

Bước 3 Giải phương trình (hệ phương trình) với ẩn phụ đã biết để xác địnhnghiệm của phương trình đã cho

2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới

Phương pháp này sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thànhmột phương trình với ẩn phụ mới Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp

• Nếu bài toán có chứa pf (x) và f (x) có thể đặt pf (x) = t; t ≥ 0

Đặt y = √

x 2 − x − 2; y ≥ 0 Suy ra(2.3)⇔ y 2 + 2 = 3y

x = 1 −

√ 13

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

x = 3; x = 2; x = 1 +

√ 13

2 ; x =

1 − √ 13

x = 1 −

√ 5

Vậy phương trình có 2 nghệm là x = 1 +

√ 5

2 ; x = 1 −

√ 5

x = 11 −

√ 17

√ 17

Vậy ta có lời giải.

Giải Điều kiện x ≥ 1

⇔ x

2 + x + 1

x − 1 =

1 4

⇔ 4x2+ 4x + 3 = 0 (vô nghiệm)

6, x = 4 + √

6



α = −2

β = 2.

Vậy ta có lời giải sau

Phương trình đã cho tương đương

r

(x + 2) (x 2 − 2x + 4), t ≥ 0.

1 2

Vậy ta có lời giải sau

−8(x + 1) + 3(x2+ 2x + 2) = √6

30

p

(x 2 + 2x + 2)(x + 1)

Với t =

√ 30

⇔ x

2 + 2x + 2

x + 1 =

30 9

3t − 1 = 0.

Với t =

√ 3

x = 5 +

√ 61

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 8, x = 5 +

√ 61

Ví dụ 2.27 Giải phương trình sau

Suy ra

 p

(x 2 − 4x − 5) =√x + 4

2p(x2− 4x − 5) = 3√x + 4



x2− 4x − 5 = x + 4 4(x2− 4x − 5) = 9(x + 4) ⇔

x = 5 +

√ 61

b =

1 2

2 , x =

5 − √ 37

a = −

1 2 b

2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn"

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là khi ta đặt ẩn phụ mới t thì phương trìnhnhận được hệ số của nó vẫn chứa x Khi đó nếu phương trình bậc 2 (ẩn t) cóbiệt thức ∆ t có dạng ∆ t = (px + q)2 thì bài toán có thể giải theo phương phápnày

Kỹ thuật điều chỉnh biệt thức : Xét phương trình vô tỷ có dạng

(ax + b)pcx 2 + dx + e = px2+ qx + t

⇔ px2+ qx + t − (ax + b)pcx 2 + dx + e = 0

Bước 1 Đặt √cx 2 + dx + e = t, ta sẽ biến đổi phương trình thành

mt2− (ax + b)t + P (x) = 0 (2.10)vớiP (x) = x2+ qx + t − m(cx2+ dx + e)và ∆t là một biểu thức chính phương,

Bước 2 Viết lại

(2.5) ⇔ mt2− (ax + b)t + (1 − mc)x2+ (q − md)x + (t − e) = 0

∆t = (ax + b)2− 4m[(1 − mc)x2+ (q − md)x + (t − e)]

∆t= (a2− 4m + 4m2c)x2+ (2ab − 4mq + 4m2d)x + (b2− 4mt + 4me)

hay (2ab − 4mq + 4m2d)2− 4(a 2 − 4m + 4m 2 c)(b2− 4mt + 4me) = 0

Khai triển vế trái ta được một phương trình dạng

m(a1x3+ a2x2+ a3x + a4) = 0

Phương trình luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm

m = 0 Sau khi tìm được giá trị m, ta dễ dàng giải quyết được phương trình(2.10)

Ví dụ 2.32 (Đại học Quốc gia Hà Nội, Khối A năm 2001)

( √ 2x + 1)3 = (p3

⇔

( x ≥ 0

x = 2 ±

√ 8 2

⇔ x = 2 +

√ 8

√ 8

2 .

Vậy ta có lời giải sau.

Phương trình đã cho tương đương

⇔



x ≥ −1 10x2+ 2x − 17 = 0 ⇔



x ≤ 1 2x2− 2x − 1 = 0 ⇔

x = 1 −

√ 3 2

⇔ x = 1 −

√ 3

10 , x =

1 − √ 3

Khi đó, ta có lời giải sau

Phương trình đã cho tương đương

Ví dụ 2.36 Giải phương trình

2(2p1 + x 2 −p1 − x 2 ) −p1 − x 4 = 3x2+ 1. (2.14)Giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1 Đặt a = √

⇔ x = −

√ 3

5, x = −

√ 3

a + b = √

2 2a2b2− 8ab = 0

⇔



a + b = √

2 2ab(ab − 4) = 0.

TH1



a + b = √

2 2ab = 0 ⇔



a = √ 2

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

Hay nói một cách khác là nếu gặp những bài toán có chỉ số căn lệch bậc hoặc chỉ

số căn cao, thì ta đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình dạng

b = 7

5.

Nếu phương trình có dạng xn+ a = b √ n

bx − a đặt y = √ n

bx − a.Khi đó, ta có hệ phương trình đối xứng loại II dạng

x > 0.Khi đó ta có hệ phương trình

⇔



x = 2007 + √

y ( √

y − √ x)(1 + √

y + √ x) = 0 ⇔



x = 2007 + √

y ( √

y = √ x)

⇔

(

x = 8030 ± 2

√ 8029 4

x = y

Vì x ≥ 0, suy ra x = 8030 + 2

√ 8029

√ 8029

Ví dụ 2.44 Giải phương trình

2x2− 6x − 1 =√4x + 5.

Giải Đặt 2y − 3 = √

4x + 5 Suy ra (2y − 3)2 = 4x + 5 Khi đó phương trình đã cho trở thành

Trừ vế cho vế hai phương trình trong hệ trên ta được

⇔

(

x ≥ 32 (2x − 3)2= 4x + 5

⇔

(

x ≥ 32

3 = y

2 + 2y + 1 ⇔ 3y2+ 6y = x + 4 Khi đó, phương trình đã cho trở thành

3x2+ 6x = y + 4

Ta có hệ phương trình



3y2+ 6y = x + 4 3x2+ 6x = y + 4

Trừ vế cho vế ta được phương trình

Vậy phương trình có 3 nghiệm là x = 0, x = 3 ± 2

√ 6

3 .2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa

Một số phương pháp lượng giác hóa thường gặp

• Nếu bài toán chứa √a 2 − x 2 có thể đặt