Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 3 - Võ Duy Minh

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 3 Tích phân, cung cấp cho người học những kiến thức như: Nguyên hàm và tích phân bất định; Tích phân xác định; Tích phân suy rộng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương III: TÍCH PHÂN

• Nguyên hàm và tích phân bất định

• Tích phân xác định

• Tích phân xác định

• Tích phân suy rộng

Nguyên hàm và tích phân bất định

Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Hàm số F(x) đgl một

nguyên hàm của f(x) trên (a; b) nếu F'(x) = f(x)

Nếu F(x)_ nguyên hàm của hàm f(x) trên (a; b) thì F(x) + C là

nguyên hàm của hàm f(x) vì [F(x) + C]' = F'(x) = f(x)

2

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên (a; b) được gọi

là tích phân bất định của hàm f(x) trên (a; b), KH

; f(x) : hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx : biểu thức dưới dấu tích phân

∫ f(x)dx

∫ f(x)dx F(x) C F'(x) f(x)

Phương pháp tính tích phân

PP đổi biến Nếu hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục và có hàm ngược t = ϕ-1(x) thì

1 t

2t sinx = I = ∫ dt = ln t C ln tg + = x + C

+ 2

2t sinx =

Tích phân các phân thức đơn giản

Tích phân các phân thức đơn giản

Tích phân các phân thức hữu tỉ

Dạng I = ; P(x), Q(x) là đa thức; degP(x) < degQ(x)

(1) Q(x) = (x −−− a)(x −−− b) (x −−− c)

Phân tích thành tổng các phân thức đơn giản dạng

∫ P(x) dxQ(x)

Tích phân các phân thức hữu tỉ

(3) Q(x) = (x – a)(x2 + px + q) với x2 + px + q vô nghiệm

Phân tích thành tổng các phân thức đơn giản dạng

Tích phân các phân thức hữu tỉ

2 2

Tích phân hàm vô tỉ

VD

2

dx J

Tích phân hàm lượng giác

sin x sin2x cos x

Tích phân bằng PP biến đổi thành

sin t

− x2 − a2 = acot gt

Tích phân xác định

Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm y = f(x) xác định, không

âm và liên tục trên [a; b]

Tính diện tích hình thang cong

giới hạn bởi y = f(x); trục Ox; x

Bài toán diện tích hình thang cong

Diện tích hình thang cong nhỏ gần

bằng f(ξi).∆xi

Diện tích hình thang cong lớn

với sai số tiến về 0 khi ∆xi → 0

Điều này xảy ra khi max ∆xi → 0

Nếu Sn tiến tới một giới hạn xác định I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] và cách chọn các điểm ξi ∈ [xi-1 ; xi ] thì

I là diện tích của hình thang cong

Định nghĩa tích phân xác định

Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b]

Nếu tồn tại mà không phụ thuộc vào

Tính chất: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) khả tích trên [a; b]

Ví dụ Tính

Vì f(x) = x2 liên tục trên [0; 1] nên khả tích trên [0; 1]

Chia đoạn [0; 1] thành n+1 điểm xi = ,

= ∫1 2 0

1 n(n 1)(2n 1) 1lim

Công thức Newton − Leibnitz

Cho hàm f(x) liên tục trên [a; b] và F(x) là một nguyên hàm

của f(x) trên [a; b] thì

PP đổi biến: Xét với f(x) liên tục trên [a; b]

= ∫a 2 − 2 0

2 a

V = π ∫∫∫∫ f (x) dx

b

2

V = π∫g(y) dy

V = π∫g(y) dy

Tính thể tích của vật tròn xoay tạo bởi elíp:

khi cho elíp quay quanh trục Ox

Tích phân suy rộng( loại I)

→+∞ ∫bb

Nếu hữu hạn, ta nói hội tụ

Nếu vô hạn, ta nói phân kỳ

a

a

f(x)dx

Tích phân suy rộng(loại I)

Nếu hữu hạn, ta nói hội tụ

Nếu vô hạn, ta nói phân kỳ

Tích phân suy rộng(loại I)

Ví dụ về tích phân suy rộng(Loại I)

Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại I)

a Trường hợp hàm không âm

• Tiêu chuẩn so sánh 1

Giả sử hai hàm f(x), g(x) là hai hàm số khả tích trên mọikhoảng hữu hạn [a; b], (a ≤ b) và nếu 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi x

∈ [a; +∞) Khi đó :

Nếu hội tụ thì ta nói hội tụ

Nếu phân kỳ thì ta nói phân kỳ

ag(x)dx

Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại I)

a Trường hợp hàm không âm

VD: Xét sự hội tụ

+∞

α

= ∫1

dxI

VD: Xét sự hội tụ

+∞

−

= ∫ 4 x21

2

6 x

Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại I)

b Trường hợp hàm có dấu tùy ý

Nếu hội tụ thì ta nói hội tụ và

được gọi là hội tụ tuyệt đối

Tích phân suy rộng(loại II) – Hàm f(x) không bị

Tích phân suy rộng(loại II) – Hàm f(x) không

bị chặn trên [a;b]

Hàm f(x) bị chặn và khả tích trên mọi đoạn [a+ε; b] nhưng

không bị chặn trên [a; a+ε] Ta định nghĩa

Tích phân suy rộng loại II – Hàm f(x) không

VD về TPSR loại II

−ε ε→ ε→

Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại II)

a Trường hợp hàm không âm

• Tiêu chuẩn so sánh 1

Giả sử hai hàm f(x), g(x) là hai hàm số không âm,liên tục trên(a; b] với a là điểm bất thường sao cho 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi

46

x ∈ [a; c) ; (a< c < b), Khi đó :

Nếu hội tụ thì ta nói hội tụ

Nếu phân kỳ thì ta nói phân kỳ

Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại II)

VD: Xét sự hội tụ = ∫1 α

0

dxI

Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại II)

b Trường hợp hàm có dấu tùy ý

Nếu hội tụ thì ta nói hội tụ và

được gọi là hội tụ tuyệt đối