Tài liệu Đề thi HSG Lớp 12 vòng 1 tỉnh Long An năm 2013 môn Toán doc

Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6cm , trọng tâm là G.. Tính diện tích tam giác AMN.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2.. Giám thị không giải thích gì thêm... Đường tròn tâm I, bán k

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN, BẢNG A

Ngày thi: 23/10/2012 Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a Giải phương trình sau trên tập số thực: x   1 (2 x  1) x   1 2

b Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

2

8 12

xy y xy x y







Câu 2: ( 5,0 điểm )

a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A  1;2 ,   B 4;3 

Tìm trên trục hoành điểm M sao cho 0

45

AMB 

b Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6cm , trọng tâm là G Một đường thẳng  đi qua G ,  cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm M và N

sao cho 2 AM  3 AN Tính diện tích tam giác AMN

Câu 3: ( 4,0 điểm )

Cho dãy số   u được xác định bởi n u  và 1 1 1 2n

u  u  với mọi n  1

a Chứng minh rằng: 2n 1

n

u  

b Tính tổng S  u1 u2  u3  un theo n

Câu 4: ( 3,0 điểm )

Cho các số thực dương a b c , ,

a Chứng minh rằng:  2 2 9  2

16

b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

.

P

a b c



  

Câu 5: ( 3,0 điểm )

Cho hàm số 1 3   2  

3

y  mx  m  x   m x  có đồ thị là  Cm , m là tham số Tìm các giá trị của m để trên  Cm có duy nhất một điểm có hoành độ âm

mà tiếp tuyến của  Cm tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d x :  2 y  0

- Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:………;Số báo danh:…………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1)

Môn: TOÁN, BẢNG A Ngày thi: 23/10/2012

ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn này có 03 trang )

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm

từng phần như hướng dẫn quy định

1

(5,0 điểm)

a ( 2,5 điểm )

Điều kiện: 1

2

x   Đặt y x  (1 2 y  2),

ta thu được hệ

2







0,25 0,25

Suy ra

2

2

0,25 0,25

 1 1 2 1 0

0,25 0,25

Do vậy

32

Thay vào, thử lại thấy 15 33

32

x  thỏa mãn

32

x 

0,25 0,25

b ( 2,5 điểm )

Đặt ux x y v, y y 1, hệ trở thành: 8

12

u v

u v

 







Giải hệ tìm được 2

6

u v











2

u v









6

u v











2

x y

   









hoặc

2 3

x y







  



0,25 + 0,25

Với 6

2

u v











ta tìm được: 2

1

x y











1

x y

 









2

x y

  





 



0,25

0,25

Kết luận : Hệ đã cho có các nghiệm

2

x y

   









,

2 3

x y







  



1

x y











1

x y

 









2

x y

  





 



0,5

2

(5,0 điểm)

a ( 2,5 điểm )

Gọi I x y  ;  là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB

Ta có:

AI BI











2 2



 

3 1

x y





 





4

x y









 Với I3;1 thì IA  5 Đường tròn tâm I bán kính IA có

phương trình x32y12 cắt trục hoành tại hai điểm 5

1 1; 0

M và M25; 0

0,5

 Với I2; 4 thì IA  5 Đường tròn tâm I, bán kính IA không

b ( 2,5 điểm )

Đặt AM x AN,  y với x0,y0

0

.s in30

AMG

x

ANG

y

0

.s in60

AMN

xy

2 xy  4 xy xy xy Vậy ta có hệ : 2 









0,25 0,25

Giải hệ tìm được

5 10 3











4 6

AMN

xy

3

(4,0 điểm)

a 2,0 điểm

Khi n  : 1 u2u121  1 2 22 đúng 1 0,5

Ta chứng minh: 1 2k 1 1

k

Thật vậy: u k1u k 2k 2k  1 2k 2k11 0,5

b 2,0 điểm

21 1 22 1 2n 1 21 22 2n

1

2 1

2 1

n

n

S    n   n

4

(3,0 điểm)

a 1,5 điểm

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

Đẳng thức xảy ra khi 1

2

ab

0,5

Đặt ta b , ta có:

2

t c



 

0,5

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 9

16 khi

1 2

abc

0,25 + 0,25

5

(3,0 điểm)

2( 1) 4 3

y mx  m x  m Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 0,25 + 0,25

Ta tìm m : mx22(m1)x 4 3m2 * có đúng một nghiệm âm 0,5

 * x1mx3m20x hoặc 1 mx2 3 m 0,25 + 0,25

0

m  , yêu cầu bài toán xảy ra khi

0

2 3

3

m m







0,25 + 0,25

Kết luận:

0 2 3

m m









0,5