Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Đạo hàm và vi phân hàm một biến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Đạo hàm và vi phân hàm một biến. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: định nghĩa; các qui tắc tính đạo hàm; bảng công thức tính đạo hàm cơ bản; đạo hàm 1 phía;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 6 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT

BIẾN

1 Đạo hàm

a Định nghĩa

Giả sử hàm số 𝑓(𝑥) xác định trên 1 lân cận của

𝑥 (kể cả 𝑥), với ∆𝑥 đủ bé về trị tuyệt đối ta xét giới hạn sau:

lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

- Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn

ta nói hàm số có đạo hàm hay khả vi tại 𝑥 Đạo hàm đƣợc kí hiệu là

𝑓′ (𝑥)

- Nếu giới hạn trên vô hạn thì ta nói hàm số có đạo hàm bằng ∞ tại 𝑥 nhƣng không khả vi tại 𝑥

Ví dụ: Tìm đạo hàm tại 0 của hàm

số

𝑓 𝑥 = ln⁡ (1 + 𝑥

2)

0 𝑣ớ𝑖 𝑥 = 0

b Các qui tắc tính đạo hàm

c Bảng công thức tính đạo hàm cơ

bản

d Đạo hàm 1 phía

- Đạo hàm phải

𝑓′ 𝑥0+ = lim∆𝑥→0+ 𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓(𝑥0)

∆𝑥

- Đạo hàm trái

𝑓′ 𝑥0− = lim

∆𝑥→0−

𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

Định lí: Điều kiện cần và đủ để hàm 𝑓(𝑥)

có đạo hàm hữu hạn (hay khả vi) tại điểm

𝑥0 là tồn tại đạo hàm phải hữu hạn và đạo hàm trái hữu hạn của 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 và

chúng bằng nhau, tức là:

𝑓′ 𝑥0+ = 𝑓 ′ 𝑥0−

Khi đó: 𝑓′ 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥0+ = 𝑓′ 𝑥0− .

1 Các khái niệm

1.1 Định nghĩa

Cho tập 𝐷 ⊂ ℝ, một hàm 𝑓 từ 𝐷 vào ℝ là một qui tắc đặt tương ứng mỗi giá trị của 𝑥 ∈ 𝐷 với duy nhất một giá trị 𝑦 ∈ ℝ theo

đẳng thức: 𝑦 = 𝑓(𝑥)

• D: tập xác định của 𝑓

• 𝑓 𝐷 = {𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐷}: Tập giá trị của hàm số

• Tập các cặp điểm {(𝑥, 𝑓 𝑥 ): 𝑥 ∈ 𝐷} trên hệ tọa độ Oxy gọi là đồ thị của hàm số

1.2 Các phép tính trên hàm số

a Cộng, trừ, nhân, chia

b Hàm hợp

Cho hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ là 𝑋 và TGT 𝑌

Hàm số 𝑧 = 𝑔(𝑦) với TXĐ là 𝑌1 và TGT là 𝑍

Nếu 𝑌 ⊂ 𝑌1 thì ta có thể xác định hàm số từ 𝑋 vào 𝑍 nhƣ sau

𝑧 = 𝑔 𝑓 𝑥 ≔ 𝑕(𝑥)

Hàm số này gọi là hàm số hợp của 𝑔 và 𝑓

Kí hiệu 𝑕 = 𝑔 ∘ 𝑓

Ví dụ 1:

Cho 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 4, 𝑔(𝑦) = tan 𝑦 thì ta

có hàm số hợp

𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥 = tan(𝑥3 − 2𝑥 + 4)

c Hàm ngược

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ là 𝐷 và tập giá trị là 𝑌

Nếu phương trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 có nghiệm duy nhất

𝑥 ∈ 𝐷 thì ta có thể xác định hàm số

𝑥 = 𝑔 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝑌 Thỏa mãn 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝑌, hàm g xác định như trên gọi là hàm số ngược của hàm 𝑓, ký hiệu 𝑔 = 𝑓−1

Lưu ý:

- Ta thường coi 𝑥 là biến, 𝑦 là hàm số nên hàm số ngược của hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥

- Nếu vẽ trên cùng một hệ tọa độ thì hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥)

và hàm ngược 𝑦 = 𝑔 𝑥 đối xứng qua đường phân giác y = x

1.3 Các hàm số sơ cấp cơ bản

a Hàm lũy thừa: 𝑦 = 𝑥𝛼 (𝛼 − 𝑕ằ𝑛𝑔 𝑠ố)

c Hàm lôgarit: 𝑦 = log𝑎 𝑥, (0 < 𝑎 ≠ 1)

d Các hàm lƣợng giác

sin 𝑥; cos 𝑥; tan 𝑥; cot 𝑥

e Các hàm lƣợng giác ngƣợc:

1) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙

𝜋 2

𝑦 tính theo đơn vị rad

Ví dụ

2

1 2

1

arcsin 𝑥 − 𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋 6

𝜋 4

𝜋 3

𝜋 2

Tính chất

 Tập xác định [-1; 1]

 Hàm arcsin 𝑥 đồng biến trên [-1; 1]

 Tập giá trị [−𝜋

2 ; 𝜋

2]

2) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋𝑥 = cos 𝑦

𝑦 tính theo đơn vị rad

Ví dụ:

𝑥 -1

− 3

2 −

2

2 −

1 2

0 1

2 22 32

1

arccos 𝑥 𝜋 5𝜋

6

3𝜋 4

2𝜋 3

0 𝜋

3

𝜋 4

𝜋

6 0

Tính chất

 Tập xác định [-1; 1]

 Hàm arccos 𝑥 nghịch biến trên [-1; 1]

 Tập giá trị [0 ; 𝜋]

3) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙

𝑦 = arctan 𝑥 ⇔

𝑥 = tan 𝑦

−𝜋

2 < 𝑦 <

𝜋 2

Ví dụ:

𝑥 −∞ − 3 −1 1

3

0 1 3

1 3 ∞

arctan 𝑥 − 𝜋

2 −

𝜋

3 −

𝜋

4 −

𝜋

6 0 𝜋6

𝜋 4

𝜋 3

𝜋 2

Tính chất

 Tập xác định R

 Tập giá trị (−𝜋

2 ; 𝜋

2)

4) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝒙

𝑦 = arccot 𝑥 ⇔ 0 < 𝑦 < 𝜋𝑥 = cot 𝑦

Ví dụ:

𝑥 −∞ − 3 −1 1

3

0 1 3

1 3 ∞

arccot 𝑥 𝜋 5𝜋

6

3𝜋 4

2𝜋 3

𝜋 2

5𝜋 6

3𝜋 4

𝜋

3 0

Tính chất

 Tập xác định R

 Tập giá trị (0; 𝜋)

1.4 Hàm sơ cấp

Định nghĩa:

Hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) đƣợc gọi là một hàm sơ cấp trên (a; b) nếu f(x) đƣợc cho bởi một biểu thức giải tích, biểu thức đó thu đƣợc từ các hàm sơ cấp cơ bản và hằng số nhờ một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp hàm

Ví dụ 3:

a Hàm số 𝑦 = sin 𝑥2 − 5𝑥 + 7 + cos 𝑥 là hàm sơ cấp

là hàm sơ cấp

Ví dụ 4: Hàm số 𝑦 = |𝑥| = 0 𝑛ế𝑢 𝑥 = 0 𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 > 0

−𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0

không phải là hàm sơ cấp trên R

Nhƣng trên khoảng −∞; 0 , hàm số 𝑦 = −𝑥 là hàm

sơ cấp

Trên khoảng 0; ∞ , hàm số 𝑦 = 𝑥 là hàm sơ cấp