Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 9: Phương trình vi phân

Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 9: Phương trình vi phân. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; cấp của phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp 1; phương trình đẳng cấp cấp 1; phương trình tuyến tính cấp 1; phương trình Becnuly; phương trình vi phân cấp 2;... Mời các bạn cùng tham khảo!

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2

CHƯƠNG 9

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ĐẶT VẤN ĐỀ

I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liên

hệ giữa biến độc lập, hàm chưa biết và các đạo hàm

hoặc vi phân của nó

Ví dụ

2 CẤP CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

 Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số có mặt trong phương trình ấy

 Phương trình vi phân cấp n là phương trình

có dạng

Trong đó, không được khuyết

NGHIỆM CỦA PTVP

Định nghĩa: Nghiệm của phương trình vi phân

cấp n là mọi hàm số khả vi đến cấp n mà khi thay vào phương trình đó ta được một đồng nhất thức

Nghiệm của phương trình vi phân là

với C là hằng số tùy ý

Ví dụ:

c Sự tồn tại duy nhất nghiệm

 Bài toán: Cho phương trình vi phân cấp

một: với điều kiện ban đầu

 Định lí:

 Nếu hàm f(x, y) liên tục trong một lân cận

của thì bài toán trên có nghiệm

 Nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trên lân cận đó thì nghiệm đó là duy nhất

2 PTVP cấp 1 có biến phân ly

a Khái niệm: Phương trình vi phân cấp một

biến số phân li có dạng

(1)

3 Phương trình đẳng cấp cấp 1

a Khái niệm: Phương trình vi phân

cấp một đẳng cấp là loại phương trình vi phân có thể đưa về được dạng sau:

b Cách giải

 Đặt biến phụ:

 Đƣa về PTVP có biến phân ly theo hàm z, biến x

4 Phương trình tuyến tính cấp 1

a Định nghĩa: Phương trình vi phân

tuyến tính cấp một có dạng trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục

b Cách giải:

Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số (PP Lagrange)

5 Phương trình Becnuly

a Định nghĩa: Phương trình Becnuly có dạng

trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục; là một số thực cho trước

 Đổi biến

 Đưa về PTVP tuyến tính cấp 1

b Cách giải

III PTVP CẤP 2

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

 a Các dạng biểu diễn

Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát

Dạng đã giải ra được đối với đạo hàm

b Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

c Nghiệm của PTVP cấp 2

Giải PTVP cấp hai, được kết quả dạng

là nghiệm tổng quát của PTVP đó.

là một nghiệm riêng của phương trình

b Trường hợp vế phải không phụ thuộc y

Phương trình có dạng:

Cách giải:- Đổi biến

- Đưa về ptvp cấp 1 với p, từ đó giải

ra y

c.Trường hợp vế phải không chứa x

Dạng phương trình:

Cách giải:

- Đưa về PTVP cấp 1 với biến y, hàm p(y)

- Giải p(y), từ đó tìm ra nghiệm của phương trình

đã cho

c Nghiệm của phương trình thuần nhất

 Nếu phương trình (3) có hai nghiệm thực phân biệt thì NTQ của PTTN (2) là:

 Nếu phương trình (3) có hai nghiệm kép

thì NTQ của PTTN (2) là:

d Nghiệm riêng của phương trình vi phân

tuyến tính không thuần nhất

 Trường hợp 1: ).

 Nếu không là nghiệm của PTĐT thì nghiệm riêng có thể tìm ở dạng:

, trong đó là đa thức bậc n với các hệ số chưa biết (sẽ được xác định bằng phương pháp hệ số bất định)

 Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có thể tìm ở

 Trường hợp 2:

 Nếu không là nghiệm của phương

trình đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (1) có thể tìm ở dạng

 Nếu là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình có thể tìm ở dạng

Ví dụ: Giải phương trình